Grundwissen Jahrgangsstufe 6

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1 GM. Brüche Grundwissen Jahrgangsstufe Brüche: Zerlegt man ein Ganzes z.b. in gleich große Teile und fasst dann dieser Teile zusammen, so erhält man des Ganzen. Im Bruch ist der Nenner und der Zähler. Stammbrüche haben den Zähler, z.b.,., Bei echten Brüchen ist der Zähler kleiner als der Nenner, z.b.,,. Bei unechten Brüchen ist der Zähler mindestens so groß wie der Nenner. Unechte Brüche kann man auch als gemischte Zahlen schreiben, z.b.,,. Gemischte Zahlen sind eine kürzere Schreibweise für eine Summe, so ist z.b. +. Vertauscht man bei einem Bruch Zähler und Nenner, so erhält man den Kehrbruch. ist der Kehrbruch von. Kürzen eines Bruchs: Sind Zähler und Nenner eines Bruchs durch die gleiche natürliche Zahl teilbar, kann man den Bruch kürzen. Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch die gleiche natürliche Zahl dividiert. Der Bruch wurde mit gekürzt. Der Bruch wurde zunächst mit, dann mit gekürzt. Haben Zähler und Nenner eines Bruchs keinen von verschiedenen Teiler gemeinsam, dann ist der Bruch vollständig gekürzt. Man sagt, er ist in Grundform. Erweitern eines Bruchs: Ein Bruch wird erweitert, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen (natürlichen) Zahl multipliziert. Diese Zahl heißt Erweiterungsfaktor. Der Bruch wurde mit erweitert. Der Bruch wurde mit erweitert. Die Brüche und haben den gleichen Nenner. Sie sind gleichnamig.

2 GM. Dezimalschreibweise Dezimalschreibweise: Brüche, deren Nenner Stufenzahlen (0, 00, 000,...) sind, können direkt in Dezimalschreibweise angegeben werden. 0, Null Komma drei. 0 00, Eins Komma fünf drei. 000,0 Drei Komma null zwei eins. Die Stellen nach dem Komma heißen Dezimalen. Sie werden als Zehntel, Hunderstel, Tausendstel usw. bezeichnet. Umwandeln von Dezimalschreibweise in Bruchschreibweise: Beim Umwandeln der Dezimalschreibweise in die Bruchschreibweise wird der Dezimalteil zum Zähler des Bruchs. Der Nenner ist diejenige Stufenzahl, die so viele Nullen besitzt, wie der Dezimalteil Stellen hat., Der Dezimalteil ist. Er wird zum Zähler. Da er Stellen hat, 00 ist der Nenner 00.,0 Der Dezimalteil ist 0. Der Zähler ist somit. Der Dezimalteil 000 hat Stellen. Der Nenner des Bruchs ist also 000. Umwandeln von Bruchschreibweise in Dezimalschreibweise: Jeder Bruch, dessen Nenner eine Stufenzahl ist oder durch Kürzen und/oder Erweitern zu einer Stufenzahl gemacht werden kann, kann in endlicher Dezimalschreibweise dargestellt werden., Der Nenner ist bereits eine Stufenzahl. 00 0, Erweitern mit liefert den Nenner , Erst mit kürzen, dann mit erweitern liefert den Nenner 00. Man gelangt auch zur Dezimalschreibweise, indem man eine Division ausführt. Beim Überschreiten des Kommas im Dividenden muss man im Quotientenwert ein Komma setzen., Rechne,00 : 0, Bei Brüchen, deren Nenner nicht zu einer Stufenzahl erweitert werden kann, liefert die Division einen unendlichen, periodischen Dezimalbruch.? Rechne : 0,... Man schreibt: 0, 0 (Null Komma Periode ) ? Rechne : 0,... Man schreibt: 0, 0 (Null Komma vier eins - Periode )

