Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1

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1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere V1 Geometrische Grundbegriffe V2 Grundkonstruktionen und Bestimmungslinien V3 Dreiecke und ihre Eigenschaften (Winkel, Kongruenzsätze, Linien/Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze) V4 Vierecke und ihre Eigenschaften (Typisierung, besondere Vierecke, Haus der Vierecke, Symmetrien) V5 Dreiecke (Flächensätze, Ähnlichkeit) V6 Vielecke (Sätze, Winkel, Symmetrien, Beziehungen zum Kreis) V7 Kreis (Geraden, Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze) V8 Kongruenzabbildungen - Symmetrie V9 Flächeninhalt und Umfang von Vielecken und Kreisen V10 Typisierung von Körpern (Quader, Prismen, Spitzkörper, Platonische Körper, Kugel) V11 Rauminhalt von Körpern (Rauminhalt von Prismen und Spitzkörpern, Rauminhalt und Oberfläche der Kugel) V12 Zusammenfassung (Freitag) Uhr, Klausur (HS 1, HS 2) 1

2 V6 Vielecke (Polygone) 1 Begriffe 2 Eigenschaften konvexer Vielecke Anzahl der Diagonalen Winkelsumme im n-eck 3 Eigenschaften regelmäßiger konvexer Vielecke 4 Praxiskurs: Falten regelmäßiger Vielecke Quellen: Krauter. Erlebnis Elementargeometrie; Duden. Mathematik; Kusch Mathematik. 2

3 1 Begriffe Vielecke (Polygone) sind abgeschlossene ebene Streckenzüge aus endlich vielen Strecken. 3

4 Beispiele: Arten von Fünfecken Liegt jede Verbindungsstrecke zweier Eckpunkte im Inneren (als Diagonale) oder auf dem Rand (als Seite), dann ist das n-eck konvex. Es hat keinen Innenwinkel, der größer als 180 ist. Ein konkaves n-eck besitzt mindestens einen Innenwinkel, der größer als 180 ist. Schneiden sich zwei Seiten, so heißt das Vieleck überschlagen. Ein n-eck heißt regelmäßig, wenn alle Seiten gleichlang und alle Winkel gleichgroß sind. Polygonion (griech.)-vieleck; polys viel; gonos - Winkel convexus (lat.) - gewölbt 4

5 2 Eigenschaften konvexer Vielecke -Anzahl der Diagonalen -Winkelsumme im n-eck 5

6 Anzahl der Diagonalen in Vielecken Ein Viereck hat 2 Diagonalen. Ein Fünfeck hat 5 Diagonalen. Ein Sechseck hat 9 Diagonalen. Mit welchem Zusammenhang lassen sich die Diagonalen in Vielecken ableiten? 6

7 Ausgangsüberlegung: Wie viele Strecken lassen sich ausgehend von einer Ecke zeichnen? Man kann in alle anderen Ecken außer die eigene Strecken zeichnen, also n-1 Strecken zu den übrigen Ecken ziehen. Jedoch sind 2 davon keine Diagonalen sondern Seiten des Vielecks, also gehen n-3 Diagonalen von jeder Ecke aus. Im gesamten Vieleck also n mal n-3 Diagonalen: n (n-3) Allerdings wird auf diese Weise jede Diagonale zweimal gezählt. Da eine Diagonale immer zwei Ecken miteinander verbindet, muss der gefundene Term noch durch 2 dividiert werden: n( n 3) 2 7

8 Ein Viereck hat also 2 Diagonalen: Ein Fünfeck hat 5 Diagonalen: Ein Sechseck hat 9 Diagonalen: Ein Siebeneck hat 14 7(7 3) Diagonalen: 2 Ein Achteck hat 20 Diagonalen: 8(8 3) 4(4 2 5(5 3) 2 6(6 3) 2 2 3) 8

9 Winkelsumme des n-ecks Die Winkelsumme in Dreiecken beträgt 180, in Vierecken 360. Wie kann man die Innenwinkelsumme für ein beliebiges n-eck bestimmen? Ausgangsüberlegung: Zerlegen eines n-ecks in Dreiecke bzw. Aufbau eines n-ecks aus Dreiecken 9

10 Denkt man sich von einem beliebigen Punkt P innerhalb eines n-ecks Strecken zu allen Eckpunkten gezeichnet, so entstehen n Dreiecke. Deren Innenwinkelsumme beträgt n 180. Diese Summe ist jedoch größer als die gesuchte, denn sie enthält nicht nur die Winkelgrößen in den Ecken des Vielecks sondern auch die Dreieckswinkel, rund um den Scheitel P. Diese für die Innenwinkelsumme nicht benötigten Winkelgrößen bilden um P einen Vollwinkel, also 360. Die Summe der Winkelgrößen im n-eck beträgt also n Überlegung 1 10

11 Den auf der vorangegangen Folie gewonnenen Term (n ) kann man noch geschickt umformen, indem man 360 als schreibt, also n und 180 ausklammert: 180 (n 2) oder S n = (n-2) 180. Die Summe der Innenwinkel eines n-ecks beträgt (n-2)

