8.1 Entwicklung mathematischen Wissens am Beispiel der Arbeit mit Textaufgaben

Transkript

1 Sommersemester 2016 Mi Audimax 8.1 Entwicklung mathematischen Wissens am Beispiel der Arbeit mit Textaufgaben V 1 Sach-und Textaufgaben im Überblick V 2 Wissensentwicklung beim Sachrechnen V 3 Textaufgaben, die Lehr- und Lernprozesse tragen (Kl. 1/2) V 4 Textaufgaben, die Lehr- und Lernprozesse tragen (Kl. 3/4)) V 5 Lehr- und Lernprozesse -Individuelles Aufgabenlösen V 6 Lehr- und Lernprozesse Lösen mit der Kleingruppe V 7 Mündliche Lösungssprache V 8 Einsetzen eines Reisetagebuches V 9 Analyse der schriftlichen und mündlichen Lösungsleistung V 10 Unterrichtskonzept ICH-DU-WIR V 11 Abschließende Übung V 12 Zusammenfassung (14-16 Uhr) Klausur im Audimax und HS 2 1

2 Textaufgaben bzw. Sachaufgaben können Motor mathematischer Entwicklung sein. Mit der Sachsituation als Hintergrund können über das traditionelle Rechenverständnis hinausgehende Anforderungen gestellt werden. 2

3 V1 Sach- und Textaufgaben im Überblick 1 Zuordnung zu den Bildungsstandards 2 Sachaufgabentypen 3 Abschließende Übung 3

4 1 Zuordnung zu den Bildungsstandards Inhaltsbezogene Kompetenzen Zahlen und Operationen Muster und Strukturen Raum und Form Größen und Messen Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Allgemeine Kompetenzen Argumentieren Problemlösen Modellieren Darstellen Kommunizieren 4

5 2 Sachaufgabentypen Routineaufgaben Problemaufgaben Authentische Sachaufgaben Heinrich Winter 1992 Fermi-Aufgaben Rechengeschichten Kapitänsaufgaben 5

6 2.1 Routineaufgaben 6

7 Grundmodelle des Rechnens Addieren Dazubekommen; Zusammenfassen Subtrahieren Wegnehmen; Unterschied bestimmen Multiplizieren Vervielfachen; Möglichkeiten kombinieren Dividieren Verteilen; Aufteilen 7

8 Routineaufgaben Sachaufgaben, die die Grundmodelle des Rechnens deutlich widerspiegeln Sie unterscheiden sich im Schwierigkeitsgrad durch die Art der Operation (plus, minus, mal, geteilt), einen mehr dynamischen oder statischen Charakter durch die Anzahl der zugrunde liegenden Rechenschritte, durch die Stellung der gesuchten Größe in einer gedachten Gleichung (a+b=c; a+b=x, a+x=c, x+b=c). 8

9 Die 33 Kobolde des Waldes fürchten den Donner. Als das Gewitter kommt, verstecken sich 12 in einer Höhle, die anderen suchen Schutz unter einem großen Stein. Wie viele sind unter dem Stein? (Kl. 1/2) 9

10 Beispiel 1 Beispiel 2 Klasse 1, Juni Grundmodelle des Rechnens erkennen - Welche Strategien wurden genutzt? 10

11 Anforderungen: Übertragen der Zusammenhänge in Rechenoperationen Der Modellbildungsprozess ist mit geringen Anforderungen verbunden. 11

12 2.2 (Offene) Rechengeschichten 12

13 (Offene) Rechengeschichten Es gibt Tiere mit 2, 4, 6 oder mehr Beinen. Schreibe eine knifflige Rechengeschichte. Erzeugen von mathematischen Sachzusammenhängen durch die Grundschulkinder Josephine 13

14 Juliane 14

15 Thomas Operationsverständnis Juliane Kevin Eine kleine Ameise geht auf Wanderschaft Schreibe, rechne, zeichne. 15

16 Im Wunderland Fee, Tili und Jako finden einen Sack voller Taler. Wie viele könnten drin sein? Wie könnten sie teilen? Schreibe eine Rechengeschichte. Schreibe, zeichne, rechne. (Kl. 2) Selina Emma Nikolai 16

17 Anforderungen Dem Situationsrahmen ein Grundmodell des Rechnens zuordnen Aufgabentext, der dieses Grundmodell widerspiegelt, formulieren und notieren Aufgabentext und Auftrag (Frage) auf Sinnhaftigkeit prüfen 17

18 2.3 Problemaufgaben 18

19 Problemaufgaben Anforderungen reichen über die Grundmodelle des Rechnens hinaus Die Lösenden geraten an eine Denkbarriere, die überwunden werden muss. Dazu muss vorhandenes Lösungswissen weiterentwickelt, teilweise umstrukturiert werden. 19

