Über einige Sätze und Aufgaben aus der Dreiecksgeometrie Darij Grinberg. Klassische Eigenschaften von Dreiecken

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1 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 1 von 38 Über einige Sätze und ufgaben aus der Dreiecksgeometrie Darij Grinberg 2003 Klassische Eigenschaften von Dreiecken 1. Einleitung Von allen Vielecken, außer dem Punkt und der Strecke (die man aber nur in Grenzfällen als Vielecke betrachtet), ist das Dreieck das einfachste. Viele Eigenschaften des Dreiecks finden sich im Lehrplan der Schule, weil sie in der Geometrie und auch in der höheren Mathematik unumgänglich sind. ber diese Eigenschaften sind nicht ein kleines Teil davon, was über Dreiecke im Laufe der Jahrhunderte an interessanten Ergebnissen bekannt geworden ist. Ein ganzes Feld der Geometrie ist entstanden, die sogenannte Dreiecksgeometrie. Man kann dieses Feld als Spiel oder als Kunst interpretieren, denn es hat keine nwendungen. Optimistischer könnte man dagegen sagen, die Dreiecksgeometrie sei die reinste Mathematik, die es gibt. Mit geistreichen eweisen, mit lange unentdeckt gebliebenen Sätzen von erstaunlichen Einfachheit und mit ezügen zur algebraischen Geometrie verdient die Dreiecksgeometrie einen festen Platz in der Unterhaltungsmathematik. Das wichtigste Objekt der Dreiecksgeometrie ist (Überraschung!) das Dreieck. Es wird oft mit, oder XYZ bezeichnet, wobei das Zeichen für Dreieck ist und,, (oder 1, 2, 3 oder X, Y, Z) die Dreiecksecken sind. Wir werden in diesem Vortrag die ezeichnung verwenden. Die Seiten des Dreiecks werden dann mit a, b und c bezeichnet, und die Winkel heißen, und. emerkung: Dreiecksgeometer kämpfen aktiv gegen die ezeichnung für die Fläche des Dreiecks. Ein Grund dafür ist, daß in merika oft die Winkel nicht, und, sondern, und heißen, und ein anderer Grund ist, daß einfach eine Dreiecksecke ist. So sind S und F gebräuchliche ezeichnungen für die Dreiecksfläche; in den letzten Jahren hat sich auch die ezeichnung durchgesetzt. Für die Seiten eines Dreiecks gelten die bekannten Dreiecksungleichungen a b c, b c a und c a b. Für die Winkel gilt der Satz 180. Falls auch diese Ergebnisse aus unseren Schulbüchern verschwunden sind, dann bedeutet es, daß wir uns schon in einem sehr späten Stadium der pokalypse befinden. (Nach der Streichung der dditionsformeln für Sinus und Kosinus kann man allerdings alles erwarten.)

2 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 2 von 38 α c b β a Fig. 1 Dreiecke können spitzwinklig, stumpfwinklig und (fast vergessen...) rechtwinklig sein. Für letztere gilt der Satz von Pythagoras, a 2 b 2 c 2, wobei natürlich angenommen wird, daß der rechte Winkel bei der Ecke liegt, also 90. Für 90 ist b 2 c 2 a 2, und für 90 ist c 2 a 2 b 2. Ich habe mich mal mit einem Schüler gestritten, weil ich meinte, der Satz von Pythagoras laute a 2 b 2 c 2, und er mir entgegensetzte, er laute b 2 c 2 a 2. In Wirklichkeit waren wir beide falsch - der Satz von Pythagoras lautet Ist in einem Dreieck der Winkel 90, dann ist a 2 b 2 c 2, oder äquivalent Ist in einem Dreieck der Winkel 90, dann ist b 2 c 2 a 2. eidesmal unter stillschweigender nnahme, daß die Standardbezeichnungen,,, a, b, c benutzt werden. In diesem Vortrag werden wir nun einige weitere Dreieckseigenschaften zeigen - bekannte und weniger bekannte. nsonsten findet sich vieles in den lesenswerten üchern, die ich am Ende in der Literaturliste aufführe. 2. Was sind merkwürdige Punkte? In der heutigen Schule werden vier merkwürdige (bzw. besondere, bemerkenswerte,...) Punkte des Dreiecks gelehrt. Jedes mal ein Satz über drei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. n einem gleiten diese Sätze vorbei wie Trivialitäten, der andere wundert sich sein Leben lang darüber. Es war wahrscheinlich einer der letzteren, der den egriff der merkwürdigen Punkte erfunden hat, und trotz aller Definitionsversuche ist dieser egriff subjektiv. Wir erinnern uns an diese Punkte, wobei wir zunächst nur die aus der Schule bekannten Eigenschaften aufführen: 3. Der Schwerpunkt Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, und dieser Punkt wird der Schwerpunkt des Dreiecks genannt. Siehe Fig. 2, wo das Dreieck heißt, die Seitenhalbierenden, und, und der Schwerpunkt S. In merika bezeichnet man den Schwerpunkt meist mit G, aber wir werden später den uchstaben G für den Gergonnepunkt benutzen. γ

3 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 3 von 38 ' ' S ' Fig. 2 Es gibt viele eweise des Satzes, daß sich die drei Seitenhalbierenden in einem Punkt schneiden. ekanntlich teilen sie sich in diesem Punkt im Verhältnis 2 : 1, also S : S S : S S : S Der Inkreismittelpunkt Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem sogenannten Inkreismittelpunkt des Dreiecks. In Fig. 3 ist das Dreieck und der Inkreismittelpunkt O. Der Inkreismittelpunkt hat seinen Namen davon, daß er der Mittelpunkt des einzigen Kreises ist, der die Seiten des Dreiecks berührt, und zwar die Seiten als Strecken (d. h. er berüht die Strecken, und und nicht ihre Verlängerungen). Dieser Kreis heißt der Inkreis des Dreiecks. Der Inkreismittelpunkt O ist gleich weit entfernt von jeder der Dreiecksseiten. D. h. auf Fig. 3 ist OX OY OZ, wobei X, Y und Z die Fußpunkte der Lote von O auf die Seiten, und sind. Diese Fußpunkte sind gleichzeitig die Punkte, in denen der Inkreis die jeweiligen Seiten berührt.

4 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 4 von 38 Y Z O X Fig. 3 Die Winkelhalbierenden des Dreiecks, die sich in O schneiden, sind die Innenwinkelhalbierenden seiner Winkel. Man fragt sich, ob die ußenwinkelhalbierenden der Winkel sich auch in einem Punkt schneiden. Das tun sie nicht, aber man kann erkennen, daß sich je zwei ußenwinkelhalbierenden und die Innenwinkelhalbierende des dritten Winkels in einem Punkt schneiden. Mehr dazu später, in Der Höhenschnittpunkt Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der (in plausibler Weise) der Höhenschnittpunkt des Dreiecks genannt wird. Der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks wird meist mit H bezeichnet (Fig. 4). Die Fußpunkte der Höhen nennt man öfters H a, H b und H c. Die merkwürdigen Punkte, die wir in den vorigen Paragraphen untersucht hatten, hatten stets eine klare Lage in bezug auf Dreieck : Der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt liegen stets im Inneren des Dreiecks; die drei nkreismittelpunkte liegen stets außerhalb. eim Höhenschnittpunkt ist es nun anders: Er liegt innerhalb des Dreiecks, falls es spitzwinklig ist, und außerhalb, falls es stumpfwinklig ist. Für ein rechtwinkliges Dreieck ist der Höhenschnittpunkt die Ecke mit dem rechten Winkel. Wir werden später (in 11) zu den Höhen und dem Höhenschnittpunkt zurückkehren.

