2.6 Stetigkeit und Grenzwerte

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1 2.6 Stetigkeit und Grenzwerte Anschaulich gesprochen ist eine Funktion stetig, wenn ihr Graph sich zeichnen lässt, ohne den Stift abzusetzen. Das ist natürlich keine präzise mathematische Definition und auch nicht immer eine brauchbare Beschreibung, wie wir später in Beispiel 2.29 sehen werden. Zunächst einige einfachere Beispiele. Beispiel 2.25 Der Graph der Funktion f : [0,5] [0, 5], f() = {, falls [0, 2], 3, falls (2, 5] ist gegeben durch Mathematik I WiSe 2005/ ο Mathematik I WiSe 2005/

2 wobei der andeutet, dass f(2) = 2 ist. Offensichtlich hat die Funktion f an der Stelle 2 eine Sprungstelle. Die nächsten Beispiele sollten Ihnen aus dem Abschnitt über rationale Funktionen vertraut sein. Beispiel 2.26 Wir betrachten die Funktion f : R R, f() = 3 = = Da f() für = 3 nicht definiert ist, ist der maimale Definitionsbereich D(f) = R\{3}. Der Graph von f hat die folgende Gestalt Mathematik I WiSe 2005/ Mathematik I WiSe 2005/

3 Bei Annäherung der Argumente von links gegen 3 werden die Funktionswerte beliebig klein, bei Annäherung von rechts beliebig groß. Beispiel 2.27 Die Funktion f : R R, f() = ( 1)2 ( + 2) ( 1) 2 hat den Definitionsbereich D(f) = R\{1} und den Graphen Mathematik I WiSe 2005/ ο Die Funktion ist zwar an der Stelle 0 = 1 nicht definiert, aber offensichtlich kann durch Hinzunahme des Punktes (1, 3) der Graph geschlossen werden. Es gibt also eine schöne Ersatzfunktion g() = + 2, die nach Hinzunahme des Mathematik I WiSe 2005/

4 Punktes (1, 3) entsteht. Wir wollen nun den Begriff der Stetigkeit formal eakt definieren. Wir beginnen dabei mit der Situation, dass wir Stetigkeit an einem Punkt des Definitionsbereiches untersuchen. Mathematik I WiSe 2005/ Sei f : R R eine Funktion mit Definitionsbereich D. f heißt stetig an der Stelle 0 D, wenn sich zu jedem beliebig kleinen ε R + ein δ R + finden lässt, so dass für alle -Werte in D, die weniger als δ von 0 entfernt sind, die zugehörigen Funktionswerte f() weniger als ε von f( 0 ) entfernt liegen. Präzise heißt dies, wenn aus 0 < δ und D stets f() f( 0 ) < ε folgt. f heißt stetig auf der Teilmenge A D, wenn f an jeder Stelle 0 A stetig ist. f heißt stetig, wenn f stetig auf dem ganzen Definitionsbereich D ist. Stetigkeit an einer Stelle 0 stellt man sich anschaulich folgendermaßen vor: Legt man symmetrisch um f( 0 ) einen waagerechten Streifen beliebig kleiner Mathematik I WiSe 2005/

5 Breite 2ε, so muss es einen senkrechten Streifen symmetrisch um 0 geben, so dass der Teil des Graphen, der im senkrechten Streifen liegt, automatisch auch in dem waagerechten Streifen liegt. Hierbei kann die Breite des senkrechten Streifen so klein wie nötig gewählt werden, in obiger Definition ist sie 2δ. Der waagerechte Streifen ist die Menge der senkrechte ist die Menge {(, y) R, f( 0 ) ε < y < f( 0 ) + ε}, {(, y) y R, 0 δ < < 0 + δ}. Das folgende Beispiel zeigt, wie man den δ-streifen korrekt wählen kann, um hier beispielsweise Stetigkeit an der Stelle 0 = 2 zu zeigen: Mathematik I WiSe 2005/ ε- Streifen δ- Streifen Mathematik I WiSe 2005/

6 Die nächste Skizze zeigt, wie es nicht geht. Hier ist δ zu groß gewählt worden ε- Streifen δ Mathematik I WiSe 2005/ Beispiel 2.28 Die Funktion aus Beispiel 2.25 ist nicht stetig an 0 = 2. Für einen waagerechten Streifen der Breite 1 (also ε = 1/2) symmetrisch um f(2) = 2 gibt es keinen passenden senkrechten Streifen. Die Funktion ist aber auf den Intervallen [0, 2] und (2, 5] stetig. In der folgenden Skizze ist der ǫ-streifen wieder blau gekennzeichnet. Wir haben beispielhaft einen grünen δ-streifen eingezeichnet. Auch wenn Sie δ kleiner wählen gelingt es Ihnen nicht, die Funktionswerte des δ-streifens ganz in den ǫ-streifen zu zwingen. Mathematik I WiSe 2005/

