Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen

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1 Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Klemens Fersch 9. August 0 Inhaltsverzeichnis Ganzrationale Funktion Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c 8. Aufgaben Kubische Funktionen f x) = ax 3 + bx + cx + d 3. Aufgaben Funktionen. Grades f x) = ax + bx 3 + cx + dx + e 5. Aufgaben Funktionen höheren Grades 3 5. Aufgaben Ganzrationale Funktion 373. Terme aufstellen Aufgaben

2 Ganzrationale Funktion Ganzrationale Funktion f x) =, 5 x + 5 x f x) = x x + f 3 x) = x ) 3 f x) = 0, xx + )x ) f 5 x) = 0, 03x + 3) x ) f x) = x + ) f 7 x) = 0, 05x )x ) f 8 x) = x x ) Formen der Polynomfunktion - ganzrationalen Funktion Summendarstellung der Polynomfunktion f x) = a n x n + a n x n + a n x n... + a x + a 0 oder f x) = ax n + bx n + cx n... Die höchste Potenz n) gibt den Grad der Polynomfunktion an. Produkdarstellung faktorisierte Form) der Polynomfunktion Ist der Grad des Polynoms gleich der Anzahl der reelen)nullstellen, kann man die Funktion in faktorisierter Form schreiben. f x) = ax x )x x )x x 3 )... Nullstellen: x, x, x 3... Linearfaktoren: x x ), x x )... a=koeffizient der höchsten Potenz Grad : Lineare Funktion f x) = ax + b Grad : Quadratische Funktion f x) = ax + bx + c f x) = ax x )x x ) Grad 3: Kubische Funktion f x) = ax 3 + bx + cx + d f x) = ax x )x x )x x 3 ) Grad : Biquadratische Funktionen f x) = ax + bx 3 + cx + dx + e f x) = ax x )x x )x x 3 )x x ) Grad 5: f x) = ax 5 + bx + cx 3 + dx + ex + f f x) = ax x )x x )x x 3 )x x )x x 5 ) Summen- in Produktdarstellung f x) = x + 5x = xx ) f x) = x x + = x + ) x ) f x) = 0 x3 3 5 x = 0 x 0 x 3 5 ) = 0 x = 0 0 x 3 5 = 0 x = x 3 = Grad der Funktion = Anzahl der Nullstellen = 3 Faktorisierte Form: f x) = 0, xx + )x ) f 7 x) = 0 x x = 0 u = x u = x 0 u u = 0 u / = + ± ) u = u = x = x = ± x = x = x = x = ± x 3 = x = Faktorisierte Form: f 7 x) = 0 x + )x )x + )x ) Produkt- in Summendarstellung f 3 x) = x )x )x ) = x ) 3 f 3 x) = x 3 x x 8 f 5 x) = 0, xx + )x ) = 0, x x f x) = x + ) = x + x 3 + x + x + f 7 x) = 0, 05x )x ) = 0, 05x x + 5 f 8 x) = x x ) = x x

3 Ganzrationale Funktion Definitions- und Wertebereich Definitionsbereich D = R Wertebereich - höchster Exponent ungerade: W = R - höchster Exponent gerade: W = [absoluter Tiefpunkt; [ W =] ;absoluter Hochpunkt] f x) = x + 5x absoluter Hochpunkt: /5) höchster Exponent gerade) D = R W =], 5[ f x) = x x + höchster Exponent 3 ungerade Zahl) D = R W = R f 5 x) = 0, x x D = R W = R f 7 x) = 0, 05x x + 5 absoluter Tiefpunkt aus der Kurvendiskussion D = R W = [ 5, [ Symmetrie Punktsymmetrie zum Ursprung: f x) = f x) f x) hat nur ungerade Exponenten Achsensymmetrie zur y-achse: f x) = f x) f x) hat nur gerade Exponenten f x) = x) + 5 x) keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung f x) = x) x) + keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung f x) = 0, x x f x) = 0, x) x) ) f x) = 0, x x f x) = f x) Symmetrie zum Ursprung f 7 x) = 0, 05x x + 5 f 7 x) = 0 x) x) f 7 x) = 0 x x f 7 x) = f x) Symmetrie zur y-achse 3

4 Ganzrationale Funktion Schnittpunkte mit der x-achse -Nullstellen Funktionsterm gleich Null setzen und die Gleichung lösen. siehe Algebra-Gleichungen) f x) = 0 ax n + bx n + cx n... = 0 höchster Exponent ungerade Anzahl der Nullstellen Grad des Polynoms höchster Exponent gerade 0 Anzahl der Nullstellen Grad des Polynoms Faktorisierte Polynomfunktion Nullstellen aus faktorisierten Polynom ablesen. ax x )x x )x x 3 )... = 0 Nullstellen: x, x, x 3... Nullstellen aus faktorisierten Polynom ablesen. f 3 x) = x ) 3 x 3 = 3-fache Nullstelle f 5 x) = 0, 03x + 3) x ) x = 3 -fache Nullstelle x 3 = -fache Nullstelle Funktionsterm gleich Null setzen. f x) = x + 5x = 0 x x + 5) = 0 x = 0 x + 5 = 0 x + 5 = 0 x = x = 0 x = Faktorisierte Form: f x) = xx ) f x) = x 3 + 3x + = 0 Nullstelle für Polynmomdivision erraten:x = x 3 +3x + ) : x + ) = x + x + x 3 x ) x +3x + x +x) x + x +) 0 x + x + = 0 x / = ± ) x ) = x 3 = Faktorisierte Form: f x) = x + ) x ) f x) = 0 x3 3 5 x = 0 x ) = 0 x = 0 0 x 3 5 = 0 x = x 3 = Grad der Funktion = Anzahl der Nullstellen = 3 Faktorisierte Form: f 5 x) = 0, xx + )x ) f 7 x) = 0 x x = 0 u = x u = x 0 u u = 0 u / = + ± ) u = u = x = x = ± x = x = x = x = ± x 3 = x = Faktorisierte Form: f 7 x) = 0 x + )x )x + )x )