5 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 5 von 38 H b H c H H a 6. Der Umkreismittelpunkt Fig. 4 r ' U ' r r ' Fig. 5 Schließlich erinnern wir uns an den letzten kanonischen merkwürdigen Punkt des Dreiecks. Die Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt heißt Umkreismittelpunkt des Dreiecks. Er ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks, d. h. des Kreises durch die drei Ecken.

6 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 6 von 38 uf Fig. 5 heißt das Dreieck und der Umkreismittelpunkt U. Der Radius r des Umkreises ist eine sehr bedeutende Größe in der Geometrie des Dreiecks. Offensichtlich gilt r U U U. Wie der Höhenschnittpunkt, so liegt auch der Umkreismittelpunkt nur für spitzwinklige Dreiecke im Dreiecksinneren. Für rechtwinklige Dreiecke ist er der Mittelpunkt der Hypotenuse, und für stumpfwinklige Dreiecke liegt er außerhalb des Dreiecks. Vergessene/Neue Eigenschaften von Dreiecken 7. Einleitung Damit haben wir alle vier bekannten merkwürdigen Punkte abgehandelt, nämlich den Schwerpunkt S, den Inkreismittelpunkt O, den Höhenschnittpunkt H und den Umkreismittelpunkt U. Wir haben dabei ihre aus der Schule bekannten Eigenschaften genannt. ber an jeder der Zeichnungen kann man viel mehr ablesen, einige Sätze, die in keinem Schulbuch stehen. Einige dieser Eigenschaften sind vergessen (in alten üchern), andere sind wahrscheinlich neuer. Wir werden also diese vier merkwürdigen Punkte nacheinander wieder untersuchen. eginnen wir mit dem Inkreismittelpunkt. 8. Die drei nkreismittelpunkte m Ende von 4 haben wir festgestellt, daß sich die ußenwinkelhalbierenden zweier beliebiger Winkel eines Dreiecks und die Innenwinkelhalbierende des dritten Winkels in einem Punkt schneiden. Dieser Punkt heißt ein nkreismittelpunkt des Dreiecks, und zwar der zu der Ecke des dritten Winkels gehörende nkreismittelpunkt. Dies ist ziemlich abstrakt; betrachten wir also Fig. 6. Die ußenwinkelhalbierenden der Winkel bei und bei und die Innenwinkelhalbierende des Winkels bei schneiden sich in einem Punkt, und dieser Punkt ist der zu der Ecke gehörende nkreismittelpunkt des Dreiecks. ezeichnen wir ihn mit O c. Wir können aber genau so zwei andere nkreismittelpunkte angeben, O a und O b, die jeweils zu den Ecken und gehören. Wir stellen in einer Tabelle zusammen, welcher der Inkreis- und der nkreismittelpunkte auf welcher Winkelhalbierenden liegt: liegt auf...halbierende liegt auf...halbierende liegt auf...halbierende des Winkels des Winkels des Winkels Inkreismittelpunkt O Innenwinkel... Innenwinkel... Innenwinkel... nkreismittelpunkt O a Innenwinkel... ußenwinkel... ußenwinkel... nkreismittelpunkt O b ußenwinkel... Innenwinkel... ußenwinkel... nkreismittelpunkt O c ußenwinkel... ußenwinkel... Innenwinkel...

7 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 7 von 38 O b O c O O a Fig. 6 nalog zu dem Inkreismittelpunkt ist jeder nkreismittelpunkt der Mittelpunkt eines Kreises, der die Seiten des Dreiecks berührt, aber diesmal berührt jeder von den drei solchen Kreisen je eine Seite als Strecke und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten. Diese drei Kreise heißen die nkreise des Dreiecks. Interessant wird es, wenn man den Inkreis (mit dem Mittelpunkt O) und die drei nkreise (mit den Mittelpunkten O a, O b und O c ) auf einer Zeichnung (Fig. 6) zusammen sieht. Da der Inkreismittelpunkt O und der zu gehörende nkreismittelpunkt O a beide auf der Innenwinkelhalbierenden des Winkels liegen, und da die zu und zu gehörenden nkreismittelpunkte O b und O c beide auf der ußenwinkelhalbierenden des Winkels liegen, und da die Innenwinkelhalbierende und die ußenwinkelhalbierende eines Winkels immer zueinander orthogonal sind, schneiden sich die Geraden OO a und O b O c in und sind zueinander orthogonal. Entsprechend erkennt man, daß die Geraden OO b und O c O a sich in schneiden und zueinander orthogonal sind, und daß die Geraden OO c und O a O b sich in schneiden und zueinander orthogonal sind. lso sind OO a, OO b und OO c die Höhen des Dreiecks O a O b O c, und O ist folglich der Höhenschnittpunkt dieses Dreiecks. ndererseits sind die Geraden OO a, OO b und OO c nichts anderes als die Innenwinkelhalbierenden des Dreiecks. Wir erhalten also: Satz: Die Innenwinkelhalbierenden eines Dreiecks sind die Höhen des Dreiecks aus den nkreismittelpunkten. Der Inkreismittelpunkt O des Dreiecks ist der Höhenschnittpunkt des Dreiecks aus den nkreismittelpunkten. Die nkreismittelpunkte und die nkreise waren lange Schulstoff; leider sind sie jetzt aus

8 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 8 von 38 unserem Lehrplan größtenteils verschwunden. 9. Der Schwerpunkt und Flächeninhalte ' ' S ' Fig. 7 Kommen wir nun zu dem Schwerpunkt S. Wenn, wie in 3, die Mittelpunkte der Seiten, und mit, und bezeichnet werden, dann ist der Schwerpunkt S der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, und. Diese Seitenhalbierenden teilen das Dreieck in 6 Teildreiecke: S, S, S, S, S und S. Irgendwie erkennt man intuitiv an der Zeichnung (Fig. 7), daß diese 6 Teildreiecke die gleiche Fläche haben. Dies ist richtig: Satz: Die Dreiecke S, S, S, S, S und S haben gleiche Fläche. eweis: Wir bezeichnen die Fläche eines Dreiecks XYZ mit F XYZ ; ferner sei x! F S", x# $ F S", y $ F S", y# $ F S", z $ F S" und z# $ F S" (siehe Fig. 8). Wir wollen zeigen, daß x $ x# $ y $ y# $ z $ z# ist. etrachten wir die Dreiecke # und #. Die Fläche eines Dreiecks ist 1 2 % Grundseite % Höhe; da die Dreiecke & und & eine gemeinsame Höhe h haben (der Lot von auf ), ist also F ' ( 1 2 % & % h und F ' ( 1 2 % & % h. Wegen & ( & (denn & ist der Mittelpunkt von ) erhalten wir also F ' ( F ', das heißt y) y& ) z ( x) x& ) z&. Kommen wir jetzt zu den Dreiecken S& und S&. Diese zwei Dreiecke haben wieder eine gemeinsame Höhe h& (der Lot von S auf ). Damit ist F S' ( 1 2 % & % h& und F S' ( 1 2 % & % h&. Wegen & ( & ist also F S' ( F S', das heißt z ( z&. nalog ist x ( x& und y ( y&, und die Gleichung y) y& ) z ( x) x& ) z& vereinfacht sich zu 2y) z ( 2x) z, also 2y ( 2x und y ( x. nalog findet man z ( y. Damit ist schließlich x ( x& ( y ( y& ( z ( z&, was zu beweisen war.

