Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche

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1 Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche Tone Arnold Universität des Saarlandes 6. Januar 2008 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

2 Oligopoltheorie Im Fall der vollkommenen Konkurrenz hat ein einzelner Akteur durch seine Nachfrage bzw. Angebotsentscheidung keinen Einfluss auf das Marktergebnis. Im Fall des Monopols wird die angebotene Menge (und damit der resultierende Preis) vom einzigen Anbieter festgelegt. Viele Industrien (z.b. Automobil, Mineralöl oder Zigarettenindustrie) sind jedoch durch eine kleine Zahl von Anbietern gekennzeichnet. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

3 Oligopoltheorie Ein oligopolistischer Markt zeichnet sich dadurch aus, dass das Marktergebnis durch die Interaktion aller Anbieter in diesem Markt determiniert wird. Wenn z. B. eine Firma den Preis senkt, dann wird die Nachfrage und damit der Erlös bei den anderen Unternehmen zurückgehen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

4 Oligopoltheorie Der gewinn eines Unternehmens wird nicht nur durch die Entscheidungen dieses Unternehmens bestimmt, sondern auch durch die aller anderen Marktteilnehmer. Eine Firma sollte also bei ihrer Entscheidung über die anzubietende Menge bzw. des zu fordernden Preises das Verhalten der anderen Firmen in diesem Markt bei seiner Entscheidung mit berücksichtigen. Es besteht eine strategische Interdependenz zwischen den Firmen auf einem oligopolistischen Markt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

5 Oligopoltheorie Ein solches Instrument ist die Spieltheorie. Die Spieltheorie befasst sich mit strategischem Verhalten. Sie erlaubt Aussagen über rationales Verhalten in strategischen Entscheidungssituationen sowie über die Resultate dieser Entscheidungen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

6 Oligopolistische Marktstrukturen Die Variablen, über die die Firmen entscheiden können, sind der Preis oder die Menge des hergestellten Produktes. Diese Entscheidungen können entweder in Unkenntnis der Entscheidung der anderen Firma getroffen werden, i.e. simultan, oder eine der Firmen entscheidet zuerst, und die andere Firma fällt ihre Entscheidung aufgrund der von der ersten Firma getroffenen Entscheidung. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

7 Das Modell von Cournot Annahmen 1 Es gibt zwei identische Firmen, die ein homogenes Produkt herstellen. 2 Die strategische Variable ist die Angebots bzw. Outputmenge. 3 Die Firmen entscheiden simultan über ihre Outputmengen. 4 Die Preis Absatz Funktion sowie die Kostenfunktionen beider Firmen sind bekannt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

8 Das Modell von Cournot Beispiel: Zwei Firmen stellen identische Musikanlagen her. Die Preis Absatz Funktion für Musikanlagen ist p(y) = 1200 y, wobei y die insgesamt angebotene Menge an Musikanlagen bezeichnet. Die variablen Kosten der Produktion von Musikanlagen sind vernachlässigbar, i.e. gleich null. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

9 Das Modell von Cournot Jede der beiden Firmen überlegt sich, welche Menge sie am Markt anbieten soll, um ihren Gewinn zu maximieren. Problem: Der Gewinn einer Firma hängt nicht nur von der Menge ab, die sie selbst anbietet, sondern auch von der Menge, die die andere Firma anbietet. Da die Firman simultan entscheiden, weiss keine der Firmen, welche Menge die jeweils andere Firma anzubieten plant. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

10 Das Modell von Cournot Sei y 1 die Menge an Musikanlagen, die Firma 1 anbietet, und y 2 die von Firma 2 angebotene Menge. Die inverse Nachfrage (und somit der Gewinn jeder Firma) hängt von der Gesamtmenge y ab, wobei gilt y = y 1 + y 2. Jede Firma entscheidet sich für eine Menge y i, i = 1, 2. Firma i muss zwar in Unkenntnis der von der anderen Firma geplanten Menge entscheiden, aber sie kann sich aber für jede mögliche Menge der anderen Firma ihre beste Antwort überlegen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

