Überblick über die Aussagenlogik, Teil 2. Nicole Stender

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1 Überblick über die Aussagenlogik, Teil 2 Nicole Stender Goethe Universität Frankfurt am Main Seminar: Aktuelle Themen aus der Wissensverarbeitung Dozent: Prof. Dr. Manfred Schmidt-Schauß Abgabedatum:

2 Inhaltsverzeichnis 1 Die aussagenlogische Äquivalente 2 2 Bedeutung und Definition von KNF und DNF Die disjunktive Normalform - DNF Die Konjunktive Normalform - KNF Mengenbasierte Repräsentation 3 4 Transformation von aussagenlogischen Formeln Transformation einer aussagenlogischen Formel mit einer Wahrheitstabelle Algebraische Transformation Vereinfachte KNF Anwendung Ramsey Theorem Digitalschaltkreise Addition Fazit 12 1

3 1 Die aussagenlogische Äquivalente Logische Äquivalente einer aussagenlogischen Formel sind die Normalformen, die uns helfen bestimmte Eigenschaften einer Formel α leichter zu erkennen. Im folgenden werden wir die konjunktive (KNF) und disjunktive Normalform (DNF) genauer betrachten und uns um mögliche Methoden der Transformation einer aussagenlogischen Formel α anschauen. Dabei werden wir auch auf die Methodik der verkürzten DNF eingehen. 2 Bedeutung und Definition von KNF und DNF 2.1 Die disjunktive Normalform - DNF Die disjunktive Normalform, kurz auch DNF genannt, ist eine aussagenlogische Formel α, deren Terme durch Oder-Verknüpfungen miteinander verbunden sind. Das bedeutet, wir erhalten eine aussagenlogische Formel α, deren Unterformeln D i mit 1 i n in der Form α = D 1 D 2 D i 1 D i (1) verknüpft sind. Die Unterformeln D i bezeichnet man auch als Monome. Ein Monom ist eine Formel β, bestehend aus den Literalen L i mit 1 i n, der Form: (Literal - ist eine positive oder negative Variable.) β = L 1 L 2 L i 1 L i (2) Das bedeutet, dass die DNF nicht aus einem beliebigen Zusammenwürfeln von Disjunktionen und Konjunktionen besteht, sondern eine Disjunktion von Monomen bzw. Konjunktionen ist. Nach dieser Semantik der DNF ist sie genau dann erfüllbar, wenn eines ihrer Monome erfüllbar ist. Sie ist also leicht auf Erfüllbarkeit prüfbar. Ein Beispiel für eine DNF ist der folgende Ausdruck: α = (b 1 b 2 a 3 ) (b 2 b 3 ) (b 1 b 3 ) (3) 2.2 Die Konjunktive Normalform - KNF Die konjunktive Normalform, kurz auch KNF genannt, ist eine aussagenlogische Formel α, deren Terme durch Und-Verknüpfungen miteinander verbunden sind. Das heißt, wir erhalten eine aussagenlogische Formel α, deren Unterformeln K i mit 1 i n in der Form α = K 1 K 2 K i 1 K i (4) verbunden sind. Jede Unterformel K i wird als Klausel bezeichnet. 2

