Reihenentwicklung die Taylorentwicklung

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Catharina Färber
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1 Rihtwicklug di Taylortwicklug Motivatio: Es lig i Potrih olgdr Form vor: Durch Umorm rgibt sich: s s s s s K K K Für udlich groß rgibt sich im Wrtbrich < < i dlich Summ s. Dis lässt sich als Fuktio vo darstll. s Somit lässt sich i udlich Rih als iachr aalytischr Ausdruck darstll. Frag, di dr Mathmatikr stllt: - Gligt das auch bi adr Fuktio? - Gibt s ötr so iach Zuordug ir udlich Rih u im aalytisch Ausdruck? Frag, di dr Physikr stllt: - Ist umgkhrt di Etwicklug ir Fuktio als Rih (Potrih) möglich? Di Atwort lautt ja - i solch Potrih wird als Taylorrih bicht. Wori ligt dr Nut dr Darstllug ir Fuktio als Taylorrih? - Numrisch Brchug vo Fuktioswrt mit blibigr gordrtr Gauigkit. - Vrwdug dr rst (dr vom Wrt hr domiat) Glidr als Nährug. - Glidwis Itgratio, sollt di Fuktio icht gschloss itgrirbar si. Bachtt wrd muss allrdigs, dass di Etwicklug dr Taylorrih immr i dr Näh is ausgwählt Pukts gschiht - j ähr ma mit si Btrachtug am gwählt Pukt blibt, um so gaur ist das Ergbis. Hir gibt s rut i Utrschid wisch mathmatischr ud physikalischr Fragstllug. - Mathmatik: Etwickl Si di Fuktio ( ) ach Pot vo ( ). - Physik: Wi lässt sich ( ) i dr Näh ds Pukts darstll? (Lösug: ( ) ( ) ( ) ( ) ) Dr. Hmpl / Mathmatisch Grudlag Taylorrih Sit

- Gibt s ötr so iach Zuordug ir udlich Rih u im aalytisch Ausdruck? Frag, di dr Physikr stllt: - Ist umgkhrt di Etwicklug ir Fuktio als Rih (Potrih) möglich?

2 Bhauptug: Wir hm a, di Fuktio () lässt sich als Potrih i olgdr Form darstll: ( ) a Da sollt utr dr Vorausstug, dass () blibig ot dirirbar ist, di Bstimmug dr Koiit a möglich si. Sid di Fuktio () ud di Potrih tatsächlich idtisch, sollt.b. a dr Stll di Fuktio () ud all ihr Ablitug mit dr Rih ud all ihr Ablitug übristimm. Damit rgibt sich ür di Stll : () a () a () a K ( ) ()! a Di Etwicklug ir Fuktio als Taylorrih lautt: () () ( ) ()!! ( ) () K K! Es gibt Fuktio, bi d di Taylorrih ur ür i bstimmt Brich vo -Wrt kovrgirt (sih Bispil ob: ( ) /( ) ). Dr Brich, i dm sich i Fuktio als Potrih twickl lässt, hißt Gültigkitsbrich odr Kovrgbrich. Vrallgmirug: Bishr wurd di Fuktio () a dr Stll twicklt. Ist i Etwicklug a ir blibig Stll möglich? Asat: ( ) ( ) a a( ) a ( ) K a ( ) Di Koiit a wrd durch dirir dr Fuktio () bi bstimmt: ( ) ( ) a ( ) a ( ) a K ( Damit lässt sich di Rihtwicklug a dr Stll auschrib: Taylorrihtwicklug dr Fuktio () a dr Stll ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K ( ) K!!! )! a Di Dir h ) im Asat lässt sich auch als u Vrädrlich auass: ( () () ( ) ( h) () h h!! ( ) () K h K! Di Etwicklug dr Fuktio (h) dr Fuktio () a dr Stll a dr Stll. h ist da glichbdutd mit dr Etwicklug Dr. Hmpl / Mathmatisch Grudlag Taylorrih Sit

a Di Etwicklug ir Fuktio als Taylorrih lautt: () () ( ) ()!! ( ) () K K! Es gibt Fuktio, bi d di Taylorrih ur ür i bstimmt Brich vo -Wrt kovrgirt (sih Bispil ob: ( ) /( ) ).