3 GM. Rationale Zahlen Menge der rationalen Zahlen: Alle positiven und alle negativen Brüche und die Zahl 0 bilden zusammen die Menge Q der rationalen Zahlen. Jede rationale Zahl ist also als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar. Insbesondere ist jede ganze Zahl eine rationale Zahl. Rationale Zahlen kann man in Bruchschreibweise und in Dezimalschreibweise darstellen. Beispiele: Zehntel:, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Fünftel:, 0, 0, 0, 0 Viertel:, 0, 0, 0 Achtel:, 0, 0, 0, 0 0stel:,0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Einige periodische Dezimalbrüche kommen häufiger vor. Diese sollte man kennen und zum Rechnen in Bruchschreibweise umformen. Zahlen in periodischer Darstellung eignen sich nicht zum Rechnen! 0, 0, 0, 0, Runden: Für das Runden einer Zahl ist nur die Ziffer von Bedeutung, die der Stelle, auf die gerundet werden soll, unmittelbar folgt. Bei den Ziffern 0,,, und rundet man ab. Runde auf Zehntel:,, Der Zehntelstelle folgt eine. Es wird abgerundet. Runde auf Tausendstel:,, Der Tausendstelstelle folgt eine. Es wird abgerundet. Bei den Ziffern,,, und rundet man auf. Runde auf Hundertstel:,, Der Hunderstelstelle folgt eine. Es wird aufgerundet. Runde auf Zehntel:,,0 Der Zehntelstelle folgt eine. Es wird aufgerundet. Größenvergleich: Brüche vergleicht man meistens, indem man sie gleichnamig macht und dann ihre Zähler vergleicht. ; ; ; < Also ist < Beim Größenvergleich von Dezimalzahlen vergleicht man stellenweise von links nach rechts. Die erste Ziffer, in der sich die beiden Zahlen unterscheiden, zeigt, welche Zahl die größere ist., <, Die Zahlen unterscheiden sich erst auf der Zehntelstelle., <, Die Zahlen unterscheiden sich erst auf der Tausendstelstelle. Beim Vergleich zweier rationaler Zahlen, von denen eine in Bruchschreibweise und die andere in Dezimalschreibweise gegeben sind, muss man in der Regel eine der beiden in die andere Schreibweise umwandeln. Vergleiche, und : 0, ; 00 ; Also ist <, Vergleiche und,:,,... ; Also ist, <.

4 GM. Absolute und relative e Relativer /Bruchteil: Teilt man ein Ganzes in gleich große Teile und fasst dann dieser Teile zusammen, so erhält man des Ganzen (vgl. Abbildung). Man bezeichnet als den Bruchteil bzw. relativen. Relative e kann man in Bruchschreibweise, in Dezimalschreibweise und in Prozentschreibweise angeben. 0, 0 % Relative e treten häufig beim Rechnen mit Größen auf. von 0 0 Hier ist 0 das Ganze, der relative und 0 der absolute des Ganzen. Berechnung des relativen s: Zur Berechnung des relativen s dividiert man den absoluten durch das Ganze. kg 0kg Welcher (relative) sind kg an 0 kg? 0, % Wie viel Prozent sind Schüler von 0 Schülern? % Berechnung des absoluten s einer Größe: Man berechnet den absoluten n z einer Größe, indem man die Größe zunächst durch n dividiert und den Wert dieses Quotienten mit z multipliziert. von ( : ) relativer absoluter relativer absoluter 00% : : :00 :00 %, % % von 00 von von Oder: von Oder: % von 0, Berechnung des Ganzen: Ist der absolute n z einer Größe bekannt, so berechnet man das Ganze, indem man den absoluten durch z dividiert und den Wert dieses Quotienten mit n multipliziert. einer Länge sind 0 km. % einer Fläche sind m². relativer absoluter relativer absoluter 0 km : : % m² : : km % m² km 0 00% 0 m² 0 Die (ganze) Länge beträgt km. Die (ganze) Fläche hat den Flächeninhalt 0 m².

5 GM. Rechnen mit rationalen Zahlen Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen: Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man sie gleichnamig macht, ihre Zähler addiert (subtrahiert) und den gemeinsamen Nenner beibehält. Der Hauptnenner (kleinster gemeinsamer Nenner) ist das kgv (kleinste gemeinsame Vielfache) der auftretenden Nenner Termwerte in gemischter Schreibweise angeben! Termwerte vollständig kürzen! Gemischte Zahlen werden addiert (subtrahiert), indem man jeweils sowohl die ganzen Zahlen als auch die Brüche addiert (subtrahiert). + ( + ) + ( + ) ( ) + ( ) Weil < muss man ein Ganzes in Neuntel umwandeln! Rationale Zahlen in Dezimalschreibweise werden stellenweise addiert (subtrahiert). Untereinander Nebeneinander, + 0, +,, 0,,,00,, Multiplizieren rationaler Zahlen: Brüche werden multipliziert, indem man das Produkt der Zähler durch das Produkt der Nenner dividiert. Vor dem Ausmultiplizieren des Zählers und Nenners kürzen! Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren in unechte Brüche umgewandelt werden. Produktwert wieder als gemischte Zahl schreiben! Rationale Zahlen in Dezimalschreibweise werden multipliziert, indem man zunächst den Produktwert der Zahlen ohne Berücksichtigung der Kommas bildet. Dann erhält der Produktwert so viele Dezimalen wie beide Faktoren zusammen besitzen., 0, 0, NR. ; Der Produktwert muss Dezimalen haben. Unterscheide Produkte und gemischte Zahlen. ; + Man sieht: Dividieren rationaler Zahlen: Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert. : : Gemischte Zahlen erst in unechte Brüche verwandeln! Bei der Division zweier rationaler Zahlen in Dezimalschreibweise wird zuerst im Dividend und im Divisor das Komma gleich weit verschoben und zwar so, dass der Divisor eine natürliche Zahl wird. Dann wird wie gewöhnlich dividiert. Bei Überschreiten des Kommas im Dividend wird im Quotientenwert ein Komma gesetzt., :,, : Kommas um eine Stelle nach rechts verschoben, :, Beim Rechnen mit rationalen Zahlen gelten die selben Vorzeichenregeln, Rechenregeln und Rechengesetze wie beim Rechnen mit ganzen Zahlen ( GM.).

