5.5. Prüfungsaufgaben zur Integralrechnung

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "5.5. Prüfungsaufgaben zur Integralrechnung"

Leonard Friedrich
vor 7 Jahren
Abrufe

1 .. Prüfunsufen zur Interlrechnun Aufe : Beriffe zur Interlrechnun () Erklären Sie die folenden Beriffe: Änderunsrte, Interl, Interlfunktion und Stmmfunktion. Lösun Die Änderunsrte n der Stelle ist leich der. Aleitun f ( ) n der Stelle. Ds Interl f ()d orientierter Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds Schuild von f, die Senkrechte und die Senkrechte erenzt wird. Die Interlfunktion I ( ) f ()d ist ds Interl ls Funktion in Ahänikeit von der oeren Grenze f() Die Stmmfunktion F c ( ) ist eine Funktion, deren Aleitun leich f( ) ist: F c ( ) f( ) d Aufe : Huptstz der Differentil- und Interlrechnun: () Erläutern und eründen Sie den Huptstz der Differentil- und Interlrechnun mit Hilfe der folenden Beriffe: Änderunsrte, Interl, Interlfunktion und Stmmfunktion. f() f ()d Lösun Huptstz der Differentil- und Interlrechnun: Ds Interl von f üer zwischen und ist leich der Differenz der Funktionswerte der Stmmfunktion n den Stellen und : f ()d F() F() F() Beründun: Die Änderunsrte der Interlfunktion ist leich dem f() Funktionswert n der Stelle : f ()d (I ( )) f( ) f() Die Interlfunktion ist eine Stmmfunktion von f: I ( ) F c ( ) f ()d I () I () I () F c () F c () h + h Aufe : Interlfunktion () Geeen ist die Interlfunktion I mit I() f (t) dt, R und f(t) t. ) Untersuchen Sie I uf Nullstellen sowie Etrem- und Wendestellen. (7) ) Skizzieren Sie in einem Koordintensstem die Schuilder von I und f. () Lösun ) I() f (t) dt (t ) dt t t Nullstellen ei und. (GTR oder pq-formel) () Etremstellen ei und, d VZW von I () f() ( )( + ) () Wendestellen ei, d VZW von I () f () () ) Skizzen von f mit Beschriftun (GTR) () Skizzen von I mit Beschriftun (GTR) () ()

2 Aufe : Stmmfunktionen Bestimme lle Stmmfunktionen für die folenden Funktionen: ) f() F c () + c mit c R ) f() F c () + c mit c R c) f() n mit R und n Q F c () n n + + c mit c R d) f() n F c () n n + + c mit c R e) f() n n mit R und n Q F c () n n + c mit c R f) f() F c () + c mit c R ) f() F c () + c mit c R h) f() F c () + + c mit c R i) f() F c () + c mit c R j) f() F c (), + c mit c R k) f() + F c () + + c mit c R l) f() F c () ln() + c mit c R m) f() sin() + n) f() cos F c () cos() + F c () sin + c mit c R + c mit c R o) f(u) u + t F c (u) u + tu + c mit c R p) f(t) u + t F c (t) ut + t + c mit c R q) f(t) + t F c () t + t + c mit c R Aufe : Stmmfunktionen mit eeenem Anfnswert Gi zu der Funktion f zwei Stmmfunktionen F und F n, für die F () und F () ilt. ) f() + F () + F () + + ) f() sin() F () cos() + F () cos() + Aufe : Stmmfunktionen mit eeenem Funktionswert Gi zu der Funktion f eine Stmmfunktion F n, für die F() ilt. ) f() + F() + + ) f() + F() + +

3 Aufe 7: Intertion () Berechne die folenden Interle d ) d ) d c) d) e d ln() e / 9 e e) sin() cos() d cos() sin() / + f) sin() cos() d cos() sin() ) sin() cos () d ( ) ( ) cos() tn() h) ( cos())d sin() π. (N 9) () Aufe : Interlleichunen Bestimme die Lösunsmene der folenden Gleichunen: dt ) t dt ) t c) t t t dt t t L {; }. t L {}. t t L {}. Aufe 9: Interl mit vrilen Grenzen () Berechne in Ahänikeit von t den Inhlt A(t) der Fläche, die von der -Achse, der Kurve sin() + und den Senkrechten ei t und + t eineschlossen wird. Lösun: A(t) t (sin() )d cos() t cos(t) + cos( t) + t t. t t Eercise : Are etween two curves () ) Find the Mimum nd the nd intercepts of f() +. () ) Find the intersection points of f nd () ( ). () c) Drw the rph of f into the coordinte sstem on the riht which lred contins. () d) Determine the mesure of the re enclosed f nd. ()