9 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 9 von 38 ' z y' ' z' S y x x' ' Fig Der Lamoenkreis Doch die 6 Teildreiecke, in die das Dreieck von seinen Seitenhalbierenden zerlegt wird, haben noch eine weitere Eigenschaft: Ihre Umkreismittelpunkte liegen auf einem Kreis (Fig. 9). Dieser wunderbare Satz wurde erst 2000 von Floor van Lamoen entdeckt und in der usgabe des merican Mathematical Monthly vom November 2000 veröffentlicht. Der Kreis, auf dem die 6 Umkreismittelpunkte liegen, heißt demzufolge Lamoenkreis des Dreiecks. Der eweis des Satzes von Lamoen ist ziemlich schwierig.

10 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 10 von 38 ' ' S ' Fig Einige esonderheiten der Höhen Jetzt unterziehen wir Fig. 4 mit den Höhen des Dreiecks, ihren Fußpunkten H a, H b und H c und ihrem Schnittpunkt H einer Revision: Die Dreiecke HH b und HH a sind ähnlich (ww; weil sie in den Winkeln bei H und in den rechten Winkeln übereinstimmen); daher ist H : HH b * H : HH a, also H + HH a * H + HH b. nalog findet man H + HH b * H + HH c. Damit haben wir bewiesen: Satz: Für die Höhen eines Dreiecks gilt Eine weitere interessante Formel ist H + HH a * H + HH b * H + HH c. H 2, a 2 * H 2, b 2 * H 2, c 2 * 4r 2, wobei r der Umkreisradius des Dreiecks ist (siehe 6). Ein eweis kommt in Die Eulergerade In der Geometrie sollte man niemals zu viele Punkte auf eine Zeichnung quetschen - man verliert sofort den Überblick. llerdings ist es manchmal sinnvoll, Zeichnungen zu überlagern, wenn die Punkte einen starken Zusammenhang miteinander haben. So zeigt Fig. 10 die Höhen, die Seitenhalbierenden und die Mittelsenkrechten des Dreiecks. Man erkennt an der Zeichnung: Satz von Euler: Der Höhenschnittpunkt H, der Schwerpunkt S und der Umkreismittelpunkt U eines Dreiecks liegen auf einer Geraden, und es gilt HS * 2 + SU (wobei S zwischen H und U liegt).

11 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 11 von 38 H b ' ' H c H S U H a ' Fig. 10 Dies ist ein bekannter Satz, und die Gerade durch H, S und U heißt die Eulergerade des-. Ein einfacher, aber hinterlistiger und impliziter eweis des Satzes von Euler ist möglich, wenn man einen Punkt H. auf der Geraden SU einführt, für den gelten soll: H. S / 2 0 SU (wobei S zwischen H. und U liegt). Durch diese Vorlagen ist der Punkt H. eindeutig festgelegt; wir müssen zeigen, daß dieser Punkt H. mit dem Höhenschnittpunkt H des- übereinstimmt. Siehe Fig. 11. Wir haben H. S : SU / 2; andererseits wissen wir aber S : S. / 2 (aus 3). Nach dem Strahlensatz ist also H. 1 2 U. Da aber 2 U 3 ist (denn der Umkreismittelpunkt U des Dreiecks liegt auf der Mittelsenkrechten von ), ist damit H4 3. Das bedeutet, daß H4 auf der von ausgehenden Höhe des Dreiecks liegt. nalog beweist man, daß H4 auf der von ausgehenden Höhe und auf der von ausgehenden Höhe liegt. Damit ist H4 der Höhenschnittpunkt des5, also H4 6 H. Folglich liegt H auf der Geraden SU, und HS SU, und S liegt zwischen H und U, womit der Satz von Euler bewiesen ist. Wir haben hierbei aber noch neu bewiesen, daß sich die drei Höhen des Dreiecks in einem Punkt schneiden. Denn als wir H4 einführten, wussten wir noch nichts über die Existenz von H; als wir dann zeigten, daß H4 auf den drei Höhen des Dreiecks liegt, bekamen wir als onus hinzu, daß die drei Höhen wirklich einen gemeinsamen Punkt haben.

12 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 12 von 38 ' ' H' S U ' Fig. 11 Übrigens läßt sich der Satz von Euler auch wie folgt formulieren: Der Umkreismittelpunkt U ist das ild des Höhenschnittpunktes H bei der zentrischen Streckung mit dem Zentrum S und dem Faktor8 1/2. ußer dem Satz von Euler erkennt man auf der Zeichnung vieles mehr. Wir wissen (nach dem Satz von Euler), daß die Punkte H, S und U auf einer Geraden liegen, und daß HS : SU 9 2 ist. ndererseits wissen wir aus 3, daß die Punkte, S und : auf einer Geraden liegen, und daß S : S: 9 2 ist. Nach dem Strahlensatz ist also H ; : U und H 9 2 < : U. nalog findet man H 9 2 < : U und H 9 2 < : U. Wir haben damit folgenden (oft benutzten) Satz erhalten: Satz: Es ist H 9 2 < : U, H 9 2 < : U und H 9 2 < : U. In Worten: Der bstand einer Dreiecksecke vom Höhenschnittpunkt ist doppelt so groß wie der bstand des Umkreismittelpunktes vom Mittelpunkt der Seite, die unserer Ecke gegenüberliegt. Das Dreieck : U ist rechtwinklig (denn : U =, weil U als Umkreismittelpunkt auf der Mittelsenkrechten von liegt); nach dem Satz von Pythagoras ist also U 9 : > 2 U : 2 2. Nun H ist U 9 r (der Umkreisradius des Dreiecks); nach dem gerade bewiesenen Satz ist : U 9 ferner ist : 9 a 2 (denn : ist der Mittelpunkt von ). Folglich haben wir r 2 9 H 2 2 > a 2 2, also r H2 > 1 4 a2, und damit H 2 > a 2 9 4r 2. nalog zeigt man H 2 > b 2 9 4r 2 und H 2 > c 2 9 4r 2, und damit ist die Gleichung H 2 > a 2 9 H 2 > b 2 9 H 2 > c 2 9 4r 2 gezeigt (die wir in 11 gefunden haben). ndere eweise dieser Gleichung sind z.. mit Trigonometrie möglich. 13. Der Feuerbachkreis 2, und

13 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 13 von 38 n der Konfiguration von Fig. 10 erkennt man mehr: Die Seitenmitten?,? und? und die Höhenfußpunkte H a, H b und H c liegen auf einem Kreis. Wenn man ganz aufmerksam hinschaut, erkennt man zusätzlich, daß die Mittelpunkte der Strecken H, H und H auf diesem Kreis liegen. Wir fassen also zusammen: Satz vom Feuerbachkreis: Sei@ ein beliebiges Dreieck. Dann liegen seine Seitenmitten?,? und?, seine Höhenfußpunkte H a, H b und H c, und die Mittelpunkte D, E und F der Strecken H, H und H (wobei H der Höhenschnittpunkt des@ ist) auf einem Kreis. Dieser Kreis heißt der Feuerbachkreis oder Neunpunktekreis des Dreiecks. emerkung: Die ezeichnung Feuerbachkreis ist auf eine von Karl Feuerbach gefundene Eigenschaft dieses Kreises zurückzuführen - siehe 14. Die ezeichnung Neunpunktekreis bezieht sich dagegen auf die neun Punkte?,?,?, H a, H b, H c, D, E und F, die auf dem Kreis liegen. Die Punkte D, E und F heißen gelegentlich Eulerpunkte des Dreiecks. ' D H b ' H c E H H a ' F Fig. 12 Es sind viele eweise des Satzes vom Feuerbachkreis bekannt; siehe etwa [1], [2], [4]. Im übrigen sind die meisten dieser eweise sehr ähnlich, da der Satz nicht schwer ist. Ein eweis geht z.. folgendermaßen (Fig. 12a): Da die Punkte? und D die Mittelpunkte der Strecken und H sind, ist die Strecke? D Mittelparallele im Dreieck H und mithin parallel zu H. lso ist? D H H b 90 H b 90. ndererseits haben wir?? D und damit?? ; also ist D?? 180? D?? 180 E 90 F G H I J K 180 I 90 K 90. nalog ist J DL L K 90. ußerdem ist J DH a L K 90 (trivial). lso liegen die Punkte L, L und H a auf dem Thaleskreis über der Strecke DL. In anderen Worten: Die Punkte H a und D liegen auf dem Kreis durch die Punkte L, L und L. Doch genauso läßt sich zeigen, daß die Punkte H b und E ebenfalls auf diesem Kreis liegen, und gleichfalls die Punkte H c und F. lso liegen alle neun Punkte L, L, L, H a, H b, H c, D, E und F auf einem Kreis, was zu beweisen war. [Im Fall, wenn M stumpfwinklig ist, muß dieser eweis leicht geändert werden (wie fast jeder eweis, der mit Winkeln arbeitet).]