11 Das Modell von Cournot Beste Antwort Die beste Antwort (best reply, best response) der Firma 1 auf die Menge y 2 der Firma 2 ist diejenige Menge y 1, die den Gewinn der Firma 1 maximiert unter der Annahme, dass Firma 2 die Menge y 2 anbietet. Analog für Firma 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

12 Das Modell von Cournot Der Erlös der Firma 1 ist p(y) y 1 bzw. p(y 1 + y 2 ) y 1. Der Gewinn von Firma 1 ist π 1 (y 1, y 2 ) = [1200 (y 1 + y 2 )] y 1. Der Gewinn von Firma 2 ist π 2 (y 1, y 2 ) = [1200 (y 1 + y 2 )] y 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

13 Das Modell von Cournot Das Gewinnmaximierungsproblem der Firma 1 lautet max y 1 π 1 (y 1, y 2 ) = [1200 (y 1 + y 2 )] y 1. Analog lautet das Gewinnmaximierungsproblem der Firma 2 max y 2 π 2 (y 1, y 2 ) = [1200 (y 1 + y 2 )] y 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

14 Das Modell von Cournot Wir lösen zuerst das Problem der Firma 1: B.1.O. max y 1 [1200 (y 1 + y 2 )] y 1 = 1200y 1 y 2 1 y 1y y 1 y 2 = 0. Auflösen nach y 1 ergibt y 1 = 600 y 2 2. Dies ist die Reaktionsfunktion der Firma 1. Wir schreiben y 1 = R 1 (y 2 ) = 600 y 2 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

15 Reaktionsfunktion Reaktionsfunktion Die Reaktionsfunktion der Firma 1 gibt für jede mögliche Menge y 2, die Firma 2 anbieten könnte, die beste Antwort für Firma 1 an. Beispiel: Bietet Firma 2 z.b. die Menge y 2 = 500 Musikanlagen an, so wäre die beste Antwort der Firma 1 gegeben durch R 1 (500) = = 350. Das bedeutet: Wüsste Firma 1, dass Firma 2 die Menge von 500 anzubieten plant, dann wäre es optimal für Firma 1, 350 Musikanlagen anzubieten. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

16 Reaktionsfunktion Nun lösen wir das Gewinnmaximierungsproblem der Firma 2: B.1.O. max y 2 [1200 (y 1 + y 2 )] y 2 = 1200y 2 y 1 y 2 y y 1 2y 2 = 0. Auflösen nach y 2 ergibt y 2 = 600 y 1 2. Dies ist die Reaktionsfunktion der Firma 2. Wir schreiben R 2 (y 1 ) = 600 y 1 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

17 Reaktionsfunktionen y R1(y2) 600 R 2 (y 1 ) y 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

18 Nash Gleichgewicht Im Schnittpunkt der Reaktionskurven gilt: Der Punkt liegt auf der Reaktionsfunktion der Firma 1. Also ist die Menge der Firma 1 ihre beste Antwort auf die Menge der Firma 2. Der Punkt liegt ebenfalls auf der Reaktionsfunktion der Firma 2. Also ist die Menge der Firma 2 ihre beste Antwort auf die Menge der Firma 1. Mit anderen Worten: Die Mengen der beiden Firmen sind gegenseitig beste Antworten. Eine solche Kombination von Mengen heisst Nash Gleichgewicht, benannt nach dem Theoretiker John Nash (1954). Er bekam 1994 den Nobelpreis für Ökonomie (zusammen mit Reinhard Selten und John Harsanyi). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

19 Nash Gleichgewicht Definition 1 (Nash Gleichgewicht) Ein Nash Gleichgewicht ist eine Kombination von Strategien zweier Spieler, die gegenseitig beste Antworten darstellen. Im Rahmen der Oligopoltheorie sind die Spieler die beiden Firmen. Ihre Strategien sind die angebotenen Mengen. Im Rahmen des Cournot Modells wird ein solches Gleichgewicht als bezeichnet. Cournot Nash Gleichgewicht Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