20 Nach Routinen arbeiten versus Probleme lösen Jan-Niklas, Juni, Klasse 1 20

21 Problemlösen Ein Anfangszustand muss in einen Zielzustand überführt werden. Dabei wird ein Problemraum durchschritten. Um zur Lösung zu kommen, werden allgemeine (heuristische) Strategien, z.b. Probieren, Veranschaulichen, Vereinfachen, werden genutzt. Die Mittel, mit denen das Ziel erreicht werden kann, sind nicht bekannt. Darüber hinaus werden mathematische Kompetenzen, die über einfaches Rechnen hinausgehen, benötigt: Ausgleichen, Angleichen, Zuordnen, Kombinieren, 21

22 Didaktische Bedeutung von Problemaufgaben können zu einem differenzierten Bild von Mathematik führen, weil man nicht sofort einen Weg findet, (später) eine Formel verwenden kann. Quelle: Peter Gallin, Grundschulunterricht, Heft 2, S

23 Problemaufgabe Kl. 1 Mama, Papa und Murks fahren mit dem Dampfer. Für Kinder kostet es nur die Hälfte. Sie bezahlen insgesamt 10 Euro. Wie viel kostet die Karte für einen Erwachsenen und wie viel kostet sie für ein Kind? Aufgabe zur Verhältnisteilung Besonderheit: ungleiche Anteile Beispiele: Quelle Rasch, 42 Denk- und Sachaufgaben. 23

24 Lea, wie bist du auf deine Lösung gekommen? Ich hab einfach gerechnet und nachgedacht und dann bin ich auf einmal drauf gekommen. Ich habe gedacht, = 10 und die Hälfte von 8 ist 4 und auch wieder von 4 die Hälfte ist 2 und weil gleich 10 ist, habe ich dann gedacht, es ist das richtige Ergebnis. 24

25 Problemaufgabe Kl. 2 An einer Straße werden im Abstand von 10 Metern 11 Bäume gepflanzt. Murks überlegt: Wie weit ist es vom 1. bis zum 11. Baum? räumlich - statische Situation Besonderheit: Verhältnis zwischen Markierungspunkten und Zwischenräumen 25

26 Lösungsgespräch in der Gruppe (5 Kinder) Daniel: Es sind 110. Sandra: Du sollst nicht alles verraten. Katharina zu Jan: Rechnen wir zusammen? Ich weiß das Ergebnis schon. 11 mal mal 10 ist 100 und 10 ist 110, ist s Ergebnis! Lea zu Jonas: Schreib, wenn man vom ersten Baum zum 11. geht, sind das 110 m. Jan: Also ist das 1 km, geil. 26

27 Problemaufgabe Kl. 3 Ich weiß nicht, was ich tun soll. Ich habe mein Bett gemacht. Ich habe Flöte geübt. Ich habe alle meine Bücher gelesen. Ich kann Puzzels nicht mehr ausstehen. Mir ist langweilig, langweilig, LANGWEILIG, jammert Momo. Löse ein Rätsel, sagt die Mutti: Wenn sich Anke, Birgit, Christian und Dieter früh auf dem Schulweg treffen, geben Sie sich gegenseitig die Hand. Wie viele Handschläge werden zwischen ihnen gewechselt? Aufgabe zur Kombinatorik 27

28 Steffi zu Anne: Ich bin Anke, du bist Birgit. Und man rechnet doch Birgit 3 mal, Anke 3 mal, Christian 3 mal, Dieter 3 mal. Und das geht nicht, denn, wenn Birgit Anke die Hand gibt, zählt das als einmal, dann wird bei Anke eins weggenommen, weil sie ihr ja die Hand schon gegeben hat. Also das zählt nicht doppelt, verstehst du? Also wäre das 1, das 2, das 3, das 4, das 5, das 6 (begleitet ihre Erklärungen durch Bewegungen über ihre Skizze). 28

29 Problemaufgabe Kl. 4 Vom Teufel und dem armen Manne Der Teufel sagte zu einem armen Manne: Wenn du über diese Brücke gehst, will ich dein Geld verdoppeln, doch musst du jedes Mal, wenn du zurückkommst, 8 Taler für mich ins Wasser werfen. Als der Mann das dritte Mal zurückkehrte, hatte er keinen blanken Heller mehr. Wie viel hatte er anfangs? Aufgabe mit unbekanntem Anfangszustand Besonderheit: Rückwärtsarbeiten wird angeregt 29

