Endliche Körper. Von Christiane Telöken und Stefanie Meyer im WS 03/04 Ausgewählte Titel der Kryptologie

Transkript

1 Endliche Köpe Von Chistiane Telöken und Stefanie Meye im WS 03/04 Ausgewählte Titel de Kyptologie

2 Gliedeung. Einleitung. Kyptologie im Altetum. Definitionen de Kyptologie.3 Kyptologie heute. Endliche Köpe. Zwei wichtige Mathematike. Definitionen.3 Bildung endliche Köpe

3 .4 Beispiele endliche Köpe 3. Invetieen 3. Betachtung n pim 3. Betachtung n pim 3.3 Zusammenhang zwischen Restklasseningen und Pimzahlen 4. Konstuktion von Restklasseningen fü beliebige Ringe R 4. Ideal 4. Beispiele fü Ideale

4 5. Polynome 5. Köpe übe Polynome 5. Beispiel 6. Euklidische Algoithmus 6. Allgemeines 6. Zusammenhang des ggt (a, b) und a, b 6.3 De Euklidische Algoithmus 6.4 De Euklidische Algoithmus an einem konketen Beispiel 6.5 Bestimmung des Invesen duch den Euklidischen Algoithmus

5 7. Bezug zu Kyptologie 7. NTRU (Numbe Theoy Reseach Unit) als Beispiel 7. Waum funktioniet das Vefahen NTRU? 8. Fazit

6 . Einleitung. Kyptologie im Altetum - Die Skytala wude zum Veschlüsseln vewendet.

7 . Definition de Kyptologie kypto ich veheimliche logie Wissenschaft Kyptologie ist die Wissenschaft zu Geheimhaltung von Nachichten und de damit vebundenen algoithmischen Methoden zu Infomationssicheung. Kyptologie kann in -Kyptogaphie - Kyptoanalyse - Steganogaphie unteteilt weden.

8 .3 Kyptologie heute Kyptologie ist wichtig......im Alltag...in de Wissenschaft...in de Witschaft...

9 . Endliche Köpe. Zwei wichtige Mathematike Évaiste Galois (8-83) Niels Henik Abel (80-89)

10 . Definitionen Es sei eine Menge M mit eine Veknüpfung. Assoziativgesetz Halbguppe

11 . Definitionen Es sei eine Menge M mit eine Veknüpfung. Assoziativgesetz neutales Element Monoid

12 . Definitionen Es sei eine Menge M mit eine Veknüpfung. Assoziativgesetz neutales Element inveses Element Guppen

13 . Definitionen Es sei eine Menge M mit eine Veknüpfung. Es sei eine Menge M mit zwei Veknüpfungen und *. Assoziativgesetz neutales Element inveses Element (R,) ist eine abelsche Guppe (R,*) ist eine Halbguppe Distibutivgesetz Guppen Ring

14 . Definitionen Es sei eine Menge M mit eine Veknüpfung. Es sei eine Menge M mit zwei Veknüpfungen und *. Assoziativgesetz neutales Element inveses Element (R,) ist eine abelsche Guppe (R\{0},*) ist eine abelsche Guppe Distibutivgesetz Guppen Köpe

15 .3 Bildung endliche Köpe Auf de Basis von Restklasseningen Definition von Restklasseningen: Die Restklassen modulo m bilden bezüglich de Restklassenaddition und Restklassenmultiplikation einen Ring mit Einselement, den Restklassening modulo m. Ist p eine Pimzahl, dann ist de Restklassening modulo p ein Köpe. Beispiel: Addition : [ ] [ ] [ ] [ ] Z 4 { 0,,, 3 } [ a ] [ b] [ a b] [ a ] [ b] [ a b] M ultiplikation : * *

16 .4 Beispiele: Endliche Köpe Restklassening: Z / Z n Beispiel: Das Neutale *e []*[] Beispiel: p Z / Z \{0} {,,3,4,5,6} 7 Das Invese [] []' [] []' [4] [3]' [5] : (R,,*), (Q,,*) sind unendliche Köpe '* : ( Z,,*) fü Pimzahl p ist ein endliche Köpe [] [4]' [] [5]' [3] [6]' [6]

17 3. Invetieen 3. Betachtung n pim Annahme: In Z n ist jedes Element ( [0]) invetieba. Was bedeutet das fü n?

18 Ist n m*m' mit m, m' Z Da [n] [0], folgt [m m ] [m] [m ] [0] Daaus folgt unmittelba, dass [m] kein inveses Element besitzen kann, denn: [m]*[m ]*[m'] [m ]*[0] inv inv [m'] [0] n muss Pimzahl sein.

19 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] * :., 0 *,* :., 0 0, 0, Def Def s s s s s < > p muss Teile von sein ( ) s * p Beweis: Sei 0 p-. Da endlich ist, muss gelten: Z 3. Sei nun n pim

20 p ist Pimzahl p ode p s wenn p ein p, da Widespuch vo abe p liegt wenn Damit p s [ s ] [ 0 ] [ ] s [ ] [ ] [ ] s * [ ] s Das invese Element zu [] ist somit [ ] s

21 3.3 Zusammenhang zwischen Restklasseningen und Pimzahlen Damit haben wi folgenden Satz bewiesen: Im Restklassening Z ist genau dann jedes Element [0] invetieba, wenn n eine Pimzahl ist. n Altenativ: Im Restklassening ist ( Z \ [0], *) eine Guppe, wenn n eine Pimzahl ist. n

22 Wiedeholung: Ein kommutative Ring R(M,, *) mit Einselement (bzgl.*) heisst ein Köpe, wenn (M/{0}, *) eine Guppe ist ( jedes Element 0 besitzt ein inveses Element bzgl.:*)

23 4. Konstuktion von Restklasseningen fü beliebige Ringe R

24 4. Definition: Ideal Eine Teilmenge S eines Ringes heisst Ideal, wenn:. S mit und * selbst ein Ring (S ist Unteing von R) ist. Das Podukt (von links und von echts) jedes Elements von S mit jedem Element von R wiede ein Element von S ist.