20 Cournot Nash Gleichgewicht In einem Cournot Nash Gleichgewicht gilt: Die angebotenen Mengen sind y 1 = R 1(y 2 ) und y 2 = R 2(y 1 ), i.e. sie sind gegenseitig beste Antworten. Keine der Firmen bereut ihre Entscheidung, gegeben die Mengenwahl der jeweils anderen Firma. Keine der Firmen hat einen Anreiz, von der gewählten Menge abzuweichen, vorausgesetzt die jeweils andere Firma bleibt ebenfalls bei ihrer Wahl. D.h., keine Firma könnte ihren Gewinn erhöhen, indem sie eine andere als die gewählte Menge anbietet, vorausgesetzt die jeweils andere Firma ändert ihre Menge nicht. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

21 Cournot Nash Gleichgewicht Welche Mengen werden im Cournot Nash GG angeboten? Da das Modell symmetrisch ist (beide Firmen lösen das gleiche Optimierungsproblem), werden auch beide die gleichen Mengen anbieten: y 1 = y 2. Es gilt also R 1 (y 2 ) = R 2(y 1 ) bzw. y 1 = 600 y 1 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

22 Cournot Nash Gleichgewicht y 1 = 600 y 1 2. Wir bringen die Terme mit y 1 auf die linke Seite: 3 2 y 1 = 600. Auflösen nach y 1 ergibt y 1 = 400. Analog gilt: y 2 = 400. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

23 Cournot Nash Gleichgewicht Das Cournot Nash GG lautet y 1 = y 2 = 400. Das heisst: Jede Firma bietet 400 Musikanlagen an. Jede Firma maximiert ihren Gewinn unter der Voraussetzung, dass die jeweils andere Firma 400 Musikanlagen anbietet. Keine Firma bereut die Wahl ihrer Menge, gegeben die Menge der anderen Firma. Die Mengen sind gegenseitig beste Antworten. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

24 Cournot Nash Gleichgewicht y R1(y2) 600 y 2 y R 2 (y 1 ) 1200 y 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

25 Cournot Nash Gleichgewicht Um zu zeigen, dass die Mengen im Cournot Nash GG gegenseitig beste Antworten sind, setzen wir y2 = 400 in die Reaktionsfunktion der Firma 1 ein: R 1 (400) = = 400. Also ist y 1 = 400 die beste Antwort auf y 2 = 400. Umgekehrt genauso. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

26 Das Cournot Nash Gleichgewicht Frage: Welche Menge, welcher Preis und welche Gewinne resultieren im Cournot Nash GG? 1 Die Gesamtmenge ist y 1 + y 2 = Der resultierende Marktpreis für eine Musikanlage ist p(800) = = Der Gewinn einer Firma ist = Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

27 Das Cournot Modell in allgemeiner Form Allgemeine Darstellung des Cournot Modells 1 Es gibt zwei identische Firmen, die simultanen Mengenwettbewerb betreiben. Die angebotenen Mengen sind y 1 und y 2. 2 Die Kostenfunktion einer Firma ist C(y i ) = cy i mit c 0, i = 1, 2. 3 Die Preisabsatzfunktion ist p(y 1, y 2 ) = a b(y 1 + y 2 ), a, b > 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

28 Das Cournot Modell in allgemeiner Form Das Maximierungsproblem der Firma 1 ist bzw. B.1.O. max y 1 p(y 1, y 2 )y 1 C(y 1 ) max y 1 [a b(y 1 + y 2 )] y 1 cy 1 = (a c)y 1 by 2 1 by 1y 2. a c 2by 1 by 2 = 0 2by 1 = a c by 2. Auflösen nach y 1 ergibt die Reaktionsfunktin der Firma 1: y 1 = R 1 (y 2 ) = a c 2b y 2 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