14 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 14 von 38 D H b ' ' H c H H a ' Fig. 12a Weitere Eigenschaften des Feuerbachkreises sind leicht zu beweisen: Der Radius des Feuerbachkreises eines Dreiecks ist halb so groß wie der Radius des Umkreises. Der Mittelpunkt des Feuerbachkreises ist der Mittelpunkt der Strecke HU, wobei H der Höhenschnittpunkt und U der Umkreismittelpunkt des Dreiecks sind. 14. Der Satz von Feuerbach Der Feuerbachkreis hat eine ganz besondere Eigenschaft, weshalb er Feuerbachkreis heißt, und zwar ist diese Eigenschaft ein Satz von Karl Feuerbach: Satz von Feuerbach: Der Feuerbachkreis des Dreiecks berührt den Inkreis und die drei nkreise.

15 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 15 von 38 ' D H b ' H c H E H a ' F Fig. 13 Ein schöner und sehr schwieriger Satz. Siehe auch [1] und [2]. 15. Der Gergonnepunkt Mit dem Satz von Feuerbach sind wir wieder beim Inkreis des Dreiecks angekommen. Der Inkreis des Dreiecks berühre die Seiten, und in den Punkten X, Y und Z (natürlich in dieser Reihenfolge: d. h. er berühre in X, in Y und in Z). Eine Zeichnung mit einem dynamischen Geometrieprogramm gibt einige Ideen: Die Geraden X, Y und Z schneiden sich doch in einem Punkt, oder ist es nur eine Täuschung? Vielleicht begrenzen sie ein sehr kleines Dreieck? Oder findet man so einfach merkwürdige Punkte? Ja, stellt sich heraus, die Geraden X, Y und Z schneiden sich tatsächlich in einem Punkt. Dieser Punkt heißt der Gergonnepunkt des Dreiecks und ist ein ziemlich wenig bekannter merkwürdiger Dreieckspunkt.

16 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 16 von 38 Y Z G O X Fig. 14 eweise, daß sich die Geraden X, Y und Z in einem Punkt schneiden, findet man in [1], [2], [4] und [5]. 16. Die Geraden X, Y und Z Untersuchen wir weiter die Geraden X, Y und Z. Es gilt der folgende Satz ([4], Exercise 1.2): Satz: Für den erührpunkt X des Inkreises mit gilt: Die Inkreise der Dreiecke X und X berühren einander. O X Fig. 15 eweis: Der Inkreis desn X berühre X in K, in L und X in M. Der Inkreis desn X

17 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 17 von 38 berühre X in N, in P und X in Q. Wir werden zunächst beweisen, daß die Punkte M und Q zusammenfallen. Y Z O P L U M Q V K X N Fig. 16 Wir erinnern uns erstmals an den folgenden Satz: Zeichnet man die Tangenten von einem Punkt an einen Kreis, dann sind die beiden Tangentenabschnitte (bschnitte vom Punkt zum erührpunkt mit dem Kreis) gleich lang. Wir werden diesen Satz als Tangentengleichheitssatz (kurz TGS) bezeichnen. Nach dem TGS gilt: XK O XM, M O L und L O K. Daher haben wir und damit nalog beweist man Daher ist XK O XM O XP M O XP L O XP Q P LR O XP S L O XP S K O XP S Q XP XKR O XP S XP XK, 2 T XK O XP S X. 2 T XN O XP S X. 2 T XKP 2 T XN O Q XP S XR P Q XP S XR O Q P S XR P Q P S XR O Q P XR P Q P XR O Q P YR P Q P ZR (denn X O Y und X O Z nach dem TGS) O YP Z O 0 (denn Y O Z nach dem TGS). lso ist 2 T XK O 2 T XN, und damit XK O XN. Nach dem TGS gilt aber XK O XM und XN O XQ.

18 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 18 von 38 Folglich ist XM U XQ. lso müssen die (auf der Strecke X liegenden) Punkte M und Q übereinstimmen. Das bedeutet, daß die Inkreise der Dreiecke X und X die Strecke X in demselben Punkt berühren. Daraus folgt aber sehr leicht, daß diese beiden Inkreise einander berühren: Sind U und V die Mittelpunkte der zwei Kreise, dann ist UM V X und VQ V X (denn ein erührradius ist stets orthogonal zur Tangente). Wegen M U Q ist also UM V X und VM V X, und die Punkte U, M und V liegen daher auf einer Geraden, d. h. der Punkt M liegt auf der Gerade durch die Mittelpunkte U und V der beiden Kreise. Da der Punkt M aber auch auf den beiden Kreisen liegt, berühren sie sich, was zu beweisen war. nalog beweist man, daß die Inkreise der Dreiecke Y und Y einander berühren, und daß die Inkreise der Dreiecke Z und Z einander berühren. 17. Ein weiterer Satz Ein anderer Satz über diese Konfiguration ist wahrscheinlich neu: Satz: Die Senkrechte zu durch schneide O in M. Die Senkrechte zu durch schneide O in N. Dann ist MN V X. Ich kenne nur einen ziemlich langen eweis dieses Satzes. M N O X Fig Über Spiegelbilder von Seitenhalbierenden, Höhen usw. Merkwürdige Punkte eines Dreiecks sind meist dort, wo sich drei bestimmte Geraden in einem Punkt schneiden. Drei solche Geraden sind die Seitenhalbierenden, drei solche Geraden sind die Winkelhalbierenden, drei solche Geraden sind die Höhen, und drei solche Geraden sind die Mittelsenkrechten. Was passiert eigentlich, wenn man die Seitenhalbierenden an den (entsprechenden) Winkelhalbierenden spiegelt - schneiden sich die drei entstandenen Geraden in einem Punkt oder nicht? Wenn man die Winkelhalbierenden an den Seitenhalbierenden spiegelt? Wenn man die Höhen an den Seitenhalbierenden spiegelt? Man hat 4 W 3 U 12 Möglichkeiten, ein Geradentripel aus den vier Geradentripeln an einem anderen Geradentripel zu spiegeln, und zu schauen, ob sich die entstandenen Geraden in einem Punkt schneiden. Mithilfe von dynamischer Geometriesoftware fand ich folgende Ergebnisse:

