Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1

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1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere V1 Geometrische Grundbegriffe V2 Grundkonstruktionen und Bestimmungslinien V3 Dreiecke und ihre Eigenschaften (Winkel, Kongruenzsätze, Linien/Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze) V4 Vierecke und ihre Eigenschaften (Typisierung, besondere Vierecke, Haus der Vierecke, Symmetrien) V5 Dreiecke (Flächensätze, Ähnlichkeit) V6 Vielecke (Sätze, Winkel, Symmetrien, Beziehungen zum Kreis) V7 Kreis (Geraden, Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze) V8 Kongruenzabbildungen - Symmetrie V9 Flächeninhalt und Umfang von Vielecken und Kreisen V10 Typisierung von Körpern (Quader, Prismen, Spitzkörper, Platonische Körper, Kugel) V11 Rauminhalt von Körpern (Rauminhalt von Prismen und Spitzkörpern, Rauminhalt und Oberfläche der Kugel) V12 Zusammenfassung (Freitag) Uhr, Klausur (HS 1, HS 2) 1

2 V9 Flächeninhalt und Umfang von Vielecken und Kreisen Quellen: Krauter. Erlebnis Elementargeometrie; Duden Mathematik; Kusch. Geometrie und Stereometrie 2

3 Programm 1 Grundlegend: Flächeninhalt des Rechtecks 2 Flächeninhalt des Parallelogramms 3 Flächeninhalt des Dreiecks 4 Flächeninhalt des Trapezes 5 Flächeninhalt weiterer Vierecke 6 Flächeninhalt des Kreises 7 Flächenverwandlungen 8 Umfang und Flächeninhalt 3

4 Die Fläche einer ebenen Figur umfasst alle die Punkte, die sich im Innern oder auf dem Rand der Figur befinden. 4

5 Kongruente Figuren sind immer auch flächengleich. Allerdings müssen flächengleiche Figuren nicht kongruent sein. Figuren sind auch flächengleich, wenn sie durch Hinzufügen kongruenter Teilfiguren in kongruente Figuren verwandelt werden können. Man spricht in diesem Fall von Ergänzungsgleichheit der Figuren. Figuren heißen zerlegungsgleich, wenn sie in zueinander kongruente Teilfiguren zerlegt werden können. Flächengleiche Figuren, die nicht kongruent sind. Ergänzungsgleiche Figuren Zerlegungsgleiche Figuren 5

6 1 Grundlegend: Flächeninhalt des Rechtecks Wie viele Einheitsquadrate passen in das Rechteck? Ist x die Länge des Rechtecks, so passen x Quadrate in eine Reihe und ist y die Breite des Rechtecks, so passen y dieser Reihen in die Rechtecksfläche, insgesamt passen also x y Einheitsquadrate in das Rechteck. A R = x y bzw. A R = a b Der Flächeninhalt kann als Produkt der Seitenlängen berechnet werden. 6

7 Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln und vier gleich langen Seiten. Es ist ein spezielles Rechteck, für welches a = b gilt. Man kann also in der Formel a für b einsetzen. Aus A = a b wird wegen b = a die Formel A = a a = a 2. 7

8 Der Flächeninhalt eines Parallelogramms, eines Dreiecks, eines Trapezes, einer Raute, eines Drachenvierecks kann berechnet werden, indem zu diesen Figuren zerlegungsgleiche Rechtecke gesucht werden. Zu rechtwinkligen Flächen in Figuren gelangt man häufig, indem man von der Höhe aus denkt. Manchmal sind es aber auch Diagonalen, die sich rechtwinklig schneiden und deshalb Grundlage für Flächenberechnungen sind. 8

9 2 Flächeninhalt des Parallelogramms Das Parallelogramm kann man in ein Rechteck verwandeln (Ecke abschneiden, verschieben und auf der anderen Seite wieder ansetzen). Parallelogramm und Rechteck sind also zerlegungsgleich. Ein Parallelogramm hat denselben Flächeninhalt wie ein Rechteck mit der gleichen Grundseite und der gleichen Höhe. A P = g h Da die Raute ein spezielles Parallelogramm ist, kann man für dieses Viereck die gleiche Flächenformel nutzen. (s. auch Drachenviereck und Raute) 9

10 3 Flächeninhalt des Dreiecks Jedes Dreieck kann durch passendes Anlegen eines kongruenten Dreiecks (Punktspiegelung an einer Seitenmitte) in ein Parallelogramm gleicher Höhe und Grundseite umgewandelt werden. Daraus ergibt sich: A D = g h 2 10