29 Reaktinsfunktion Analog gilt für Firma 2 y 2 = R 2 (y 1 ) = a c 2b y 1 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

30 Reaktionsfunktionen y 2 a R1(y2) a b y 2 R 2 (y 1 ) y 1 a b a y 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

31 Cournot Nash Gleichgewicht Da das Modell symmetrisch ist, können wir das Cournot Nash GG berechnen, indem wir die Mengen der beiden Firmen gleichsetzen: y 1 = a c 2b y 1 2. Daraus folgt 3 2 y 1 = a c 2b. Auflösen nach y 1 ergibt y 1 = a c 3b. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

32 Cournot Nash Gleichgewicht Die Mengen im Cournot Nash GG sind also y 1 = y 2 = a c 3b. Das Gesamtangebot ist y = y 1 + y 2 = 2(a c) 3b und der resultierende Marktpreis p beträgt a 2 3 a + 2c (a c) =. 3 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

33 Cournot Nash Gleichgewicht Der Gewinn einer Firma (z.b. Firma 1) ist π 1 (y 1, y 2 ) = p(y )y 1 cy 1 = [p(y ) c]y 1. Einsetzen von p(y ) und y 1 ergibt π 1 (y 1, y 2 ) = [ a + 2c 3 ] (a c) c 3b = (a c)2. 9b Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

34 Vergleich der Marktformen Wir vergleichen nun dieses Ergebnis mit 1 der Marktform der vollkommenen Konkurrenz 2 dem Monopol. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

35 Vergleich der Marktformen Bei vollkommener Konkurrenz verhalten sich alle Akteure (d.h. Firmen und Haushalte) als Preisnehmer. Die Auswirkung des eigenen Angebots auf den Preis wird nicht berücksichtigt. Die angebotene Menge ist so, dass Preis gleich Grenzkosten gilt: a by = c y = a b. c Diese Menge ist grösser als die im Duopol angebotene Menge y 1 + y 2 2(a c) =. 3b Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

36 Vergleich der Marktformen Ein Monopolist berücksichtigt bei seiner Mengenentscheidung den gesamten Effekt auf den Marktpreis. Die Monopolmenge ist y M = a c 2b. Diese Menge ist geringer als die im Duopol angebotene Menge y 1 + y 2 2(a c) =. 3b Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

37 Vergleich der Marktformen Das Monopol ist diejenige Marktform, bei der die geringste Menge angeboten wird. Entsprechend ist der Preis im Monopol am höchsten. Bei vollkommener Konkurrenz wird die grösste Menge angeboten, und der Preis ist am niedrigsten. Das Duopol (oder Oligopol) liegt zwischen den beiden Extremen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

38 Vergleich der Marktformen Fragen: 1 In welchem Verhältnis stehen die Gewinne bei den drei Marktformen? 2 Ist die Summe der Gewinne zweier Duopolisten grösser oder kleiner als der Gewinn eines Monopolisten? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

39 Cournot Wettbewerb mit vielen Firmen Wir betrachten den Fall einer grossen Zahl n von Oligoolisten in einem Markt. Die insgesamt angebotene Menge Y ist gegeben durch Y = y 1 + y 2 + y y n = n y i. i=1 Der Gewinn einer Firma, z.b. Firma 1, ist dann π 1 (Y) = p(y)y 1 cy 1. Die B.1.O. für eine Firma lautet p(y) + dp(y) dy y i c = 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

40 Cournot Wettbewerb mit vielen Firmen Die B.1.O. für eine Firma lautet p(y) + dp(y) dy y i c = 0. Ausklammern von p(y) ergibt [ p(y) 1 + dp(y) ] Y y i = c. dy p(y) Y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