19 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 19 von 38 Wenn man die... an den... spiegelt, schneiden dann in sich die Spiegelbilder einem Punkt? Seitenhalbierenden Winkelhalbierenden ja Seitenhalbierenden Höhen nein Seitenhalbierenden Mittelsenkrechten nein Winkelhalbierenden Seitenhalbierenden nein Winkelhalbierenden Höhen nein Winkelhalbierenden Mittelsenkrechten nein Höhen Seitenhalbierenden nein Höhen Winkelhalbierenden ja Höhen Mittelsenkrechten ja Mittelsenkrechten Seitenhalbierenden nein Mittelsenkrechten Winkelhalbierenden nein Mittelsenkrechten Höhen ja emerkung: Ein ja bedeutet, daß sich die Geraden immer in einem Punkt schneiden. Ein nein bedeutet, daß sich die Geraden nicht für jedes Dreieck in einem Punkt schneiden. So schneiden sich die Spiegelbilder der Seitenhalbierenden an den Höhen für ein gleichseitiges Dreieck offensichtlich in einem Punkt; bei einem allgemeinen Dreieck tun sie es aber nicht. Wir sehen also genau vier Fälle, bei denen sich die entstandenen Geraden für jedes Dreieck in einem Punkt schneiden. Wir werden diese Fälle in den folgenden Paragraphen einzeln betrachten. 19. Der Lemoinepunkt etrachten wir die Seitenhalbierenden und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks. Jede Seitenhalbierende werde an der entsprechenden Winkelhalbierenden gespiegelt (d. h. die Seitenhalbierende durch an der Winkelhalbierenden durch, usw.). Dann schneiden sich die entstandenen Geraden in einem Punkt; dieser Punkt heißt der Lemoinepunkt des Dreiecks und wird gewöhnlich mit L bezeichnet (Fig. 18). emerkungen: Das Spiegelbild einer Seitenhalbierenden an der entsprechenden Winkelhalbierenden wird oft als Symmediane bezeichnet. Dann ist L der Schnittpunkt der drei Symmedianen; deshalb wird L auch öfters Symmedianpunkt oder Symmedianenpunkt des Dreiecks genannt. Der eweis, daß sich die drei Symmedianen tatsächlich in einem Punkt schneiden, ist einfach, wenn der Satz von eva bekannt ist (siehe z.. [1] und [4]). n der Zeichnung Fig. 18 könnte man vermuten, daß der Schwerpunkt S, der Inkreismittelpunkt O und der Lemoinepunkt L auf einer Geraden liegen. Eine größere Figur widerlegt dies aber.

20 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 20 von 38 ' ' L O S ' Fig. 18 Der Lemoinepunkt ist ein sehr merkwürdiger Punkt, obwohl er keiner der vier kanonischen Punkte ist, und hat eine Unmenge Eigenschaften (siehe etwa [1] und [4]). Nur zwei davon: Fällt man von dem Lemoinepunkt L aus Lote auf die Dreiecksseiten, und, und bezeichnet die Fußpunkte dieser Lote mit X L, Y L und Z L (in dieser Reihenfolge), dann ist L der Schwerpunkt des Dreiecks X L Y L Z L, und es gilt LX L : LY L : LZ L X a : b : c. emerkung: Dies ist eine Verhältnisgleichung. Sie bedeutet nicht LX L geteilt durch LY L und dann geteilt durch LZ L ist gleich a geteilt durch b und dann geteilt durch c, und kann deshalb auch nicht zu LX L : Y LY L Z LZ L[ X a : Y b Z c[ vereinfacht werden, sondern sie ist zu verstehen im Sinne von LX L : LY L X a : b und LY L : LZ L X b : c. D. h. die Strecken LX L, LY L und LZ L verhalten sich wie a, b und c. In Worten ausgedrückt: Die bstände des Lemoinepunktes von den Dreiecksseiten verhalten sich wie diese Seiten selber. Wir werden noch eine weitere Eigenschaft des Lemoinepunktes in 24 finden.

21 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 21 von 38 Y L Z L L X L Fig Die Spiegelbilder der Höhen an den Winkelhalbierenden etrachten wir jetzt die Spiegelbilder der Höhen an den entsprechenden Winkelhalbierenden. Wo schneiden sie sich? Schon wieder in einem neuen merkwürdigen Punkt? Nein, stellen wir fest, sie schneiden sich in dem Umkreismittelpunkt des Dreiecks. Der eweis ist nicht sehr schwer. Formulieren wir erstmals den Satz mit allen ezeichnungen: Satz: Sei ein Dreieck, und seien H a, H b und H c seine Höhen - wobei H a, H b und H c die jeweiligen Fußpunkte sind -, sei H sein Höhenschnittpunkt und U sein Umkreismittelpunkt. Dann schneiden sich die Spiegelbilder der Höhen an den entsprechenden Winkelhalbierenden in U.

22 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 22 von 38 H b H c H O U H a Fig. 20 eweis: Wir arbeiten für den Fall eines spitzwinkligen Dreiecks ; ansonsten geht der eweis analog, wobei einige Winkel Vorzeichen ändern usw.. Wir wollen zeigen, daß das Spiegelbild der Höhe H an der Winkelhalbierenden O durch den Punkt U geht. Dazu müssen wir beweisen, daß \ HO ] \ OU ist, wobei O der Inkreismittelpunkt des^ (und damit der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden) ist. Nach dem Mittelpunktswinkelsatz ist \ U ] 2 _ \ (denn \ U ist der Mittelpunktswinkel der Sehne in dem Umkreis, und \ ist ihr Umfangswinkel). Wir haben also \ U ] 2`. Da (wegen U ] U) das Dreieck U gleichschenklig ist, gilt \ U ] 180 a \ U ] 180 a 2` ] 90 a `. 2 2 ndererseits ist \ H ] \ H a ] 90 a \ H a ] 90 a `. Wir haben damit \ H ] \ U. ber es ist \ O ] \ O (Winkelhalbierende!). Folglich ist \ HO ] \ Oa \ H ] \ Oa \ U ] \ OU. Daher geht das Spiegelbild der Höhe H an der Winkelhalbierenden O durch U. nalog gehen die beiden anderen Spiegelbilder jeweils einer Höhe an der entsprechenden Winkelhalbierenden durch U, was zu beweisen war. 21. Isogonale Punkte In 19 und 20 haben wir festgestellt, daß ( 19) die Spiegelbilder der Seitenhalbierenden an den Winkelhalbierenden sich in einem Punkt schneiden, und daß ( 20) die Spiegelbilder der Höhen an den Winkelhalbierenden sich in einem Punkt schneiden. Dies ist kein Zufall, denn es gilt der folgende allgemeine Satz (Fig. 21):

