Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Vorlesung zur Didaktik der Analysis
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- Edwina Vogt
- vor 7 Jahren
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1 Stetigkeit ud Dierezierbarkeit Vorlesug zur Didaktik der Aalysis
2 Ihalt Nachtrag: Fuktioegrezwert Stetigkeit Aschauliche Bedeutug Mathematische Präzisierug Topologische Charakterisierug Gleichmäßige Stetigkeit Iteressate Beispiele Dierezierbarkeit Formale Deiitio Zusammehag zur Stetigkeit Iteressate Beispiele Zusammeassug Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit
3 Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 3 Nachtrag: Fuktioegrezwert : lim N N a a a a : lim L L S S Für Folge habe wir deiiert: Köte ür reelle Fuktioe diese Zeile Si mache? : lim L L N N p Was ist aber, we ma de Prozess p betrachtet? Etwa:???
4 Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 4 Fuktioegrezwert II L L p p lim : lim :lim Deshalb deiiert ma: : : lim L p L D p Bzw. Epsilo-Delta Deiitio: Ma ka zeige, dass beide Deiitioe äquivalet sid
5 Stetigkeit Ituitive Deiitio: stetig Der Graph der Fuktio ka ohe abzusetze gezeichet werde. globale Eigeschat ka hier stetig ergäzt werde Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 5
6 Stetigkeit mathematische Präzisierug stetig i D : stetig i :lim lim Wird ür alle Folge geordert!!! stetig i lim lokale Eigeschat: Stetigkeit i Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 6
7 Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 7 Beispiel ür de Nachweis der Stetigkeit: **... : * :, aber Betrachte die Fuktio a der Stelle Die Gleichuge * ud ** ergebe zusamme:! : wähle
8 Topologische Charakterisierug: : X Y stetig gdw. das Urbild jeder oee Mege BY -1 B ist eie oee Teilmege vo X U oe gdw. Für alle U gibt es eie Umgebug, die gaz i U ethalte ist Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 8
9 Ituitiver Zugag kleie Schwakug i etspricht ebealls ur kleier Schwakug i Stetigkeit als globale Eigeschat: : D R stetig, we ür alle aus D stetig ist. Die Stetigkeit ka uterschiedlich gut sei; i dem Sie, dass ei kleies gewählt werde muss Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 9
10 Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 1 Stetigkeit vs. gleichmäßige Stetigkeit : D stetig i :, D gleichmäßig stetig Die gewöhliche Stetigkeit wird im Uterschied zur gleichmäßige Stetigkeit auch puktörmig geat. Puktörmige Stetigkeit: Gleichmäßig Stetigkeit:,
11 Beispiel ür puktörmig stetige aber icht gleichmäßig stetige Fuktioe User Beispiel ür DR ist geau so ei Beispiel! Je weiter ma ach rechts geht, desto kleier muss delta gewählt werde: Schräkt ma die Fuktio jedoch au Ei kompaktes Itervall ei DI, so ist Sie gleichmäßig stetig! Merke: Ohe Agabe des Deiitiosbereichs Ist eie Fuktio icht eideutig bestimmt! Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 11
12 Beispiel ür ustetige Fuktioe Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 1
13 Moster Peter Gustav Lejeue-Dirichlet im Jahre 189 kostruiert: D ist i ihrem gaze Deiitiosbereich ustetig! Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 13
14 Wichtige Sätze über stetige Fuktioe Zwischewertsatz das Bild eies Itervalls eier stetige Fuktio ist ei Itervall Satz vom Maimum eie stetige Fuktio au eiem kompakte Itervall immt Miimum ud Maimum a : [a,b] R stetig au dem kompakte Itervall, da ist gleichmäßig stetig. Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 14
![kompakte Itervall immt Miimum ud Maimum a : [a,b] R stetig au dem kompakte](/docs-images/49/20645223/images/page_14.jpg "Itervall, da ist gleichmäßig stetig.")
15 Dierezierbarkeit Wir werde sehe: Dierezierbarkeit ist im Ker eie Aussage über die Eistez eies bestimmte Grezwertes Sie ist deshalb eg mit der Stetigkeit verküpt. die i der Schule praktisch keie Erwähug idet! Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 15
16 Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 16 Dierezierbarkeit h a h a h lim : D R, D oees Itervall, i a dierezierbar eistiert h a h a h m Klar: ür h icht deiiert!
