Kleine Algebra-Formelsammlung

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1 Immnuel-Knt-Gymnsium Heiligenhus Gierhrt Kleine Alger-Formelsmmlung Mittelstufe (is Klsse 0) Drgestellt sin ie wichtigsten Fkten un Gesetze, woei iverse Ausnhmeregeln wie z.b. s Verot er Division urch Null nicht immer ngegeen sin. Zhlenmengen Ntürliche Zhlen IN = {0; ; 2; 3;...} () Gnze Zhlen Z = {... ; 3; 2; ; 0; ; 2; 3;...} (2) Rtionle Zhlen { } p Q = q p Z, q IN q 0 Alle rtionlen Zhlen lssen sich urch einen rechenen oer einen perioischen Dezimlruch rstellen. Irrtionle Zhlen Zhlen, ie urch einen nicht-rechenen un nicht-perioischen Dezimlruch rgestellt weren, nennt mn irrtionle Zhlen. Beispiele: 2 =, (3), , Reelle Zhlen Vereinigt mn ie Menge Q mit er Menge er irrtionlen Zhlen, erhält mn ie Menge IR er reellen Zhlen. 2 Bruchrechnung heißt Bruch. heißt Zähler un Nenner es Bruches.

2 Kehrwert heißt Kehrwert er Zhl. heißt Kehrwert es Bruches. Es gilt: = = = (4) Erweitern un Kürzen Beim Erweitern weren Zähler un Nenner mit er gleichen Zhl (ungleich Null) multipliziert: = c c (5) Beim Kürzen weren Zähler un Nenner urch ie gleiche Zhl (ungleich Null) iviiert: = : c : c (6) Kürzen ei Proukten: c = c (7) Kürzen ei Summen un Differenzen: + c = + c = ( + c) ( + c) = = + c + c c = c = ( c) ( c) = = c c Zähler un Nenner müssen ls Proukt vorliegen. Merkregel: Differenzen un Summen kürzen nur ie Dummen! (8) (9) Multipliktion mit einer Zhl: = mit einem Bruch: c = c (0) () 2

3 Division urch eine Zhl: : c = c = c urch einen Bruch: : c = c = c = c Aition un Multipliktion ± c = ± c ± c = ± c Prozentrechnung = ± c ist Bruchrechnung mit er Akürzung % = 00 (2) (3) (4) (5) (6) 3 Negtive Zhlen Betrg Der Betrg einer reellen Zhl ist wie folgt efiniert: Es gilt: x = { x für x 0 x für x < 0 x = x x 0 x y = x y Rechenregeln ei Aition un Sutrktion: x y = x y (7) (8) x + (+y) = x + y x + ( y) = x y x (+y) = x y x ( y) = x + y (9) ei Multipliktion: (+x) (+y) = xy (+x) ( y) = xy ( x) (+y) = xy ( x) ( y) = xy (20) ei Division: +x +y = x y +x y = x y x +y = x y x y = x y (2) 3

4 ei Potenzierung: Achtung: Es gilt weiterhin Punkt- vor Strichrechnung!. Potenzen zählen zur Punktrechnung. Beispiel: ( 2) (+x) 2 = x 2 ( x) 2 = x 2 (22) (+x) 3 = x 3 ( x) 3 = x 3 (23) { x ( x) n n für n gere. = x n (24) für n ungere. ei Summen un Differenzen: = ( + ) + = ( ) = (25) 4 Termumformungen Punkt- vor Strichrechnung! (26) Kommuttivgesetze + = + = (27) Assozitivgesetze + ( + c) = ( + ) + c ( c) = ( ) c (28) Distriutivgesetz ( + c) = + c (29) Proukte von Summen ( + ) (c + ) = c + + c + (30) Binomische Formeln ( + ) 2 = (3) ( ) 2 = (32) ( + ) ( ) = 2 2 (33) ( + ) 3 = (34) ( + ) 4 = (35) ( + ) 5 = (36) 4