4 Eine Klausel ist eine Formel β, bestehend aus den Literalen L i mit 1 i n, der Form: β = L 1 L 2 L i 1 L. (5) Wie schon für die DNF geltend, dürfen auch hier die Konjunktionen und Disjunktionen nicht willkürlich gewählt werden. Die KNF bezeichnen wir daher als Konjunktion von Klauseln bzw. Disjunktionen. Die Besonderheit der KNF liegt darin, dass sie leicht auf Allgemeingültigkeit geprüft werden kann. Denn eine KNF ist genau dann allgemeingültig, wenn jede ihrer Klauseln K i mit 1 i n gültig ist. Da jede Klausel K i wiederum eine Disjunktion von Literalen ist, ist diese genau dann gültig, wenn es eine Disjunktion eines Literals und dessen Negation enthält (siehe zweite Klausel in Formel 6). Ist dies nicht der Fall, kann man immer eine Belegung produzieren, die die Aussage nicht erfüllt. Ein Beispiel für eine KNF ist der folgende Ausdruck: α = (a 1 a 2 a 3 ) (a 2 a 2 ) (a 1 a 3 ) (6) 3 Mengenbasierte Repräsentation Dieser Abschnitt dient der kurzen Erläuterung der mengenbasierten Repräsentation von Normalformen. Sie bietet einen großen Vorteil für das Implementieren von aussagenlogischen Formeln. Eine aussagenlogische Formel α in KNF der Form α = (L 1,1 L 1,n1 ) (L m,1 L m,nm ), (7) wird in der mengenbasierten Repräsentation als dargestellt. {{L 1,1,, L 1,n },, {L m,1,, L m,n }} (8) Da sowohl die Konjunktion als auch die Disjunktion assoziativ, kommutativ sowie idempotent sind, ist sie Umwandlung in eine mengenbasierte Repräsentation verlustfrei. Keine essentielle Merkmale gehen dabei verloren und der Ausdruck kann ohne große Mühen wieder in seine ursprüngliche Form geschrieben werden. Damit gilt die mengenbasierte Darstellung sowohl für die konjunktive Normalform, wie bereits in dem Beispiel aufgezeigt wurde, als auch für die disjunktive Normalform, die analog dazu gebildet wird (aber hierbei auf eine Disjunktion von Konjunktionen bezogen). 3

5 4 Transformation von aussagenlogischen Formeln 4.1 Transformation einer aussagenlogischen Formel mit einer Wahrheitstabelle Eine Möglichkeit eine aussagenlogische Formel α in eine disjunktive oder auch konjunktive Normalform zu transformieren, kann mit Hilfe einer Wahrheitstabelle realisiert werden. Eine Wahrheitstabelle liefert uns eine Menge an Auswertungen einer Formel α, mit der wir einen Ausdruck ganz einfach in eine dazu logisch äquivalente DNF oder KNF umwandeln können. Dafür müssen wir eine Wahrheitstabelle über die Atome {p 1, p 2,..., p n } einer Aussage aufstellen und für alle möglichen Belegungen einen Wahrheitswert ermitteln. Anhand des folgenden Beispiels möchte ich die Transformation genauer erläutern. Wir betrachten dabei die Formel und bilden dazu die Wahrheitstafel: α = (a 1 a 2 ) ( a 3 a 1 ) a 2 (9) Nr. a 1 a 2 a 3 (a 1 a 2 ) ( a 3 a 1 ) α Tabelle 1: Wahrheitstabelle für die aussagenlogische Formel α = (a 1 a 2 ) ( a 3 a 1 ) a 2 Anhand der Wahrheitstabelle ist es möglich, die verschiedenen Wahrheitswerte für alle möglichen Belegungen der Literale a 1, a 2 und a 3 ermitteln. Wir bilden nun aus allen Zeilen, in denen der Wahrheitswert für die Belegung α = 1 ergibt eine disjunktive Formel. In unserem Beispiel erhalten wir in den Zeilen 3, 5, 7 und 8 jeweils eine Belegung, die die Formel erfüllt. Daraus können wir folgende DNF für α bilden: ( a 1 a 2 a 3 ) (a 1 a 2 a 3 ) ( a 1 a 2 a 3 ) (a 1 a 2 a 3 ). (10) Wie wir sehen, wurden die einzelnen Atome entsprechend ihrer Belegung konjunktiv verbunden und die einzelnen Zeilen (Konjunktionen) disjunktiv zu einem Ausdruck verknüpft. Neben der DNF können wir damit gleichzeitig auch eine KNF erstellen. Um die KNF zu konstruieren nutzt man die Belegungen der Tabelle, für die α den 4