5 Ganzrationale Funktion Graph oberhalb/unterhalb der x-achse Bei ganzrationalen Funktionen kann sich das Vorzeichen nur an den Nullstellen ändern. Einen beliebigen Wert kleiner bzw. größer als die Nullstelle wählen und das Vorzeichen des Funktionswerts in die Tabelle eintragen. Vorzeichentabelle mit fx) x < x < x f x) + 0 Graph oberhalb 0 unterhalb + fx)>0 Graph oberhalb der x-achse - fx)<0 Graph unterhalb der x-achse f x) = x + 5x x < 0 < x < < x f x) x ]0; [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 0[ ]; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse f x) = x x + x < < x < < x f x) x ] ; [ ] ; [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ]; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Faktorisierte Form: f 5 x) = 0, xx + )x ) Nullstellen:x = 0 x = x 3 = 5 < f 5 5) =, 5 x < < x < 0 < x < < x f x) x ] ; 0[ ]; [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ ]0; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Grenzwert - Verhalten im Unendlichen f x) = a n x n + a n x n + a n x n... + a x + a 0 lim f x) = ± lim f x) = ± x x Das Vorzeichen des Glieds mit der höchsten Potenz und der Grad des Polynoms bestimmen das Vorzeichen des Grenzwerts. Grenzwert gegen plus Unendlich a n Grad Grenzwert + gerade lim a n n = x + ungerade lim a n n = x - gerade lim a n n = x - ungerade lim a n n = x Grenzwert gegen minus Unendlich a n Grad Grenzwert + gerade lim n ) n = x + ungerade lim n ) n = x - gerade lim n ) n = x - ungerade lim n ) n = x f x) = x + 5x lim x f x) = [ ] = lim x f x) = [ ) ] = f x) = x x + lim x f x) = [ 3 ] = lim x f x) = [ ) 3 ] = 5

6 Ganzrationale Funktion Ableitung f x) = a n x n + a n x n... + a x + a x + a 0 Die Ableitungen bildet man durch: Exponent vorziehen und vom Exponenten abziehen. Die erste Ableitung f x) gibt die Steigung der Funktion an der Stelle x an. Die zweite Ableitung f x) gibt die Krümmung der Funktion an der Stelle x an. f x) = a n n x n + a n n ) x n... + a f x) = x + 5x = xx ) f x) = x + 5 f x) = f x) = 0 f x) = x 3 + 3x + = x + ) x ) f x) = 3x + 3 = 3x + )x ) f x) = x = x x) = f x + a f x) = ax n f x) = nax n Grad : Lineare Funktion f x) = ax + b f x) = a Grad : Quadratische Funktion f x) = ax + bx + c Grad 3: Kubische Funktion f x) = ax 3 + bx + cx + d f x) = ax + b Grad : Biquadratische Funktionen f x) = ax + bx 3 + cx + dx + e f x) = ax 3 + 3bx + cx + d f x) = 3ax + bx + c Extremwerte und die.ableitung In den Extremwerten hat fx) eine horizontale Tangente HT). f x) = 0 Notwendige Bedingung) Die Nullstellen der. Ableitung bestimmen x 0, x..). In diesen Nullstellen x 0, x..) kann die Funktion einen Hochpunkt, Tiefpunkt oder Terrassenpunkt Sattelpunkt) besitzen. Einsetzen der Nullstellen x 0, x.. in die. Ableitung Hinreichende Bedingung) f x 0 ) > 0LK) Tiefpunkt Minimum) bei x 0 f x 0 ) < 0RK) Hochpunkt Maximum) bei x 0 f x 0 ) = 0 f x 0 ) = 0 Terrassenpunkt f x) = x + 5 = 0 x + 5 = 0 / 5 x = 5 / : x = 5 x = f ) < 0 Hochpunkt: /5) f x) = 3x + 3 = 0 3x + 3 = 0 / 3 3x = 3 / : 3) x = 3 3 x = ± x = x = f ) = > 0 Tiefpunkt: /0) f ) = ) < 0 Hochpunkt: /) f )

7 Ganzrationale Funktion Extremwerte und das Monotonieverhalten Extremwerte sind Hochpunkte Maxima) bzw. Tiefpunkte Minima) der Funktion. In den Extremwerten hat fx) eine horizontale Tangente HT). f x) = 0 Notwendige Bedingung) Die Nullstellen der. Ableitung bestimmen x 0, x..). In diesen Nullstellen x 0, x..) kann die Funktion einen Hochpunkt, Tiefpunkt oder Terrassenpunkt Sattelpunkt) besitzen. Zur Unterscheidung werden die Nullstellen in die Vorzeichentabelle eintragen. Einen Wert kleiner bzw. größer als die Nullstelle wählen und das Vorzeichen von f x) in die Tabelle eintragen. Hinreichende Bedingung) Hochpunkt HP) Monotonoieverhalten ändert sich von streng monoton steigend sms) nach streng monoton fallend smf). Vorzeichenwechsel VZW) der.ableitung f x) von Plus nach Minus. x < x < x f x) + 0 Graph sms HP smf Tiefpunkt TP) Monotonoieverhalten ändert sich von streng monoton fallend smf) nach streng monoton steigend sms). Vorzeichenwechsel VZW) der.ableitung f x) von Minus nach Plus. x < x < x f x) 0 + Graph smf TP sms f x) = x + 5 x < < x f x) + 0 streng monoton steigend x ] ; [ f x) > 0 streng monoton fallend x ]; [ f x) < 0 f x) = 3x + 3 x < < x < < x f x) streng monoton steigend x ] ; [ f x) > 0 streng monoton fallend x ] ; [ ]; [ f x) < 0 Terrassenpunkt TEP) Monotonoieverhalten ändert sich nicht. Kein Vorzeichenwechsel VZW) der.ableitung. x < x < x f x) Graph sms TEP sms x < x < x f x) 0 Graph smf TEP smf Die Ränder des Definitionsbereichs Definitionslücken) müssen in die Tabelle mit eingetragen werden. Wendepunkte und 3.Ableitung Im Wendepunkt und im Flachpunkt ist das Krümmungsverhalten gleich Null. f x) = 0 Notwendige Bedingung) Die Nullstellen der. Ableitung bestimmen x 0, x..). Einsetzen der Nullstellen x 0, x.. in die 3. Ableitung Hinreichende Bedingung) f x 0 ) = 0 Wendepunkt f x) = 0 kein Wendepunkt f x) = x = 0 x = 0 f 0) = f 0) = 0 Wendepunkt: 0/) 7