30 2.4 Authentische Sachaufgaben Aufgabenbeispiel Giraffen sind nahezu rund um die Uhr auf den Beinen, um jederzeit die Flucht vor ihren Feinden ergreifen zu können. Mehr als 7min Tiefschlaf am Tag kommen da nicht zusammen. Wie viel Tiefschlaf hat eine Giraffe in einer Woche ungefähr? 30

31 Authentische Sachaufgaben greifen Inhalte aus Natur, Sport, Technik, Geschichte usw. auf, Zahlen sind authentisch, können nicht ausgetauscht werden. Quellen: Erichson, Christa - Von Giganten, Medaillen und einem regen Wurm. Lernbuchverlag. - Geschichten, mit denen man rechnen kann. Lernbuchverlag 31

32 Fragen aus Von Lichtjahren, Pyramiden und einem regen Wurm. Erstaunliche Geschichten, mit denen man rechnen muss von Christa Erichson. Es werden Texte angeboten, aus denen Fragen, wie die folgenden, abgeleitet und beantwortet werden können. Weißt du, wie viele Meter Haar in einem Monat auf deinem Kopf wachsen? Weißt du, wie schnell ein Dinosaurier laufen konnte? Weißt du, wie weit du springen könntest, wenn dein Körper wie der eines Frosches gebaut wäre? Weißt du, was du auf keinen Fall tun darfst, wenn du plötzlich einem Gorilla begegnest? 32

33 Geschichten, mit denen man rechnen kann. Quelle: ebenda. In aufrechter Haltung kann ein Gorilla- Männchen immerhin 2,30 m groß sein Überraschend klein sind die Gorilla-Babys. Sie wiegen bei ihrer Geburt nur etwa 750 g. Die Weibchen wirken nicht ganz so bedrohlich. Sie erreichen mit etwa 1,60 m nicht ganz die durchschnittliche Menschengröße. Ein ausgewachsener Gorilla vertilgt bis zu 30 kg Früchte und andere Pflanzenteile pro Tag. 33

34 Sachrechnen ist auch: Erwerben von Weltwissen und Allgemeinwissen Erkunden von Zusammenhängen Mathematische Modellierung einer umweltlichen Situation Quelle: Chr. Erichson, Von Lichtjahren, Pyramiden und einem regen Wurm. 34

35 Anforderungen Informationen aus den Texten aufnehmen Fragestellungen den Textpassagen zuordnen Umweltwissen und Kompetenzen zum Umgang mit Größen einbringen Rechnen mit Größen 35

36 2.5 Fermi-Aufgaben (Fermi-Aufgaben s. Zeitschrift Mathematik differenziert, Heft 3, 2012; Grundschulzeitschrift Sachrechnen, Heft Mai, 2015) 36

37 Fermi-Aufgaben Dabei erwartet eine Fermi-Aufgabe gar keine exakte Lösung. Es gibt kein richtig oder falsch. Gewollt ist nur eine Annäherung an die Lösung. Diese Annäherung erreicht man u.a. durch Messen oder Schätzen von Zahlen und der sinnvollen Verknüpfung der Werte durch die den Schülern bekannten Rechenoperationen. Aber was sind Fermi-Aufgaben eigentlich? Vielleicht kann uns die wohl bekannteste aller Fermi-Aufgaben Aufschluss darüber geben: Wie viele Klavierstimmer gibt es wohl in Chicago? Diese Aufgabe stellte der Namensgeber und Physik-Nobelpreisträger Enrico Fermi ( ) einst seinen Studenten. Fermi war bekannt dafür, dass er sich für seine Vorlesungen oft ungewohnte und scheinbar unlösbare Problemstellungen ausdachte. Wie war nun Fermis Herangehensweise an diese Abschätzungsfrage: Fermi schätzt zunächst die Einwohnerzahl auf 3 Millionen und die Größe einer durchschnittlichen Familie auf vier Personen. Vielleicht jede dritte Familie besitzt ein Klavier, so dass es in Chicago rund Klaviere gibt. Weiterhin schätzt er, dass ein Klavier im Schnitt alle 10 Jahre gestimmt wird. Pro Jahr sind also Klaviere zu stimmen. Wenn ein Klavierstimmer pro Tag vier Klaviere stimmen kann, kommt er bei 250 Arbeitstagen pro Jahr auf 1000 Klaviere. Demnach braucht Chicago mindestens 25 Klavierstimmer. (Büchter u.a., 2007) 37

38 Fermi-Aufgaben gehören zu den Gestaltungsproblemen Lücke zwischen Anfangslage und Ziel muss geschlossen werden Unschärfe bei den Angaben hohe Modellierungskompetenz erforderlich Quellen: Greefrath, Didaktik des Sachrechnens in der Sekundarstufe; Schukaljow, Mathematisches Modellieren. 38