6 Wert 0 annimmt. Bezogen auf das obige Beispiel trifft das auf die Zeilen 1, 2, 4 und 6 zu. Damit ergibt sich folgende KNF: ( a 1 a 2 a 3 ) (a 1 a 2 a 3 ) ( a 1 a 2 a 3 ) (a 1 a 2 a 3 ) (11) Der Vorteil dieser Form der Transformation liegt darin, dass keine anfänglichen Vereinfachungen oder Normalisierungen benötigt werden. Die Anzahl der Zeilen der Wahrheitstabelle für eine Formel mit n Atomen beträgt 2 n, was bedeutet, dass diese Tabelle für große n sehr lang wird. Genau darin liegt das Problem - für große n wird dies uneffizient. Schauen wir uns dazu ein weitere Möglichkeit der Transformation an. 4.2 Algebraische Transformation Ein weitere Möglichkeit eine aussagenlogische Formel in eine DNF oder KNF umzuwandeln, ist die algebraische Transformation. Dazu werden die bekannten Umformungsregeln benötigt. Negation Idempotenz Kommutativität α α α α α und α α α α β β α und α β β α Assoziativität (α β) γ α (β γ) und (α β) γ α (β γ) Distributivität (α β) γ (α γ) (β γ) und (α β) γ (α γ) (β γ) De Morgan (α β) α β und (α β) α β Tabelle 2: Umformungsregeln Wir möchten folgende Formel α = a 1 (a 1 q 2 ) (a 2 a 3 ) (12) in eine disjunktive Normalform transformieren. Mit der Hilfe des Distributivgesetzes formen wir den ersten Ausdruck a 1 (a 3 a 3 ) um und erhalten damit schon eine DNF der Beispielformel. α = a 1 (a 3 a 2 ) (a 2 a 3 ) (13) (a 1 a 3 ) (a 1 a 2 ) (a 2 a 3 ). (14) Wie man auch hier wieder erahnt, ist diese Methode für längere bzw. komplexere Terme langwierig und produziert oft redundante Unterausdrücke. Am beschriebenen Beispiel erkennt man bereits, dass eine DNF sich bei der Umformung jeweils um einen Term erweitert (unter Verwendung des Distributivgesetztes). Dadurch kann es dazu führen, dass die disjunktive Normalform exponentiell zu groß wird. 5

7 4.3 Vereinfachte KNF Als letzte aufgeführte Möglichkeit einer Transformation werden wir die schnelle KNF oder auch definitional KNF betrachten. Mit dieser Methode wollen wir eine aussagenlogische Formel in polynomieller Zeit in eine konjunktive Normalform umwandeln. Um das zu realisieren, sagen wir, dass eine Formel α dann erfüllbar ist, genau dann wenn α erfüllbar ist (Erfüllbarkeitserhaltung). Diese Eigenschaft besagt jedoch nicht, dass beide Formeln auch vollständig äquivalent sein müssen. Die grundlegende Überlegung der verkürzten KNF ist das Einfügen von neuen Variablen v i mit (β v i ) α[v i ] für einen Ausdruck α[β], die eine Definition eines Unterausdruckes β sind und diesen substituieren. Dadurch kann man die Formel schrittweise verkürzen, wobei es wichtig ist, dass diese neue Variable nicht in der Formel enthalten ist. Die Substitution von Unterausdrücken, die im Folgenden als Sub-Formeln bezeichnet werden, wird nur bis zu einer bestimmten Tiefe durchgeführt. Die Tiefe einer Formel α ist deren maximale Länge in einem Syntaxbaum. Für eine Sub-Formel definieren wir ebenfalls eine Sub-Tiefe. Eine Formel hat zunächst eine Sub-Tiefe von 0. Wenn die Formel β eine Sub-Formel von α ist, dann definiert sich die Sub-Tiefe für β wie folgt: β σ, dann hat σ die Tiefe n + 1 β (σ 1 σ 2 ), dann sind σ 1, σ 2 Sub-Formeln der Tiefe n + 1 in α, wobei ein Junktor von,,, sein kann Auf dieser Grundlage erstellen wir eine Formel mit einer Tiefe 3. Besitzt die Formel α jedoch eine Tiefe von 4, so wird sie mit Hilfe der Substitution von Sub-Formeln durch neu eingeführte Variable auf eine maximale Tiefe von 3 gebracht. Das bedeutet, dass alle Sub-Formeln in der Formel α, durch neue Variablen der Sub-Tiefe 3 ersetzt werden. Die folgende Formel sei eine dieser Sub-Formeln β, die eine Sub-Tiefe von 3 in der Formel α besitzt. Da β selbst eine Tiefe von 3 hat, müssen solange neue Variablen eingeführt werden, bis sie eine Tiefe von 0 erreicht hat. Dazu wird folgendermaßen vorgegangen: β = a 1 ((a 2 a 3 ) a 4 ) (15) Zuerst definieren wir ein neues Atom b 1 für den Ausdruck (a 2 a 3 ). Dadurch wird dieser Ausdruck in der Formel zuerst definiert und dann in dem ursprünglichen Term substituiert. Unser Ausdruck erweitert sich dadurch um: (b 1 a 2 a 3 ) (16) a 1 (b 1 a 4 ) (17) Dieser Vorgang wiederholt sich in den nächsten Schritten. Für unser Beispiel bedeutet das: 6