7 3 ο Mathematik I WiSe 2005/ Beispiel 2.29 Die Anschauung, dass eine Funktion stetig ist, wenn man ihren Graphen zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen, ist mit Vorsicht zu genießen. Man kann mit obiger Definition beweisen, dass die Funktion f : R R, f() = { ( sin 1 ), 0, 0, = 0. auf ganz R stetig ist, also auch an der Stelle 0 = 0 (sin bezeichnet die Sinus-Funktion). Ihr Graph hat folgendes Aussehen im Intervall [0.5,0.5]: Mathematik I WiSe 2005/

8 Zoomen wir uns näher an die Werte für = 0 heran, versucht MAPLE (ein Computeralgebra-System) den Graph im Intervall [ ] so zu zeichnen: Mathematik I WiSe 2005/ e 05 8e 06 6e 06 4e 06 2e 06 1e 05 6e e 06 6e 06 1e 05 2e 06 4e 06 6e 06 8e 06 Mathematik I WiSe 2005/

9 Gemäß der Definition sind die beiden Funktionen in Beispiel 2.26 und 2.27 beide stetig, denn die einzigen Problemfälle der Graphen gehören nicht zum Definitionsbereich der jeweiligen Funktion. Um auch diese Phänomene zu behandeln, muss man geringfügig anders vorgehen. Mathematik I WiSe 2005/ Seien f : R R eine Funktion mit Definitionsbereich D. Ferner sei 0 R eine Stelle, für die es ein Intervall (ˆ, 0 ) in D gibt. Außerdem sei a R eine Zahl. Dann heißt a linksseitiger Grenzwert von f an der Stelle 0, falls es für alle ε R + ein δ R + gibt, so dass aus D ( 0 δ, 0 ) stets f() a < ε folgt. Wir schreiben dann lim ր 0 f() = a. Mathematik I WiSe 2005/

10 Analog definiert man rechtsseitigen Grenzwert, indem man (ˆ, 0 ) und ( 0 δ, 0 ) durch ( 0, ˆ) und ( 0, 0 +δ) ersetzt. In dem Fall, dass a rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle 0 ist, schreibt man lim ց 0 f() = a. Besonders wichtig ist der Fall, dass rechts- und linksseitiger Grenzwert eistieren und gleich sind: Mathematik I WiSe 2005/ a heißt Grenzwert an der Stelle 0, wenn a links- und rechtsseitiger Grenzwert an 0 ist, Schreibweise: lim f() = a. 0 Die Forderung eines Intervalls (ˆ, 0 ) D bedeutet, dass es links von 0 auch wirklich einen Graphen von f gibt. Es kann vorkommen, dass eine Funktion gar keinen rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle 0 hat, aber einen linksseitigen oder umgekehrt. Sie kann auch weder einen rechtsseitigen noch einen linksseitigen Grenzwert an 0 haben. Die anschauliche Beschreibung mit dem waagerechten und senkrechten Streifen ist auch hier wieder anwendbar: man muss lediglich vom senkrechten Streifen nur Mathematik I WiSe 2005/

11 die linke bzw. rechte Hälfte (ohne Mittelstreifen) betrachten. Beispiel 2.30 Die Funktion in Beispiel 2.25 hat an der Stelle 0 = 2 den linksseitigen Grenzwert 2 und den rechtsseitigen Grenzwert 3, also: lim f() = ր2 2 und lim f() = 3. Der linksseitige Grenzwert stimmt mit dem Funktionswert ց2 f(2) überein. Die Funktion in Beispiel 2.26 hat an der Stelle 0 = 3 weder einen linksseitigen noch einen rechtsseitigen Grenzwert. Die Funktion in Beispiel 2.27 hat an der Stelle 0 = 1 den Grenzwert 3, also f() = 3. lim 1 Stetigkeit lässt sich mit Hilfe von Grenzwerten ausdrücken. Mathematik I WiSe 2005/ Eine Funktion f : R R ist stetig an der Stelle 0 D(f), wenn f an der Stelle 0 einen linksseitigen und einen rechtsseitgen Grenzwert hat und diese beide mit dem Funktionswert f( 0 ) übereinstimmen, wenn also gilt: lim f() = lim f() = lim f() = f( 0 ). ր 0 ց 0 0 Hier sind noch einige Sprechweisen für Spezialfälle: Mathematik I WiSe 2005/

