Themenbereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6

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1 Themenereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6 Lernziele: - Kenntnis der genuen Formulierung der Kongruenzsätze - Kenntnis der edeutung der Kongruenzsätze - Fähigkeit, die Kongruenzssätze gezielt zur egründung gewisser Eigenschften von Figuren einzusetzen Frgen: 1. Welche Kongruenzsätze git es? 2. Wie luten die genuen Formulierungen der Kongruenzsätze? 3. Welche edeutungen hen die Kongruenzsätze? 4. Wrum spielen die Kongruenzsätze in der Geometrie eine so große Rolle? ufge 1: Welche der folgenden Dreiecke sind eindeutig konstruierr? egründe deine ntwort. eschreie in diesen Fällen zunächst die Konstruktion und führe dnn die Konstruktion durch. ) = 5cm, β = 30, = 110 ) = 6cm, c = 7cm, β = 70 c) = 8cm, β = 145, = 55 d) = 7cm, c = 8cm, = 70 e) = 5cm, = 10cm, c = 4cm f) = 4cm, c = 4cm, α = 90 ufge 2: m Ufer einer Küste stehen zwei Leuchttürme und, die S voneinnder 500m entfernt sind und deren Koordinten, d. h. deren genuen Positionen, eknnt sind. uf einem Schiff S uf dem Meer wird ds Leuchtfeuer der Leuchttürme empfngen, wodurch der Kpitän in der Lge sein soll, die Position des Schiffes uf dem Meer zu ermitteln. Der Kpitän peilt mit einem geeigneten Messgerät die Leuchtfeuer der eiden Leuchttürme und n und misst dei den Winkel zwischen Leuchtturm, Schiff und Leuchtturm, lso S, zu 50. Fertige eine Skizze n und egründe dmit, o mn dmit die Position des Schiffes ermitteln knn. Wenn j, dnn estimme die Lge des Schiffes zgl und, wenn nein, dnn erkläre, wrum es nicht geht und ws mn ggf. noch zusätzlich wissen müsste. ufge 3: Für die folgenden Teilufgen soll der Mßst 1 : verwendet werden. ) Welche edeutung ht ein Mßst? Wie sind uf einer Krte die Himmelsrichtungen festgelegt und welche Grdzhlen esitzen sie? ) Frnkfurt liegt 80km nördlich von Heidelerg (Luftlinie); Würzurg ist von Heidelerg 100km und von Frnkfurt 96km entfernt. Fertige eine Zeichnung n. Gi die Himmelsrichtung n, in der Würzurg von Frnkfurt us liegt. c) Kiserslutern ist von Heidelerg 68km entfernt und von Frnkfurt 100km. Ermittle zeichnerisch die Entfernung Kiserslutern Würzurg. ufge 4: Ein regelmäßiges Sechseck lässt sich in 6 kongruente Dreiecke zerlegen. egründe dies uf mindestens 2 verschiedene rten.

2 Themenereich: Kongruenzsätze Seite 2 von 6 ntworten zu den Frgen: zu 1. Es git die 4 Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW zw. SWW und SsW. Hinweis: Mche dir jeweils eine Üerlegungsfigur und trge die gegeenen estimmungsstücke frig ein. zu 2. Formulierungen siehe reitsltt. zu edeutung: Sie geen n, o zwei Dreiecke, die in gewissen estimmungsstücken üereinstimmen, kongruent sind. Sie sind es nur, wenn sie in solchen estimmungsstücken üereinstimmen, die einem Kongruenzstz entsprechen. 2. edeutung: Sie geen n, o ein Dreieck durch die gegeenen estimmungsstücke eindeutig konstruierr ist. Ein Dreieck ist eindeutig konstruierr, wenn nur solche estimmungsstücken vorgegeen sind, die einem Kongruenzstz entsprechen. Dei müssen grundlegende Eigenschften eines Dreiecks, wie die Dreiecksungleichung und die Winkelsumme, erfüllt sein. zu 4. Viele komplizierteren Figuren, wie Vierecke, Fünfecke usw., lssen sich in Dreiecke zerlegen. Will mn z.. egründen, o zwei Vielecke kongruent sind, so führt mn dies uf die Kongruenz der einzelnen Teildreiecke zurück. Lösungen zu den ufgen: zu ufge 1: ) Üerlegungsfigur: egründung: Dreieck ist eindeutig konstruierr, d der WSW-Stz erfüllt ist. Konstruktionseschreiung: 1. us folgt [] c 2. Winkel β n [ ntrgen 3. Winkel n [ ntrgen 4. us 2. und 3. ergit sich ls Schnittpunkt der eiden Schenkel ) Üerlegungsfigur: egründung: Dreieck ist nicht eindeutig konstruierr, d der SsW-Stz nicht erfüllt ist. Der Winkel liegt nicht der größeren Seite gegenüer. α c β

