Arbeit und ihre Messung

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1 Arbeit und ihre Messung Die Arbeit stellt eine abgeleitete physikalische Größe dar. Der Begriff Arbeit ist uns zwar aus dem Alltag bekannt, er muß aber in der Physik exakt definiert und enger abgegrenzt werden, als dies im täglichen Leben geschieht. Hier ist es üblich, alle Tätigkeiten oder Zustände, die mit Ermüdungserscheinungen verbunden sind, als Arbeit zu bezeichnen. Dazu gehört auch die geistige Arbeit, wie etwa das Lernen eines Gedichtes. Geistige Arbeiten können aber nicht Gegenstand physikalischer Untersuchungen sein, weil die in der Physik verwendeten physikalischen Größen exakt definiert und meßbar sein müssen, was bei der geistigen Arbeit nicht der Fall ist. Im physikalischen Sinn ist Arbeit so definiert: Arbeit = Kraft x Weg W = F s Arbeit wird dann verrichtet, wenn eine Kraft eine Verschiebung bewirkt. Zusatzforderung: Die Verschiebung des Punktes, an dem die Kraft angreift, muß in die Richtung der Kraft erfolgen. Sollte dies nicht der Fall sein, gilt für die Kraft nur die Komponente, die in Wegrichtung weist. Sind schließlich Kraftrichtung und Weg aufeinander senkrecht, ist die Arbeit Null. Beispiele: 1.) Wenn man einen Koffer auf einer horizontalen Unterlage reibungsfrei verschiebt, so liegt keine Arbeit im Sinne der Physik vor, weil keine Kraft aufgewendet werden muß (Keine Kraft keine Arbeit). 2.) Auch wenn man den Koffer auf einer horizontalen Straße trägt, wird keine Arbeit verrichtet, obwohl der Kofferträger bei seiner Arbeit ermüdet. (Die Gewichtskraft ist normal zur horizontalen Verschiebungsrichtung; Kraft und Weg aufeinander senkrecht keine Arbeit) Seite 1

2 3.) Wenn man den Koffer aber gegen die Erdanziehung vom Boden auf den Tisch hebt oder ihn eine Treppe trägt, so handelt es sich um eine Arbeit im physikalischen Sinne. (Gewichtskraft und Treppensteigen haben gleiche Richtungskomponenten). 4.) Beim Spannen eines Expanders liegt Arbeit im Sinne der Physik nur so lange vor, wie die Spannbewegung andauert der Expander muß also auseinandergezogen werden. 5.) Wenn man dagegen den gespannten Expander in dieser Form unverändert hält, so wird dabei keine Arbeit verrichtet. (Kein Weg keine Arbeit). Wir stellen zusammenfassend fest: Arbeit wird immer dann verrichtet, wenn eine Kraft längs eines Weges wirkt (d.h. wenn der Angriffspunkt der Kraft in Kraftrichtung verschoben wird). Dies bedeutet: Wird kein Weg zurückgelegt, so wird auch keine Arbeit verrichtet. Als Beispiel hatten wir den bei unveränderter Spannung ruhig gehaltenen Expander genannt. Wird keine Kraft aufgewendet, so wird ebenfalls keine Arbeit verrichtet. Beispiel: Das Schieben eines Koffers auf einer horizontalen reibungsfreien Unterlage. Die Arbeit ist schließlich umso größer, je größer die aufgewendete Kraft und je länger der zurückgelegte Weg ist. W = F s Bei dieser Definition ist vorausgesetzt, daß es sich um eine konstante Kraft handelt, die in Richtung des Weges wirkt. Es kann aber auch Arbeit verrichtet werden, wenn die Kraft F nicht exakt in die Wegrichtung weist, sondern mit dieser einen spitzen Winkel α einschließt. Ein solcher Fall liegt z.b. vor, wenn ein Wagen an einem Seil gezogen wird. Um die verrichtete Arbeit zu ermitteln, wird die Kraft in zwei Komponenten zerlegt, von denen die eine in der Wegrichtung und die andere senkrecht dazu wirkt. Nur die in die Wegrichtung weisende Kraftkomponente F 1 = F cos α verrichtet dann Arbeit. Seite 2

3 Für die physikalische Größe Arbeit kann deshalb folgende allgemeinere Definition gegeben werden: Unter Arbeit W versteht man das Produkt aus dem Betrag des Kraftvektors F, dem Betrag des Wegvektors s und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels α W = F s cos α Da es verschiedene Kräfte gibt (Schwerkraft, Trägheitskraft, Reibungskraft, Spannkraft einer Feder,...), unterscheiden wir aber auch zwischen den nun folgenden Formen der Arbeit: Die verschiedenen Formen der mechanischen Arbeit 1.) Die Hubarbeit Ein auf der Erdoberfläche befindlicher Körper mit der Masse m soll mit konstanter Geschwindigkeit um die Höhe h gehoben werden. Dazu muß gegen die nach unten auf den Körper wirkende Gewichtskraft F G = mg eine Arbeit verrichtet werden. Die hierzu erforderliche, nach oben gerichtete Kraft F muß den gleichen Betrag wie F G haben, d.h. es muß gelten: F = F G = mg. Die Gewichtskraft F G wird als konstant betrachtet. Für die verrichtete Hubarbeit gilt dann: W = F G h = mgh 2.) Die Beschleunigungsarbeit Wird auf einen ruhenden, frei beweglichen Körper der Masse m eine konstante Kraft F ausgeübt, dann wird der Körper in Richtung der Kraft beschleunigt (Beschleunigung a). Dabei bewegt sich der Körper in der Zeit t entlang des Weges s. Entsprechend dem 2. Newtonschen Gesetz setzt der Körper dabei der beschleunigenden Kraft seine Trägheit vom Betrag F = m a entgegen. Die Arbeit, die bei der Beschleunigung zur Überwindung der Trägheitskräfte aufgewendet wird, heißt Beschleunigungsarbeit W B. Seite 3