41 Cournot Wettbewerb mit vielen Firmen [ p(y) 1 + dp(y) dy ] Y y i = c. p(y) Y Der rote Term ist die Elastizität der aggregierten Nachfragefunktion. Der blaue Term bezeichnet den Anteil des Outputs der Firma 1 am Gesamtoutput, i.e. ihren Marktanteil. Wir bezeichnen ihn mit s 1, bzw. mit s i für eine beliebige Firma i. Dann folgt [ p(y) 1 s ] i = c. ǫ Y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

42 Cournot Wettbewerb mit vielen Firmen [ p(y) 1 s ] i = c. ǫ Y Diese Gleichung ist analog zur Amoroso Robinson Gleichung aus der Monopoltheorie. Der einzige Unterschied besteht in der Berücksichtigung des Marktanteils der Firma i, s i. Der Term s i ǫ Y ist die Elastizität der individuellen Nachfragefunktion, der sich Firma i gegenübersieht. Beim Monopolisten ist dieser Marktanteil s i gleich 1. Je geringer der Marktanteil einer Firma, d.h je mehr Firmen im Markt sind, desto flacher ist die Nachfragefunktion, der sich eine Firma gegenübersieht. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

43 Cournot Wettbewerb mit vielen Firmen Geht die Zahl der Firmen n gegen unendlich, so resultiert das Ergebnis bei vollkommener Konkurrenz, denn der Term s i / ǫ Y geht in diesem Fall gegen null und es folgt p(y) = c. Beobachtung 1 Die Marktformen des Monopols und der vollkommenen Konkurrenz können als Spezialfälle eines Cournot Oligopols aufgefasst werden. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

44 Unterschiedliche Grenzkosten Wir betrachten nun den Fall zweier Duopolisten mit unterschiedlichen Grenzkosten c 1 und c 2. Das Maximierungsproblem der Firma 1 lautet max y 1 π 1 (y 1, y 2 ) = [a b(y 1 + y 2 )] y 1 c 1 y 1, und das der Firma 2 lautet max y 1 π 1 (y 1, y 2 ) = [a b(y 1 + y 2 )] y 2 c 2 y 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

45 Unterschiedliche Grenzkosten Wir lösen das Problem von Firma 1: B.1.O. max y 1 π 1 (y 1, y 2 ) = [a b(y 1 + y 2 )] y 1 c 1 y 1. π 1 y 1 = a 2by 1 by 2 c 1 = 0 2by 1 = a by 2 c 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

46 Unterschiedliche Grenzkosten 2by 1 = a by 2 c 1. Auflösen nach y 1 ergibt die Reaktionsfunktion von Firma 1: R 1 (y 2 ) = a c 1 2b y 2 2. Analog lautet die Reaktionsfunktion der Firma 2 R 2 (y 1 ) = a c 2 2b y 1 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

47 Unterschiedliche Grenzkosten R 1 (y 2 ) = a c 1 2b y 2 2. Die Reaktionsfunktion der Firma 1 ist eine Gerade mit Achsenabschnitt a c 1 2b und Steigung 1 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

48 Reaktionskurven y 2 a c 1 b R1(y2) a c 2 2b a c 1 2b R 2 (y 1 ) a c 2 b y 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

49 Unterschiedliche Grenzkosten Frage: Wie wirkt sich eine Änderung der Grenzkosten einer Firma auf ihre Reaktionsfunktion aus? Angenommen, die Grenzkosten von Firma 1 sinken. Dadurch verschiebt sich die Reaktionskurve nach rechts: Bei jeder Menge von Firma 2 kann Firma 1 jetzt eine grössere Menge anbieten. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

50 Änderung der Grenzkosten y 2 a c 1 b R1(y2) a c 2 2b a c 1 2b R 2 (y 1 ) a c 2 b y 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

51 Nash GG bei unterschiedlichen Grenzkosten Um das Nash Gleichgewicht zu berechnen, setzen wir die Reaktionsfunktion von Firma 2 in die der Firma 1 ein: y 1 = a c 1 1 ( a c2 y ) 1 2b 2 2b 2 = a c 1 2b a c 2 4b + y y 1 = 2a 2c 1 a + c 2 4b = a 2c 1 + c 2. 4b Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