8 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Wendepunkte und das Krümmungsverhalten Im Wendepunkt und im Flachpunkt ist das Krümmungsverhalten gleich Null. f x) = 0 Notwendige Bedingung) Die Nullstellen der. Ableitung bestimmen x 0, x..). Zur Unterscheidung zwischen Wendepunkt und Flachpunkt werden die Nullstellen in die Vorzeichentabelle eintragen. Hinreichende Bedingung) Einen Wert kleiner bzw. größer als die Nullstelle wählen und das Vorzeichen von f x) in die Tabelle eintragen. Wendepunkt WP) Das Krümmungsverhalten ändert sich von rechtsgekrümmt RK) nach linksgekrümmt LK) oder von linksgekrümmt nach rechtsgekrümmt. Vorzeichenwechsel VZW) der.ableitung f x) von Plus nach Minus oder von Minus nach Plus. x < x < x f x) + 0 Graph LK WP RK Flachpunkt FP) x < x < x f x) 0 + Graph RK WP LK Krümmungsverhalten ändert sich nicht Kein Vorzeichenwechsel VZW) der.ableitung x < x < x f x) Graph LK FP LK x < x < x f x) 0 Graph RK FP RK Die Ränder des Definitionsbereichs Definitionslücken) müssen in die Tabelle mit eingetragen werden. f x) = x x < 0 < x f x) + 0 x ] ; 0[ f x) > 0 linksgekrümmt x ]0; [ f x) < 0 rechtsgekrümmt Stammfunktion von fx) Stammfunktionen bildet man durch: zum Exponent addieren, durch den Exponenten dividieren. f x) = ax n F x) = n+ axn+ + c Unbestimmtes Integral: Fx) = f x) dx = Fx) + c F x) = x + 5x)dx = 5 x3 + x + c F x) = x 3 + 3x + ) dx = x + x + x + c Bestimmtes Integral A = x f x) dx = [F x)] x x x = Fx ) Fx ) A = ) 0 x + 5x dx = [ 5 x3 + x] 0 = ) ) 0) = 3 3 0) = 3 3 A = x 3 + 3x + ) [ ] dx = x + x + x ) ) = + + ) + ) + ) ) = ) 3 = 3 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c. Aufgaben 8

9 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgaben ) f x) = x ) f x) = x 3) f x) = x + ) f x) = x 8x 5) f x) = x ) f x) = 3 x x + 3 7) f x) = x 3 8) f x) = x + 9) f x) = x 0) f x) = 3 x + x ) f x) = x x + 7 ) f x) = x + x 7 3) f x) = x + x ) f x) = x + x + 5 5) f x) = x + 3x + ) f x) = x + x 7) f x) = 3 x + x + 5 8) f x) = 8 x + 3 9) f x) = 3 8 x 3 8 x ) f x) = x + 5x ) f x) = 3 x 3x ) f x) = 5 9 x 5 3) f x) = x + x ) f x) = 5 x x + 5 5) f x) = 5 9 x 5 x ) f x) = 8 x + x ) f x) = 0 x ) f x) = 9 x + 9 x ) f x) = 9 x 9 x ) f x) = 7 9 x + 3 x 3) f x) = 3 x x 3) f x) = 5 9 x 3 3 x 33) f x) = x 0x 5 3) f x) = x 8x 35) f x) = x + x + 3) f x) = 7 8 x + 3 x 37) f x) = 0 8 x + 9 x 38) f x) = 5 x x

10 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c. Aufgabe ) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = x f x) = x f x) = Fx) = x )dx = 3 x3 + c Definitions- und Wertebereich: D = R W = [0, [ Grenzwerte: f x) = x ) lim x f x) = [ ] = lim x f x) = [ ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = x) f x) = x f x) = f x) Symmetrie zur y-achse: Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = x = 0 x = 0 x = 0 x = 0; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 0 < x f x) x ] ; 0[ ]0; [ f x) > 0 oberhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x = 0 x = 0 x = 0 x = 0; -fache Nullstelle f 0) = > 0 Tiefpunkt:0/0) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < 0 < x f x) 0 + x ]0; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ] ; 0[ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse keine Fläche 0

11 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = x Ableitung von f x)

12 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgabe ) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = x f x) = x f x) = Fx) = x )dx = x3 + c Definitions- und Wertebereich: D = R W =], 0] Grenzwerte: f x) = x ) lim x f x) = [ ] = lim x f x) = [ ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = x) f x) = x f x) = f x) Symmetrie zur y-achse: Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = x = 0 x = 0 x = 0 x = 0; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 0 < x f x) 0 x ] ; 0[ ]0; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x = 0 x = 0 x = 0 x = 0; -fache Nullstelle f 0) = f 0) < 0 Hochpunkt:0/0) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < 0 < x f x) + 0 x ] ; 0[ f x) > 0 streng monoton steigend x ]0; [ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse keine Fläche

