Wiederholung Prisma, Zylinder, Kegel

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1 Wiederolung Prism, Zylinder, Kegel 1.) Prism: Bei einem Prism liegen Grundfläce und Deckfläce prllel gegenüer und sind gleic groß. Die Mntelfläce estet usscließlic us Rectecken. Mntelfläcenformel: M = u (u = Umfng der Grundfläce; = Körperöe) Oerfläcenformel: O = G + M Volumenformel: G d δ c γ α 1 β Beispiele für Prismen sind: Würfel, Quder, dreiseitiges Prism, secsseitiges Prism, trpezförmiges Prism, usw..) Zylinder: Auc ei einem Zylinder liegen Grund- und Deckfläce prllel zueinnder, sie sind er kreisförmig. Die Mntelfläce des Zylinders ergit ufgewickelt ein Recteck. Mntelfläcenformel: M = π r Oerfläcenformel: O = π r + π r O = π r(r + ) Volumenformel: πr.) Kegel: Bei einem Kegel liegen Grund- und Deckfläce nict mer prllel zueinnder, sondern er läuft in einer Spitze zusmmen. Die Mntelfläce des Kegels estet us einem Kreissektor. Mntelfläcenformel: M = π r s (s = Seitenlinie des Kegels) Oerfläcenformel: Volumenformel: O = π r + π rs O = π r(r + s) πr Um die Oerfläce (O) und die Mntelfläce (M) eines Körpers uszudrücken, enötigt mn Fläcenmße: 1mm 1cm 1dm 1m 1 1 1km Um ds Volumen (V) eines Körpers uszudrücken, enötigt mn Volumenmße: 1mm 1cm 1dm 1m 1km cm 1Milliliter 1dm 1Liter 1m 1000Liter Um die Msse (M) (Gewict) eines Körpers uszudrücken, enötigt mn ds Volumen des Körpers und sein spezifisces Gewict (Artgewict), meistens ezogen uf 1 cm. Msse eines Körpers: M = V ρ ( ρ = ro = Artgewict ezogen uf 1cm ) Seite 1 von 15

2 Beispiele: 1.) Eine Tolerone-Scctel ist ein Prism mit einem gleicseitigen Dreieck ls Grundfläce. Berecne ds Volumen (V) und die Oerfläce (O) einer solcen Scctel, wenn eine Dreieckseite,5 cm und die Länge der Scctel 1 cm eträgt..) Eine zylinderförmige Konservendose esitzt einen Durcmesser von 10 cm und soll 1 Liter Fssungsvermögen esitzen. Wie oc muss mn die Dose mcen und wie viel Blec enötigt mn zu irer Herstellung?.) Ein mssiver Kegel us Stl esitzt einen Rdius von cm, die Länge der Seitenlinie eträgt cm. Welces Volumen und welce Oerfläce esitzt dieser Körper? Wie scwer ist er, wenn 1 cm Stl 7,8 Grmm wiegt? zu 1.),5, G = G = =,5 1,5 G =,75 cm G G =, cm O = G + M G O =,75 +,5 1,5,75 1 O = 99,5 cm cm zu.) V r O r r = π = π + π V = = π + π πr 1000 = O = 556,06 cm π 5 = 1,7 cm O 5 5 1,7 zu.) πr = s r O = π r + π rs M = V ρ π, = O = π + π M = 9,15 7,8 =, cm 9,15 cm O = 1, cm M = 71,877 g Seite von 15