52 Nash GG bei unterschiedlichen Grenzkosten 3 4 y 1 = a 2c 1 + c 2 4b Auflösen nach y 1 ergibt die angebotene Menge von Firma 1 im Cournot Nash Gleichgewicht (CNG): y1 = a 2c 1 + c 2. 3 Analog ist die angebotene Menge von Firma 2 y2 = a 2c 2 + c 1. 3 Diese Mengen hängen negativ von den eigenen Grenzkosten und positiv von den Grenzkosten der jeweils anderen Firma ab. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

53 Nash GG bei unterschiedlichen Grenzkosten CNG mit unterschiedlichen Grenzkosten Die Firma mit den niedrigeren Grenzkosten bietet im CNG die grössere Menge an. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

54 Cournot Nash Gleichgewicht y 2 a c 1 b R1(y2) a c 2 2b y 2 R 2 (y 1 ) y 1 a c 1 2b a c 2 b y 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

55 Das Modell von Bertrand Annahmen: 1 Es gibt zwei identische Firmen, die beide ein homogenes Produkt herstellen. 2 Jede Firma wählt einen Preis für ihr Produkt. 3 Es gibt 100 Nachfrager, die jeweils eine Einheit des Produktes kaufen wollen. 4 Diejenige Firma, die den niedrigeren Preis setzt, bekommt die gesamte Marktnachfrage. 5 Beide Firmen produzieren mit konstanten Grenzkosten c. 6 Jede Firma kann die gesamte Nachfrage bedienen, d.h. es gibt keine Kapazitätsbeschränkungen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

56 Das Modell von Bertrand Gesucht: Eine Strategienkombination, die ein Gleichgewicht darstellt, d.h. eine Kombination von Preisen, die wechselseitig beste Antworten sind. Überlegung: Die Preise können nicht unterhalb der Grenzkosten liegen, sonst würde jede Firma einen Verlust machen. Diesen Verlust könnte sie verringern, wenn sie einen höheren Preis verlangen würde. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

57 Das Modell von Bertrand Beispiel: c = 10. Angenommen, beide Firmen setzen den Preis p 1 = p 2 = 12. Dieser Preis liegt oberhalb der Grenzkosten von 10. Jede Firma erwirtschaftet einen Gewinn von = 600. Frage: Stellen diese Preise ein Nash Gleichgewicht dar? Nein. Wir zeigen, dass z. B.Firma 1 ihren Gewinn erhöhen kann, indem sie ihren Preis senkt. Angenommen, Firma 1 senkt ihren Preis auf p 1 = 11.99, während Firma 2 ihren Preis p 2 = 12 beibehält. Dann erhält Firma 1 die gesamte Marktnachfrage. Dadurch steigt ihr Gewinn von 600 auf = Die ursprünglichen Preise von 12 stellen kein Nash GG dar, da z. B.Firma 1 ein Interesse hat, davon abzuweichen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

58 Das Modell von Bertrand Aber dieses Argument gilt für alle Preise, die oberhalb der Grenzkosten liegen! Das Bertrand Modell Das einzige Nash Gleichgewicht bei Bertrand Wettbewerb besteht darin, dass beide Firmen Preis gleich Grenzkosten setzen, i.e. p 1 = p 2 = c. Nur dann hat keine Firma einen Anreiz zum Abweichen. Geringere Preise führen zu einem Verlust, höhere Preise zu einem Gewinn von null. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

59 Das Modell von Bertrand Beobachtung 2 Das Ergebnis des Bertrand Wettbewerbs führt zum gleichen Resultat wie die vollkommene Konkurrenz! Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

60 Unterschiedliche Grenzkosten Nun betrachten wir den Fall, dass sich die Grenzkosten der Firmen unterscheiden: c 1 = 10 und c 2 = 14. Annahme: Die kleinste Geldeinheit ist ein Cent. Frage: Welche Preisstrategien bilden ein Nash Gleichgewicht? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