13 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = x Ableitung von f x) x 8 f x) f x) f x)

14 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = x + = x + 3, )x 3, ) f x) = x f x) = Fx) = x + )dx = x3 + x + c Aufgabe 3) Definitions- und Wertebereich: D = R W =], ] Grenzwerte: f x) = x + x ) lim f x) = [ x ] = lim f x) = [ x ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = x) + f x) = x + f x) = f x) Symmetrie zur y-achse: Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = x + = 0 x + = 0 / ) x = / : x = x = ± x = 3, x = 3, x = 3, ; -fache Nullstelle x = 3, ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 3, < x < 3, < x f x) x ] 3, ; 3, [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 3, [ ]3, ; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x = 0 x = 0 x = 0 x 3 = 0; -fache Nullstelle f 0) = f 0) < 0 Hochpunkt:0/) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < 0 < x f x) + 0 x ] ; 0[ f x) > 0 streng monoton steigend x ]0; [ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse 3, A = ) [ 3, x + dx = ] 3, x3 + x 3, = ) 3, 3 + 3, ) 3, )3 + 3, )

15 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c = 3, 9) 3, 9) = 7, 7 Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = x + Ableitung von f x) x 8 f x) f x) f x)

16 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgabe ) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = x 8x = x + )x f x) = x 8 f x) = Fx) = x 8x)dx = 3 x3 x + c Definitions- und Wertebereich: D = R W =], 8] Grenzwerte: f x) = x 8 x ) lim f x) = [ x ] = lim f x) = [ x ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = x) 8 x) keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = x 8x = 0 x x 8) = 0 x = 0 x 8 = 0 x 8 = 0 / + 8 x = 8 / : ) x = 8 x = x = ; -fache Nullstelle x = 0; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x < 0 < x f x) x ] ; 0[ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ ]0; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x 8 = 0 x 8 = 0 / + 8 x = 8 / : ) x = 8 x = x 3 = ; -fache Nullstelle f ) = f ) < 0 Hochpunkt: /8) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < < x f x) + 0 x ] ; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ] ; [ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse 0 ) [ A = x 8x dx = ] 0 3 x3 x

17 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c = 3 ) 03 0 = 0) ) = ) )3 ) Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = x 8 x Ableitung von f x)

18 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = x = x +, 83)x, 83) f x) = x f x) = Fx) = x )dx = x3 x + c Aufgabe 5) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [ ), [ Grenzwerte: f x) = x x ) lim f x) = [ x ] = lim f x) = [ x ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = x) f x) = x f x) = f x) Symmetrie zur y-achse: Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = x = 0 x = 0 / + x = / : x = x = ± 8 x =, 83 x =, 83 x =, 83; -fache Nullstelle x =, 83; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x <, 83 < x <, 83 < x f x) x ] ;, 83[ ], 83; [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ], 83;, 83[ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x = 0 x = 0 x = 0 x 3 = 0; -fache Nullstelle f 0) = > 0 Tiefpunkt:0/ ) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < 0 < x f x) 0 + x ]0; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ] ; 0[ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse,83 ) [ ],83 A =,83 x dx = x3 x ),83 ) =, 833, 83, 83)3, 83) 8

19 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c = 3, 77) 3, 77) = 7, 5 Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = x Ableitung von f x) x 8 f x) f x) f x)

20 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = 3 x x + 3 = 3 x + 7, )x, ) f x) = 3 x f x) = 3 Fx) = 3 x x + 3)dx = 9 x3 x + 3x + c Aufgabe ) Definitions- und Wertebereich: D = R W =], ] Grenzwerte: f x) = x 3 x + 3 x ) lim f x) = [ x 3 ] = lim f x) = [ x 3 ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = 3 x) x) + 3 keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = 3 x x + 3 = 0 3 x x + 3 = 0 + ± ) x / = ) 3 x / = + ± 8 3 ±, 83 x / = 3 +, 83 x = 3 x = ) 3 3, 83 3 x = 7, x =, x = 7, ; -fache Nullstelle x =, ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 7, < x <, < x f x) x ] 7, ;, [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 7, [ ], ; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = 3 x = 0 3 x = 0 / + 3 x = / : ) 3 x = 3 x = 3 x 3 = 3; -fache Nullstelle f 3) = 3 f 3) < 0 Hochpunkt: 3/) 0

21 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < 3 < x f x) + 0 x ] ; 3[ f x) > 0 streng monoton steigend x ] 3; [ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse, A = ) [ 7, 3 x x + 3 dx = ], 9 x3 x + 3x 7, = ) 9, 3, + 3, ) 9 7, )3 7, ) + 3 7, ) =, 97) 3) = 33, 9 Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = 3 x x + 3 Ableitung von f x) 8 8

22 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c

23 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = x 3 = x + 3, )x 3, ) f x) = x f x) = Fx) = x 3)dx = x3 3x + c Aufgabe 7) Definitions- und Wertebereich: D = R W = [ 3), [ Grenzwerte: f x) = x 3 x ) lim f x) = [ x ] = lim f x) = [ x ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = x) 3 f x) = x 3 f x) = f x) Symmetrie zur y-achse: Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = x 3 = 0 x 3 = 0 / + 3 x = 3 / : x = 3 x = ± x = 3, x = 3, x = 3, ; -fache Nullstelle x = 3, ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 3, < x < 3, < x f x) x ] ; 3, [ ]3, ; [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] 3, ; 3, [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x = 0 x = 0 x = 0 x 3 = 0; -fache Nullstelle f 0) = > 0 Tiefpunkt:0/ 3) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < 0 < x f x) 0 + x ]0; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ] ; 0[ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse 3, ) [ ] 3, A = 3, x 3 dx = x3 3x ) 3, ) = 3, 3 3 3, 3, )3 3 3, ) 3

