y x x y ( 2x 3y + z x + z

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1 Matrizen Aufgabe Sei f R R 3 definiert durch ( ) x 3y x f = x + y y x Berechnen Sie die Matrix Darstellung von f Aufgabe Eine lineare Funktion f hat die Matrix Darstellung A = Berechnen Sie einen Funktionsterm für f Aufgabe 3 Sei A R m n und f( x) = A x Beweisen Sie ausführlich, dass f genau dann injektiv ist, wenn die Spalten von A linear unabhängig sind Aufgabe 4 Sei A R m n und f R n R m definiert durch f( x) = A x Welche Eigenschaft muss A haben, damit f surjektiv ist? Geben Sie eine kurze Begründung Aufgabe 5 Beweisen Sie ausführlich, dass die Matrix Addition kommutativ und assoziativ ist Aufgabe 6 Sei f R 3 R definiert durch f x y z = ( x 3y + z x + z Berechnen Sie die Matrix Darstellung von f Aufgabe 7 Beweisen Sie ausführlich, dass die Matrix Multiplikation assoziativ ist Aufgabe 8 Berechnen Sie eine Matrix für die lineare Funktion f R R, die jeden Punkt x R zunächst um Winkel α um den Koordinatenursprung gegen den Uhrzeigersinn dreht und dann orthogonal auf die x- Achse projiziert Berechnen Sie dann eine Matrix für die Funktion, die zuerst die Projektion ausführt und dann dreht )

2 Aufgabe 9 Berechnen Sie ( 3 0 ) Aufgabe 0 In einer Computer Grafik Anwendung müssen die Eckpunkte x R 3 eines Objekts hintereinander durch vier lineare Funktionen f R 3 R 3 abgebildet werden und zum Schluss durch eine lineare Funktion g R 3 R auf ein zweidimensionales Bild projiziert werden Ab wievielen Punkten lohnt sich s zuerst eine Matrix zu berechnen und alle Punkte durch diese Matrix abzubilden anstatt die Punkte durch alle fünf Matrizen einzeln zu schicken? Betrachten Sie nur die Anzahl der Multiplikationen Aufgabe Sei f R R definiert durch ( ) ( ) x x + x f = x x Da f bijektiv ist, besitzt f eine Umkehrfunktion f Berechnen Sie die Matrix für f und für f Aufgabe Der Kern einer Matrix A R m n ist definiert durch kern(a) = { x R n A x = 0} Beweisen Sie ausführlich, dass für alle x, y kern(a) und für alle u R gilt x + y kern(a) und u x kern(a) Der Kern einer Matrix ist somit ein Spannraum Berechnen Sie eine Basis für ( ) 3 kern 4 6 Aufgabe 3 Das Bild einer Matrix A R m n ist definiert durch bild(a) = {A x x R n } Beweisen Sie ausführlich, dass für alle x, y bild(a) und für alle u R gilt x + y bild(a) und u x bild(a) Das Bild einer Matrix ist somit ein Spannraum Berechnen Sie eine Basis für ( ) 3 bild 4 6

3 Aufgabe 4 Schreiben Sie eine Prozedur in Pseudocode um das Matrix Produkt C = AB zweier Matrizen A R m k und B R k n zu berechnen Ergänzen Sie hierzu folgende Vorlage: for i = for j = c[i][j] = Hinweis: Es müssen mehrere Zeilen eingefügt werden Aufgabe 5 Aufgabe 6 Berechnen Sie die inverse Matrix von ( ) A = 0 Gegeben ist die Ursprungsgerade G R durch { ( ) } G = c c R Die lineare Funktion f R R ist dadurch definiert, dass sie jeden Vektor x R senkrecht auf G projiziert, siehe Bild Berechnen Sie eine Matrix A so dass f( x) = A x für alle x R Abbildung : f( x) ist die Orthogonalprojektion von x auf die Gerade G Aufgabe 7 Gegeben ist die Ursprungsgerade G R durch { ( ) } G = c c R Die lineare Funktion f R R ist dadurch definiert, dass sie jeden Vektor x R an der Geraden G spiegelt, siehe Bild Berechnen Sie eine Matrix A so dass f( x) = A x für alle x R 3

