Exkurs zur Theorie der Zinsstruktur

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1 Prof. Dr. Johann Graf Lambsdorff Universität Passau WS 2007/08 Pflichtlektüre: z 6. Die Zinsstruktur: Erwartungstheorie z ˆ = 2.4 F n Jarchow, H.-J.: Geldtheorie, 200, S Jarchow, H.-J.: Arbeitsbuch, Aufgaben G27 und G28 Deutsche Bundesbank, Kapitalmarktstatistik, Dezember 2006: uktur_en.pdf Deutsche Bundesbank, Monatsbericht, Oktober 1997: /1997/199710mba_zstrukt.pdf F =115 F Exkurs zur Theorie der Zinsstruktur Den bisherigen geldtheoretischen Untersuchungen lag stets die Vorstellung zugrunde, dass weitgehend nur ein einziger Sollzinssatz oder Habenzinssatz existiert. Demgegenüber trifft man in der Realität auf eine Vielzahl unterschiedlicher Zinssätze, wobei eine Differenzierung u.a. nach Regionen, der Bonität des Schuldners und der Fristigkeit der Schuldtitel festzustellen ist. Bezüglich der Fristigkeit ist eine zeitliche Zinsstruktur zu verzeichnen. Diese beschreibt die in einem bestimmten Zeitpunkt geltenden effektiven Zinssätze (Renditen) von Wertpapieren, geordnet nach der Restlaufzeit, bei sonst gleichen Ausstattungsmerkmalen. Graphisch wird die Beziehung zwischen (effektiven) Zinssätzen und Restlaufzeiten durch die sog. Zinsstrukturkurve bzw. Renditenstrukturkurve dargestellt. Diese weist folgende empirische Charakteristika auf: 1. Im Allgemeinen liegt der Zinssatz von Wertpapieren um so höher, je länger ihre Restlaufzeit ist (normale Zinsstruktur); eine inverse Zinsstruktur liegt selten vor. 2. Der (bei normaler Zinsstruktur) mit einer Verlängerung der Restlaufzeit einhergehende Zinsanstieg wird mit zunehmender Restlaufzeit tendenziell geringer.. Auf die inverse Zinsstruktur trifft man bei relativ hohem Zinsniveau eher als bei relativ niedrigem Zinsniveau. 4. Kurz- und langfristige Zinssätze bewegen sich überwiegend gleich gerichtet. 5. Kurzfristige Zinssätze schwanken in der Regel stärker als langfristige.

2 % 7,8 % 9 Durchschnittliche Zinsstruktur am deutschen Rentenmarkt (Sept Jan. 1998) 7,6 7,4 7,2 7,0 Inverse und normale Zinsstruktur am deutschen Rentenmarkt August ,8 4 6,6 7. Oktober , Jahre Jahre Zinsstrukturgebirge Kurz- und langfristige Zinssätze am deutschen Rentenmarkt ( ) Jahre

