Übungsblatt 1 A = was bis auf Maschinengenauigkeit 0 sein sollte. Wie lautet dann das Minimalpolynom von A?

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1 Übungsblatt 1 1. Diagonalisieren Sie die Matrix und bestimmen Sie eine Basis aus Eigenvektoren. Nachdem Sie die Aufgabe mit Papier und Bleistift gelöst haben, vergleichen sie mit dem Matlab-Befehl [v,d]=eig(a); Berechnen Sie auch mit c=poly(a) die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms und mit lam=roots(c) dessen Wurzeln. Durch null(a-lam(k)*eye(3)) k = 1, 2, 3 sollten Basen der Eigenräume zu den Eigenwerten bestimmt werden können. Berichten Sie über ev. auftretende Probleme bei der praktischen Durchführung. Wie können diese hier (ad hoc) vermieden werden? Was läßt dies für den allgemeinen Fall erwarten? Haben Sie Ideen, wie ein approximativer Kern einer Matrix bestimmt werden könnte (ev. mit der Singuläwertzerlegung der Matrix)? 2. Ein Experiment zum Minimalpolynom: Würfeln Sie sich eine quadratische Matrix A, mit Matlab etwa durch A=randn(5). Da die Potenzen A n,, n = 0, 1,... alle im C 25 liegen, ist die Menge { A k, 0 k < 25 } sicher linear abhängig. Bilden sie in Matlab die Matrix V v =zeros(25,26); for k=1:25; z=a^(k-1); v(:,k)=z(:);end deren Spalten die Matrixpotenzen A k, aufgefasst als Elemente des C 25 enthalten. Eine Abfrage der Form rank(v) sollte ans=5 liefern, in Übereinstimmung mit dem Satz von Calyey- Hamilton (worum geht es darin?). - Dass tatsächlich die ersten 5 Spalten von V linear unabhängig sind, überprüfen Sie am besten durch rank(v(:,1:5))! Es ist also die 6. Spalte (also A 6 ) von den ersten 5 Spalten linear abhängig. Um die Koeffizienten zu finden, berechnen Sie c=v(:,6). /v(:,1:5). norm(v(:,1:5)*c. -v(:,6)) was bis auf Maschinengenauigkeit 0 sein sollte. Wie lautet dann das Minimalpolynom von A? 3. Spektralverschiebung: Zeigen Sie: hat A die Eigenwerte λ 1,..., λ n, so hat A ci die Eigenwerte λ 1 c,..., λ n c. 4. Vektor-Iteration: Bestimmen Sie mittels Vektor-Iteration (und Matlab) den betragsgrößten Eigenwert und den zugehörigen Eigenvektor der Matrix Versuchen Sie, mittels Spektralshift einen weiteren Eigenwert zu gewinnen! Gelingt es, den zweitgrößten Eigenwert auf diese Weise zu bestimmen? 1

2 Suchen sie mittels Vektor-Iteration nach dem betragsgrößten Eigenwert der Matrix 8 5i 3 2i Q = 5i i 0 2 Suchen sie mittels Spektralshift nach weiteren Eigenwerten und -vektoren! Die Matrix hat betragsgrößte Eigenwerte λ 1,2 = ±2. Wenden sie die einfache Vektoriteration x i+1 = Ax i an; betrachten Sie die Folge z i = x i / x i 2 ; scheint diese zu konvergieren? Betrachten Sie analog die Teilfolgen z 2k, z 2k+1. Können Sie eine Erklärung für dieses Verhalten finden (betrachten Sie etwa die Matrix A 2 )? 5. Zeigen Sie: Das charakteristische Polynom einer hermiteschen Matrix hat reelle Koeffizienten. 