12 Überlegung 2 Dreieck Viereck Fünfeck Sechseck 12

13 Überlegung 3 Ein konvexes n-eck kann in (n-2) Dreiecke zerlegt werden. Das Zerlegen in Dreiecke erfolgt ausgehend von einem Eckpunkt. (s. Beispiel unregelmäßiges Sechseck). Für die Innenwinkelsumme S n eines beliebigen n-ecks ergibt sich S n = (n-2)

14 Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt also (3-2) 180 = 180. Die Innenwinkelsumme im Viereck beträgt (4-2) 180 = 360. Die Innenwinkelsumme im Fünfeck beträgt (5 2) 180 = 540. Die Innenwinkelsumme im Sechseck beträgt (6-2) 180 =

15 3 Eigenschaften regelmäßiger konvexer Vielecke - Innenwinkel im regelmäßigen n-eck - Symmetrien - In- und Umkreis 15

16 Ein n-eck ist dann regelmäßig, wenn es n gleichgroße Winkel und n gleichlange Seiten besitzt. (Eine Bedingung allein genügt nicht.) Wir wissen, dass die Winkelsumme im n-eck (n-2) 180 beträgt. Im regelmäßigen n-eck ist diese Winkelsumme gleichmäßig auf alle n Innenwinkel des n-ecks verteilt. Für die Größe jedes Innenwinkels in einem regelmäßigen n-eck gilt demzufolge: (n-2) 180 n Jedes regelmäßige n-eck weist genau n Achsenspiegelungen und n Drehungen (einschließlich der Identität) auf. Nur regelmäßige Vielecke mit gerader Eckenzahl sind auch punktsymmetrisch. 16

17 Jedes regelmäßige n-eck besitzt einen Inkreis und einen Umkreis. Inkreis und Umkreis besitzen denselben Mittelpunkt. Dieser Mittelpunkt ist ausgehend vom Umkreis konstruktiv bestimmbar. Weil jede Seite des n-eckes Sehne des Umkreises ist, geht Ihre Mittelsenkrechte durch den Mittelpunkt des Kreises. Verbindet man den Kreismittelpunkt mit jedem Eckpunkt, so wird das n-eck in n gleichschenklige, zueinander kongruente Dreiecke Die am Mittelpunkt liegenden Winkel der Dreiecke sind alle gleich groß: (Bestimmungsdreiecke) zerlegt. α = 360 n Umkreisradius r 2 Inkreisradius r 1 17

18 regelmäßiges Fünfeck Alle regelmäßigen n-ecke haben jeweils gleich große Innenwinkel. Beim regelmäßigen Fünfeck beträgt die Größe eines Innenwinkels 108. Innenwinkelsumme: (n-2) = 540 Größe eines Innenwinkels: 540 : 5 =

19 Besonderheit: regelmäßiges Sechseck Jedes regelmäßige n-eck kann man in n gleichschenklige Dreiecke zerlegen. Beim regelmäßigen Sechseck sind die Winkel an jeder Dreieckspitze 60 (360 : 6), dann müssen die beiden Winkel an der Basis auch jeweils 60 sein. Die Bestimmungsdreiecke im regelmäßigen Sechseck sind also gleichseitig. Deshalb entspricht auch die Seite des 6-Ecks dem Radius des Umkreises (sonst nur die Schenkel). Die am Mittelpunkt liegenden Winkel der Dreiecke sind alle gleich groß: α = 360 n So ist jeder Kreis durch seinen Radius in ein regelmäßiges Sechseck zerlegbar. Wenn man also einen Kreis zeichnet und seinen Radius 5 mal abträgt, erhält man immer ein regelmäßiges Sechseck. 19

20 Quadrat und regelmäßiges Achteck Zwei beliebige, aber senkrecht aufeinander stehende Durchmesser schneiden einen Kreis in vier Punkten, den vier Seiten eines regelmäßigen Vierecks (Quadrat). Halbiert man die Quadratseiten und zeichnet durch die Seitenmitten Durchmesser, so erhält man vier weitere Ecken, die uns zum regelmäßigen Achteck führen. 20

21 regelmäßiges Neuneck Die Gleichheit der Winkel am Mittelpunkt der Figur ermöglicht das Zeichnen regelmäßiger Vielecke. 360 : 9 = 40 21

22 Konstruieren mit Hilfe des Kreises Durch sechsmaliges Abtragen des Radius eines Kreises auf der Kreislinie entsteht ein regelmäßiges Sechseck. Verbindet man drei nicht benachbarte Punkte, so erhält man ein gleichseitiges Dreieck. Über das Prinzip der Seitenhalbierung lässt sich ausgehend vom Quadrat ein Achteck usf. konstruieren. Konstruieren mit Hilfe des Quadrates Regelmäßige Achtecke kann man unter Nutzung der Seitenmitten des Quadrates konstruieren. 22

23 4 Praxiskurs: Falten regelmäßiger Vielecke Sechseck gleichseitiges Dreieck Ecken zur Mitte Achteck aus dem Zauberquadrat Fünfeck Papierstreifen knoten 23

24 regelmäßiges Achteck Quelle: Besuden 24

25 Aufgabe zur Übung, Woche vom Falten oder zeichnen Sie ein Vieleck. Berechnen Sie die Anzahl der Diagonalen und die Innenwinkelsumme Ihres Vielecks. Leiten Sie eine der beiden Formeln gedanklich her. 25

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