3 Wiederolung Prism, Zylinder, Kegel 1.) Eine Tolerone-Scctel ist ein Prism mit einem gleicseitigen Dreieck ls Grundfläce. Berecne ds Volumen (V) und die Oerfläce (O) einer solcen Scctel, wenn eine Dreieckseite,5 cm und die Länge der Scctel 1 cm eträgt..) Eine zylinderförmige Konservendose esitzt einen Durcmesser von 10 cm und soll 1 Liter Fssungsvermögen esitzen. Wie oc muss mn die Dose mcen und wie viel Blec enötigt mn zu irer Herstellung?.) Ein mssiver Kegel us Stl esitzt einen Rdius von cm, die Länge der Seitenlinie eträgt cm. Welces Volumen und welce Oerfläce esitzt dieser Körper? Wie scwer ist er, wenn 1 cm Stl 7,8 Grmm wiegt? Wiederolung Prism, Zylinder, Kegel 1.) Eine Tolerone-Scctel ist ein Prism mit einem gleicseitigen Dreieck ls Grundfläce. Berecne ds Volumen (V) und die Oerfläce (O) einer solcen Scctel, wenn eine Dreieckseite,5 cm und die Länge der Scctel 1 cm eträgt..) Eine zylinderförmige Konservendose esitzt einen Durcmesser von 10 cm und soll 1 Liter Fssungsvermögen esitzen. Wie oc muss mn die Dose mcen und wie viel Blec enötigt mn zu irer Herstellung?.) Ein mssiver Kegel us Stl esitzt einen Rdius von cm, die Länge der Seitenlinie eträgt cm. Welces Volumen und welce Oerfläce esitzt dieser Körper? Wie scwer ist er, wenn 1 cm Stl 7,8 Grmm wiegt? Wiederolung Prism, Zylinder, Kegel 1.) Eine Tolerone-Scctel ist ein Prism mit einem gleicseitigen Dreieck ls Grundfläce. Berecne ds Volumen (V) und die Oerfläce (O) einer solcen Scctel, wenn eine Dreieckseite,5 cm und die Länge der Scctel 1 cm eträgt..) Eine zylinderförmige Konservendose esitzt einen Durcmesser von 10 cm und soll 1 Liter Fssungsvermögen esitzen. Wie oc muss mn die Dose mcen und wie viel Blec enötigt mn zu irer Herstellung?.) Ein mssiver Kegel us Stl esitzt einen Rdius von cm, die Länge der Seitenlinie eträgt cm. Welces Volumen und welce Oerfläce esitzt dieser Körper? Wie scwer ist er, wenn 1 cm Stl 7,8 Grmm wiegt? Wiederolung Prism, Zylinder, Kegel 1.) Eine Tolerone-Scctel ist ein Prism mit einem gleicseitigen Dreieck ls Grundfläce. Berecne ds Volumen (V) und die Oerfläce (O) einer solcen Scctel, wenn eine Dreieckseite,5 cm und die Länge der Scctel 1 cm eträgt..) Eine zylinderförmige Konservendose esitzt einen Durcmesser von 10 cm und soll 1 Liter Fssungsvermögen esitzen. Wie oc muss mn die Dose mcen und wie viel Blec enötigt mn zu irer Herstellung?.) Ein mssiver Kegel us Stl esitzt einen Rdius von cm, die Länge der Seitenlinie eträgt cm. Welces Volumen und welce Oerfläce esitzt dieser Körper? Wie scwer ist er, wenn 1 cm Stl 7,8 Grmm wiegt? Seite von 15

4 Die Pyrmide 1.) Qudrtisce Pyrmide Aufge: Zeicne ds Scrägild und ds Netz einer qudrtiscen Pyrmide mit folgenden Mßen: = cm, = 6 cm. Scrägild mit wictigen Bezeicnungen: Seitenknte (s) s Rumöe () Seitenöe () Grundknte () Ds Netz oder die Awicklung: 6, cm s Seite von 15

5 Berecnung der Seitenöe : = + = + 6 = 6, cm Aufge:.) Berecne die Oerfläce (O) der Pyrmide..) Stelle eine llgemeine Formel für die Berecnung der Oerfläce der Pyrmide uf. zu.) zu.) O = A + A O = A + A Qudrt Dreieck Qudrt Dreieck 6, O = + O = + = + = + O 16 1,6 O O = 66, cm O = ( + ) MERKE: Für eine Pyrmide mit qudrtiscer Grundfläce gilt: O = + O = Grundfläce(G) + Mntelfläce(M) M = Grundfläce(G) Körperöe() Aufge: Löse die drei Formeln nc llen Vrilen uf. = + = M V = = = O M O = = = O M V Seite 5 von 15

