3.2 Streuungsmaße. 3 Lage- und Streuungsmaße 133. mittlere Variabilität. geringe Variabilität. große Variabilität

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1 Eine Verteilung ist durch die Angabe von einem oder mehreren Mittelwerten nur unzureichend beschrieben. Beispiel: Häufigkeitsverteilungen mit gleicher zentraler Tendenz: geringe Variabilität mittlere Variabilität große Variabilität Lage- und Streuungsmaße 133

2 Streuungsmaße beantworten Fragen wie Wie groß ist die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert? Über welchen Bereich erstrecken sich die Beobachtungen? Wie stark schwanken die Beobachtungen? Bemerkung: Von Streuung im eigentlichen Sinne kann man nur bei mindestens intervallskalierten Daten sprechen, da nur dort Abstände interpretierbar sind. (Es gibt verschiedene Versuche, ein analoges Konzept für ordinal skalierte Daten zu definieren, aber bisher hat sich keine dieser Definitionen durchgesetzt. 3 Lage- und Streuungsmaße 134

3 3.2.1 Varianz und Standardabweichung Varianz: Sei x 1,..., x n die Urliste eines intervallskalierten Merkmals X. Dann heißen s 2 X := 1 n n (x i x) 2 i=1 die (empirische) Varianz oder Stichprobenvarianz und s X := s 2 X die empirische Streuung, Stichprobenstreuung oder Standardabweichung von X. 3 Lage- und Streuungsmaße 135

4 Bemerkungen: Die Varianz misst die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Mittelwert. Vorsicht: Der Begriff Streuung wird in einem doppelten Sinne gebraucht: Allgemein als Phänomen generell ( wir suchen nach Maßzahlen zur Beschreibung der Streuung der Daten ), andererseits als eine bestimmte Maßzahl für das Problem. Durch das Quadrieren tragen negative und positive Abweichungen vom Mittelwert gleichermaßen zur Varianz bei. Die Varianz besitzt im Vergleich zum Merkmal X die quadrierte Einheit. Sie ist daher unanschaulicher zu interpretieren, besitzt aber andererseits viele mathematische Vorzüge. Die Standardabweichung dagegen wird in der gleichen Einheit gemessen wie X. 3 Lage- und Streuungsmaße 136

5 Sind die Ausprägungen a 1,..., a k bzw. f 1,..., f k gegeben, so gilt mit (relativer) Häufigkeitsverteilung h 1,..., h k s 2 X = 1 n k h j (a j x) 2 = j=1 k = f j (a j x) 2. j=1 Ist aus dem Kontext klar ersichtlich welches Merkmal betrachtet wird, so lässt man das X in der Notation auch häufig weg, schreibt also einfach s 2 und s. 3 Lage- und Streuungsmaße 137

6 Beispiel: Statistikbücher Ausprägungen h j Berechnung der Varianz über die ursprüngliche Formel: s 2 = 3 Lage- und Streuungsmaße 138

7 Berechnung über die Häufigkeitsverteilung: s 2 = Standardabweichung: Transformationen: Merkmals? s = Wie ändert sich die Varianz bei (linearer) Transformation eines Satz 3.7. Sei x 1,..., x n die Urliste eines mindestens intervallskalierten Merkmals X mit s X > 0 und y 1,..., y n die zugehörige Urliste des Merkmals Y = a X + b. Dann gilt 3 Lage- und Streuungsmaße 139

8 Bemerkungen: Eine spezielle Transformation, die sogenannte Standardisierung, ist der Übergang zum Merkmal Z mit z i := x i x s X. Z besitzt arithmetisches Mittel 0 und (empirische) Varianz 1. Man erzeugt damit in gewisser Weise eine natürlich Skala. Begründung: 3 Lage- und Streuungsmaße 140