17 Zusammehag: Dierezierbarkeit ud Stetigkeit m h a h h a Alterative Deiitio: i Pukt a dierezierbar, we die Sekatesteigugsuktio mh ür h stetig ergäzbar ist. Außerdem gilt: dibar stetig icht stetig icht dibar Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 17
18 Beispiel eier icht-dierezierbare Fuktio: z. Z.lim h etwa : h lim bzw 1 h eistiert h N bzw.lim N 1 1 icht 1 Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 18
19 Ituitive Vorstellug Dierezierbar bedeutet aschaulich glatt Aber: ür ür Q R Q Ohe Beweis: ist ür stetig ud dierezierbar. Es gibt also auch seltsame Fuktioe, die eie Ableitug besitze Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 19
20 Zum Abschluss I R di-bar impliziert Stetigkeit Eiige Fuktioe sid überall stetig aber a eiige Stelle icht dierezierbar Es gibt aber auch überall stetige Fuktioe, die irgeds dierezierbar sid! Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit
21 Takagi Fuktio 193 Iterpretiert ma die Ableitug als Mometageschwidigkeit, so bedeutet dies, dass die Bewegug au so eier icht-dierezierbare stetige Kurve keie eideutige Geschwidigkeit hat! Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 1
22 Zusammeassug Stetigkeit vo i bedeutet: Dierezierbarkeit bedeutet stetige Ergäzbarkeit der m-fuktio Bzw.: Eistez des Grezwertes vo mh lim Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit
23 Alle diese Begrie werde i der Schule icht erwäht, oder ur heuristisch erläutert. Wie ist verstehesorietierter Aalysis Uterricht da überhaupt möglich??? Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 3
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1.. aylor-reihe ud edliche aylorpolyome 1..1 aylor-reihe Wir köe eie Fuktio f() i eier Umgebug eies Puktes o gut durch ihre agete i o: t o () = f(o) + f (o) (-o) aäher: Wir sehe: Je weiter wir vo o weg
Perkolation (WS 2014) Übungsblatt 2
Istitut für Stochasti Prof. Dr. G. Last Dipl.-Math. S. Ziesche Perolatio WS 04 Übugsblatt Aufgabe Zeige Sie für T, dass θ 0 p ud χ 0 p stetig auf [0, ] sid, we ma als Wertebereich R + { } zulässt. Lösug:
Langrange-Multiplikators und Hinreichende Bedingungen
Albert Ludwigs Uiversität Freiburg Abteilug Empirische Forschug ud Ökoometrie Mathematik für Wirtschaftswisseschaftler Dr. Sevtap Kestel Witer 008 10. November 008 14.-4 Lagrage-Multiplikators ud Hireichede
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele
Übungen zur Analysis I WS 2008/2009
Mathematisches Istitut der Uiversität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorste Heidersdorf Übuge zur Aalysis I WS 008/009 Blatt 3, Lösugshiweise Die folgede Hiweise sollte auf keie Fall als Musterlösuge
Übung 2 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel. Besprechung der Lösungen: 1. Oktober 2018 in den Übungsstunden
Mathematik I für Naturwisseschafte Dr. Christie Zehrt 7.09.18 Übug (für Pharma/Geo/Bio) Ui Basel Besprechug der Lösuge: 1. Oktober 018 i de Übugsstude Aufgabe 1 Sid die folgede Abbilduge f : X Y umkehrbar?
Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Eperte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
Positiv denken! Lösungen
Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Uiversität Regesburg Positiv deke! Lösuge Aufgabe 1 (GMAMQM (ur für die Klasse 7/8) [ Pukte]). Seie a, b reelle Zahle. 1. Sei a 0 ud b 0. Zeige, dass a
1. Zahlenfolgen und Reihen
. Zahlefolge ud Reihe We ma eie edliche Mege vo Zahle hat, ka ma diese i eier bestimmte Reihefolge durchummeriere: {a,a 2,...,a }. Ma spricht vo eier edliche Zahlefolge. Fügt ma immer mehr Zahle hizu,
Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 8
Mathematisches Istitut der Uiversität Müche Prof Dr Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 8 032203 Übuge zur Aalysis für Iformatiker ud Statistiker Lösug zu Blatt 8 Aufgabe 8 [8 Pukte] (a) Für alle N sei = (+) Wir
Demo-Text für INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. ANALYSIS Vollständige Induktion FRIEDRICH W.
ANALYSIS Vollstädige Iduktio Datei Nr. 40080 Stad 14. März 018 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 40080 Beweismethode: Vollstädige Iduktio Vorwort Die Methode der vollstädige Iduktio
Analysis I. Carsten Schütt WS 2010/11
. Falls Christa Purzelbäume schlägt, da isst Bruo Torte. Christa ist geau da übel, we Ato Likör trikt ud Christa Purzelbäume schlägt. Falls Christa übel ist, da ist Bruo besorgt ud isst Torte. Etweder
Grundbegriffe der Differentialrechnung
Wirtschaftswisseschaftliches Zetrum Uiversität Basel Mathematik für Ökoome 1 Dr. Thomas Zehrt Grudbegriffe der Differetialrechug Referez: Gauglhofer, M. ud Müller, H.: Mathematik für Ökoome, Bad 1, 17.