6 Berecnungen n Pyrmiden Bei diesem Areitsltt get es um Berecnungen n Pyrmiden mit untersciedlicen Grundfläcen (Recteck und regelmäßiges Secseck). Benutzt die in den jeweiligen Scrägildern ngegeenen Bezeicnungen für eure Berecnungen! Fürt die Zeicnungen der Netze und diese Berecnungen im Huseft us. 1.) Zeicne ds Netz einer recteckigen Pyrmide mit den Grundknten = 6 cm; = cm und der Pyrmidenöe = 5 cm..) Berecne die Mntelfläce (M), die Oerfläce (O), ds Volumen (V) und die Länge der Seitenknte (s) dieser recteckigen Pyrmide..) Entwickle eine llgemeine Formel für die Mntelfläce (M), die Oerfläce (O) und ds Volumen (V) dieser recteckigen Pyrmide. s Actet uf ds Netz und ds Scrägild!.) Zeicne ds Netz einer regelmäßigen secsseitigen Pyrmide mit den Grundknten = cm und der Pyrmidenöe = 5 cm..) Berecne die Mntelfläce (M), die Oerfläce (O), ds Volumen (V) und die Länge der Seitenknte (s) dieser secsseitigen Pyrmide..) Entwickle eine llgemeine Formel für die Mntelfläce (M), die Oerfläce (O) und ds Volumen (V) dieser secsseitigen Pyrmide. Actet uf ds Netz und ds Scrägild! s D Vorkommende Ergenisse: Längen: 5, cm; 6, cm; 5,8 cm;,6 cm; 5,8 cm; 5,6 cm Fläcen: 55,6 cm ; 79,6 cm ; 50, cm ; 7,8 cm Volumen: 0 cm ; 9 cm Seite 6 von 15

7 zu 1.) Ds Netz der recteckigen Pyrmide: Berecnungen n Pyrmiden (Lösungen) = + = = 5 + = 5 = 5, cm = 5,8 cm 5, cm 5,8 cm 5,8 cm zu 1.).) M = D von Seite + D von Seite M = 55,6 cm M = + 6 5, 5,8 M = + M =, +, 5, cm O = Recteck + D von Seite + D von Seite O = , 5,8 O = O = +, +, O = 79,6 cm Grundfläce Höe cm = + = + s oder : s 6 s = 5, + s 5,8 = + s = 6, cm s = 6,1 cm zu 1.).) Für eine recteckige Pyrmide gelten lso folgende llgemeine Formeln: G M = + O = + + M = + O = + + Seite 7 von 15

8 zu.) Ds Netz der secseckigen Pyrmide: Berecnung der Höen: D = = + D D = = 5 +,6 =,6 cm = 5,6 cm D D 5,6 cm s M = 6 D von Seite M = 6 5,6 M = 6 M = 6 8, M = 50, cm,6 cm O = Secseck + 6 D von Seite D O = 6 + 6,6 5,6 O = O = 6, , O = 7,8 cm Grundfläce Höe D 6, cm s = + s = 5,6 + s = 5,8 cm zu.).) Für eine secseckige Pyrmide gelten lso folgende llgemeine Formeln: D G M = 6 O = D M = O = D + O = ( + ) D D Seite 8 von 15

9 Die Kugel 1.) Ds Volumen der Kugel: Den Scülern werden folgende Zusmmenänge gegeen: Ds Volumen des Kegels ist ein Drittel des Volumens des Zylinders. Ds Volumen der Hlkugel ist doppelt so groß wie ds Volumen des Kegels. Bestimme die Volumenformel der Hlkugel und der Kugel! π π r r VKE = VHK = = πr D die Höe der Hlkugel gleic dem Rdius der Hlkugel ist, gilt : VHK = πr r = πr und ds Volumen der gesmten Kugel : πr πr Für ds Volumen einer Kugel gilt lso: π r Aufge: Eine Kugel fsst 10 Liter Wsser. Wie groß muss ir Rdius sein? πr r V = πr V r = V = r = r = 1,7 cm Seite 9 von 15

10 .) Die Oerfläce der Kugel: Ds Volumen der Kugel lässt sic ls Gesmtvolumen von unendlic vielen Pyrmiden mit dreieckiger gekrümmter Grundfläce escreien. Drus ergit sic: V + V + V V K P1 P P Pn G1 G G Gn V K = V K = (G1 + G + G G n ) VK = O O : Oerfläce der Kugel Ersetzr ist V K = π r und = r r r π r = O / : r = O Für die Oerfläce einer Kugel gilt lso: O = r Aufge: Eine Kugel esitzt eine Oerfläce von 10 m. Welcen Rdius esitzt diese Kugel? O = r O = π r O = r O = r = r = 89,1 cm Seite 10 von 15