9 Verschiebungssatz: Es gilt s 2 X = 1 n n x 2 i i=1 ( 1 n ) 2 n x i = x 2 ( x) 2. i=1 Achtung (sehr häufige Fehlerquelle): Der Verschiebungssatz ist sehr bequem zum Berechnen der Varianz, es können aber beim Verwenden von Taschenrechnern bei sehr großen Ausprägungen starke Rundungsfehler auftreten, die das Ergebnis eventuell verfälschen. Für Aufgaben von Klausurlänge aber den Verschiebungssatz verwenden! Beispiel: Statistikbücher. Berechne die empirische Varianz mit Hilfe des Verschiebungssatzes. 3 Lage- und Streuungsmaße 141

10 Anzahl Bücher: X Person i x i s 2 X = s X = 3 Lage- und Streuungsmaße 142

11 Varianzzerlegung / Streuungszerlegung: Varianz bei geschichteten Daten. Zur Erinnerung: Daten liegen oft in Schichten vor (v.a. bei Sekundär- und Tertiärerhebungen). Beispiel: Daten über Einkommensverteilung geschichtet nach Bundesland. Bei der Berechnung von x waren die einzelnen Besetzungszahlen sehr wichtig. Schicht 1,..., l,..., z Besetzungszahlen n 1,..., n l,..., n z ; Mittelwerte x 1,..., x l,..., x z z n l = n l=1 Varianzen s 2 1,..., s 2 l,..., s2 z Für das arithmetische Mittel gilt x = 1 n z n l x l. l=1 3 Lage- und Streuungsmaße 143

12 Seien nun sowie s 2 innerhalb := 1 z n l s 2 l n l=1 s 2 zwischen := 1 z n l ( x l x) 2 n l=1 s 2 innerhalb s 2 zwischen s 2 zwischen = 0 s 2 innerhalb = 0 Wie setzt sich die Gesamtvarianz aus den beiden Bestandteilen zusammen? 3 Lage- und Streuungsmaße 144

13 Varianzzerlegung Es gilt Bemerkungen: Gesamtvarianz = s 2 = Im Detail gilt also mit den Urlisten {x 1l, x 2l,..., x nl l} in Schicht l, l = 1,..., z, 1 n n z l ( (x il x) 2 ) = 1 n l=1 i=1 n z l (x il x l ) n l=1 i=1 z n l ( x l x) 2. l=1 Diese Zerlegungsmöglichkeit gilt nur für Varianzen, nicht aber für andere Streuungsmaße. Letztendlich ist sie der Grund für die Beliebtheit der Varianz trotz anderer Unannehmlichkeiten. Deshalb sollte man eher von der Varianzzerlegung als von der Streuungszerlegung sprechen. Bei vielen Verfahren werden Streuungszerlegungen betrachtet; dies ist ein ganz grundlegendes Prinzip in der Statistik. 3 Lage- und Streuungsmaße 145

14 Interpretation anhand des Beispiels mit den Einkommen der einzelnen Bundesländer: Korrigierte empirische Varianz: Neben der empirischen Varianz existiert noch eine alternative Definition der Varianz, die korrigierte empirische Varianz. Sei x 1,..., x n die Urliste eines intervallskalierten Merkmals X. Dann heißt s 2 X := 1 n 1 n (x i x) 2 i=1 die korrigierte empirische Varianz oder korrigierte Stichprobenvarianz von X. 3 Lage- und Streuungsmaße 146

15 Bemerkungen: 1 Der Sinn des Vorfaktors n 1 wird erst in Statistik II deutlich: s2 X schönere Eigenschaften als s 2 X. hat theoretisch Für großen Stichprobenumfang n nähern sich s 2 X und s2 X an, weil dann n 1 n. Auch für die korrigierte Varianz gilt die Aussage zu linearen Transformationen, d.h. ist x 1,..., x n die Urliste eines mindestens intervallskalierten Merkmals X mit s X > 0 und y 1,..., y n die zugehörige Urliste des Merkmals Y = a X + b. Dann gilt s 2 Y = a 2 s 2 X. 3 Lage- und Streuungsmaße 147