24 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c =, 93), 93) = 3, 9 Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = x 3 Ableitung von f x) x 8 f x) f x) f x)

25 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgabe 8) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = x + = x +, )x, ) f x) = x f x) = Fx) = x + )dx = 3 x3 + x + c Definitions- und Wertebereich: D = R W =], ] Grenzwerte: f x) = x + x ) lim f x) = [ x ] = lim f x) = [ x ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = x) + f x) = x + f x) = f x) Symmetrie zur y-achse: Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = x + = 0 x + = 0 / x = / : ) x = x = ± x =, x =, x =, ; -fache Nullstelle x =, ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x <, < x <, < x f x) x ], ;, [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ;, [ ], ; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x = 0 x = 0 x = 0 x 3 = 0; -fache Nullstelle f 0) = f 0) < 0 Hochpunkt:0/) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < 0 < x f x) + 0 x ] ; 0[ f x) > 0 streng monoton steigend x ]0; [ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse, ) [ A = x + dx = ],, 3 x3 + x, = ) 3, 3 +, ) 3, )3 +, ) = 3, 77) 3, 77) = 7, 5 5

26 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = x + Ableitung von f x)

27 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgabe 9) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = x = x +, )x, ) f x) = x f x) = Fx) = x )dx = 3 x3 x + c Definitions- und Wertebereich: D = R W = [ ), [ Grenzwerte: f x) = x x ) lim f x) = [ x ] = lim f x) = [ x ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = x) f x) = x f x) = f x) Symmetrie zur y-achse: Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = x = 0 x = 0 / + x = / : x = x = ± x =, x =, x =, ; -fache Nullstelle x =, ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x <, < x <, < x f x) x ] ;, [ ], ; [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ], ;, [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x = 0 x = 0 x = 0 x 3 = 0; -fache Nullstelle f 0) = > 0 Tiefpunkt:0/ ) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < 0 < x f x) 0 + x ]0; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ] ; 0[ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse, ) [ ], A = x dx =, 3 x3 x ), ) = 3, 3, 3, )3, ) =, 89), 89) = 3, 77 7

28 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = x Ableitung von f x)

29 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgabe 0) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = 3 x + x = 3 xx ) f x) = 3 x + f x) = 3 Fx) = 3 x + x)dx = 9 x3 + x + c Definitions- und Wertebereich: D = R W =], 3] Grenzwerte: f x) = x 3 + x ) lim f x) = [ x 3 ] = lim f x) = [ x 3 ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = 3 x) + x) keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = 3 x + x = 0 x 3 x + ) = 0 x = 0 3 x + = 0 3 x + = 0 / ) 3 x = / : 3 x = 3 x = x = 0; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 0 < x < < x f x) x ]0; [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 0[ ]; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = 3 x + = 0 3 x + = 0 / 3 x = / : ) 3 x = 3 x = 3 x 3 = 3; -fache Nullstelle f 3) = 3 f 3) < 0 Hochpunkt:3/3) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < 3 < x f x) + 0 x ] ; 3[ f x) > 0 streng monoton steigend x ]3; [ f x) < 0 streng monoton fallend 9

30 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Eingeschlossene Fläche mit der x-achse A = ) [ 0 3 x + x dx = ] 9 x3 + x 0 = 9 ) ) = ) 0) = Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = 3 x + x Ableitung von f x)

31 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c

32 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgabe ) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = x x + 7 f x) = x f x) = Fx) = x x + 7)dx = 3 x3 x + 7x + c Definitions- und Wertebereich: D = R W = [3, [ Grenzwerte: f x) = x x + 7 x ) lim f x) = [ x ] = lim f x) = [ x ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = x) x) + 7 keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = x x + 7 = 0 x x + 7 = 0 x / = + ± ) 7 x / = + ± Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f x) > 0 oberhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x = 0 x = 0 / + x = / : x = x = x = ; -fache Nullstelle f ) = > 0 Tiefpunkt:/3) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < < x f x) 0 + x ]; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ] ; [ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse keine Fläche 3

33 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = x x + 7 Ableitung von f x)

34 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = x + x 7 f x) = x + f x) = Fx) = x + x 7)dx = 3 x3 + x 7x + c Aufgabe ) Definitions- und Wertebereich: D = R W =], 3)] Grenzwerte: f x) = x + x 7 x ) lim f x) = [ x ] = lim f x) = [ x ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = x) + x) 7 keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = x + x 7 = 0 x + x 7 = 0 x / = ± ) 7) ) x / = ± Diskriminante negativ keine Lösung Vorzeichentabelle: kein Vorzeichenwechsel x R f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x + = 0 x + = 0 / x = / : ) x = x = x = ; -fache Nullstelle f ) = f ) < 0 Hochpunkt:/ 3) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < < x f x) + 0 x ] ; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ]; [ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse keine Fläche 3

35 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = x + x 7 Ableitung von f x)

36 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgabe 3) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = x + x = x + )x f x) = x + f x) = Fx) = x + x)dx = 3 x3 + x + c Definitions- und Wertebereich: D = R W = [ ), [ Grenzwerte: f x) = x + x ) lim f x) = [ x ] = lim f x) = [ x ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = x) + x) keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = x + x = 0 xx + ) = 0 x = 0 x + = 0 x + = 0 / x = / : x = x = x = ; -fache Nullstelle x = 0; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x < 0 < x f x) x ] ; [ ]0; [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 0[ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x + = 0 x + = 0 / x = / : x = x = x 3 = ; -fache Nullstelle f ) = > 0 Tiefpunkt: / ) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < < x f x) 0 + x ] ; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ] ; [ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse 0 ) [ ] 0 A = x + x dx = 3 x3 + x ) ) = )3 + ) 3