4 Abbildung : f( x) ist die Spiegelung von x an der Geraden G Aufgabe 8 Die lineare Funktion f R R ist dadurch definiert, dass sie jeden Vektor x R am Koordinatenursprung spiegelt, siehe Bild 3 Bestimmen Sie die Matrix A so dass f( x) = A x für alle x R und berechnen Sie ( ) 3 f durch Matrix Vektor Multiplikation Abbildung 3: f( x) ist die Spiegelung von x am Koordinatenursprung Aufgabe 9 Sei f R R eine lineare Funktion, die jeden Punkt auf der Geraden G um Faktor und jeden Punkt auf der Geraden G um Faktor 3 streckt mit { ( ) } G = a a R 3 { ( ) } G = a a R 4 Finden Sie eine Matrix A so dass f( x) = A x für alle x R Sei K = { x x = } 4

5 der Einheitskreis und f(k) = {f( x) x = } das Bild des Einheitskreises von f Zeichnen Sie G, G, K und f(k) in ein Koordinatensystem ein Aufgabe 0 Berechnen Sie die inverse Matrix von 3 A = 0 0 Aufgabe Entscheiden Sie ob folgende Matrix singulär oder regulär ist Begründen Sie Ihre Antwort 0 A = Aufgabe Sei A R n n eine orthogonale Matrix und x, y R n \ { 0} Beweisen Sie ausführlich, dass der Winkel zwischen A x und A y gleich dem Winkel zwischen x und y ist Sie dürfen alle Theoreme benutzen, die in der Vorlesung bewiesen wurden Aufgabe 3 Beweisen Sie ausführlich, dass für jede orthogonale Matrix A R n n und für alle Vektoren x, y R n gilt (A x) (A y) = x y Machen Sie deutlich, an welchen Stellen Sie die Assoziativität der Matrix Multiplikation verwenden Beweisen Sie dann, dass bei der Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix sowohl die Länge eines Vektors als auch der Winkel zwischen Vektoren gleich bleibt Aufgabe 4 Schreiben Sie eine C++ Funktion void inverse(double ** A, double ** B, int n) zur Berechnung der Inversen einer Matrix A R n n Das Ergebnis soll in B gespeichert werden Der Speicherplatz für B sei bereits reserviert Die Matrix A darf überschrieben werden Die Funktion muss nicht besonders effizient aber korrekt sein Insbesondere sollte eine Fehlermeldung ausgegeben werden, wenn die Matrix nicht invertierbar ist 5

6 Aufgabe 5 Beweisen Sie ausführlich, dass es zu jeder Funktion f R n R m höchstens eine Matrix A R m n gibt so dass für alle x R n f( x) = A x Aufgabe 6 Finden Sie eine Matrix A R 3, deren zugehörige lineare Funktion f nicht surjektiv ist Geben Sie an, was das Bild von f in Ihrem Beispiel ist Aufgabe 7 Seien f, g R R zwei lineare Funktionen wobei f die Spiegelung an der x-achse und g die Spiegelung an der y-achse ist Finden Sie je eine Matrix zu f und zu g und beweisen Sie, dass f g = g f Aufgabe 8 Sei G R die Ursprungsgerade mit Steigungswinkel α Die lineare Funktion f R R ist dadurch definiert, dass sie jeden Vektor x R senkrecht auf G projiziert, siehe Bild 4 Berechnen Sie eine Matrix für f Hinweis: Berechnen Sie anhand einer Skizze die Bilder der Basisvektoren Wenn man die Funktion f zweimal hintereinander auf einen Punkt x anwendet, erhält man das selbe Ergebnis wie wenn man f nur einmal anwendet Es gilt also f(f( x)) = f( x) ܾ Ü Ü ½ für alle x R Nutzen Sie diese Beobachtung um zu verifizieren ob die von Ihnen berechnete Matrix korrekt ist Wenn die entstehenden Terme zu kompliziert werden, versuchen Sie s mit sin α + cos ܵ α = α Abbildung 4: f( x) ist die Orthogonalprojektion von x auf die Gerade G 6