3 Taylortwicklug häuig gbrauchtr Fuktio. Epotialuktio (Bolmavrtilug, baromtrisch Höhorml, Dämpugsrschiug, radioaktivr Zrall, Lad- ud Etladvorgäg) Fuktio: () ( ) () () () K () Damit rgibt sich als Etwicklug: ( ) K!!!!! Fuktio: () - () ; () ( ) ; () ( ) ; () ( ) ; K ( ) () ( ) Damit rgibt sich als Etwicklug: ( )!!! K ( )! Aus d Rihtwicklug ist rsichtlich: ür << ± ± Aalog ur Epotialuktio mit dr Basis lässt sich di Fuktio ( ) a twickl, wobi di Basis a i blibig rll Zahl ist. Für di -t Ablitug gilt: ( ) a (l a) ud damit ür di Rihtwicklug: l a (l a) ( ) a!! K a (l a)! Dr. Hmpl / Mathmatisch Grudlag Taylorrih Sit

als Etwicklug: ( ) K!!!!! Fuktio: () - () ; () ( ) ; () ( ) ; () ( ) ; K ( )

4 . Hyprbolisch Fuktio Fuktio: y cosh y cosh (!!! K) (!!! K) (! 4 4! K) Somit rgibt sich: cosh! 4 4! K ()! Für -Wrt << gilt somit als Nährug: cosh Fuktio: () sih y sih (!!! K) (!!! K) (!! K)! Somit rgibt sich: sih!! K ( )! ( ) Für -Wrt << gilt somit als Nährug: sih Aalog u cosh ud sih lass sich auch tah ud coth twickl. Dr. Hmpl / Mathmatisch Grudlag Taylorrih Sit 4

Für -Wrt << gilt somit als Nährug: cosh Fuktio: () sih y sih (!!! K) (!!! K) (!! K)! Somit rgibt sich: sih!

5 . Trigoomtrisch Fuktio Fuktio: () si ( ) si ( ) cos ( ) si ( ) cos (4) ( ) si Bi ir Etwicklug a dr Stll vrschwid all grad Ablitug. Zusammassd gilt: si!! 7 K 7! ( ) ( )! Aus disr Etwicklug olgt als Nährug ür kli ( << ) si Fuktio: () cos Da di cos-fuktio als rst Ablitug dr si-fuktio, läßt si sich rcht iach gwi: cos! 4 6 K 4! 6! ( ) ()! Für kli -Wrt olgt: cos si- ud cos- Fuktio ud ihr Zusammhag mit d Epotialuktio Als Rih u twickl si di Fuktio: ( ) cos i si Utr Vrwdug dr bkat Rihtwicklug ür 4 6 cos i si K i i K! 4! 6!! ( i) i! ( i)! ( i) 4! 4 K Dis Rihtwicklug ist abr idtisch mit dr Rihtwicklug si ud cos rgibt sich: ( ) i Etsprchd ka gigt wrd, dass cos i si i cos ± i si ± i (Moivrsch Forml) Ählich lass sich ta ud cot twickl ud Additiosthorm bwis. Dr. Hmpl / Mathmatisch Grudlag Taylorrih Sit

Für kli -Wrt olgt: cos si- ud cos- Fuktio ud ihr Zusammhag mit d Epotialuktio Als Rih u twickl si di Fuktio: ( ) cos i si Utr Vrwdug dr bkat Rihtwicklug ür 4 6 cos i si K i i K! 4! 6!! ( i) i! ( i)! ( i) 4!

6 4. Logarithmusuktio Di Logarithmusuktio wird.b. ur Bschribug dr Dämpug butt. l l l d Da di Fuktio a dr Stll icht diirt ist, wrd ur Etwicklug als Rih i dr Näh vo i paar Tricks butt: a) y ( ) l( ) () () () () (4) () 6 Daraus olgt di Rihtwicklug: l( 4 ( ) ) K ( ) ( < 4 ) b) y ( ) l( ) () () () () (4) () 6 Daraus olgt di Rihtwicklug: 4 l( ) K 4 Daraus rgibt sich di olgd Rihtwicklug: ( ) ( ) l l( ) l( ) ( K) ( ) ud mit ür das Argumt ds Logarithmus rgibt sich Durch Eist rhält ma:. l K ( ) Für kli -Wrt rgibt sich als Nährug: y Dr. Hmpl / Mathmatisch Grudlag Taylorrih Sit 6

Daraus olgt di Rihtwicklug: l( 4 ( ) ) K ( ) ( < 4 ) b) y ( ) l( ) () () () () (4) () 6 Daraus olgt di Rihtwicklug: 4 l( ) K 4 Daraus rgibt

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