37 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c = 0) ) = 3 3 Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = x + x Ableitung von f x)

38 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = x + x + 5 = x +, 7)x 5, 7) f x) = x + f x) = Fx) = x + x + 5)dx = x3 + x + 5x + c Aufgabe ) Definitions- und Wertebereich: D = R W =], 7] Grenzwerte: f x) = x + x + 5 x ) lim f x) = [ x ] = lim f x) = [ x ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = x) + x) + 5 keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = x + x + 5 = 0 x + x + 5 = 0 ) ± 5 x / = ) x / = ± ± 3, 7 x / = + 3, 7 3, 7 x = x = x =, 7 x = 5, 7 x =, 7; -fache Nullstelle x = 5, 7; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x <, 7 < x < 5, 7 < x f x) x ], 7; 5, 7[ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ;, 7[ ]5, 7; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x + = 0 x + = 0 / x = / : ) x = x = x 3 = ; -fache Nullstelle f ) = f ) < 0 Hochpunkt:/7) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < < x f x)

39 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c x ] ; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ]; [ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse 5,7 A = ) [,7 x + x + 5 dx = ] 5,7 x3 + x + 5x,7 = ) 5, , , 7 ), 7)3 +, 7) + 5, 7) = 30, ), 79) = 3, 9 Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = x + x + 5 Ableitung von f x)

40 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c

41 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = x + 3x + = x + 0, 85)x, 35) f x) = x + 3 f x) = Fx) = x + 3x + )dx = 3 x3 + x + x + c Aufgabe 5) Definitions- und Wertebereich: D = R W =], 5 8 ] Grenzwerte: f x) = x + 3 x + x ) lim f x) = [ x ] = lim f x) = [ x ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = x) + 3 x) + keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = x + 3x + = 0 x + 3x + = 0 x / = 3 ± 3 ) ) x / = 3 ± 3 ±, x / = 3 +, 3, x = x = x = 0, 85 x =, 35 x = 0, 85; -fache Nullstelle x =, 35; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 0, 85 < x <, 35 < x f x) x ] 0, 85;, 35[ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 0, 85[ ], 35; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x + 3 = 0 x + 3 = 0 / 3 x = 3 / : ) x = 3 x = 3 x 3 = 3 ; -fache Nullstelle f 3 ) = f 3 ) < 0 Hochpunkt: 3 /5 8 ) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf)

42 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c x < 3 < x f x) + 0 x ] ; 3 [ f x) > 0 streng monoton steigend x ] 3 ; [ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse,35 ) [ A = x + 3x + dx = 0,85 3 x3 + ],35 x + x 0,85 = 3, ), 35 +, , 85)3 + ) 0, 85) + 0, 85) = 9, 03), 9) = 0, 9 Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = x + 3 x + Ableitung von f x) 8 8

43 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c

44 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgabe ) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = x + x = x +, 3)x 0, 37) f x) = x + f x) = Fx) = x + x )dx = 3 x3 + 3x x + c Definitions- und Wertebereich: D = R W = [ ), [ Grenzwerte: f x) = x + x x ) lim f x) = [ x ] = lim f x) = [ x ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = x) + x) keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = x + x = 0 x + x = 0 x / = ± ) x / = ± ±, 3 x / = +, 3 x = x = x = 0, 37 x =, 3 x =, 3; -fache Nullstelle x = 0, 37; -fache Nullstelle, 3 Vorzeichentabelle: x <, 3 < x < 0, 37 < x f x) x ] ;, 3[ ]0, 37; [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ], 3; 0, 37[ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x + = 0 x + = 0 / x = / : x = x = 3 x 3 = 3; -fache Nullstelle f 3) = > 0 Tiefpunkt: 3/ ) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < 3 < x f x) 0 + x ] 3; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ] ; 3[ f x) < 0 streng monoton fallend

45 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Eingeschlossene Fläche mit der x-achse 0,37 ) [ ] 0,37 A = x + x dx =,3 3 x3 + 3x x ),3 ) = 3 0, , 37 0, 37 3, 3)3 + 3, 3), 3) = 0, 3) 8, 3) = 8, Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = x + x Ableitung von f x)

46 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c

47 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = 3 x + x + 5 = 3 x +, 9)x 7, 9) f x) = 3 x + f x) = 3 Fx) = 3 x + x + 5)dx = 9 x3 + x + 5x + c Aufgabe 7) Definitions- und Wertebereich: D = R W =], 8] Grenzwerte: f x) = x 3 + x + 5 x ) lim f x) = [ x 3 ] = lim f x) = [ x 3 ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = 3 x) + x) + 5 keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = 3 x + x + 5 = 0 3 x + x + 5 = 0 ± x / = ) 3 x / = ± ± 3, 7 x / = 3 + 3, 7 x = 3 x = 3 ) 5 x =, 9 x = 7, 9 x =, 9; -fache Nullstelle x = 7, 9; -fache Nullstelle 3, 7 3 Vorzeichentabelle: x <, 9 < x < 7, 9 < x f x) x ], 9; 7, 9[ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ;, 9[ ]7, 9; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = 3 x + = 0 3 x + = 0 / 3 x = / : ) 3 x = 3 x = 3 x 3 = 3; f 3) = 3 -fache Nullstelle 7

48 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c f 3) < 0 Hochpunkt:3/8) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < 3 < x f x) + 0 x ] ; 3[ f x) > 0 streng monoton steigend x ]3; [ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse 7,9 A = ) [,9 3 x + x + 5 dx = ] 7,9 9 x3 + x + 5x,9 = ) 9 7, , , 9 ) 9, 9)3 +, 9) + 5, 9) = 7, ) 5, 3) = 5, 3 Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = 3 x + x + 5 Ableitung von f x)