23 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 23 von 38 Satz vom isogonalen Punkt: Sei ein Dreieck und P ein beliebiger Punkt (der mit keiner der Dreiecksecken zusammenfällt). Die Geraden P, P und P werden an den entsprechenden Winkelhalbierenden des Dreiecks gespiegelt. Dann schneiden sich die entstandenen Geraden in einem Punkt. Dieser Punkt - nennen wir ihn Q - heißt zu P isogonal konjugiert in bezug auf das Dreieck. Statt isogonal konjugiert sagt man meist kurz isogonal. Der Punkt Q heißt zu P isogonal; der Punkt P ist dann zu Q isogonal (denn die Spiegelbilder der Geraden Q, Q und Q an den Winkelhalbierenden des Dreiecks sind wieder die Geraden P, P und P). Man sagt, die Punkte P und Q seien zueinander isogonal. P O Q Fig. 21 Ist P der Schwerpunkt desb, dann sind P, P und P die Seitenhalbierenden, und Q ist der Lemoinepunkt. lso sind der Schwerpunkt und der Lemoinepunkt zueinander isogonal. Ist P der Höhenschnittpunkt desb, dann sind P, P und P die Höhen, und Q ist (wie wir in 20 gesehen haben) der Umkreismittelpunkt. lso sind der Höhenschnittpunkt und der Umkreismittelpunkt zueinander isogonal. Ist P der Inkreismittelpunkt desb, dann sind P, P und P die Winkelhalbierenden, und sie werden an sich selbst gespiegelt, und Q ist dann auch der Inkreismittelpunkt. Das heißt: Der Inkreismittelpunkt ist zu sich selbst isogonal. Der Satz vom isogonalen Punkt wurde in [4] und [8] bewiesen. 22. Spiegelbilder bei Höhen und Mittelsenkrechten Jetzt kommen wir zu den restlichen zwei Fällen, wo sich Spiegelbilder in einem Punkt schneiden. Es geht um die Spiegelbilder der Höhen an den Mittelsenkrechten und um die Spiegelbilder der Mittelsenkrechten an den Höhen. Fig. 22 zeigt die Spiegelbilder der Höhen an den entsprechenden Mittelsenkrechten. Diese Spiegelbilder schneiden sich in einem Punkt, und zwar ist dieser Punkt selber das Spiegelbild des

24 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 24 von 38 Höhenschnittpunktes am Mittelsenkrechten-Schnittpunkt (d. h. am Umkreismittelpunkt). [Dies ist nicht offensichtlich! Die Spiegelbilder der Höhen an den Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, aber dieser Punkt (der Umkreismittelpunkt, wie wir in 20 gesehen haben) ist nicht das Spiegelbild des Höhenschnittpunktes am Winkelhalbierenden-Schnittpunkt.] H U H' Fig. 22 Fig. 23 zeigt die Spiegelbilder der Mittelsenkrechten an den entsprechenden Höhen. Sie schneiden sich auch in einem Punkt, und zwar im Spiegelbild des Mittelsenkrechten-Schnittpunktes (d. h. des Umkreismittelpunktes) am Höhenschnittpunkt.

25 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 25 von 38 U' H U Fig. 23 Diese beiden Eigenschaften können sehr einfach erklärt werden. Nämlich sind je eine Mittelsenkrechte und die entsprechende Höhe parallel (denn beide sind orthogonal zu einer Dreiecksseite). Spiegelt man nun drei Geraden, die sich in einem Punkt P schneiden, an drei jeweils zu ihnen parallelen Geraden, die sich in einem anderen Punkt Q schneiden, dann schneiden sich die Spiegelbilder in dem Spiegelbild von P an Q.

26 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 26 von 38 i'' g'' i g i' g' h h' P' P Q h'' X X' Fig. 24 eweis (Fig. 24): Seien g, h und i die drei Geraden durch P, seien gc, hc und ic die jeweils zu ihnen parallelen Geraden durch Q, und seien gcc, hcc und icc die Spiegelbilder von g an gc, von h an hc und von i an ic. Sei Pc das Spiegelbild von P an Q. Wir wollen zeigen, daß die Geraden gcc, hcc und icc sich in Pc schneiden. Ist Xc das Spiegelbild von P an hc, und X der Fußpunkt des Lotes von P auf hc, dann liegt Xc auf der Geraden PX, und PXc d 2 e PX, also PXc : PX d 2. Da P auf h liegt, liegt das Spiegelbild von P an hc auf dem Spiegelbild von h an hc, d. h. der Punkt Xc liegt auf der Geraden hcc. Da Pc das Spiegelbild von P an Q ist, hat man PPc d 2 e PQ, also PPc : PQ d 2. Zusammen mit PXc : PX d 2 folgt aus dem Strahlensatz Pc Xc f QX. Da aber QX die Gerade hc ist, ist Pc Xc f hc. Da aber Xc auf der Geraden hcc liegt, und da diese Gerade hcc parallel zu hc ist (das Spiegelbild einer Gerade an einer zu ihr parallelen Gerade ist eine weitere zu ihr parallele Gerade), liegt Pc auf der Geraden hcc. nalog zeigt man, daß Pc auf den Geraden gcc und icc liegt, was zu beweisen war. (Ich suche nach einem einfacheren eweis, wahrscheinlich durch elementare bbildungsgeometrie.) 23. Das ntimedialdreieck und das Tangentendreieck Ein Dreieck kann auf drei verschiedene Weisen zum Parallelogramm ergänzt werden. Man braucht nur die Parallele zu einer Seite durch die gegenüberliegende Ecke und die Parallele zu einer anderen Seite durch die gegenüberliegende Ecke miteinander zu schneiden; der Schnittpunkt ist dann die vierte Ecke des gewünschten Parallelogramms. Wir bezeichnen mit X den Schnittpunkt der Parallele zu durch und der Parallele zu durch. nalog sei Y der Schnittpunkt der Parallele zu durch und der Parallele zu durch, und sei Z der Schnittpunkt der Parallele zu durch und der Parallele zu durch. Das so entstandene Dreieck XYZ heißt dann das ntimedialdreieck des Dreiecks. Wir

27 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 27 von 38 haben drei Parallelogramme vorliegen, nämlich die Parallelogramme X, Y und Z. us diesen Parallelogrammen folgt unter anderem g X und g Y; also ist X g Y, und ist der Mittelpunkt der Strecke XY. Entsprechend zeigt man, daß der Mittelpunkt der Strecke YZ und der Mittelpunkt der Strecke ZX ist. Die Ecken des Dreiecks sind also die Mittelpunkte der Seiten seines ntimedialdreiecks. us dem Parallelogramm Y folgt aber auch, daß sich die Strecken und Y gegenseitig halbieren. Das heißt: Die Strecke Y geht durch den Mittelpunkt von ; also fällt die Gerade Y zusammen mit der von ausgehenden Seitenhalbierenden des Dreiecks. nalog ist die Gerade X die von ausgehende Seitenhalbierende des Dreiecks, und die Gerade Z die von ausgehende Seitenhalbierende des Dreiecks. Dies waren alles mehr oder weniger bekannte und teils triviale Eigenschaften des ntimedialdreiecks. Seinen Namen hat dieses Dreieck übrigens daher, daß das Dreieck das Mittendreieck des ntimedialdreiecks ist (denn, und sind die Mittelpunkte der Strecken YZ, ZX und XY), und Medialdreieck ist ein Synonym für Mittendreieck. Z Y X Fig. 25 Diesem ntimedialdreieck stellen wir ein anderes Dreieck gegenüber. Und zwar betrachten wir den Umkreis des Dreiecks und die Tangenten an diesen Umkreis in den Ecken, und. Die Tangenten in und in schneiden sich in Xh ; die Tangenten in und in schneiden sich in Yh ; die Tangenten in und in schneiden sich in Zh. Das somit erhaltene Dreieck Xh Yh Zh heißt Tangentendreieck des Dreiecks. Eine Eigenschaft, die wir sofort sehen, ist, daß der Umkreis des Dreiecks der Inkreis des Tangentendreiecks Xh Yh Zh ist; es ist aber Vorsicht angeraten, denn dies gilt nur für spitzwinklige Dreiecke. Für rechtwinklige Dreiecke existiert das Tangentendreieck nicht ganz (zwei Tangenten sind parallel), und für stumpfwinklige Dreiecke ist der Umkreis desi ein nkreis des Tangentendreiecks.