4 Solutions: ) f() ( ) + S f ( ), S f ( ) und S f/ ( ± ) () ) f() () + ( )( ) S f ( ), S f ( ). () c) Drwin (see riht) () () d d () d) A f () 9 FE () S f S f S f S f - - S f - Eercise : Are etween two rphs () ) Find the Mimum nd the nd intercepts of f() +. () ) Find the intersection points of f nd () ( ). () c) Drw the rph of f into the coordinte sstem on the riht which lred contins. () d) Determine the mesure of the re enclosed f nd. () S f f - - Solutions ) f() ( ) + S f ( ), S f ( ) und S f/ ( ± ) () ) f() () + ( )( ) S f ( ), S f ( ). () c) Drwin (see riht) () () d d () d) A f () 9 FE () S f S f S f S f - S f f - S f

5 Eercise c: Are etween two curves () ) Find - nd -intercepts nd the Minumum of f() ( ). () ) Drw the prols f nd () + into the coordinte sstem on the riht. () c) Find the intersection points of f nd. () d) Find the mesure of the re enclosed f nd. () Solutions: ) f() ( )( + ) S f ( ), S f ( ), S f ( ) nd S f ( ) () ) Drwin (see riht) () c) f() () ( )( + ) S f ( ), S f ( ). () d) A (() f ())d ( )d 7 9 FE () f S f S f S - S f Eercise d: Are etween two curves () ) Find - nd -intercepts nd the Mimum of f() ( ) +. () ) Drw the prols f nd () into the coordinte sstem on the riht. () c) Find the intersection points of f nd. () d) Find the mesure of the re enclosed f nd. () Solutions: ) f() ( ) ( )( + ) S f ( ), S f ( ), S f ( ) nd S f ( ) () ) Drwin (see riht) () c) f() () ( )( + ) S f ( ), S f ( ). () d) A (f() ())d ( )d 7 9 FE () - S f S f - - f - S f - S

6 Eercise e: Are etween two curves () ) Find - nd -intercepts nd vertices of f(). () ) Find the intersection points of f nd () +. () c) Drw the prol f into the coordinte sstem on the riht which lred contins. () d) Find the mesure of the re enclosed f nd. () Solutions: ) f() ( ) ( )( + ) S f ( ), S f( ), S f ( ) nd S f ( ) () ) Drwin (see riht) () c) f() () + ( )( + ) S f ( ), S f ( ). () d) A (() f ())d d 7 ( ) 7 () S f f S f S f S f - S f S f - -

7 Aufe : Bestimmun einer Funktionsleichun und Intertion Bestimme die Funktionsleichun und den Inhlt der Fläche, die vom Schuild und der -Achse eineschlossen wird: ) nzrtionle Funktion. Grdes ) nzrtionle Funktion. Grdes c) nzrtionle Funktion. Grdes d) trionometrische Funktion Lösunen ) f() ( )( + ) + mit ( )d ) f() ( )( )( + ) + mit + und ( )d Flächeninhlt A + FE c) f() ( )( + ) mit FE ween Achsensmmetrie zur -Achse. d) f() sin() mit Achsensmmetrie zur -Achse. ( )d ( )d esmter esmter Flächeninhlt A + sin()d cos() + esmter Flächeninhlt A + FE ween 7

8 Aufe : Bestimmun einer Funktionsleichun und Intertion () Bestimmen Sie die Funktionsleichunen der eiden nzrtionlen Funktionen sowie den Inhlt der von ihren Schuildern eineschlossenen Flächen. Geen Sie lle Mßzhlen uf zwei Nchkommstellen enu n ,E ,E ,E Lösunen ) f() ( + )( ) und () ( + )( )( ) () A, (() f ())d +, (f () ())d, + 7,9, FE () ) f() ( + )( ) und () ( + )( + )( ) () A,, (() f ())d +,, (f () ())d, +,, FE () c) f() ( + )( ) und () ( + )( )( ) () A,,9 (f () ())d +,, (() f ())d, +,9, FE ()

Ähnliche Dokumente

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 8

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 8 Mthemtik für Wirtschftswissenschftler im WS /3 Lösunen zu den Übunsufben Bltt 8 Aufbe 3 Berechnen Sie die folenden Interle durch prtielle Intertion. ) c) e d. (Hinweis: Interieren Sie zweiml prtiell).