8 Als nächstes wird eine Variable b 2 einfügt, die den Unterausdruck (b 1 a 4 ) verkürzt. Also folgt (b 1 a 2 a 3 ) (b 2 b 1 a 4 ) a 1 b 2. Im vorletzten Schritt ersetzen wir noch b 3 mit a 1 b 2 und erhalten (b 1 a 2 a 3 ) (b 2 b 1 a 4 ) (b 3 a 1 b 2 ) b 3. Nun müssen die Konjunktion in eine konjunktive Normalform gebracht werden. Hierbei nutzen wir wieder die uns bekannten algebraischen Umformunsgregeln und erhalten: ( b 1 a 2 ) ( b 1 a 3 ) (b 1 a 2 a 3 ) ( b 2 b 1 a 4 ) (b 2 b 1 ) (b 2 a 4 ) ( b 3 a 1 ) ( b 3 b 2 ) (b 3 a 1 b 2 ) p 3. Damit besitzt unsere Sub-Formel β nun eine Tiefe von 0 und die Formel α eine Tiefe von 3, wenn davon ausgegangen wird, dass bereits alle anderen Sub- Formeln einer Sub-Tiefe von 3 entsprechen. Anschließend wird aus der nun vorhandenen aussagenlogischen Formel nur noch eine vollständige KNF gebildet. Mit dieser Methode sehen wir bereits, dass die Formel nur um eine Konstante erweitert wurde, denn die Anzahl aller Sub-Formeln des ursprünglichen Terms ist größer als die Anzahl der neu hinzugefügten Formeln. Um diesen Prozess jedoch zu beweisen, muss gezeigt werden, dass jeder Schritt die Erfüllbarkeit der Formel erhält. Seien p und q aussagenlogische Formeln. Mit p [ q x] bezeichnen wir die Formel, die entsteht, indem alle Vorkommen von x in p durch q ersetzt werden. Theorem 1. Wenn x nicht in q enthalten ist, dann gilt: p [ q x] ist erfüllbar genau dann, wenn (x q) p erfüllbar ist. Quelle: [1] Beweis. Für : Sei p [ q x] erfüllbar. So gibt es eine Belegung V, sodass V ( p [ q x]) = 1 ist. Sei { V V (z), falls z x (z) := (18) V (q), falls z = x a) Nach [Theorem 3.2, 1] dürfen wir folgern, dass V (p) = 1 gilt. 7