11 A D = g h 2 Die Fläche des Dreiecks wird zum Parallelogramm bzw. zum Rechteck verdoppelt. Demzufolge muss bei der Berechnung mit der Parallelogramm/Rechteck Formel eine Halbierung erfolgen. Punktspiegelung an einer Seitenmitte. Punktspiegelung an den Seitenmitten der durch die Höhe abgegrenzten Teildreiecke. 11

12 4 Flächeninhalt eines Trapezes Auch das Trapez kann man durch Punktspiegelung an einer Seitenmitte (Schenkel) zum Parallelogramm ergänzen. Zwei kongruente Trapeze werden zum Parallelogramm zusammengesetzt. Es entsteht wiederum die doppelte Fläche. Es ergibt sich die Berechnung: Grundseite (a+c) mal Höhe durch 2. A T = (a + c) h 2 12

13 Man könnte das Trapez auch in ein flächengleiches Rechteck verwandeln und auf diesem Weg zur Flächeninhaltsformel gelangen. Diese Möglichkeit gibt es über die Mittelparallele. Führt man jeweils eine Höhe durch die Mitten der Schenkel des Trapezes, erhält man durch Punktspiegelung der überstehenden Dreiecke ein flächengleiches Rechteck. Aus dieser Konstellation lässt sich die Flächenberechnung Mittelparallele mal Höhe ableiten: A = m h. 13

14 5 Flächeninhalt weiterer Vierecke Die für die Flächenberechnung notwendige Rechtwinkligkeit findet man beim Drachenviereck über die Diagonalen. Das Rechteck aus den Diagonalen (e f) ergibt jeweils eine Fläche, die doppelt so groß ist, wie die ursprüngliche. Daraus ergibt sich für das Drachenviereck die Flächenformel e f geteilt durch 2. Diese Formel kann auch für die Raute genutzt werden, da sich auch hier die Diagonalen senkrecht schneiden. Das dritte Viereck, bei dem das so ist, ist das Quadrat. Auch hier lässt sich die Flächengröße über e f (bzw. e 2 oder f 2 ), also e 2 berechnen. 2 14

15 Quadratfläche mit den Diagonalen berechnen: A = e 2 2 e 15

16 6 Flächeninhalt des Kreises Für die Berechnung einer kreisförmigen Fläche kann man auch rechteckige Flächen zugrunde legen. Wie oft passt die Fläche r r in den Kreis? Man fand heraus, genau mal. 16

17 7 Flächenverwandlungen Nutzt man die in den Flächenformeln steckenden Zusammenhänge, kann man für Parallelogramm, Trapez und Dreieck flächengleiche Figuren entstehen lassen. Aus der Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms folgt: Parallelogramme mit gleich langen Grundseiten und Höhen haben den gleichen Flächeninhalt. Flächengleiche Parallelogramme 17

18 Aus der Flächeninhaltsformel für ein Trapez folgt: Trapeze mit gleich langen Mittellinien und Höhen haben gleichen Flächeninhalt. Analog gilt für Dreiecke: Dreiecke mit gleich langen Grundseiten und zugehörigen Höhen haben den gleichen Flächeninhalt. Flächengleiche Trapeze Flächengleiche Dreiecke 18

19 8 Umfang und Flächeninhalt 19

20 Interessant für die Schule sind Betrachtungen zum Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Umfang. (Zerschneide ein Quadrat in zwei gleichgroße Teile und lege sie anders zusammen. Bleibt die Flächengröße gleich? Bleibt der Umfang gleich?) Aus dem Quadrat (links) sind die 3 anderen Figuren entstanden. Alle 4 Figuren haben also die gleiche Fläche. Miss den Umfang. Vergleiche. 20

21 Dies führt zur Erkenntnis, dass Flächen gleicher Größe sich im Umfang unterscheiden können. Danach könnte überprüft werden, ob auch gilt: gleicher Umfang unterschiedliche Flächengröße? Aufgabe: Der Umfang einer Figur soll 24 Kästchen betragen. Zeichne verschiedene Figuren auf Kästchenpapier. Vergleiche die Flächen. Was stellst du fest? 21

22 22

23 23

24 Aufgabe zur Vorbereitung auf die Übung Woche vom Stellen Sie Papiermodelle von Parallelogramm, Dreieck, Drachenviereck und Trapez her. Veranschaulichen Sie, wie sich die Figuren in Rechtecke bzw. Parallelogramme (als Grundlage für Flächenberechnungen) verwandeln lassen. Leiten Sie die Formeln her. Wer nicht mit Papier veranschaulichen möchte, skizziert oder zeichnet die Figuren als Grundlage für die Herleitungen. 24

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