3 0,5 0,0 0,25 0,20 Variationskoeffizienten von öffentlichen Anleihen mit unterschiedlicher Restlaufzeit (Sept Dez. 1996) 0, Restlaufzeit (Jahre) Erwartungstheorie Die theoretische Analyse, wie sie im Folgenden mit der Erwartungs-, Marktsegmentations- und Liquiditätsprämientheorie vorgenommen wird, hat insbesondere den Zweck, zur Erklärung der beobachteten Charakteristika beizutragen. Die Erwartungstheorie geht auf I. Fisher (190) zurück. Sie bestimmt den gegenwärtigen langfristigen Zinssatz durch den gegenwärtigen kurzfristigen Zinssatz und die bis zum Ende der Laufzeit der langfristigen Anlage erwarteten kurzfristigen Zinssätze. Hierfür wird auf das individuelle Wirtschaftlichkeitskalkül eines Kapitalanlegers zurückgegriffen. Angenommen sei, dass der Kapitalanleger einen Geldbetrag für eine bestimmte Dauer, z.b. für drei Jahre, in Wertpapieren anlegen will. Er wägt ab zwischen einer Anlage in langfristigen Papieren und einer wiederholten Anlage in kurzfristigen Papieren mit jeweils einjähriger Laufzeit. Wird der gegenwärtige langfristige Zinssatz (p. a.) mit i l bezeichnet, dann ergibt sich nach drei Jahren pro angelegter Geldeinheit ein Liquidationserlös (e l ) von: e l =(1+i l ) Hierbei wird unterstellt, dass die jährlichen Zinserträge zum gegenwärtigen langfristigen Zinssatz reinvestiert werden. Bezeichnet man den gegenwärtigen, für das erste Jahr geltenden kurzfristigen Zinssatz mit i 1, den für das zweite Jahr erwarteten kurzfristigen Zinssatz mit i* 2 und den für das dritte Jahr erwarteten kurzfristigen Zinssatz mit i*, dann ergibt sich bei dreimaliger kurzfristiger Anlage am Ende des dritten Jahres pro angelegter Geldeinheit insgesamt ein (erwarteter) Liquidationserlös (e* k ) von: e* k =(1+i 1 )(1+i* 2 ) (1+i* ) Hierbei wird unterstellt, dass alle jährlichen Zinserträge und Liquidationserlöse vollständig reinvestiert werden. Die Erwartungstheorie unterstellt nun Risikoneutralität. Dies impliziert, dass ein Kapitalanleger sich gegenüber einem mit unsicheren Zinserwartungen verbundenen Risiko neutral verhält.

4 Unter dieser Annahme entscheidet sich ein gewinnmaximierender Anleger - ausschließlich für kurzfristige Wertpapiere, wenn e* k > e l, - ausschließlich für langfristige Wertpapiere, wenn e* k < e l - und er verhält sich indifferent, wenn e* k =e l. Wir unterstellen nun, dass alle Kapitalanleger gleiche Erwartungen bezüglich der zukünftigen kurzfristigen Zinssätze haben. Gleichgewicht kann nur bestehen, wenn e* k =e l. Dies impliziert: (1) (1+i l ) =(1+i 1 )(1+i* 2 ) (1+i* ). Für ein solches Gleichgewicht sorgt eine vollständige intertemporale Arbitrage zwischen kurz- und langfristigen Wertpapieren, da diese wegen sicherer Erwartungen bzw. Risikoneutralität perfekte Substitute darstellen. Steigt beispielsweise der gegenwärtige kurzfristige Zinssatz (i 1 ) gegenüber dem Ausgangsgleichgewicht, dann bieten Arbitrageure langfristige Wertpapiere an und fragen gleichzeitig kurzfristige Wertpapiere nach. Das Überschussangebot bei den langfristigen Wertpapieren führt dort zu einer Kurssenkung bzw. einem Zinsanstieg, während sich bei den kurzfristigen Wertpapieren infolge einer Überschussnachfrage ein Kursanstieg bzw. eine Zinssenkung einstellt. Dieser Prozess setzt sich solange fort, bis die Bedingung (l) wieder erfüllt wird. Für den langfristigen Zinssatz ergibt sich gemäß (1): (2) i l i1 i 2 i = (1 + )(1 + * )(1 + * ) 1. Gleichungen (1) und (2) können vereinfacht werden. Wird in Gleichung (1) auf beiden Seiten der Logarithmus gebildet, so folgt: * * ln ( 1+ il ) = ln ( 1 i1)( 1 i2 )( 1 i ) Unter Verwendung der Formeln, ln xy = ln x+ ln y n ln x = nln x, folgt hieraus: * * ( i ) i i i ln 1+ = ln(1 + ) + ln(1 + ) + ln(1 + ). l [ ] 1 2 und Es gilt näherungsweise für Werte x nahe Null ln(1 + x) = x. Wird dies berücksichtigt, so folgt: i + i + i il = i + i + i i = * * * * l Der langfristige Zinssatz entspricht somit dem einfachen Mittelwert der kurzfristigen Zinssätze für Einjahresanlagen. Aus Gleichung (2) oder dieser vereinfachten Form erkennt man, - dass i l =i 1, wenn gegenüber dem laufenden Jahr keine Änderung des kurzfristigen Zinssatzes erwartet wird (d.h. i 1 =i* 2 =i* ), - dass i l >i 1, wenn ein Anstieg des kurzfristigen Zinssatzes erwartet wird (wie z. B, bei i 1 <i* 2 =i* ), und - dass i l <i 1, wenn eine Senkung des kurzfristigen Zinssatzes erwartet wird (wie z. B. bei i 1 >i* 2 =i* ).