3 Themenereich: Kongruenzsätze Seite 3 von 6 c) Üerlegungsfigur: egründung: estimmungsstücke erfüllen den SWW-Stz; trotzdem ist ds Dreieck nicht konstruierr, d β + ereits üer 180 ist und dher der Stz von der Winkelsumme im Dreieck nicht erfüllt ist. c d) Üerlegungsfigur: egründung: Dreieck ist eindeutig konstruierr wegen SsW-Stz Konstruktionseschreiung: 1. us folgt [] c 2. Winkel n [ ntrgen 3. Kreis um mit Rdius c 4. us 2. und 3. ergit sich ls Schnittpunkt des Schenkels mit dem Kreis e) Üerlegungsfigur: egründung: α c β estimmungsstücke erfüllen den SSS-Stz; trotzdem ist ds Dreieck nicht konstruierr, d + c < und dher die Dreiecksungleichung nicht erfüllt ist.

4 Themenereich: Kongruenzsätze Seite 4 von 6 f) Üerlegungsfigur: egründung: Dreieck ist eindeutig konstruierr wegen SWS-Stz Konstruktionseschreiung: 1. us c folgt [] 2. Winkel α n [ ntrgen c 3. Kreis um mit Rdius 4. us 2. und 3. ergit sich ls Schnittpunkt des Schenkels mit dem Kreis zu ufge 2: Üerlegungsfigur: α s S β egründung: Die Leuchttürme und und ds Schiff S ilden ein Dreieck von dem die Seite [] und der Winkel ei S eknnt sind. Ds Dreieck ist dmit er nicht eindeutig konstruierr, d ein weiteres estimmungsstück fehlt. Wie erhält mn ein weiteres estimmungsstück? Vom Schiff us müsste mit einem geeigneten Entfernungsmessgerät z.. die Länge von S nch ermittelt werden. Dies ist mit heutigen Möglichkeiten, wie z.. einem Entfernungsmessgerät mit Lser denkr. Früher g es diese Möglichkeiten ntürlich nicht. Deswegen konnte die Position des Schiffes mit Hilfe von nur zwei Leuchttürmen nicht ermittelt werden. Mn ruchte dzu einen dritten Leuchtturm. Dnn konnte mn mit Hilfe eines reltiv ufwändigen Konstruktionsverfhrens die Position des Schiffes estimmen. Heute verwendet mn equemerweise zur Positionsestimmung ein GPS-System.

5 Themenereich: Kongruenzsätze Seite 5 von 6 zu ufge 3: ) Ein Mßst von 1 : edeutet, dss eine Strecke von 1cm uf der Krte in Wirklichkeit cm und dmit 20000m = 20km lng ist. uf einer Krte ist oen Norden (Grdzhl 0 ), rechts Osten (90 ), unten Süden (180 ), links Westen (270 ). ) Üerlegungsfigur: Frnkfurt wegen Mßst 1 : gilt 80km =ˆ 4cm 96 km Würzurg 100km =ˆ 5cm 96km =ˆ 4,8cm 80 km 100 km Heidelerg ntwort: Würzurg liegt von Frnkfurt us im Süd-Osten mit der Himmelsrichtung von = 111 c) Erweitern der Üerlegungsfigur um Kiserslutern 68km =ˆ 3,4cm Frnkfurt Kiserslutern 100 km 68 km 80 km Heidelerg 96 km 100 km Würzurg Erweitern oiger Konstruktion um Kiserslutern ntwort: Die Entfernung Kiserslutern Würzurg eträgt in der Zeichnung 8,1 cm und dmit in Wirklichkeit 8, cm = cm = 162km

6 Themenereich: Kongruenzsätze Seite 6 von 6 zu ufge 4: Ein regelmäßiges Sechseck DEF ht folgendes ussehen: Die 6 Dreieck entstehen, wenn mn je 2 gegenüerliegende Punkte verindet. lle Verindungsstrecken schneiden sich im Punkt M. uf Grund der Regelmäßigkeit liegen lle Punkte uf dem Kreis um M. Wenn mn zeigen soll, dss lle 6 Dreiecke zueinnder kongruent sind, dnn reicht es us, wenn mn zunächst zeigt, dss 2 Dreiecke kongruent sind. Für die ürigen ist die egründung nämlich entsprechend. etrchte z.. die Dreiecke M und M. Sie sind kongruent 1. Möglichkeit: nch dem SSS-Stz, denn =, d Sechseck regelmäßig ist, [M] ist eine gemeinsme Seite, M = M, d dies jeweils der Rdius des Kreises um M ist. 2. Möglichkeit: nch dem SWS-Stz, denn [M] ist eine gemeinsme Seite, M = M = 60, denn lle 6 Winkel ei M ergeen zusmmen 360 ; durch die Regelmäßigkeit sind lle Winkel gleich groß und dmit 60 M = M, d dies jeweils der Rdius des Kreises um M ist.

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