16 3.2.2 Weitere Streuungsmaße Variationskoeffizient: Definition 3.8. Ist x > 0, so heißt die Größe v X := s X x Variationskoeffizient des Merkmals X. Bemerkungen: Gemessen wird hier die Streuung relativ zum Mittelwert. Insbesondere ist v X dimensionslos. Der Variationskoeffizient erlaubt beispielsweise auch den Vergleich der Streuung von Preisen, die in verschiedenen Währungen gemessen wurden. 3 Lage- und Streuungsmaße 148

17 Inter-Quartils-Abstand: Sind x 0.25 und x 0.75 das obere und das untere Quartil eines Merkmals, so heißt d QX := x 0.75 x 0.25 der Interquartilsabstand. Median-Absolute-Deviation: Der Median der Werte x i x med, i = 1,..., n heißt Median-Absolute-Deviation von X (MAD X ). Spannweite: Die Größe heißt Spannweite von X. R X := x (n) x (1) 3 Lage- und Streuungsmaße 149

18 Bemerkungen Alle betrachteten Streuungsmaße sind nur für (mindestens) intervallskalierte Merkmalse sinnvoll definiert, da sie auf Abständen (typischerweise dem Abstand der Beobachtungen zu einem Lagemaß) beruhen. s 2, s, s 2, s sind die gebräuchlichsten Streuungsmaße. s 2, s, s 2, s sind sehr empfindlich gegenüber Ausreißern! Das Gleiche gilt für die Spannweite R. MAD und d Q hingegen entstammen der sogenannten robusten Statistik, die sich um ausreißerresistente Methoden bemüht. Gilt x 1 = x 2 =... = x n, so weisen alle Streungsmaße den Wert 0 auf. Mit Ausnahme von d Q gilt auch die Umkehrung: Sind die Steuungsmaße (außer eben d Q ) = 0, so sind alle Werte der Urliste gleich. 3 Lage- und Streuungsmaße 150

19 Nochmals Hinweis: Häufig Ursache für Verwirrung und Missverständnisse: Der Begriff Streuung wird in der Statistik in einem doppelten Sinn gebraucht: in einem allgemeinen Sinn: Streuung als Phänomen ( Die Daten streuen stark ). in einem speziellen Sinn: als eine Maßzahl für dieses Phänomen. Beispiel: Statistikbücher Ausprägungen h j Lage- und Streuungsmaße 151

20 3.3 Box-Plot 3.3 Box-Plot Ziel: Grafische Zusammenfassung wichtiger Kennzahlen die nicht ausreißeranfällig sind. (Kommt aus der so genannten Explorativen Daten Analyse : schneller Überblick über Daten, Ausreißererkennung.) x 0.25, x 0.50, x Interquartilsabstand: d QX = x 0.75 x 0.25 Zäune z u, z o, die am kleinsten bzw. größten Datenpunkt im Bereich x d QX ; x d QX liegen. Ausserhalb der Zäune werden alle Punkte eingezeichnet; sie sind ausreißerverdächtig. 3 Lage- und Streuungsmaße 152

21 3.3 Box-Plot Vorsicht bei der Anwendung von Software! Vor allem außerhalb der Box sind auch andere Darstellungen üblich (z.b. Zäune immer bis x (1) und x (n) ). Toutenburg (2002) beispielsweise unterscheidet zwischen Ausreißern (1.5 d QX bis 3 d QX von Rändern der Box entfernt) und Extremwerten (mehr als 3 d QX vom Rand entfernt). Oft wird der Median durch einen dicken Punkt ausgedrückt. Der Box-Plot gibt einen kompakten Überblick über die Form der Verteilung (Zentrale Tendenz, Variabilität, Schiefe, extreme Werte). 3 Lage- und Streuungsmaße 153

22 3.3 Box-Plot Box-Plots können auch zum graphischen Vergleich von Verteilungen verwendet werden: 3 Lage- und Streuungsmaße 154

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