9 b) Da V (x q) = V (x) V (q) = V (q) V (q) = V (q) V (q) = 1 ist, folgt V (x q) = 1. Aus a) und b) folgt nun V (p (x q)) = V (p) V (x q) = 1 1 = 1. Daher ist p (x q) erfüllbar. Für : Sei p (x q) erfüllbar, also es gibt eine Interpretation V mit V (p (x q)) = 1. a) Da V (p (x q)) = V (p) V (x q) folgt V (p) = 1 und V (x q) = 1. b) Aus V (x q) = 1 folgt V(x) = V(q). Mit Hilfe einer Umformung erhalten wir: ( [ ( [ ]) ( [ ]) q V (q) b) V (x) V p = V p = V p = V x]) x x ( [ x p = V (p). (19) x]) Aus a) folgt daher dann V (p) = 1 = V ( p [ q x]). Daher ist p [ q x] erfüllbar. 5 Anwendung In dieser Abschnitt betrachten wir verschiedene Problemstellungen und zeigen anhand von Beispielen, wie wir mit der Hilfe von aussagenlogischen Formeln diese Probleme darstellen bzw. lösen können. 5.1 Ramsey Theorem Wir betrachten zuerst einen Spezialfall von Ramseys kombinatorischen Theorem: Bei einer Party von sechs Personen gibt es entweder eine Gruppe von drei Leute, in der jeder den anderen kennt, oder eine Gruppe von drei Leuten, in der niemand den anderen kennt. Man kann sich dieses Beispiel bildlich als einen Graphen vorstellen, wobei die Kanten bestimmen, ob zwei Personen sich kennen, oder nicht. Theorem 2. Für jedes s, t N gibt es ein n N, so dass jeder Graph mit n Knoten entweder einen vollständig, zusammenhängenden Teilgraph der Größe s ergibt oder einen vollständig, nicht zusammenhängenden Teilgraph der die Größe t besitzt. Die Ramsey-Nummer R(s, t) bezeichnet das kleinste n, dass für ein gegebenes s und t folgende Bedingung erfüllt: Beispiel: Wählen wir n = 6, s = 3, t = 3 R(s, t) R(s 1, t) + R(s, t 1) (20) 8

10 so erhalten wir in Bezug auf unseren Spezialfall zu Beginn eine gute mögliche Lösung, die den Anforderungen entspricht und ebenfalls als eine aussagenlogische Formel eine Tautologie ergibt. Dazu gleich mehr in einem Beispiel. Beweis. siehe [1] S Für jede positive Zahl s, t und n können wir eine aussagenlogische Formel erstellen, die genau dann eine Tautologie ergibt, wenn R(s, t) n ist. Die Knoten werden mit den Indizes 1 bis n versehen. Dann werden diese in s- Elemente und t-elemente untereilt. Innerhalb dieser Teilmengen versuchen wir jeweils 2-elementige Teilmengen zu bilden. Wir möchten damit ausdrücken, dass für die s-elementigen Mengen alle Paare verbunden sind und die Paare der t-elementigen Mengen nicht verbunden sind. Jedoch stellt sich das bei Parametern mit größeren Zahlen als Problem dar. Für das Aufstellen einer solchen aussagenlogischen Formel wählen wir n = 4, s = 3, t = 3. Jedes Atom in dieser Formel p a,b mit a, b V (V entspricht hier der Knotenmenge) trägt zwei Indizes, welche jeweils zwei Knoten des Graphen beschreiben. In diesem Beispiel haben wir insgesamt n = 4 Knoten zur Verfügung, wobei die Variable p 1,2 eine Kante zwischen den Knoten 1 und 2 beschreibt. Aus unseren gegebenen Werten ergibt sich: (p 1,2 p 1,3 p 2,3 ) (p 1,2 p 1,4 p 2,4 ) (p 1,3 p 1,4 p 2,4 ) (p 2,3 p 2,4 p 3,4 ) ( p 1,2 p 1,3 p 2,3 ) ( p 1,2 p 1,4 p 2,4 ) ( p 1,3 p 1,4 p 2,4 ) ( p 2,3 p 2,4 p 3,4 ). Diese Formel ist keine Tautologie, da R(s, t) n hier nicht zutrifft. 5.2 Digitalschaltkreise Wie wir wissen operiert ein Computer auf einer binären Grundlage. Das bedeutet, dass es nur zwei Werte gibt, mit denen der Computer etwas anfangen kann: 0 für Low und 1 für High. Das erlaubt uns jedes eingehende bzw. ausgehende Kabel eines digitalen Computers mit einem boolschen Wert zu betrachten - 0 ergibt false, 1 ergibt true. Wir können noch weiter gehen und sagen, dass jeder digitale Schaltkreis als eine boolsche Funktion betrachtet wird. Wir haben also einen Eingabekanal, dessen Belegung einen Wert an einem Ausgabekanal produziert. Schlüsselbauteile dieses Systems sind logische Gatter. AND-Gatter - ist vergleichbar mit dem logischen Und. Es gibt zwei Eingabekanäle und einen Ausgabekanal. Der Ausgabekanal ist nur dann mit High, also 1, belegt, wenn auch die beiden Eingabekanäle mit High belegt sind. 9