39 Wie groß wäre der Riesenmensch ungefähr, dem dieses Paar Schuhe passen würde? 39

40 Anforderungen Erste Schritte zur Bearbeitung der Fragestellung müssen festgelegt werden. Der Rechenaufwand ist oft hoch (Taschenrechner verwenden). In der Regel müssen Daten recherchiert und aufbereitet werden. Häufig werden Kompetenzen im Schätzen und Umrechnen von Größenangaben benötigt. 40

41 Weitere Aufgabenbeispiele: Wie viel Kopierpapier wird in unserer Schule in einer Woche (einem Monat, einem Jahr) verbraucht. Wie viel kosten die Süßigkeiten, die du in einer Woche (einem Monat, einem Jahr) isst? Wie schwer sind alle erwachsenen Personen, die an unserer Schule tätig sind, zusammen? Wie viele Meter läufst du an einem normalen Schultag (in einer Schulwoche) ungefähr? 41

42 2.6 Kapitänsaufgaben 42

43 Eines schönen Tages im Jahre 1980 hat sich das folgende kleine Ereignis zugetragen Kindern aus der zweiten und dritten Klasse wurde die folgende Frage vorgelegt: Auf einem Schiff befinden sich 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Von den 97 befragten Schüler/innen haben 76 auf die Frage so geantwortet, dass sie die in der Aufgabe angegebenen Zahlen in irgendeiner Weise miteinander kombiniert haben. (Untersuchung eines Forschungsinstitutes in Grenoble) Quelle: Stella Baruk (1988). Wie alt ist der Kapitän? Basel: Birkhäuser, S

44 Weitere Beispiele aus einer anschließenden Untersuchung: Ich habe 4 Lutscher in meiner rechten Hosentasche und 9 Karamellen in meiner linken. Wie alt ist mein Papa? In einer Schulklasse sind 12 Mädchen und 13 Jungen. Wie alt ist die Lehrerin? Auf einem Schiff sind 36 Schafe. Davon fallen 10 ins Wasser. Wie alt ist der Kapitän? Quelle: ebenda, S

45 Anforderungen Fehlende Sinnhaftigkeit erkennen und Bearbeitung ablehnen (evtl.) Aufgabe so umformulieren, dass gerechnet werden kann 45

46 3 Abschließende Übungen 46

47 Versuchen Sie den Sachaufgaben auf der folgenden Folie aus einer vorangegangenen Auflage des Zahlenbuchs Klasse 3 die jeweilige Aufgabenart zuzuordnen. 47

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52 Übung zu Fermi-Aufgaben (Beispiele von Mario Schmitt Ferreira in Grundschulzeitschrift Sachrechnen, Mai, 2015) 52

53 Wie viele Wörter schreibst du in einer Woche im Unterricht? Euch fehlt eine zündende Idee? - Schaut in euren Heften und Arbeitsheften, wie viel ihr an einem Tag (z.b. gestern) geschrieben habt. - Ihr müsst nicht unbedingt alle Wörter zählen. Zählt die Zeilen und überlegt wie viele Wörter ungefähr in eine Zeile passen. - Wie viele Schultage hat eine Woche? Ihr seid schneller als die anderen Gruppen? Wie viele Buchstaben schreibst du in einer Woche im Unterricht? 53

54 Wie schwer ist der Müll, den alle Schulklassen in einem Monat produzieren? Euch fehlt eine zündende Idee? Ihr seid schneller als die anderen Gruppen? 54

55 Wenn alle Schüler deiner Schule Hand in Hand eine Kette bilden würden, könnte diese Schülerkette dein Schulgebäude umschließen? Euch fehlt eine zündende Idee? Ihr seid schneller als die anderen Gruppen? 55

56 Quellen für die Lehrkraft 56

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60 Weitere Literatur Franke, M./Ruwisch, S. (2010): Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule. Heidelberg: Spektrum. Greefrath (2011). Didaktik des Sachrechnens. Sek I. Möwe-Butschko (2012). Sachrechnen im Kontext Zoo. Erichson, Ch. (2010). Geschichten, mit denen man rechnen kann. Lernbuch Verlag. Rasch, R. (2010). 42 Denk- und Sachaufgaben. Seelze: Kallmeyer. Rasch, R. (2001). Arbeiten mit problemhaltigen Textaufgaben. Franzbecker. Winter, H. (1995). Sachrechnen in der Grundschule. Klett. 60

61 Zusammenfassend 61