7 Aufgabe 9 Sei f R n R n eine lineare Funktion und M = { x f( x) = x} die Menge aller Fixpunkte von f Beweisen Sie dass M abgeschlossen ist unter Addition und skalarer Multiplikation Sie dürfen alle in der Vorlesung bewiesenen Theoreme verwenden Aufgabe 30 Erklären Sie in einem Satz, wie man zu einer gegebenen linearen Funktion ihre Matrix berechnet Beweisen Sie dann ausführlich: f R n R m A R m n ( x R n f( x) = A x ) A = ( f( e ) f( e ) f( e n ) ) Aufgabe 3 Für die Inverse von regulären Matrizen gibt es eine einfache Formel: ( ) ( ) a b d b = c d ad bc c a Zeigen Sie dass diese Formel korrekt ist Aufgabe 3 Berechnen Sie die Inverse Matrix von 0 A = 0 Achten Sie darauf, dass Sie keinen Rechenfehler machen Das korrekte Ergebnis gibt volle Punktzahl, ein falsches Ergebnis gibt keine Punkte Aufgabe 33 Eine Matrix A R n n heißt orthogonal genau dann wenn A T A = E wobei E die n n Einheitsmatrix ist Beweisen Sie unter Verwendung dieses Theorems ausführlich dass das Produkt zweier orthogonaler n n Matrizen wieder eine orthogonale n n Matrix ist Aufgabe 34 Berechen Sie das Matrix Produkt ( ) ( ) Aufgabe 35 Angenommen Sie verfügen über schnelle Hardware um Skalarprodukte zu berechnen und haben daher die Multiplikation von Matrizen durch die Berechnung von Skalarprodukten implementiert 7

8 Wieviele Skalarprodukte müssen bei der Multiplikation einer 3 mit einer 3 4 Matrix berechnet werden? Wieviele Multiplikationen von reellen Zahlen werden hierbei insgesamt ausgeführt? Aufgabe 36 Sei A R m n und f( x) = A x Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Begründung ist nicht erforderlich, eine falsche Antwort gibt aber Punktabzug Wenn m > n dann ist f nicht surjektiv Wenn m > n dann ist f nicht injektiv Aufgabe 37 Seien A, B R n n Welche Zeilen bzw Spalten von A bzw B sind erforderlich um die i-te Zeile des Matrix Produkts AB zu berechnen? Aufgabe 38 Sei f R R 3 und g R 3 R definiert durch ( ) x x f = x x + x x x g x x x 3 = ( ) x + x 3 x Berechnen Sie die Matrix für g f und für f g Aufgabe 39 Eine Matrix A heißt symmetrisch wenn A T = A Offensichtlich können nur quadratische Matrizen symmetrisch sein Nennen Sie ein Beispiel für eine symmetrische Matrix Begründen Sie, dass für alle Matrizen A R m n sowohl das Produkt A T A als auch A A T definiert ist Zeigen Sie, dass A T A eine symmetrische Matrix ist für jede Matrix A R m n Aufgabe 40 Sei f R R definiert durch ( ) ( ) x x x f = x x x Berechnen Sie eine Matrix A so dass f( x) = A x Berechnen Sie die inverse Matrix A Berechnen Sie den Funktionsterm für die Umkehrfunktion f 8

9 Aufgabe 4 Eine Matrix A heißt symmetrisch, wenn A T = A Stimmt es, dass das Produkt zweier beliebiger symmetrischer Matrizen wieder symmetrisch ist? Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel Aufgabe 4 Gibt es eine lineare Funktion f R R mit ( ) 3 f() =? 5 Falls ja, berechnen Sie die Matrix zu dieser Funktion, falls nein geben Sie eine kurze Begründung Aufgabe 43 Das Bild einer Matrix A R m n ist definiert durch bild(a) = {A x x R n } Sei A R m n, b R m und x R n so dass A T A x = A T b Beweisen Sie ausführlich, dass dann y (A x b) = 0 für jeden Vektor y bild(a) 9

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