49 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c

50 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgabe 8) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = 8 x x + 3 = 8 x + 5)x ) f x) = x f x) = Fx) = 8 x x + 3 )dx = 0, 05x3 x + 3 x + c Definitions- und Wertebereich: D = R W =], ] Grenzwerte: f x) = x 8 x + 3 x ) lim f x) = [ 8 x ] = 8 f x) = [ ) ] = lim x Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = 8 x) 3 x) + keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = 8 x x + 3 = 0 8 x x + 3 = 0 x / = + ± x / = + ± 5 x / = x = ± ) 8 ) 3 8 ) x = 7 x = 5 x = x = 5; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 5 < x < < x f x) x ] 5; [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 5[ ]; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x = 0 x = 0 / + ) / : x = x = x = x 3 = ; -fache Nullstelle 50

51 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c f ) = f ) < 0 Hochpunkt: /) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < < x f x) + 0 x ] ; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ] ; [ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse A = 8 5 x ) [ x + 3 dx = 0, 05x 3 x + 3 ] x 5 = 0, ) 0, 05 5) 3 5) + 3 ) 5) =, 85) 7, 8) = 9 3 Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = 8 x x + 3 Ableitung von f x)

52 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c

53 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgabe 9) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = 3 8 x 3 8 x = 3 8 x + 5)x ) f x) = 8 x 3 8 f x) = 8 Fx) = 3 8 x 3 8 x )dx = 0, 3x3 8 x x + c Definitions- und Wertebereich: D = R W =], 8] Grenzwerte: f x) = x lim f x) = [ x lim x x x ) 8 ] = 3 f x) = [ 8 ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = 3 8 x) x) keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = 8 3 x 3 8 x = x 3 8 x = 0 x / = ± 3 8 x / = ± 5 8 x / = x = ± x = ) 3 8 ) x = 5 x = x = 5; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 5 < x < < x f x) ) x ] 5; [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 5[ ]; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = 8 x 3 8 = 0 8 x 3 8 = 0 / + 3 8) / : 8 x = 3 8 x = x = 8 x 3 = ; -fache Nullstelle 53

54 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c f ) = 8 f ) < 0 Hochpunkt: /8) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < < x f x) + 0 x ] ; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ] ; [ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse A = x 3 ) [ 8 x dx = 0, 3x x ] 8 x 5 = 0, ) 8 0, 3 5) 3 8 5) ) 8 5) = 0) 8) = 8 Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = 8 3 x 3 8 x Ableitung von f x)

55 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c

56 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgabe 0) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = x + 5x = xx ) f x) = x + 5 f x) = Fx) = x + 5x)dx = 5 x3 + x + c Definitions- und Wertebereich: D = R W =], 5] Grenzwerte: f x) = x + 5 x ) lim f x) = [ x ] = lim f x) = [ x ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = x) + 5 x) keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = x + 5x = 0 x x + 5) = 0 x = 0 x + 5 = 0 x + 5 = 0 / 5 ) x = 5 / : x = 5 x = x = 0; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 0 < x < < x f x) x ]0; [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 0[ ]; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x + 5 = 0 x + 5 = 0 / 5 x = 5 / : ) x = 5 x = x 3 = ; -fache Nullstelle f ) = f ) < 0 Hochpunkt:/5) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < < x f x) + 0 x ] ; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ]; [ f x) < 0 streng monoton fallend 5

57 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Eingeschlossene Fläche mit der x-achse A = ) [ 0 x + 5x dx = 5 x3 + ] x 0 = ) ) 0 = 3 ) 0) = Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = x + 5 x Ableitung von f x)

58 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c

59 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgabe ) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = 3 x 3x = 3 x + )x f x) = x 3 f x) = Fx) = 3 x 3x)dx = x3 x + c Definitions- und Wertebereich: D = R W =], 3] Grenzwerte: f x) = x 3 3 x ) lim f x) = [ 3 x ] = lim f x) = [ 3 x ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = 3 x) 3 x) keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = 3 x 3x = 0 x 3 x 3) = 0 x = 0 3 x 3 = 0 3 x 3 = 0 / x = 3 / : 3 ) x = 3 3 x = x = ; -fache Nullstelle x = 0; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x < 0 < x f x) x ] ; 0[ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ ]0; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x 3 = 0 x 3 = 0 / + 3 x = 3 / : ) x = 3 x = x 3 = ; -fache Nullstelle f ) = f ) < 0 Hochpunkt: /3) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < < x f x) + 0 x ] ; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ] ; [ f x) < 0 streng monoton fallend 59

60 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Eingeschlossene Fläche mit der x-achse 0 A = 3 ) [ x 3x dx = x3 ] 0 x = 03 ) 0 )3 ) ) = 0) 8) = 8 Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = 3 x 3 x Ableitung von f x)

61 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c

62 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgabe ) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = 5 9 x 5 = 9 5 x + 3)x 3) f x) = 9 x f x) = 9 Fx) = 5 9 x 5)dx = 7 5 x3 5x + c Definitions- und Wertebereich: D = R W = [ 5), [ Grenzwerte: f x) = x x ) lim f x) = [ 5 x 9 ] = lim f x) = [ 5 x 9 ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = 5 9 x) 5 f x) = 5 9 x 5 f x) = f x) Symmetrie zur y-achse: Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = 5 9 x 5 = x 5 = 0 / x = 5 / : 5 9 x = x = ± 9 x = 3 x = 3 x = 3; -fache Nullstelle x = 3; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < 3 < x < 3 < x f x) x ] ; 3[ ]3; [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] 3; 3[ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = 9 x = 0 x = 0 x = 0 x 3 = 0; -fache Nullstelle f 0) = > 0 Tiefpunkt:0/ 5) 9 Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < 0 < x f x) 0 + x ]0; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ] ; 0[ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse 3 ) [ ] A = 3 9 x 5 dx = 7 x3 5x ) 3 ) 5 5 = )3 5 3)