11 Aufge: Stelle die Volumen- und Oerfläcenformel der Kugel nc der Vrilen r (Rdius) um: Volumen: πr r V = πr V = r V = r Oerfläce: O = r O = π r O = r O = r Zusmmengesetzte Körper Aufge: Ein Körper wird nceinnder us folgenden Teilkörpern zusmmengesetzt: Die Spitze des Körpers ildet ein Kegel mit r = cm und = 6 cm. Dnc kommt ein Zylinder mit r = cm und = 6 cm. Den Ascluss ildet eine Hlkugel mit r = cm..) Zeicne ein Scrägild des Gesmtkörpers..) Berecne ds Volumen (V) des Gesmtkörpers. c.) Berecne die Oerfläce des Gesmtkörpers. zu.) V KEGEL + V ZYLINDER + V HALBKUGEL Formel mit Worten 1 π r + π r + π r π r + π r πr ( r + r ) π 6 + 8,7 cm ( ) zu c.) O = M KEGEL + M ZYLINDER + O HALBKUGEL s = r + s = 6,7 cm O = π rs + π r + πr ( ) O = πr s + + r ( ) O = π 6, O =,79 cm Seite 11 von 15

12 Rottionskörper Dret mn eine Fläce um eine irer Begrenzungsseiten, so entstet ein Rottionskörper. Beispiel: 1.) Dret mn ein DinA Bltt (9,7 cm oc, 1 cm reit) um seine längere Seite, so entstet ein Rottionskörper. Rumöe des Drekörpers MERKE: Rdius des Drekörpers 1.) Die Rottionscse entsprict der Rumöe () des Drekörpers, sie ist gleiczeitig die Symmetriecse des Drekörpers..) Die senkrecte Linie zur Rottionscse entsprict dem Rdius (r) des Drekörpers π r O = π r (r + ) V 1 9,7 O = π = π 1 (1+ 9,7) (Rottion um die längere Seite) 1.17,68 cm O = 6.689,71 cm π r O = π r (r + ) π 9,7 1 O = π ,517 cm O = 9.61,16 cm,7 (9,7 + 1) (Rottion um die kürzere Seite).) Ein gleicseitiges Dreieck mit = 5 cm rotiert um seine Höe. Bestimme ds Volumen (V) und die Oerfläce (O) des Drekörpers. πr s V O r (r s) = = = π + π,5, s = 5,5 O = π,5 (,5 + 5) s =, cm 8,1 cm O = 58,9 cm.) Ein gleicseitiges Dreieck mit = cm rotiert um seine Grundseite. Bestimme ds Volumen (V) und die Oerfläce (O) des Drekörpers. s = r =,5 cm = = cm,5 π O = π r s 51,1 cm O = π,5 = 87,96 cm Seite 1 von 15

13 Körpererecnungen 1.) Ein m lnger, zylinderförmiger Heizöltnk mit einem Durcmesser von 1,6 m ist leck geworden und muss usgetusct werden. Zu diesem Zeitpunkt ist er genu zur Hälfte gefüllt. Ds Öl wird in einen quderförmigen Tnk von, m Länge und 1,57 m Breite umgefüllt..) Wie viele Liter Öl müssen umgefüllt werden?.) Wie oc stet ds Öl im quderförmigen Tnk? c.) Aus dem quderförmigen Tnk wird so viel Öl verruct, dss der Ölstnd um 15 cm sinkt. Wie viel Liter Öl sind jetzt noc im Tnk?.) Ein kegelförmiger Messecer t oen einen Durcmesser von 9 cm und eine Höe von 1 cm. Der Messecer wird is zur len Höe mit Wsser gefüllt. Wie viel Prozent des gesmten Ruminltes sind ds?.) Kegelförmig ufgescütteter Snd (d = 10 m, =, m) soll zu einer Bustelle trnsportiert werden. Ein Lstkrftwgen mit einer Ldefläce von,50 m Länge und,00 m Breite soll den Snd trnsportieren. Der Lkw knn 50 cm oc mit Snd elden werden. Wie oft muss der Wgen fren?.) Ein Arcäologe findet ei Ausgrungsreiten eine Grnitsäule von,80 m Länge (Grundfläce siee rects). Ds innere Qudrt t cm Seitenlänge..) Die Säule soll mit einem Scutznstric versiegelt werden. Für 1 m recnet mn 1,5 l Flüssigkeit. Wie viel Liter Scutznstric werden enötigt?.) Knn die Säule mit einem Flscenzug geoen werden, der mit öcstens Tonnen elstet werden drf (1 cm Grnit wiegt,6 g)? 5.) Ein zylinderförmiges Kinderscwimmecken t einen Durcmesser von,5 m und eine Höe von 80 cm. Ds Becken soll mit einem Scluc zu 75% gefüllt werden. Wie lng enötigt mn dzu, wenn die Fördermenge pro Minute 60 Liter eträgt? 6.) Die Grundfläce eines 9,5 cm oen Kupferprisms ist ein Dreieck mit den Seitenlängen = 7,5 cm, = 7,5 cm und c = 1 cm. Die Oerfläce soll vergoldet werden. Der Goldscmied erecnet,90 pro cm plus 19% Merwertsteuer. Wie teuer wird die Vergoldung? 7.) Ein Wssern tropft. Die nezu kugelförmigen Tropfen en einen Durcmesser von 5 mm; lle Sekunden fällt ein Tropfen. Wie viel Liter Wsser geen ddurc im Lufe einer Woce (7 Tge) verloren? 8.) Berecne ds Volumen und die Oerfläce der zusmmengesetzten Körper (Mße in m). 1 cm des Mterils wiegt 7, g. Wie scwer sind die eiden Körper? Seite 1 von 15