12 Wenn 0 D(f) ist und lim f() und lim f() ր 0 ց 0 beide eistieren, aber verschieden sind, dann heißt 0 Sprungstelle von f. Wenn 0 D(f) ist und lim f() eistiert 0 (also lim f() und lim f() beide eistieren ր 0 ց 0 und übereinstimmen) aber von f( 0 ) verschieden ist, heißt 0 eine hebbare Unstetigkeitsstelle. Ist 0 D(f) und lim 0 f() eistiert, so heißt 0 eine hebbare Definitionslücke. Mathematik I WiSe 2005/ Vergleichen Sie dies bitte mit den Ausführungen über rationale Funktionen (Seite 229) Beispiel 2.31 Für die Funktion f : R R, f() = { 2 + 7, 4, 13, = 4 mit dem Graphen Mathematik I WiSe 2005/

13 18 16 ο ist 0 = 4 eine hebbare Unstetigkeitsstelle. Mathematik I WiSe 2005/ Rechenregeln für Grenzwerte Seien f, g : R R Funktionen und 0 R eine Stelle derart, dass es Intervalle (ˆ, 0 ) und ( 0, ˆ) in der Menge D(f) D(g) gibt. Wenn lim 0 f() und lim 0 g() eistieren, dann eistieren auch lim 0 (f() ± g()) und lim 0 (f() g()), und es ist lim 0 (f() + g()) = lim 0 f() + lim 0 g() lim 0 (f() g()) = lim 0 f() lim 0 g() lim 0 (f() g()) = lim 0 f() lim 0 g(). f() Ist außerdem lim 0 g() 0, dann eistiert auch lim 0 g(), und es ist f() lim 0 g() = lim 0 f() lim 0 g() Entsprechende Aussagen gelten für einseitige Grenzwerte. Mathematik I WiSe 2005/

14 Rechenregeln zur Stetigkeit Seien f, g : R R Funktionen, die beide in 0 D(f) D(g) stetig sind. Dann sind auch die Funktionen f ± g : R R, f g : R R, λf : R R (für alle λ R) stetig in 0. Ist zudem g( 0 ) 0, dann ist auch die Funktion f g 0. : R R stetig in Seien f : R R und g : R R Funktionen mit W(f) D(g). Ist f in 0 stetig, und ist g in f( 0 ) stetig, dann ist auch die zusammengesetzte Funktion g f : R R in 0 stetig. Stetige Funktionen haben sehr schöne und anschauliche Eigenschaften. Mathematik I WiSe 2005/ Satz 2.6 Sei f : R R eine auf [a, b] D(f) stetige Funktion. Dann ist f beschränkt, und es gibt min, ma [a,b], so dass gilt: f( min ) f() f( ma ) für alle [a,b]. (Eine stetige Funktion nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall ihr Minimum und Maimum an.) Mathematik I WiSe 2005/

15 Satz 2.7 (Zwischenwertsatz) Sei f : R R eine auf [a, b] D(f) stetige Funktion. Dann gibt es zu jedem y 0 R zwischen f(a) und f(b) ein 0 [a, b] mit f( 0 ) = y 0. (Eine stetige Funktion nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall jeden Zwischenwert an.) Ist in dieser Situation f(a)f(b) < 0, dann hat f eine Nullstelle in [a, b]. Dies lässt sich benutzen, um Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Beispiel 2.32 Die Funktion f : R R, f() = Mathematik I WiSe 2005/ hat den Graphen also drei Nullstellen zwischen 5 und 2. Mathematik I WiSe 2005/

16 Ist der Definitionsbereich von f kein abgeschlossenes Intervall, dann sind die obigen Eigenschaften stetiger Funktionen im allgemeinen nicht gegeben. Beispiel 2.33 Die Funktion tan ist auf dem offenen Intervall ( π/2, π/2) definiert und dort stetig. Sie nimmt dort aber kein Maimum oder Minimum an. Die Funktionen, die wir bislang kennengelernt haben, sind fast alle stetig: Polynome, rationale Funktionen, die Winkelfunktionen sowie die Eponentialund Logarithmusfunktionen sind alle stetig auf ihrem Definitionsbereich. Nicht stetig auf dem ganzen Definitionsbereich hingegen sind Treppenfunktionen! Mathematik I WiSe 2005/ Uneigentliche Grenzwerte Werden die Funktionswerte in der Nähe einer Stelle 0 beliebig groß (positiv oder negativ), so spricht man von einem Pol. Das soll hier präzisiert werden. Mathematik I WiSe 2005/