6 GM. Flächeninhalte Parallelogramm Jedes Parallelogramm besitzt vier Seiten, von denen die gegenüberliegenden jeweils gleich lang und parallel sind. Der Abstand zweier paralleler Seiten heißt Höhe. Jedes Parallelogramm hat also zwei Grundlinien g und g und zwei Höhen h und h. Flächeninhalt des Parallelogramms: A g h und A g h ( Grundlinie mal zugehörige Höhe. ) Beispiel: AKIEW cm cm 0 cm² und AKIEW, cm cm 0 cm² Dreieck Jedes Dreieck besitzt drei Seiten (Grundlinien). Man benennt sie entsprechend der gegenüberliegenden Ecke mit einem kleinen Buchstaben. (Der Ecke A gegenüber liegt die Seite a.) Der Abstand einer Ecke von der gegenüberliegenden Seite heißt Höhe. (Die zur Seite a gehörende Höhe wird mit ha bezeichnet.) Flächeninhalt des Dreiecks: A a ha und A b hb und A c hc ( mal Grundlinie mal zugehörige Höhe. ) Stumpfwinkliges Dreieck hb hc Beispiele: cm, cm A, cm cm, cm² Spezialfall: Rechtwinkliges Dreieck, cm cm A, cm cm cm² Trapez Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind. Diese zueinander parallelen Seiten heißen Grundlinien. Ihr Abstand wird als Höhe bezeichnet. Flächeninhalt des Trapezes: A (a + c) h ( Halbe Summe der Grundlinien mal Höhe. ) A a B h D c C

7 GM. Körper und ihr Volumen Grundriss, Aufriss, Seitenriss Um eine Vorstellung von einem Körper zu bekommen, stellt man ihn häufig aus verschiedenen Richtungen betrachtet dar. Der Grundriss zeigt, wie der Körper senkrecht von oben betrachtet aussieht, der Aufriss, wie der Körper von vorne betrachtet aussieht, und der Seitenriss wie der Körper von rechts oder von links betrachtet aussieht. Beispiel: Quader Schrägbild In einem Schrägbild wird ein Körper so gezeichnet, dass man ihn sich räumlich gut vorstellen kann. Die senkrecht nach hinten verlaufenden Kanten werden schräg und verkürzt gezeichnet. Häufig zeichnet man sie unter einem -Winkel und in halber Länge. Unsichtbare Kanten werden im Schrägbild gestrichelt gezeichnet. Beispiel: Quader Quader und Würfel Ein Quader ist durch seine drei Kantenlängen (Länge l, Breite b und Höhe h) festgelegt. Er hat das Volumen V l b h und den Oberflächeninhalt O l b + l h + b h. Ein Würfel ist ein besonderer Quader. Seine drei Kantenlängen sind gleich. Ein Würfel ist also durch seine Kantenlänge a festgelegt. Er hat das Volumen V a³ und den Oberflächeninhalt O a². Prisma Ein (gerades) Prisma hat als Grund- und Deckfläche zwei deckungsgleiche Vielecke, die parallel zueinander liegen. Die Seitenflächen eines Prismas sind Rechtecke. Alle Seitenflächen zusammen bilden die Mantelfläche des Prismas. Beispiele Dreiseitiges Prisma ( auf der Grundfläche stehend ) Dreiseitiges Prisma ( auf einer Seitenfläche liegend ) Sechsseitiges Prisma ( auf der Grundfläche stehend )