4 Die Beschleunigungsarbeit hängt also nur von der beschleunigten Masse m und von der Endgeschwindigkeit v ab. Der Arbeitsaufwand ist demnach unabhängig davon, ob eine große Kraft entlang einer kurzen Strecke oder eine kleine Kraft entlang einer großen Strecke zur Beschleunigung eingesetzt wird nur die Endgeschwindigkeit ist entscheidend. Beispiel: Welche Arbeit ist erforderlich, um einen Ball (m=2kg)aus der Ruhe auf die Geschwindigkeit v = 20m/s zu bringen? 2 mv W B = = = 400 Joule ) Die Spannarbeit Um einen Gegenstand um die Strecke x zu dehnen, muß man auf ihn die Kraft F = k x ausüben (Hookesches Gesetz). Die Kraft ist also während des Dehnungsvorganges nicht konstant. Vielmehr nimmt sie während des Dehnens proportional zur erreichten Dehnung (Längendehnung) zu. In der Abbildung links stellt die Grundlinie des Dreiecks die Längenänderung x dar. Die Höhe des Dreiecks steht für die Federkraft k x. Der Flächeninhalt unter dem Graphen entspricht der Arbeit Seite 4

5 Die gleichen Überlegungen gelten auch bei der Stauchung einer Feder sowie bei elastischen Verformungen beliebiger Körper. Beispiel: Die Konstante k für die Federkraft läßt sich experimentell ermitteln: Dehnt man eine Feder mit einer Kraft von 100 N um das Stück 40 cm, so ist wegen F = k x 100 = k 0,4 und somit k = 100 : 0,4 = 250. Die erforderliche Arbeit, um diese Feder auseinanderzuziehen, ist W s = ½ k x² = ½ 250 0,4² = 20 Joule. 4.) Die Reibungsarbeit Wenn ein Körper über eine (rauhe) Unterlage gezogen wird, muß die Reibung F überwunden werden. Der Betrag der Reibung F ist proportional zur Normalkraft F 1, mit der die reibenden Flächen aufeinandergepreßt werden. Außerdem hängt die Größe der Reibung von der Oberflächenbeschaffenheit (rauh, glatt) und den verwendeten Materialien ab. Dieser Einfluß wird durch die Reibungszahl µ ausgedrückt. F = µ F N. Um einen Körper auf einer rauhen Unterlage entlang des Weges s zu bewegen, benötigt man die Reibungsarbeit W R. Überlegen Sie: Wovon könnte die Reibungsarbeit bei einer Schleifmaschine mit einem rotierenden Schleifstein abhängen? Stellen Sie eine entsprechende Formel auf (Hinweis: Wovon hängt s ab?) Seite 5

6 Vertiefung für Maturanten: Arbeit als skalares Produkt von Kraft mal Weg. Wir können nun verstehen, daß auch Arbeit hinter dem waagrechten Ziehen eines Koffers stecken kann. Die Reibung ist jene Kraft, die der Schlittenzieher überwinden muß. In den Beispielen oben war die Kraft F parallel zum Weg s (daher die Berechnung der Arbeit so einfach). Schließen aber Kraftvektor F und Wegvektor s einen Winkel α ein, dann ergibt sich in diesem allgemeineren Fall die Arbeit aus dem skalaren Produkt der Vektoren F und s. Literatur: Collatz, Klaus-Günter et al.: Lexikon der Naturwissenschaftler. Spektrum Akademischer Verlag: Heidelberg Berlin Oxford Hoffmann, Herbert: Physik I. Mechanik, Wärmelehre, Akustik, mechanische Schwingungen und Wellen. Verlag Mentor: München 1985, 10. Auflage. Höfling, Oskar: Physik. Lehrbuch für Unterricht und Selbststudium. Verlag Ferdinand Dümmler: Bonn Auflage. Jaros, Albert/Nussbaumer, Alfred/Nussbaumer, Peter: Basiswissen 1. Physik - compact. Verlag Höller-Pichler-Tempsky: Wien Microsoft: Encarta 98. Microsoft 1998 Schreiner, Josef: Lehrbuch der Physik, 1.Teil. Verlag Höller-Pichler-Tempsky: Wien Auflage. Sexl/Raab/Streeruwitz: Physik, Teil 1. Verlag Ueberreuter: Wien 1988 Tipler, Paul A.: Physik. Spektrum Akademischer Verlag: Heidelberg Berlin Oxford 1994 Seite 6

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