28 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 28 von 38 Y' Z' X' Fig. 26 Schneiden sich die Geraden Xj, Yj und Zj in einem Punkt? Ist das Dreieck spitzwinklig, dann ist der Umkreis desk der Inkreis desk Xj Yj Zj. Wenden wir das Ergebnis von 15 auf das Dreieck Xj Yj Zj an, dann erhalten wir, daß sich die Geraden Xj, Yj und Zj in dem Gergonnepunkt des Dreiecks Xj Yj Zj schneiden. Wir können damit schreiben: Satz: Istk Xj Yj Zj das Tangentendreieck eines spitzwinkligen Dreiecks, dann schneiden sich die Geraden Xj, Yj und Zj in einem Punkt, und zwar im Gergonnepunkt des Dreiecks Xj Yj Zj. Ist das Dreieck stumpfwinklig, dann muß der eweis an einigen Orten geändert werden. Es wird dann ein zu dem Gergonnepunkt analoger Punkt für einen nkreis gebraucht. Jedesmal ergibt sich, daß sich die Geraden Xj, Yj und Zj in einem Punkt schneiden (Fig. 27).

29 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 29 von 38 Y' Z' X' Fig. 27 O X' X Fig. 28 Jetzt betrachten wir eine Ecke des ntimedialdreiecks - beispielsweise X - und die

30 v Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 30 von 38 entsprechende Ecke des Tangentendreiecks - also Xl. Uns interessieren außerdem die von und von ausgehenden Winkelhalbierenden des Dreiecks ; sie schneiden sich (bekanntlich) in dem Inkreismittelpunkt O desm. Wir betrachten jetzt den Fall eines spitzwinkligen Dreiecks (Fig. 28). ls Winkel an Parallelen (Wechselwinkel) gilt n X o n, also n X o p. ndererseits ist der Winkel n Xl als Sehnentangentenwinkel gleich n, d. h. n Xl o q. Damit haben wir n XOr n Xl O o s n Xr n Ot r s n Xl r n Ot o n Xr n Xl r 2 u n O o p r q r 2 u n O o p r q r 2 u 2 o p r q r v o 180. (Winkelhalbierende!) Wir haben damit die eziehung n XOr n Xl O o 180 nachgewiesen. Doch man erkennt leicht, daß diese eziehung äquivalent ist dazu, daß die Geraden X und Xl zueinander symmetrisch bezüglich der Geraden O liegen. Das heißt: Die Gerade Xl ist das Spiegelbild der Geraden X an der von ausgehenden Winkelhalbierenden des Dreiecks. nalog erhält man: Die Gerade Xl ist das Spiegelbild der Geraden X an der von ausgehenden Winkelhalbierenden des Dreiecks. Nach dem Satz vom isogonalen Punkt ( 21) schneiden sich die Spiegelbilder der Geraden X, X und X an den entsprechenden Winkelhalbierenden desm in dem zu X isogonalen Punkt (in bezug auf das Dreieck ). Daraus folgen zwei Resultate: Hilfsresultat 1: Der Punkt Xl ist der zu X isogonale Punkt (in bezug auf das Dreieck ). Hilfsresultat 2: Der Punkt Xl liegt auf dem Spiegelbild der Geraden X an der von ausgehenden Winkelhalbierenden des Dreiecks. nalog zu Hilfsresultat 1 können wir zeigen, daß der Punkt Yl zu Y isogonal ist, und daß der Punkt Zl zu Z isogonal ist. Damit ist gezeigt: Satz von der ntimedial-tangentendreieck-isogonalität: Sindm XYZ das ntimedialdreieck undm Xl Yl Zl das Tangentendreieck eines beliebigen Dreiecks, dann sind die Punkte Xl, Yl und Zl jeweils zu den Punkten X, Y und Z isogonal in bezug auf das Dreieck. In Worten: Je eine Ecke des Tangentendreiecks ist isogonal zu der entsprechenden Ecke des ntimedialdreiecks.

31 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 31 von 38 Y' Z Z' Y X' X Fig Eine Eigenschaft des Tangentendreiecks In dem Hilfsresultat 2 von 23 haben wir gezeigt, daß der Punkt Xw auf dem Spiegelbild der Geraden X an der von ausgehenden Winkelhalbierenden des Dreiecks liegt. ber die Gerade X ist die von ausgehende Seitenhalbierende des Dreiecks (wie wir in 23 gefunden haben), und das Spiegelbild einer Seitenhalbierende an der entsprechenden Winkelhalbierenden heißt Symmediane (siehe 20). lso liegt Xw auf der von ausgehenden Symmediane des Dreiecks. Entsprechend kann man einsehen, daß Yw auf der von ausgehenden Symmediane und Zw auf der von ausgehenden Symmediane liegt. lso sind die Geraden Xw, Yw und Zw die Symmedianen des Dreiecks, und schneiden sich folglich in dem Lemoinepunkt des Dreiecks. ber aus 23 wissen wir, daß sich die Geraden Xw, Yw und Zw in dem Gergonnepunkt des Dreiecks Xw Yw Zw schneiden. Folglich stimmt der Gergonnepunkt desx Xw Yw Zw überein mit dem Lemoinepunkt des x. Wir fassen zusammen: Satz von dem Tangentendreieck und dem Lemoinepunkt: Istx Xw Yw Zw das Tangentendreieck eines Dreiecks, dann sind die Geraden Xw, Yw und Zw die Symmedianen des Dreiecks. Sie schneiden sich in dem Lemoinepunkt L des Dreiecks, welcher gleichzeitig der Gergonnepunkt desx Xw Yw Zw ist. Kurzgefasst: Der Lemoinepunkt eines Dreiecks ist gleichzeitig der Gergonnepunkt des Tangentendreiecks.

32 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 32 von 38 Y' Z' L X' Fig Das Höhenfußpunktdreieck Kommen wir zurück zu den Höhen des Dreiecks und ihren Fußpunkten H a, H b und H c. Das Dreieck H a H b H c heißt Höhenfußpunktdreieck des Dreiecks. H b H c H H a Fig. 31 Recht geläufig ist die folgende Eigenschaft: Satz: Ist das Dreieck spitzwinklig, dann ist der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks der Inkreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks H a H b H c, und die Ecken, und des Dreiecks sind die nkreismittelpunkte des Höhenfußpunktdreiecks H a H b H c. eweis: Wegen y H b z 90 und y H c z 90 liegen die Punkte H b und H c auf dem

33 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 33 von 38 Thaleskreis über der Strecke, und das Viereck H c H b ist ein Sehnenviereck. Nach dem Sehnenviereckssatz gilt also { H b 180 } { H c H b. Doch { H b { ~ und 180 } { H c H b { H c H b, sodaß wir ~ { H c H b erhalten. Genauso finden wir ~ { H c H a. Damit ist { H c H b { H c H a. lso ist die Gerade die ußenwinkelhalbierende des Winkels H b H c H a. Nun gilt { HH c H b 90 } { H c H b 90 } { H c H a { HH c H a. Die Gerade H ist damit die Innenwinkelhalbierende des Winkels H b H c H a. us demselben Grund sind die Geraden und die ußenwinkelhalbierenden der Winkel H c H a H b und H a H b H c, und die Geraden H und H die entsprechenden Innenwinkelhalbierenden. Die Punkte H,, und sind die Schnittpunkte dieser Winkelhalbierenden, also der Inkreismittelpunkt und die nkreismittelpunkte des Dreiecks H a H b H c. Damit ist der Satz bewiesen. Ist das Dreieck stumpfwinklig, dann sind die Punkte H,, und wieder der Inkreismittelpunkt und die nkreismittelpunkte des Dreiecks H a H b H c, aber in anderer Reihenfolge (H ist ein nkreismittelpunkt, usw.). Ein weiteres bemerkenswertes Ergebnis ist (Fig. 32): Satz: Ist U der Umkreismittelpunkt des Dreiecks, dann ist U H b H c, U H c H a und U H a H b. H b H c H U H a Fig. 32 Der eweis (den wir wieder nur für spitzwinklige führen) ist diesmal ganz einfach (Fig. 33): Laut 20 ist { U 90 }, also { XH b 90 }, wobei X der Schnittpunkt der Geraden U und H b H c ist. ndererseits ist { H b H c (der eweis ist analog zu dem von { H c H b ~ ), also { H b X. Damit ist { XH b 180 } { XH b } { H b X 180 } 90 } ƒ } 180 } 90 90, und U H b H c. nalog zeigt man U H c H a und U H a H b, was zu beweisen war.