25 4. Beispiele fü Ideale: Die Menge de natülichen Zahlen ist ein Ideal in de Menge de ganzen Zahlen. Denn: S n Z {n Z} S ist ein Ideal in Z

26 Ein weitees Beispiel fü ein Ideal Quotientening: R/S fü ein Ideal S in R R/S besteht aus Klassen: [] S {s s Element S} Addition: [] [y] [ y] Multiplikation: [] * [y] [ * y]

27 5 Polynome 5. Köpe übe Polynome ist ieduzibel, d.h. Es gibt keine Dastellung de Fom g * h, mit g, h R[] R[] : {Polynome übe R} R [ ] /( ) : Quotientenköpe

28 Beispiel: mod mod mod mod ( ) ( ( ) 0 ( ) 4 4, 4, 0 und 4 ) 4 4 ( ) sind Restklassen bzgl. R[ ] / Allgemein gilt fü Polynome f(): f n n ( ) mod( ) a b

29 Definition: K[] ist de Ring alle Polynome übe K Ein Polynom in K[] heisst nomiet, wenn de Koeffizient de höchsten Potenz gleich dem Einselement in K ist. Ein Polynom heisst ieduzibel, wenn es nicht als Podukt von zwei nichtskalaen Polynomen in K[] dastellba ist.

30 5. Beispiel: In Z [ ] gilt: ( 6 4 ) ( 7 * ) ( ) und ( ) mod ( ) ( 7 6 )

31 6 Euklidische Algoithmus 6. Allgemeines Wie bei ganzen Zahlen ist auch bei Polynomen de ggt definiet. Zu Bestimmung des ggt kann de Euklidische Algoithmus vewendet weden. Mit dem eweiteten Euklidischen Algoithmus lassen sich auch die Koeffizienten de Vielfachsummendastellung des gössten gemeinsamen Teiles (Lemma von Bézout) beechnen.

32 6. Zusammenhang des ggt (a, b) und a, b Satz: Wenn d de gösste gemeinsame Teile von a und b ist, dann gibt es ganze Zahlen und y mit de Eigenschaft: d *a y*b

33 6.3 De Euklidische Algoithmus Bestimmung des ggt von b a 0,..., n n n n i i i i i i i i i i q q q b a n De gesuchte ggt ist:

34 6.4 De Euklidische Algoithmus an einem konketen Beispiel: ggt (547, * 47 3 *33 4 * 8 * * ) 7 Da 7, ist de ggt (547, 560)

35 6.5 Bestimmung des Invesen duch den Euklidischen Algoithmus ggt (0, 37) 7 37, 0 0 q b a 0 3 q q q 6 5 q Man setze: und benutze nun iteativ folgende Fomel: t 0, t 0 i i i i t * t q t 0 * * * * * * 0

36 Duch Einsetzen ehält man nun: t t t t t q q q q q * t * t * t * t * t t 0 t t t t 3 4 * *( ) 3 *3 ( ) 8 *( 8) 3 * 0 ( 8) , > 37 ist inves zu 0 Nachechnen: 7*37 mod 0

37 7. Bezug zu Kyptologie 7. NTRU (Numbe Theoy Reseach Unit) als Beispiel Lena Bob

38 Bob ezeugt einen öffentlichen Schlüssel Bob wählt ein f ) R : f ( ) Dazu die Invesen: ( p f ' p ( ) ' ( ) f q E wählt zufällig das Polynom: g ( ) Bob sendet: N 3 p 3 q 7 R p ( Z / Z3)[ ]/( R q ( Z / Z )[ ]/( h( ) f ' q ( ) g( ) mod(q) h( ) ) )

39 Nachicht von Lena: binä:, entspicht: m ( ) Sie wählt zufällig das Polynom: ( ) e() und beechnet den Cyphetet: e ( ) p( ) h( ) m( ) mod(q) 4

40 Bob entschlüsselt mit folgenden Gleichungen. a( ) f ( ) e( ) (mod q) 5 5 Aha!!. m( ) f ' p ( ) a( ) (mod p)

41 7. Waum funktioniet das Vefahen NTRU? Veschlüsselung und Schlüsselezeugung m h p e g f h p ' (mod q) (mod q) este Entschlüsselungsgleichung m f g p m f g p m f g p m f g p f f m f g f p f q q ) ( ) ( ' ) ' ( e f a (mod q) zweite Entschlüsselungsgleichung p f a m ' m m m f f m f f g f p f m f g p p p p p ) ' ( ' ' ' ) ( (mod p) (mod q) (mod q) (mod q) (mod q) (mod p) (mod p) (mod p) (mod p) p und q sind Pimzahlen. Wenn p göße m

42 Anmekungen: a( ) p g f m (mod q) De Gad( p g) und de Gad( f m) müssen < Gad(q) sein. Wählt man die Köpe imme efüllt. Gad( q( )) > 3Gad( p( )) ist die Gleichung

43 4. Fazit Endliche Köpe bilden eine mathematische Gundlage fü die modene Veschlüsselung, da zu jedem Element genau ein Inveses eistiet.