6. Eigenwerte und -vektoren zyklischer Differenzenoperatoren: Sei x := (x 0,..., x n 1 ) (beachten Sie die Indizierung!) in C n ; der zyklische Differenzenoperator auf C n wird erklärt als x := (x 1 x 0, x 2 x 1,..., x n 1 x n 2, x 0 x n 1 ) Finden Sie die Abbildungsmatrix von bezüglich der Standardbasis. Bestimmen Sie (mit Hülfe von Matlab) für n = 5, 20, 100 Eigenwerte und Eigenvektoren von und stellen Sie sie geeignet dar. Betrachten Sie Real-und Imaginärteile der Eigenvektoren. Hegen Sie einen Verdacht bezüglich deren Gestalt! Der zyklische Translationsoperator ist auf C n folgendermaßen definiert: T 1 x := (x 1, x 2,..., x n 1, x 0 ), T k := T k 1 Es läßt sich leicht zeigen, dass Translationsoperator und Differenzenoperator miteinander vertauschen; aus den Vorlesungen LinALg 2 oder NumMod 1 ist Ihnen vielleicht noch in Erinnerung, dass mit allen Translationen vertauschbare Operatoren durch die diskrete Fourier-Transformation(DFT) diagonalisiert werden:d = F F mit einer Diagonalmatrix D (F die Matrix der (unitären) DFT). Überprüfen Sie diese Tatsache für kleine n mit Matlab. Wenn dies tatsächlich wahr wäre: was ließe sich dann über die Eigenvektoren von sagen? * Beweisen Sie, dass durch die DFT tatsächlich diagonalisiert wird! 7. Cholesky-Zerlegung: Bekanntlich ist eine (hermitesche) Matrix A M n (C) genau dann positiv definit, wenn sie in der Form Q Q geschrieben werden kann (Beweis?); numerisch interessant ist, dass Q als untere Dreiecksmatrix L mit positiven Diagonalelementen gewählt werden kann. Der Beweis kann induktiv nach der Dimension des Raums (= n) erfolgen. (Anleitung: Für n = 1 ist der Satz klar (?); n 1 n: An 1 b b a nn A n 1 ist dabei wieder pos. definit (da alle Hautpuntermatrizen einer pos. def. Matrix wieder diese Eigenschaft haben - Beweis??), also nach Ind.vor. A n 1 = L n 1 L n 1 mit pos. Diagonalelementen. Mit dem Ansatz Ln 1 0 L = c α 2

3 sollten Sie zum Ziel kommen; ein kleiner Stolperstein: Sie müssen nachweisen, dass α > 0. ) Die Matlab-Funktion chol berechnet die Cholesky-Zerlegung einer pos. definiten Matrix. Testen Sie das Programm für die positiv definite Matrix a=pascal(6)! Wenn A reell ist, so auch L. Im Zuge der Cholesky Zerlegung ist offensichtlich die Gleichung L n 1 c = b zu lösen; wie gechieht dies effizient? Versuchen Sie, Pseudo-Code für die Cholesky-Zerlegung aufzustellen. * Schreiben Sie ein Matlab-Programm zur Durchführung der Cholesky-Zerlegung. Sei A eine symmetrische, pos.def. Bandmatrix der Breite m. Zeigen Sie, dass in der Cholesky-Zerlegung LL die Matrix L ebenfalls Bandbreite m hat. Bei Problemen finden Sie Information etwa in [1]. 8. Spiegelungen, Householder-Transformationen, QR-Zerlegung: Eine Hyperebene im C n kann eindutig beschrieben werden als N h := {x C n, x, h = 0} für ein (ebenfalls eindeutig besimmtes) Element h C n, h 2 = 1. Die Abbildung P h x := x, h h ist die Orthogonalprojektion auf h. Trivialerweise ist id = P h + (id P h ). Eine Spiegelung an N h ist damit gegeben durch H h := I 2P h (a) Zeigen Sie, dass H h hermitesch und unitär ist, und schließen Sie, dass H h involutorisch ist, d.h. H 2 h = I. (b) Zeigen Sie, dass x, H h x R! (c) Weisen Sie nach, dass die Abbildungsmatrix von H h bezüglich der Standardbasis durch I hh gegeben