14 Körpererecnungen (Lösungen) zu 1.).).) c.) π r VHlzylinder = VQuder = c c π 0,8 V VHlzylinder = c =, 1,57 0,65,01 V Hlzylinder = c =, 1,57,66 m 01Liter c = 0,8 m 66 Liter Hlzylinder zu.) π π VKegel = p = 1,5 G r 6 x r Pw 100 = Hlkegel π,5 1 6,5 π x = Hlkegel,5 6 1, VKegel = p = 1 5,69 1 VKe gel = 5, 69 cm x =,5 cm VHl kegel = 1,809 cm p = 1,5%! 8 zu.) π r VKegel = VLKW = c A = 8,776 m :,5 m π 5, VKegel = VLK W =,5 0,5 A =,96 ls ml 8,776 m,5 m Kegel LKW zu.).).) O = Kreis + Qudrt + M V + V Zylinder Quder Zylinder O = r + + π r + πr O V 80 1 = π + + π = + π O = 551, , ,7 O = 8.960,0 cm O 8, m 67,7 cm 80 M = ,7 cm,6 g Fre : 8, 1,5 = 1,5 Liter M =.01.96,077 g M, Tonnen (nein!) Seite 1 von 15

15 zu 5.) π r 7,697 0,75 t = 577 l : 60 l Scwimmecken 75% π 1,75 0,8 5, 77 m t = 96,17 min Scwimmecken 75% 7,697 m 577 Liter t 96,17 min Scwimmecken 75% t 96 min (1 6 min) zu 6.) c O = Grundfläce + Mntel D = K = 10,5,9 1, 19 1 O = G + (7,5 + 7,5 + 1) 9,5 D = 7,5 K = 900,5 1,19 1,5 O = + (7,5 + 7,5 + 1) 9,5 D =,5 cm K = 10, 5 O = ,5 O = 10,5 cm zu 7.) r VTropfen = 7 Tge = 168 = min = s,5 VTropfen = V7 = 65, (lle Sekunden!) 65,5 mm mm = 19, 79 Liter Tropfen 7 zu 8.) V + V O = O + 6 ( A A ) Würfel Kugel Kugel Qudrt = + π = π + π = + π = π + 0,16 + 0,086 O = 1, ,5 V r O r 6 ( r ) V 0,6 0,19 O 0,19 6 (0,6 π 0,19 ) 0,0 m O =,86 m Kreis.) = M cm 7 M =., 8 kg, g V + V O = M + M + (A A ) Hlkugel klein Hlkugel groß Hlkugel groß Hlkugel klein Kreis groß Kreis klein π rklein + π rgroß O = π rgroß + π r klein + ( πrgroß πr klein ) π 0,75 + π 0,6 O = π 0,6 + π 0,75 + ( π 0, 6 π 0,75 ) 0, + 0,5 O =,6 + 1, + (1,1 0,71) V 0,676 = m + M = cm 7, M = 5.00, kg g O =,6 1, + 0, O =,1m.) Seite 15 von 15