11 Abbildung 1: Beispiel für die Darstellung einer boolschen Funktion [1] NOT-Gatter - wird auch als Inverter bezeichnet, da sein Ausgabewert immer die Negation seines Eingabewertes ist. Das bedeutet, das einem High immer ein Low folgt und umgedreht. weitere Übereinstimmungen: Digitales Design Kreislauf logisches Gatter Eingabekanal internes Kabel Spannungsebene Aussagenlogik Formel aussagenlogische Verknüpfung Atom Unterausdruck Wahrheitswert Tabelle 3: Übereinstimmungen von digitalen Schaltkreisen und Formeln [1] Beispiel: s x s y Multiplexer (21) Im Folgenden wird ein Schaltkreis und dessen boolsche Funktion dargestellt. Die Ausgabe ist abhängig davon ob s Low oder High ist. Ist s Low folgt daraus x, ist es High so folgt y. 5.3 Addition Die Darstellung von Zahlen kann durch verschiedene Zahlensysteme ermöglicht werden. In digitalen Computern werden die Zahlen u.a. als binäre Zahlen dargestellt. Um die Addition zweier Zahlen zu beschreiben, möchte ich zwei Zahlen auf einer binären Ebene addieren. Wie wir bereits in einem vorangegangenem Beispiel erklärt haben, kann ein einzelnes Bit durch ein Kabel repräsentiert werden. Bei größeren Zahlen werden diese von einer Sequenz von n Bits dargstellt. So werden bei einer Addition zweier binärer Zahlen beide als eine Gruppe von n Bits repräsentiert. Die Zahlen können sich dabei in einem Bereich n 1 befinden. 10

12 Die Addition der beiden Zahlen erfolgt immer von rechts nach links. Ist die Summe 2 wird 2 abgezogen und ein Übertrag von 1 generiert und in die nächste Bitstelle übertragen. Das folgende Beispiel soll diesen Vorgang erläutern: = Tabelle 4: Berechnung einer binären Zahl [1] Um diese Addition zu implementieren, kann man die reguläre Addition von einem Bit ausnutzen. Man produziert also einen 1-Bit-Addierer, der n-mal reproduziert wird und den Übertrag zwischen adjazenten Paaren von Elementen überträgt. Für die Implementierung des Addierers ist es hilfreich den Vorgang der Addition durch eine boolsche Funktion auszudrücken. Es ergeben sich durch die beiden Eingänge, die jeweils die nächstgrößeren Bitwerte der beiden Zahlen beinhaltet, der Übertrag sowie die Summe. Es entsteht folgende Wahrheitstafel: x y c s Tabelle 5: Wahrheitstabelle für die Summe s und den Übertrag c Die Übertragsfunktion ist eine Konjunktion von x und y. Die Summe ist eine exklusive Oder-Verknüpfung (XOR). Mit dieser Beschreibung haben wir aber erst einen Teil gelöst und den sogenannten Halbaddierer erstellt. Der eingehende Übertrag in der jeweils folgenden Berechnung wurde nicht beachtet. Deswegen benötigt man einen Variable, die den Halbaddierer zu einem Volladdierer vervollständigt. Der Volladierer ermöglicht es drei Bits zu addieren. Bei der Berechnung gehen wir hier wie beim Halbaddierer vor: Ist die Summe 2 so wird 2 abgezogen und ein Übertrag von 1 generiert. Dabei entsteht folgende Wahrheitstafel: Verknüpft man nun beliebig viele Volladdierer miteinander zu einem n-bit- Addierer wird ein Übertrag am kleinen Ende und am hohem Ende ermöglicht. In der Praxis gibt es für den Übertrag einen Verzug zwischen veränderten Eingaben. In extremen Fällen (z.b ) erhält man das Endergebnis 11