5 Die Erwartungstheorie liefert keine Begründung für die in der Realität überwiegend anzutreffende normale Zinsstruktur (i l >i 1 ). Bei unveränderten Zinserwartungen folgt aus Gleichung (1) bzw. (2) für eine Änderung des gegenwärtigen kurzfristigen Zinssatzes - dass sich der langfristige Zinssatz (i l ) (entsprechend Punkt 4) gleichgerichtet verändert - dass die Änderung des langfristigen Zinssatzes (entsprechend Punkt 5) dabei geringer als die Änderung des kurzfristigen Zinssatzes ausfällt. Die erste Aussage impliziert die geldpolitisch relevante Folgerung, dass die Zentralbank den langfristigen Zinssatz beeinflussen kann, indem sie den kurzfristigen Zinssatz verändert, z. B. durch An- bzw. Verkäufe kurzfristiger Wertpapiere. Implizite Terminzinssätze Es muss zwischen (Kassa-)Zinssätzen und Terminzinssätzen unterschieden werden. (Kassa-)Zinssätze sind Zinssätze, die im gegenwärtigen Zeitpunkt t für Anlagen (z. B. in Wertpapieren) vereinbart werden. Ihre Laufzeit endet zum Zeitpunkt T (T > t). Sie entsprechen den bisher verwendeten Zinssätzen. Terminzinssätze sind Zinssätze, die im Zeitpunkt t für Anlagen (z.b. in Wertpapieren) vereinbart werden, deren Laufzeit in einem späteren Zeitpunkt beginnt und in einem noch späteren Zeitpunkt endet. Sie geben also die Verzinsung von Anlagen an, deren Laufzeit in eine zukünftige Periode n fällt. Handelt es sich dabei um einjährige Wertpapieranlagen (was unterstellt wird), dann gibt der Terminzinssatz i n die Verzinsung einer einjährigen Wertpapieranlage an, deren Laufzeit in das Jahr n fällt. Unter den Annahmen der Erwartungstheorie, d. h. bei sicheren und identischen Erwartungen, wird der Terminzinssatz i n im Gleichgewicht durch den für das n-te Jahr erwarteten kurzfristigen (Kassa-)Zinssatz i* n bestimmt, d.h. () i n =i* n. Ist nämlich i n >i* n, dann lohnt sich eine Geldanlage per Termin, weil man erwartet, den Gegenwert im n-ten Jahr zu einem (Kassa-)Zinssatz finanzieren zu können, der niedriger ist als der Zinssatz aus dem Terminkontrakt. Ist i n < i* n, dann lohnt sich eine Geldaufnahme per Termin, weil man erwartet, den Gegenwert im n-ten Jahr zu einem (Kassa-)Zinssatz anlegen zu können, der höher ist als der Zinssatz aus dem Terminkontrakt. Terminzinssätze stehen teilweise nur begrenzt zur Verfügung, insbesondere für weiter in der Zukunft liegende Einjahresanlagen. Man kann sich bei empirischen Analysen damit behelfen, sog. implizite Terminzinssätze aus (Kassa-)Zinssätzen für benachbarte Laufzeiten (n und n-1) herzuleiten. Zur Illustration der Herleitung soll ein (einjähriger) Terminzinssatz für das dritte Jahr betrachtet werden. Gleichung (1) lautet unter der Annahme, dass erwartete Zinssätze durch Terminzinssätze ersetzt werden: (4) (1+i l() ) =(1+i 1 ) (1+i 2 ) (1+i ). Wird analog hierzu die Bestimmungsgleichung für den langfristigen Zinssatz einer Zweijahresanlage aufgestellt, so folgt: (5) (1+i l(2) ) 2 =(1+i 1 ) (1+i 2 ).