Der Durchschnitt einer Familie von σ-algebren auf M ist ebenfalls eine σ-algebra auf M. Ist also E M, so ist
Maßtheorie (Versio 0.3) 1. σ-algebra Ist M eie Mege, so et ma ei System vo Teilmege A M eie σ-algebra (auf M ), we gilt: A A A A c A Ist A N eie Familie vo Mege i A, so ist N A A A ist damit stabil uter
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 04/05 5..04 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 9. Übugsblatt
3 Grenzwerte. 3.1 Grenzwerte von Folgen
03-grezwerte.cdf 3 Grezwerte 3. Grezwerte vo Folge Kovergez Mache Folge zeige ei spezielles Verhalte, we der Idex sehr groß wird. Sie äher sich eier bestimmte Zahl. Betrachte wir zum Beispiel die Folge
Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Folge zu definieren. Die zwei häufigsten Methoden
Folge ud Reihe Folge Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle N = {0, 1,,...} i die Mege der (zumidest i de meiste Fälle) reelle Zahle R. I diesem Fall ka ma sich eie Folge als Pukte i eiem Koordiatesystem
Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr Christoph Schmoeger Dipl-Math Sebastia Schwarz WS 4/5 45 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zur Übugsklausur Aufgabe
Aufgrund der Körperaxiome ist jedoch
Hiweise: Der Doppelstrich // steht für eie Kommetarzeile. Tipp- ud Rechtschreibfehler köe trotz mehrfacher Kotrolle icht hudertprozetig vermiede werde. Die selbst erstellte Lösugsasätze orietiere sich
Zentrale Klassenarbeit unter Prüfungsbedingungen im Schuljahr 2009/2010. Mathematik (B) 26. März 2010
Miisterium für Bildug, Juged ud Sport Zetrale Klassearbeit uter Prüfugsbediguge im Schuljahr 009/010 Mathematik (B) 6. März 010 Zugelassee Hilfsmittel: - Tascherecher (icht programmierbar ud icht grafikfähig)
Prof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 2008
1. Grezwertsätze Der wichtigste Grud für die Häufigkeit des Auftretes der Normalverteilug ergibt sich aus de Grezwertsätze. Grezwertsätze sid Aussage über eie Zufallsvariable für de Fall, dass die Azahl
Herzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2014
Herzlich Willkomme zur Vorlesug Aalysis I SoSe 2014 Prof. Dr. Berd Dreseler Lebediges Lere: Aufgabe Ich Wir 2 Reelle Zahle 2.1 Körperstruktur vo (K1) Additio ud Multiplikatio kommutativ: a b b a, ab ba.
5-1 Elementare Zahlentheorie
5- Elemetare Zahletheorie 5 Noch eimal: Zahletheoretische Fuktioe 5 Der Rig Φ als Rig der formale Dirichlet-Reihe! Erierug: Ei Polyom mit Koeffiziete i eiem Körper K ist ach Defiitio ichts aderes als eie
Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen
. Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge ist eifacher verstädlich als der allgemeie Fall. Deshalb utersuche wir zuerst diese Spezialfall ud verallgemeier aschliessed.
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004) Aufgabe 7. Ubeschräktes
Proseminar Lineare Algebra WS 2016/17
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Metrisierbarkeit Techische Uiversität Wie Semiararbeit aus Aalysis WS 04 Sia Özcaliska Ihaltsverzeichis Eileitug 3 Der Metrisierbarkeitssatz vo Alexadroff-Urysoh 3 3 Der Metrisierbarkeitssatz vo Nagata-Smirov
Einige spezielle Funktionen: exp, ln, sin, cos.
76 Kapitel 5 Eiige spezielle Fuktioe: exp, l, si, cos. 5.1 Expoetialfuktio ud Logarithmus Die überaus wichtige Expoetialfuktio soll u etwas geauer diskutiert werde. Die ursprügliche Defiitio.0 ist für
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Miisterium für Bildug, Juged ud Sport Zetrale Prüfug zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 6/7 Mathematik B. Mai 7 9: Uhr Uterlage für die Lehrkraft Lad Bradeburg. Aufgabe: Differetialrechug Gegebe