13 x y z c s Tabelle 6: Wahrheitstabelle für die Summe s und den Übertrag c für einen Volladierer erst, wenn der Übertrag durch alle n Stufen übertragen wurde. Die Verzögerung wird durch die Gatter verursacht, in diesem Fall ist die Verzögerung 2n. Wie schon zuvor, sind auch hier die großen n das Problem. Denn der durch die Verzögerung entstehende Zeitverlust ist inakzeptabel. Aus diesem Grund, wird eine andere Möglichkeit der Realisierung benötigt. z.b. der Übertrags-Auswahl Addierer. Dabei wird so vorgegangen, dass man die n-bit Eingabe in verschiedene Blöcke der Größe k aufspaltet. Die so zusammengehörigen Bits werden zweimal addiert: Einmal, wenn der Übertrag 0 ist; und nochmal wenn Übertrag 1 ist. Um das zu implementieren werden Multiplexer genutzt, wie wir sie schon im Abschnitt 4.2 gezeigt haben. Anschließend müssen die Überträge nur noch nach n Blöcken übertragen werden, wodurch weitaus weniger Verzögerungen durch k die Gatter entstehen. 6 Fazit Mit der disjunktiven und konjunktiven Normalform können wir Formeln auf bestimmte Eigenschaften leichter überprüfen. Ein Ausdruck, der in der DNF steht, kann schnell auf seine Erfüllbarkeit getestet werden. Ein Term in KNF kann dafür leicht auf Allgemeingültigkeit geprüft werden. Jedoch stehen aussagelogische Formel nicht immer oder nur selten in einer der beiden Normalformen. Deswegen sind verschiedene Möglichkeiten der Transformationen beschrieben worden, wobei das Problem meist in der Effizienz der Umsetzung liegt (siehe die Transaformation via Wahrheitstabelle oder die algebraische Transformation). Dabei lag unser Augenmerk darauf, ein logisches Äquivalent zu einer aussagenlogische Formel in einer DNF bzw. KNF zu bilden. Verringerten wir die Anforderungen, wie bei der schnellen KNF (Vernachlässigung der Tautologieeigenschaft), konnten wir effizienter unser Ziel erreichen. Der Nutzen der DNF und KNF wird uns in den Anwendungsbeispielen gewahr. 12

14 In digitalen Schaltkreisen helfen uns die Normalformen dabei, Schaltungen zu entwerfen hinter denen ein großes Aussagensystem stecken kann (welches bspw. eine große Anzahl an Eingabeparametern enthält, die sehr viele Kombinationsmöglichkeiten bietet). Ebenso dazu kann man die Addition oder auch die Multiplikation als ein Beispiel für eine Schaltung betrachten. Literatur [1] John Harrison. Propositional logic: Disjunctive and conjunctive normal forms, Applications of propositional logic, Definitional CNF. In: Handbook of Practical Logic and Automated Reasoning, pp , ISBN , Cambridge University Press, [2] Uwe Kastens und Hans Kleine Büning. Aussagenlogik: Normalformen. In: Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, pp , ISBN ,Hanser Verlag München, [3] H. Kleine Büning und T. Lettmann. Datenstrukturen und Normalformen: Konjunktive Normalform, Weitere Normalform. In: Aussagenlogik: Deduktion und Algorithmen, pp , Teubner Stuttgart, [4] M. Schmidt-Schauß. Schnelle CNF. In: Automatische Deduktion, pp , Sommersemester [5] Verschiedene. Konjunktive Normalform, Disjunktive Normalform. Zugriff: