Vorlesung zur Arithmetik 2011 V1 18./ Arithmetik in der Grundschule V2 -./ Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind/Konzepte für den

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1 Vorlesung zur Arithmetik 2011 V1 18./ Arithmetik in der Grundschule V2 -./ Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind/Konzepte für den Anfangsunterricht V3 02./ Natürliche Zahlen im Anfangsunterricht V4 09./ Die Grundrechenoperationen Addition und Subtraktion V5 16./ Die Grundrechenoperationen Multiplikation und Division V6 23./ Rechengesetze und Rechenstrategien V / Rechenfakten automatisieren V8 06./ Entwicklung von Zahlen und Zahlsystemen V9 20./ Schriftliche Rechenverfahren V10 27./ Rechenbegabung und Rechenschwäche V11 04./ Aufgabenformate und Übungsangebote V12 11./ Zusammenfassung und Überblick V Klausur (HS 1 und Festsaal Bürgerstr.) 1

2 V 11 Üben: Aufgabenformate Aufgabenpäckchen Zahlenhäuser Zahlenmauern Rechendreiecke Zauberquadrate Saufze Zahlen Glücksradaufgaben 2

3 Aufgabenformate In den 90er Jahren erschienen in den Handbüchern produktiver Rechenübungen und dem Lehrbuchwerk Zahlenbuch (Wittmann/Müller) interessante Repräsentationsformen für Rechenaufgaben, die teilweise neu- und teilweise wieder entdeckt wurden. Seit dieser Zeit ist der Begriff Aufgabenformate für solche Übungsformen gebräuchlich. 3

4 1 Aufgabenpäckchen mit Pfiff ( operative oder strukturierte Päckchen ) Aufgabenpäckchen, bei denen Beziehungen zwischen den Aufgaben bestehen. Die Lernenden können mathematische Zusammenhänge entdecken, beim Rechnen nutzen und darüber reflektieren. 4

5 Die Reihenfolge der Aufgaben wird durch die Lösungen festgelegt. Dadurch ist gleichzeitig auch eine Selbstkontrolle möglich. 5

6 Solche Ansätze schärfen den Blick auf die Zahlen und auf die Zusammenhänge in der einzelnen Aufgabe und im Päckchen. Quelle: Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte. Klett. Strukturierte Päckchen Führe die Päckchen um einige Zeilen weiter. Findest du heraus, wie die 10./20. Rechnung lautet? (Nutze dein Tausenderbuch.) Erfinde ein ähnliches Päckchen. Erfinde ein Päckchen, bei dem die Resultate von Zeile zu Zeile um 8 größer werden. 6

7 7

8 8

9 9

10 Versuche auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens einen Term zu setzen, so dass das = berechtigt ist. Aufgabenproduktionen einer Drittklässlerin Terme auf beiden Seiten der Gleichung Idee: A. S. Steinweg in Grundschulunterricht 2/

11 2 Zahlenhäuser Im Dach des Hauses steht das Ergebnis, passende Aufgaben müssen zugeordnet bzw. ergänzt werden. Beispiele: Kl. 1: Addition/Subtraktion bis 20 Kl. 2: Üben des Einmaleins Kl. 3/4: Aufgaben mit größeren Zahlen; Aufgaben mit gemischten Operationen (Schreibe Aufgaben mit dem Ergebnis 100.) 11

12 Problemhaltige 12 Sachaufgabe

13 Zahlenhäuser orientieren in der Regel auf die Summe von zwei Zahlen. Angesichts der Probleme, die Sachaufgaben wie auf der vorigen Folie bereiten, sollte man die Chance nutzen, im Zusammenhang mit Zahlenhäusern auch die Differenz zwischen Zahlenpaaren, die die gleiche Summe erzeugen, zu untersuchen. z. B.: Baue ein Zahlenhaus mit der Summe 20. Untersuche den Unterschied zwischen den Zahlen eines Zahlenpaares. 13

14 3 Zahlenmauern Die Zahlenmauern gehören zu den ergiebigsten Aufgabenformaten. Auf je zwei benachbarte Steine einer Schicht wird ein dritter Stein gesetzt, in den die Summe der beiden unteren Steine einzutragen ist. Übungsfeld: Addieren und Subtrahieren 14

15 einzelne Zahlen vorgeben (Wechsel zwischen Addieren und Subtrahieren) 15

16 Muster und Zusammenhänge erkennen 16

17 Was geschieht in den einzelnen Schichten? In welcher Weise verändern sich die Zahlen bei dieser Art Summenbildung? Welche Auswirkungen haben Veränderungen der verschiedenen Grundsteine auf den Deckstein? 17

18 Zahlbeziehungen entdecken u. formulieren (Wie ändert sich der Zielstein von Zahlenmauer zu Zahlenmauer? Erkläre.) 18

19 Baue dir eine leichte Zahlenmauer. Baue dir eine schwere Zahlenmauer. Baue eine Zahlenmauer, bei der in der Spitze eine große Zahl steht. Zahlenmauern auf den Kopf stellen oder zur Seite drehen 19

20 Idee: E. Rathgeb- Schnierer GSU 2/

21 Idee: E. Rathgeb-Schnierer GSU 2/

22 Unlösbare Zahlenmauern einbeziehen 50, 32, 5 sind schon eingetragen. 22

23 Ein Zahlenmauerbuch 23

24 4 Rechendreiecke Auf jedes der drei Felder werden Plättchen gelegt (Zahlen geschrieben). Die Zahlen der benachbarten Felder sind zu addieren und das Ergebnis wird am Rand notiert. Vorlage: gleichseitiges Dreieck Mittelsenkrechten 24

25 25

26 Addieren u. Subtrahieren auf enaktiver u. symbolischer Ebene Varianten: alle Zahlen innen Zahlen innen und außen nur äußere Zahlen (probierendes Lösen) Zusammenhänge entdecken u. formulieren 26

27 Zusammenhänge entdecken und formulieren 1) Das Suchen der inneren Zahlen erfordert ein probierendes Lösungsverhalten unter Berücksichtigung von Beziehungen zwischen Zahlen und Operationen. 2) 27 Zahlenbuch, Kl. 4

28 28 Idee: P. Scherer

29 Idee: P. Scherer, GSU 2/07 29

30 5 Zauberquadrate (magische Quadrate) Die Summe der Zahlen in Zeilen, Spalten und Diagonalen ist gleich. Diese Summe nennt man auch magische Zahl. Wo ist die magische Zahl 34 im Euler- Quadrat zu entdecken? 30

31 Muster spannen im magischen Quadrat von Albrecht Dürer 1514 Idee: Mathecamp Jena 31

32 32 Aufgabe wurde in Klasse 4 gestellt.

33 Einführen der Zauberquadrate in Klasse 1 Lo Shu 33

34 Eine alte chinesische Legende beginnt wie folgt: Eines Tages tauchte aus dem Meer eine Schildkröte auf, die auf ihrem Panzer seltsame Zeichen trug... Die Schildkröte hieß Lo Shu. Gelehrte des chinesischen Kaisers wurden beauftragt, die seltsamen Zeichen zu entschlüsseln... 34

35 Versucht die Zeichen auf dem Rücken der Schildkröte Lo Shu selbst zu entschlüsseln. 35

36 Die Gelehrten des Kaisers entdeckten ein interessantes Zahlenmuster. Einer der Gelehrten beschrieb es so: 1. Schreib 1-9 in Dreierreih n. 2. Tausch 7 und 3, was ist dabei? 3. Die 5 lass steh n, die andern dreh n. 4. Nun finde zwei, vertausche sie, dann wirst du reich, hast alles gleich. Wie sieht das Zauberquadrat auf dem Rücken der Schildkröte Lo Shu aus? 36

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38 6 Saufze - Zahlen Summe aufeinanderfolgender Zahlen 3, 9, 12, 15, 24 sind Saufze-Zahlen. Sie lassen sich als Summe von zwei oder mehr aufeinanderfolgender Zahlen schreiben: 3=1+2; 9=4+5; 9=2+3+4; 12=3+4+5; 15=7+8; Suche Zahlen von 10 bis 30, die sich als Saufze-Zahlen schreiben lassen. 38

39 7 Glücksradaufgaben Idee: B. Neubert u. a., GSU 2/07 39