61 Unterschiedliche Grenzkosten Betrachten wir die Strategiekombination p 1 = 13.99, p 2 = 14 als Kandidaten für ein Nash GG. Stellen diese Preise ein Nash GG dar? Wir müssen untersuchen, ob sich eine der beiden Firmen durch Abweichen von ihrem Preis verbessern kann, wenn sich die jeweils andere Firma an ihren Preis hält. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

62 Unterschiedliche Grenzkosten Bei der Strategiekombination p 1 = 13.99, p 2 = 14 erhält Firma 1 die gesamte Nachfrage und somit einen Gewinn von π 1 = = Firma 2 erhält einen Gewinn von null. Kann sich Firma 1 durch Erhöhung ihres Preises verbessern? Nein, denn bei p 1 = 14 müsste sie den Markt mit Firma 2 teilen, wodurch ihr Gewinn auf = 700 sinken würde. Bei einem Preis grösser als 14 würde der Gewinn von Firma 1 auf null sinken. Kann sich Firma 1 durch Senkung ihres Preises verbessern? Nein, denn dies würde weniger Erlös pro Einheit bedeuten. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

63 Unterschiedliche Grenzkosten Kandidat für Nash GG: Strategiekombination p 1 = 13.99, p 2 = 14. Kann sich Firma 2 durch Erhöhung ihres Preises verbessern? Nein, ihr Gewinn wäre weiterhin gleich null. Kann sich Firma 2 durch Senkung ihres Preises verbessern? Nein. Bei Senkung von p 2 auf bekäme Firma 2 die Hälfte der Marktnachfrage. Bei diesem Preis sind aber ihre Grenzkosten nicht gedeckt. Sie würde einen Verlust machen. Bei einem noch geringeren Preis wäre dieser Verlust noch grösser. Fazit: Die Strategiekombination p 1 = 13.99, p 2 = 14 stellt ein Nash Gleichgewicht dar. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

64 Unterschiedliche Grenzkosten Frage: Ist dies das einzige Nash GG, oder gibt es weitere? Betrachten wir als Kandidaten für ein weiteres Nash GG die Strategiekombination p 1 = 12 und p 2 = Wieder erhält Firma 1 die gesamte Nachfrage. Ihr Gewinn ist π 1 = 1200 und der Gewinn von Firma 2 ist gleich null. Stellen diese Preise ein Nash GG dar? Wir prüfen, ob sich eine der beiden Firmen durch Abweichen verbessern kann. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

65 Unterschiedliche Grenzkosten Kann sich Firma 1 durch eine Erhöhung ihres Preises verbessern? Nein. Bei Erhöhung auf müsste sie die Nachfrage mit Firma 2 teilen. Ihr Gewinn würde sinken auf = Bei einer Erhöhung von p 1 über hinaus würde der Gewinn von Firma 1 auf null sinken. Kann sich Firma 1 durch eine Senkung ihres Preises verbessern? Nein, denn dadurch würde der Erlös pro Stück sinken. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

66 Unterschiedliche Grenzkosten Kann sich Firma 2 durch eine Erhöhung ihres Preises verbessern? Nein, ihr Gewinn wäre nach wie vor gleich null. Kann sich Firma 2 durch eine Senkung ihres Preises verbessern? Nein. Bei Senkung von p 2 auf 12 bekäme Firma 2 die Hälfte der Nachfrage. Ihre Stückkosten von 14 wären aber nicht gedeckt, so dass sie einen Verlust machen würde. Bei Senkung des Preises unter 12 wäre der Verlust noch grösser. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

67 Unterschiedliche Grenzkosten Fazit: Die Strategiekombination p 1 = 12, p 2 = stellt ebenfalls ein Nash GG dar! Ergebnis 1 Die Menge aller Nash Gleichgewichte ist charakterisiert durch p 1 [10, 13.99] und p 2 = p Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 11. Vorlesungswoche 6. Januar / 67

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