ist. (d) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenräume der Spiegelung. Geometrische Interpretation? (e) Sei 0 x C n. Finden Sie einen Vektor h C n, sodass H h x = ke 1. (Anleitung: Da H h isometrisch, folgt k = x 2 ; aus (8b) ergibt sich, dass kx e 1 reell sein muss arg k = arg x 1. Man zeige, dass dann der gewünschte Vektor ist. 1 ) h := x ke 1 x ke 1 2 Die Matrix H h heißt Householder-Matrix. Spezielle Matrizen dieser Art lassen sich verwenden, um eine Zerlegung einer quadratischen Matrix A von der Form QR, Q unitär, R obere Dreiecksmatrix zu erreichen: Wenn (A 1,..., A n ), finde h 1, sd. H h1 A 1 = ke 1 wie in 8e. Da k H h1 0 A ( 1) finde ( eine Householder-Transformation ) H h2 auf C n 1 mit H h2 A (1) 1 = k 2 e 1 ; für H 2 := 1 0 ist dann H 0 H 2 H 1 A von der Form h2 k 1 0 k A (2) Iteration liefert Q R mit oberer Dreiecksmatrix R; da Q unitär, ist es auch die Inverse, womit die Zerlegbarkeit gezeigt ist. Näheres in [1, Bd1,pp ] 1 allgemeiner ist H h (x) = y möglich x 2 = y 2 y, x R, wie Nachrechnen zeigt. 3

4 9. Schursche Normalform: Das charakteristische Polynom einer Dreiecksmatrix kann leicht bestimmt werden; auch ist bekannt, dass Ähnlichkeitstransformationen das char. Polynom nicht verändern (Beweis?). Sind die Ähnlichkeitstransformationen sogar unitär, wird dabei die Konditionszahl der Matrix nicht verändert. Beweisen Sie das folgende Resultat von Schur: Theorem 1 Zu jeder n n Matrix A gibt es eine unitäre Matrix U, sodaß λ 1. U AU = λ λ n Die λ i sind die Eigenwerte von A. Anleitung: Der Beweis kann durch Induktion nach n erfolgen: Für n = 1 ist der Satz trivial. Sei der Satz für n 1-reihige Matrizen bewiesen und A M n (C). Sei λ 1 ein Eigenwert von A, v 1 ein zugehöriger Eigenvektor mit v 1 2 = 1. Ergänze v 1 zu einer ONB von C n ; V sei die unitäre Matrix mit Spalten v i. Zeigen Sie (a) Für e 1 = (1, 0,..., 0) ist V AV e 1 = λ 1 e 1, (b) V λ1 a AV = 0 A 1 Nach Voraussetzung ist A 1 in Schurform( schreibbar: ) U 1A 1 U 1 = L mit oberer Dreiecksmatrix 1 0 L. Die unitäre (warum?) Matrix U = V leistet dann das Gewünschte. 0 U 1 Die Matlab-Funktion schur liefert die Schursche Normalform einer Matrix; die Form [U,T] = schur(a) liefert auch eine untäre Matrix U, sodass UAU = T ; berechnen Sie mit Hilfe dieser Funktion die Schursche Normalform der Matrix aus Aufgabe 1. Versuchen Sie auch, dies von Hand zu tun!! Vervollständigen Sie die obige Beweisskizze! Ist die Schursche Normalform eindeutig? Zeigen Sie: Die Schursche Normalform einer hermiteschen Matrix ist eine Diagonalmatrix. Ist diese eindeutig bestimmt? (Bem.: Dies ist ein alternativer Beweis des Spektralsatzes..) * Zeigen Sie mit Hilfe der Schurschen Normalform: Eine Matrix B ist genau dann normal (d.h. B B = BB ), wenn sie eine ONB aus Eigenvektoren besitzt. (Ansatz: mit B ist auch R := U BU normal, betrachten Sie die Diagonalelemente von RR = R R...) 10. Loewdin-Orthonormalisierung: Das Problem, zu einer Basis {a k, 1 k n} im C n die nächstgelegene ONB zu finden (im Sinn von a k u k 2 2 min!, u j,u k = δ jk ) ist äquivalent zu U 0 := argmin U U(n) A U F A GL n (C), und A F die Frobenius-Norm: A F = n i,j=1 a ij 2 = tr(aa ), tra die Spur von A. (A, U sind spaltenweise aus den Vektoren a k, u k zusammengesetzt). Die Lösung folgt aus dem Satz über die Polarzerlegung: Theorem 2 A GL n (C) W A W := A(A A) 1/2 unitär, A := (A A) 1/2 positiv definit und hermitesch. 4