63 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c = 0) 0) = 0 Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = 5 9 x 5 Ableitung von f x) x 8 f x) f x) f x)

64 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgabe 3) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = x + x = x + )x f x) = x + f x) = Fx) = x + x)dx = x 3 + x + c Definitions- und Wertebereich: D = R W = [ 3), [ Grenzwerte: f x) = x + x ) lim f x) = [ x ] = lim f x) = [ x ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = x) + x) keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = x + x = 0 xx + ) = 0 x = 0 x + = 0 x + = 0 / x = / : x = x = x = ; -fache Nullstelle x = 0; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x < 0 < x f x) x ] ; [ ]0; [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 0[ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x + = 0 x + = 0 / x = / : x = x = x 3 = ; -fache Nullstelle f ) = > 0 Tiefpunkt: / 3) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < < x f x) 0 + x ] ; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ] ; [ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse

65 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c 0 ) A = x + x dx = [x 3 + x ] 0 = ) ) 3 + ) ) = 0) ) = Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = x + x Ableitung von f x)

66 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c

67 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgabe ) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = 5 x x + 5 = 5 x + )x 9) f x) = 5 x f x) = 5 Fx) = 5 x x + 5 )dx = 5 x3 + 5 x + 5 x + c Definitions- und Wertebereich: D = R W =], ] Grenzwerte: f x) = x x + 5 x ) lim f x) = [ x 5 ] = f x) = [ 5 ) ] = lim x Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = 5 x) x) + 5 keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = 5 x x + 5 = 0 5 x x + 5 = ± 3 x / = x / = x / = x = 3 5 ± ± ) ) x = x = x = 9 x = ; -fache Nullstelle x = 9; -fache Nullstelle Vorzeichentabelle: x < < x < 9 < x f x) x ] ; 9[ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; [ ]9; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = 5 x = 0 5 x x = 3 x = x = x 3 = ; f ) = 5 5 = 0 / 3 5 / : ) 5 5 -fache Nullstelle 7

68 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c f ) < 0 Hochpunkt:/) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < < x f x) + 0 x ] ; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ]; [ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse 9 A = 5 x x + ) dx = 5 = ) 5 9 = 38 ) 3 ) = Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = 5 x x + 5 [ 5 x3 + 5 x + 5 x 5 )3 + 8 ] 9 5 ) + ) 5 ) Ableitung von f x) 8 8

69 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c

70 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgabe 5) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = 5 9 x 5 x = 5 9 x + 9)x ) f x) = 5 8 x 5 f x) = 8 5 Fx) = 5 9 x 5 x )dx = 5 3 x3 5 x x + c Definitions- und Wertebereich: D = R W =], 9] Grenzwerte: f x) = x x x ) lim f x) = [ 9 x 5 ] = 9 f x) = [ 5 ) ] = lim x Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = 5 9 x) 5 x) keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = 5 9 x 5 x = x 5 x = 0 x / = x / = + 5 ± ) ) ) + 5 ± x / = 5 ± x = x = x = 9 x = x = 9; -fache Nullstelle x = ; -fache Nullstelle 8 5 Vorzeichentabelle: x < 9 < x < < x f x) x ] 9; [ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 9[ ]; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = 8 5 x 5 = x 8 5 x = 5 x = x = x 3 = ; f ) = = 0 / + 5 / : 8 ) 5 -fache Nullstelle 70

71 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c f ) < 0 Hochpunkt:/9) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < < x f x) + 0 x ] ; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ] ; [ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse A = x 5 x + 3 ) dx = 5 = ) 5 = 7 ) 58 8 ) = Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = 9 5 x 5 x [ 3 5 x3 5 x x 3 5 9)3 8 ] 9 5 9) + 3 ) 5 9) Ableitung von f x) 8 7

72 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c , , , , , , , , , ,

73 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c Aufgabe ) Funktion/Ableitungen/Stammfunktion f x) = 8 x + x = 8 x + 7)x 9) f x) = x + f x) = Fx) = 8 x + x )dx = x3 + 8 x x + c Definitions- und Wertebereich: D = R W =], 8] Grenzwerte: f x) = x 8 + x x ) lim x f x) = [ 8 ] = lim x f x) = [ 8 ) ] = Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse f x) = 8 x) + x) keine Symmetrie zur y-achse und zum Ursprung Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-achse: f x) = 8 x + x = 0 8 x + x = 0 ± x / = ) 8 x / = ± x / = ± x = + 8 x = x = 7 x = 9 x = 7; -fache Nullstelle x = 9; -fache Nullstelle ) Vorzeichentabelle: x < 7 < x < 9 < x f x) x ] 7; 9[ f x) > 0 oberhalb der x-achse x ] ; 7[ ]9; [ f x) < 0 unterhalb der x-achse Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: f x) = x + = 0 x + = 0 / x = / : ) x = x = x 3 = ; -fache Nullstelle f ) = 73

74 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c f ) < 0 Hochpunkt:/8) Monotonie/ streng monoton steigend sms)/streng monoton fallend smf) x < < x f x) + 0 x ] ; [ f x) > 0 streng monoton steigend x ]; [ f x) < 0 streng monoton fallend Eingeschlossene Fläche mit der x-achse 9 A = 7 8 x + ) [ x + 77 dx = 8 x3 + 8 x ] 9 8 x 7 = ) 8 9 7) ) ) 7) = 50 5 ) 3 7 ) = Funktionsgraph und Wertetabelle f x) = 8 x + x Ableitung von f x) 8 7

75 Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c

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