34 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 34 von 38 X H b H c H U Fig Der Taylorkreis Wir untersuchen weiter die Höhenfußpunkte des Dreiecks. Fällen wir von jedem Höhenfußpunkt die Lote auf die beiden Nachbarseiten - diese Lote heißen die Nebenhöhen des Dreiecks, es gibt insgesamt sechs davon -, dann erhalten wir sechs Fußpunkte. Diese Fußpunkte liegen auf einem Kreis, und dieser Kreis heißt Taylorkreis des Dreiecks. (Siehe Fig. 34.) Es gibt eine Meinung, daß dieses Ergebnis schwer zu beweisen ist; von dieser Meinung ließ ich mich sogar einmal dazu verleiten, Trigonometrie und halbvergessene Hilfssätze zum eweis heranzuholen ([9]). Später stellte sich heraus, daß der Satz ziemlich unkompliziert mit Hilfe von Winkeln ( Winkeljagd ) gezeigt werden kann. b c H b a H c H a c H a b Fig. 34 ezeichnen wir zuerst die Fußpunkte der Nebenhöhen (Fig. 35): Die Fußpunkte der Lote von H a auf die Seiten und seien a bzw. a ; die Fußpunkte der Lote von H b auf die Seiten und seien b bzw. b ; die Fußpunkte der Lote von H c auf die Seiten und seien c bzw.

35 c. Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 35 von 38 Wir haben nachzuweisen, daß die Punkte a, a, b, b, c und c auf einem Kreis liegen. Im rechtwinkligen Dreieck a H a ist H a a 90 H a a 90 H a, und im rechtwinkligen Dreieck H a ist H a 90 H a. Daher ist H a a H a, also H a a. Wegen a H a 90 und a H a 90 liegen die Punkte a und a auf dem Thaleskreis über der Strecke H a. lso ist a H a a ein Sehnenviereck, und der Umfangswinkelsatz ergibt a a H a a, also a a. In 25 haben wir festgestellt, daß H c H b ist; genauso finden wir ˆ H a H c. Wegen H c a H a 90 und H c c H a 90 liegen die Punkte a und c auf dem Thaleskreis über der Strecke H c H a ; also ist H c a c H a ein Sehnenviereck, und es folgt c a H c 180 c H a H c 180 H a H c 180 ˆ. lso ist c a a c a H c a a 180 ˆ Š. Doch genauso, wie wir c a H c 180 ˆ errechnet haben, können wir a b H a 180 finden; d. h., wir haben a b c 180. Damit ist c a a Œ a b c Œ 180 Š 180. lso ist c a a b ein Sehnenviereck, und die Punkte b, c, a und a liegen auf einem Kreis. nalog liegen die Punkte c, a, b und b auf einem Kreis. Wir müssen jetzt zeigen, daß auch die Punkte b, c, c und a auf einem Kreis liegen. (Das geht nicht mehr analog!) Haben wir das erst einmal gezeigt, dann müssen unsere drei Kreise zusamenfallen, und alle sechs Punkte a, a, b, b, c und c liegen auf einem Kreis. Es bleibt uns also der eweis, daß die Punkte b, c, c und a auf einem Kreis liegen. Genauso, wie wir a a gezeigt haben, bekommen wir c c, also a c c. ndererseits ist a b c 180, wie wir vorhin eingesehen haben. lso ist a c c Œ a b c Œ 180 Š 180, und b c c a ist ein Sehnenviereck, d. h. die Punkte b, c, c und a liegen auf einem Kreis, was zu beweisen war. [emerken wir übrigens, daß c b, a c und b a ist. In der Tat ist c a H c 180 ˆ, oder c a 180 a, woraus a c folgt, und analog ergibt sich c b und b a.]

36 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 36 von 38 b c H b a H c H a c H a b Fig Eine ufgabe von Fred Lang Wir haben gerade die elementaren Eigenschaften von Höhenfußpunktdreiecken besprochen. Damit ist aber nicht einmal der Kreis jener Sätze erschöpft, die mit minimalem ufwand (Winkeljagd, Umfangswinkel, ähnliche Dreiecke) bestätigt werden können. So wurde die folgende ufgabe erst 2000 von Fred Lang gestellt (Fig. 36): Gegeben sei ein Dreieck. Die Mittelsenkrechte der Seite schneide in Y a und in Z a. Die Mittelsenkrechte der Seite schneide in X b und in Z b. Man beweise, daß die Punkte Y a, Z a, X b und Z b auf einem Kreis liegen. X b Y a Z a Fig. 36 Die Lösung ist wieder einfach (Fig. 37). Seien Ž und Ž die Mittelpunkte der Seiten bzw. und U der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, d. h. der Umkreismittelpunkt des Dreiecks. Wir haben dann UZ a Z b Ž Z a 90 Z a Ž ' Z b U '

37 Darij Grinberg: Über einige Sätze und ufgaben..., Seite 37 von 38 ndererseits gilt Y a X b 90 und Y a Z b 90 ; folglich liegen die Punkte und auf dem Thaleskreis über der Strecke Y a X b, und das Viereck Y a X b ist ein Sehnenviereck. Nach dem Umfangswinkelsatz gilt also X b Y a Y a 90. Wegen ist, also X b Y a 90. Nun haben wir Zb Z a Y a Z b X b Y a š 180 UZ a Z b X b Y a š 180 š 90 š lso ist Z a Y a X b Z b ein Sehnenviereck, und die Punkte Y a, Z a, X b und Z b liegen auf einem Kreis. X b Y a Z a Fig Schlußbemerkung Die Sätze, die wir hier besprochen haben, sind nur ein kleiner Teil der Dreiecksgeometrie. Vieles ist in älteren Fachbüchern vergraben, aber auch im Internet findet man Dreiecksgeometrie. Man gebe z.. in einer Suchmaschine die egriffe Gergonne point, Nagel point, Emile Michel Hyacinthe Lemoine, lark Kimberling, Triangle enters oder Triangle Geometry ein. Nicht selten findet man ufgaben aus der Dreiecksgeometrie in dem undeswettbewerb Mathematik Deutschland. Ich erwähne natürlich auch die bekanntesten elementaren ücher über Dreiecksgeometrie ([1] - [4]). Literaturhinweise [1] Emil Donath: Die merkwürdigen Punkte und Linien des ebenen Dreiecks, erlin [2] Harold S. M. oxeter, Samuel L. Greitzer: Zeitlose Geometrie, Stuttgart [3] Peter aptist: Die Entwicklung der neueren Dreiecksgeometrie, Mannheim-Leipzig-Wien-Zürich [4] Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth entury Euclidean Geometry, US [5] Jennifer Heß: Untersuchungen zum Satz von eva, jugend forscht. [6] lark Kimberling: Encyclopedia of Triangle enters (and more). [7] Harold S. M. oxeter: Unvergängliche Geometrie, asel-stuttgart [8] Darij Grinberg: Einige Sätze über isogonale Punkte. ' Z b U '