5 Für U 0 wie oben ist A U 0 F = W A U 0 F = A W U 0 F (Frobenius-Norm ist invariant gegen Multiplikation mit unitären Matrizen). Da A = V DV, V unitär, D := diag {λ 1,..., λ n } Diagonalmatrix mit positiven Einträgen, ist der letzte Ausdruck weiter gleich D V (W U 0 )V F =: D T F mit unitärer Matrix T. In Koordinaten geschrieben ist das Quadrat dieses Ausdrucks n λ i t ii 2 + n t ij 2 [ = λ 2 i 2 Re (t ii λ i ) ] n + t ij 2 i=1 i j i=1 i,j=1 } {{ } =n Das Minimum wird also für t ii = 1 angenommen, was T = id bedeutet; dies ist genau für U 0 = W möglich. Eindeutigkeit von U 0 folgt aus der Eindeutigkeit der Polarzerlegung. (a) Zeigen Sie: die Polarzerlegung ist eindeutig. (Was ist mit dieser Aussage gemeint?) (b) Füllen Sie die Lücken in obiger Herleitung, zeigen Sie insbesondere: die Frobenius-Norm ist invariant gegen Links- und Rechtsmultiplikation mit unitären Matrizen. (Sie werden benötigen, dass tr(ab) = tr(ba) für n n Matrizen; zeigen Sie auch dies!) (c) Was ändert sich an obiger Herleitung, wenn die Frobenius-Norm durch die 2-Norm ersetzt wird? Können Sie eine geometrische Interpretation für diesen Fall angeben? *4. Verallgemeinern Sie die Loewdin-Orthonormalisierung auf den Fall, dass nur eine linear unabhängige Teilmenge {a k, 1 k m}, m n des C n vorliegt. Ist die Konstruktion noch eindeutig? (d) Wie kann man die Polarzerlegung in Matlab durchführen? 11. Skalarprodukte: Auf C n sind mitunter andere Skalarprodukte als das Standard-Skalarprodukt x, y = n k=1 x kȳ k sinnvoll bzw. notwendig (Bpe. finden sich weiter unten). Begründen Sie (gleich etwas allgemeiner) Theorem 3 Jede Sesquilinearform [x, y] auf C n C n lässt sich in der Form [x, y] = Ax, y mit eindeutib bestimmtem A M n (C) schreiben; ist [, ] hermitesch oder pos. definit, so auch A. Bezeichne nun (für pos. definites, hermitesches A) x, y A := Ax, y das A-Skalarprodukt, B die Adjungierte von B bezüglich dieses Skalarprodukts und x A y bezeichne Orthogonalität bezüglich des A-Skalarprodukts. Literatur Drücken Sie die A-Adjungierte einer Matrix B durch die Standard-Adjungierte aus! Für [x, y] := M k x, k y, α k 0, α 1 > 0 k=0 α k ( der zyklische Differenzenoperator) ist nachzuweisen, dass es sich um ein Skalarprodukt handelt; bestimmen Sie A, sodaß [x, y] = Ax, y. Bestimmen Sie für den Spezialfall [x, y] := x, y + x, y Ausdrücke für die Adjungierte einer Matrix bez. dieses Skalarprodukts. Wie schaut der Orthogonalraum von e 1 bezüglich dieses Skalarprodukts aus? [1] J. Stoer and R. Bulirsch. Numerische Mathematik 2. Eine Einführung - unter Berücksichtigung von Vorlesungen von F. L. Bauer. (Numerical mathematics 2. An introduction - under consideration of lectures by F. L. Bauer). 4., neu bearb. u. erweit. Aufl. Berlin: Springer. x, 376 p.,