6 Division ergibt: (6) (1 + i ) l() 2 il (2) (1 + ) = (1 + i ) Wie Gleichung (6) zeigt, ergibt sich aus den langfristigen (Kassa-)Zinssätzen für Drei- und Zweijahresanlagen der implizite Terminzinssatz für Einjahresanlagen, deren Laufzeit ins dritte Jahr fällt. Werden implizite Terminzinssätze von Einjahresanlagen analog zu Gleichung (6) für verschiedene Jahre berechnet und nach den Jahren 1,2,..., n geordnet, dann erhält man eine Terminzinsstrukturkurve. Die Terminzinsstrukturkurve gibt Aufschluss über den Zeitpfad der erwarteten Zinssätze von zukünftigen Einjahresanlagen und ermöglicht so auch eine genauere zeitliche Lokalisierung von Zinsänderungserwartungen. Zinsstruktur- und Terminzinsstrukturkurve (Ende Jan. 1994) Gleichung (6) kann erneut in vereinfachter Form ausgedrückt werden. Durch Bildung des Logarithmus und Umformung folgt: ln 1+ i = ln 1+ i + 2ln 1 + i. ( l() ) ( ) ( l(2) ) Wird erneut die Näherungsformel ln(1 + x) = x Anwendung gebracht, so folgt: i 2 i = i. l() l(2) - Bei i l() =i l(2), d.h. bei horizontaler Zinsstrukturkurve, folgt i =i l(), d. h. der (einjährige) Terminzinssatz für das dritte Jahr und der langfristige Zinssatz für Dreijahresanlagen sind gleich. - Bei i l() >i l(2), d.h. bei normaler Zinsstrukturkurve, folgt i >i l(). - Bei i l() <i l(2), d.h. bei inverser Zinsstrukturkurve, folgt i <i l(). Dies stimmt mit dem Schaubild überein. zur Der Erwartungstheorie und der auf ihr basierenden Berechnung von impliziten Terminzinssätzen liegen eine Reihe restriktiver Voraussetzungen zugrunde. - Die Annahme risikoneutralen Verhaltens. - Die Vorstellung identischer Zinserwartungen. - Es fehlt eine Theorie, in welcher Weise Erwartungen über die zukünftigen Zinssätze gebildet werden. Trotz dieser Schwächen liefert die Erwartungstheorie aber Beiträge zur Erklärung der Realität. Tendenziell werden auch bei Risikoaversion und nicht von Kapitalanleger zu Kapitalanleger identischen Erwartungen bei einer Änderung des kurzfristigen Zinssatzes auf Grund von Arbitragevorgängen die den Punkten 4) und 5) entsprechenden Änderungen des langfristigen Zinssatzes einstellen.

7 Das Zinsniveau kann einen Einfluss auf die Zinserwartungen haben. Wird eine normale Bandbreite der Zinsschwankungen angenommen, dann werden bei einem sehr niedrigen Zinsniveau eher Zinssteigerungen und bei einem sehr hohen Zinsniveau eher Zinssenkungen erwartet. Deshalb ist damit zu rechnen, dass bei sehr niedrigen Zinssätzen die längerfristigen Zinssätze auf Grund von Zinserhöhungserwartungen über den kurzfristigen Zinssatz steigen und bei sehr hohem Zinsniveau auf Grund von Zinssenkungserwartungen unter den kurzfristigen Zinssatz fallen. Vor diesem Hintergrund erscheint Punkt plausibel, wonach eine inverse Zinsstruktur bei relativ hohem Zinsniveau eher anzutreffen ist.