17 Sei f : R R eine Funktion mit D(f) = D. Ferner sei 0 R eine Stelle derart, dass es ein offenes Intervall (ˆ, 0 ) in D gibt. Falls es für alle beliebig großen M R + ein δ R + gibt, so dass für alle D aus ( 0 δ, 0 ) stets f() > M folgt, dann sagen wir f geht linksseitig nach Falls stets f() < M folgt, dann sagen wir f geht linksseitig nach. Schreibweise: lim ր 0 f() = +, lim ր 0 f() =. Man nennt ± uneigentliche Grenzwerte. Mathematik I WiSe 2005/ Analog definiert man lim ց 0 f() = + bzw. lim ց 0 f() =. Gilt lim f() = ± und lim f() = ± (wobei auch verschiedene Vorzeichen vorkommen können), so schreibt man ր 0 ց 0 lim f() = ±. In diesem Fall heißt 0 eine Polstelle von f. 0 Ist das Vorzeichen bei links- und rechtsseitiger Annäherung 0 gleich, so schreiben wir lim f() = + bzw. lim f() =. 0 0 Wir wollen dies am Beispiel erläutern: Beispiel 2.34 Die Funktion aus Beispiel 2.26 geht an der Stelle 0 = 3 linksseitig nach und rechtsseitig nach +, also lim f() = und lim f() = +, d.h. lim f() = ±. ր3 ց3 3 Mathematik I WiSe 2005/

18 Die Funktion 2 f : R R, f() = ( 4) 2 geht für 0 = 4 beidseitig nach +, also lim f() = +. 4 Wir wollen abschließend noch das Verhalten von Funktionen für ± untersuchen. Wir beginnen mit der Situation, dass f für gegen eine Zahl a R konvergiert. Mathematik I WiSe 2005/ Sei f : D R eine Funktion. f heißt für (bzw. ) konvergent gegen a R, falls es für alle ε R + ein t(ε) R + gibt, so dass gilt ist > t(ε), dann folgt f() a < ε bzw. ist < t(ε), dann folgt f() a < ε. Wir schreiben dann lim = a bzw. lim = a. Die Situation lässt sich formal genau wie bei Grenzwerten für 0 mit waagerechten Streifen der Breite 2ε um den Wert a veranschaulichen. Für lim f() = a muss der Funktionsgraph innerhalb des gesamten senkrechten Streifens rechts von t(ε) auch innerhalb des waagerechten Streifens liegen. Mathematik I WiSe 2005/

19 Wir kommen nun zu der Situation, dass für große Werte von die Funktion f nach strebt: Die Funktion f : D R geht für nach (bzw. ), falls es für alle M R + ein t(ε) R + gibt, so dass gilt ist > t(ε), dann folgt f() > M bzw. ist > t(ε), dann folgt f() < M. Man schreibt dann lim = analog für definieren. bzw. lim =, Ist f nicht konvergent, so nennen wir f divergent. Wenn f nach strebt, so sprechen wir von bestimmter Divergenz. Mathematik I WiSe 2005/ Es gelten für die Grenzwerte lim die analogen Rechenregeln wie für Grenzwerte bei Konvergenz 0. Im Fall bestimmter Divergenz darf man mit dem Symbol nicht rechnen wie mit reellen Zahlen, z.b. machen Ausdrücke der Form oder keinen Sinn! Beispiel f() = Mathematik I WiSe 2005/

20 Der Graph zeigt lim f() = 3 = lim f(). Beweisen lässt sich dies durch Umformung zu , 2 und Benutzen von lim ± 1 = 0 für alle n N. n Wir notieren noch lim n = für alle n N. Mathematik I WiSe 2005/ f() = Der Graph zeigt lim f() = und lim f() = und dies lässt sich mit den gleichen Methoden wie in 1. zeigen: f() = 3 ( ). Mathematik I WiSe 2005/

21 3. lim e = und lim e = f() = e + 2 e 2. Der Graph zeigt lim f() = 0 und lim f() = 1. Der zweite Grenzwert folgt sofort aus den üblichen Rechenregeln zusammen mit dem vorigen Beispiel. Der erste Mathematik I WiSe 2005/ Grenzwert folgt aus f() = e e 2. e Wir sehen, dass der Zähler hier gegen 1 geht, der Nenner konvergiert gegen, der Quotient geht also gegen 0. La gesprochen: a = 0, wobei a R. Mathematik I WiSe 2005/

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