5 5 Qurtische Gleichungen Die qurtische Gleichung x 2 + px + q = 0 in er sogennnten p-q-form ht je nch Vorzeichen er Diskriminnte keine, genu eine oer genu zwei Lösungen. Ist ( p 2 2) q < 0, nn esitzt ie Gleichung keine reellen Lösungen. Ist ( p 2 ) 2 q = 0, nn esitzt ie Gleichung ie Lösung x = p 2 Ist ( p 2) 2 q > 0, nn esitzt ie Gleichung ie zwei Lösungen un es gilt x ;2 = p 2 ± (p 2) 2 q (37) x 2 + px + q = (x x ) (x x 2 ) (38) un er Stz von Viet: x + x 2 = p x x 2 = q (39) 6 Gleichungen un Ungleichungen Äquivlenzumformungen änern ie Lösungsmenge einer Gleichung oer Ungleichung nicht. Äquivlenzumformungen ei Gleichungen: Aieren oer Sutrhieren einer Zhl uf eien Gleichungsseiten. Multipliktion mit einer Zhl ungleich 0 uf eien Gleichungsseiten. Division urch eine Zhl ungleich 0 uf eien Gleichungsseiten. Kehrtwertilung uf eien Gleichungsseiten, wenn kein Nenner 0 entsteht. Äquivlenzumformungen ei Ungleichungen: Aieren oer Sutrhieren einer Zhl uf eien Ungleichungsseiten. Multipliktion mit einer Zhl größer 0 uf eien Ungleichungsseiten. Division urch eine Zhl größer 0 uf eien Ungleichungsseiten. Multipliktion mit einer Zhl kleiner 0 uf eien Ungleichungsseiten un Umkehrung es Reltionszeichens. Division urch eine Zhl kleiner 0 uf eien Ungleichungsseiten un Umkehrung es Reltionszeichens. Qurieren eier Gleichungsseiten ist keine Äquivlenzumformung, weil sich ie Lösungsmenge vergrößern knn. Bruchgleichungen Multipliktion mit em Huptnenner un Definitionsmenge echten. (40) 5

6 Wurzelgleichungen Seprtion er Wurzeln Qurieren, is keine Wurzel mehr vorhnen ist Definitionsmenge echten Proe mchen (4) 7 Potenzen n = } {{ } mit IR; n IN (42) n Fktoren heißt Potenz. heißt Bsis un n Exponent. Nicht-positive Exponenten weren wie folgt efiniert: 0 = (43) n = n ( ) ( n n = ) (44) (45) Potenzgesetze Gleiche Bsen: m n = m+n m = n m n Gleiche Exponenten: n n = () n n ) n ( = n Potenzierung von Potenzen: ( m ) n = mn = ( n ) m (46) (47) (48) (49) (50) Gerochene Exponenten Potenzen mit gerochenen Exponenten weren ls Wurzeln efiniert. Für lle m, n IN, n 2 un IR mit > 0 gilt: n = n m n = n m (5) 8 Wurzeln Die n-te Wurzel us 0 wir wie folgt efiniert: n = n = un 0 un n IN mit n 2. (52) heißt Rikn un n Wurzelexponent. 6

7 Wurzelgesetze Wurzelgesetze sin Potenzgesetze mit gerochenen Exponenten. Gleiche Riknen: m n = m n = m + n m n = m n Gleiche Wurzelexponenten: = n+m mn = mn m+n (53) = m n = n m mn = mn n m (54) n n = n n n = n (55) (56) Wurzeln von Wurzeln: n m = mn = n m (57) 9 Logrithmen log x = h h = x, woei, x IR; (58) heißt Bsis, x Numerus un h Logrithmus. Merke: Logrithmus eeutet Hochzhl zw. Exponent! Spezielle Logrithmen log 0 x = lg x log e x = ln x (59) (60) Logrithmieren Die Logrithmusfunktion ist ie Umkehrung er Exponentilfunktion. Logrithmieren un Potenzieren heen sich gegenseitig uf. Speziell log x = x log ( x ) = x (6) 0 lg x = x lg(0 x ) = x (62) e ln x = x ln(e x ) = x (63) 7

8 Logrithmengesetze log (x y) = log x + log y (64) x log y = log x log y (65) log x r = r log x log x = log c x log c = ln x ln = lg x lg Jee Exponentilfunktion mit er Bsis lässt sich ls Funktion mit er Bsis e (Eulersche Zhl) schreien: (66) (67) x = ( e ln ) x = e x ln (68) 8