Klasse 10 Graphen von ganzrationalen Funktionen skizzieren

Transkript

1 Klsse 0 Grphe vo grtiole Fuktioe skiiere Nr Ausggslge Vorwisse Die SuS kee Grudfuktioe ud ihre Grphe: f() = ²; ³; ⁴ f() = ; f() = Die SuS kee bei Grudfuktioe folgede Veräderuge: g() = f() Der Grph vo f wird mit dem Fktor i y- Richtug gestreckt h() = f(b) Der Grph vo f wird um b i -Richtug verschobe j() = f() c Der Grph vo f wird um c i y-richtug verschobe

2 Aufgbe du - Begrüde Skiiere Sie de Grphe vo f. ) f() = 0,5(-) b) f() = -(-3) 3 3 c) f() = d) f() = 4-3

3 3 Zusmmegesette Fuktioe Übergeordete Idee: Zu Fuktioe g ud h werde eue Fuktioe defiiert: ) f = gh, mit f() = g() h() ; Summe b) f = g-h, mit f() = g() - h() ; Differe c) f = g h, mit f() = g() h() ; Produkt d) f = g:h, mit f() = g() : h() ; QuoAet; h() 0 Ds ergibt uächst ei uüberschubres Durcheider vo Fuktioe. Frge: K m Eigeschfte vo f ud g uf Eigeschfte der usmmegesette Fuktio schließe? Z.B. Nullstelle, Grph, Ableitug,.....

4 4 I Klsse 0: Grtiole Fuktioe Defiitio: Eie Fuktio der Form f() =... R 0; N heißt grtiole Fuktio (Polyomfuktio) Didktik Motivtio der Defiitio? Ws ist der Si? Wie errbeitet m diese bstrkte Defiitio?.B. 6²; -3; usmmegesett u 6² - 3 = 6² (-3¹) 0 ; i

5 5 Grtiole Fuktioe Progrmm Vor der Eiführug der Ableitug wird utersucht: Symmetrie Verhlte für gege ± ; Asymptote Nullstelle Ziel: Die Grphe grtioler Fuktioe solle ohe Ableitug mit weig Aufwd skiiert werde. We die Ableitug eigeführt ist usätlich Mootoie ud Hoch-Tief-Wedepukte

6 6 Symmetrie - Hiführug Vorwisse der Schüler: Ist der Grph symmetrisch? Achse ud Puktsymmetrie sid us der Geometrie bekt.

7 7 Didktik: Ws ist eu? Symmetrie - Hiführug Es geht um die Beschreibug der Symmetrie eies Grphe mithilfe eier fuktiole Beschreibug. Welche fuktiole Beschreibug psst u welcher Symmetrie? Für lle us R bw. für lle h us R gilt: ) f(-) = f() b) f(-) = -f() c) f( 0 h) = f( 0 -h) d) f( 0 h) f( 0 -h) = f( 0 )

8 8 Symmetrie eies Grphe - Defiitio oder St Defiitio oder St? Der Grph eier Fuktio f heißt / ist chsesymmetrisch ur y-achse geu d, we f() = f(-) für lle D gilt. Der Grph eier Fuktio f heißt / ist puktsymmetrisch um Ursprug geu d, we f(-) = -f() für lle D gilt. Ergebis:?

9 9 Symmetrie Fuktiole Bedigug ls St St : Der Grph eier Fuktio f ist chsesymmetrisch ur y-achse geu d, we f(-) = f() für lle us D gilt. St b: Der Grph eier Fuktio f ist puktsymmetrisch um Ursprug geu d, we f(-) = -f() für lle us D gilt. St c: Der Grph eier Fuktio f ist chsesymmetrisch u = geu d, we für lle us D gilt. St d: Der Grph eier Fuktio f ist puktsymmetrisch u P( b) geu d, we für lle us D gilt.

10 0 Symmetrie - Kriterium St : Der Grph eier grtiole Fuktio f der Form f() =... 0 ; i R ; N ist chsesymmetrisch ur y-achse geu d, we lle Hochhle vo gerde sid. Beweis: Idee: Alle gerde, lso ( ) =, lso f(-) = f() Idee (eemplrisch für Grd ) f(-)=f(), lso ( ) ( ) 0 = 0 für lle us R. D ( ) =, gilt ( ) = bw. = 0 für lle us R. Diese Gleichug ht für lle us R ur eie Lösug, ₁ = 0. Didktik: Beweismittel?

11 Symmetrie - Kriterium St b: Der Grph eier grtiole Fuktio f i der Form f() =... 0 ; i R ; N ist puktsymmetrisch um Ursprug geu d, we lle Hochhle vo ugerde sid. *Folgerug us St ud St b: Komme gerde ud ugerde Hochhle vo vor, Ist der Grph icht chsesymmetrisch ur y-achse Ist der Grph icht puktsymmetrisch um Ursprug Aber: Der Grph k eie dere Symmetrie eige *Forml ist ds Kotrpositio

12 Vergleich St Kriterium St Wir hbe wei Säte ur Symmetrie. De St, der die Defiitio widerspiegelt. Ds Kriterium Didktik: Gibt es Uterschiede? Welche? St : Der Grph eier Fuktio f ist chsesymmetrisch ur y-achse geu d, we f(-) = f() für lle us D gilt. St : Der Grph eier grtiole Fuktio f ist chsesymmetrisch ur y-achse geu d, we lle Hochhle vo gerde sid.

13 Verhlte gege Uedlich Ws sgt us ds für ±? Didktik: Beweismittel? St: Sei f grtiol vom Grd. D gilt: Aufgbe: Skiiere de Grphe vo f mit f() = -⁴ 4² 3 ± = für ) ( 0 0 ± für f () ± = für ) (

14 4 Grphe skiiere - Begrüde Skiiere de Grphe vo f mit f() = -⁴ 4² Begrüdugsschritte der SuS ) ) 3)....

15 5 Nullstelle vo Polyome - Verfhre Diese Verfhre kee die SuS: ) Äquivleumformuge vo Gleichuge. ) Qudrtische Lösugsformel 3) St vom Nullprodukt 4) Substitutio (.B. biqudrtische Gleichuge) (5. icht im Bildugspl: Polyomdivisio) Siehe Übugsbltt

16 6 Wisseschftlicher Hitergrud Nullstelle vo Polyome Fudmetlst der Algebr Jedes Polyom mit reelle Koeffiiete ht eie Nullstelle i de komplee Zhle C. b ± = 4c, ² = 0 ₁=3i ; ₂=3-i Lierfktorerlegug: ² = (-(3i)) (-(3-i)) b 6 ± 6 6 ± 4 = = Es gilt uch: Jedes Polyom mit komplee Koeffiiete ht eie Nullstelle i de komplee Zhle C.

17 Wisseschftlicher Hitergrud Nullstelle vo Polyome St: Ist eie Nullstelle des Polyoms f, d gilt f() = (-) g(), wobei Grd(g) = Grd(f) Beweis: f() = f() f() = - ( ) = Vorwisse eemplrisch: = = (-) g(), wobei Grd(g) = Grd(f) Also: Ei Polyom vom Grd ht höchstes Nullstelle ) (... ) ( ) ( ] [Polyom vom Grd ) ( )... ( ) ( =

18 8 Wie viele reelle Nullstelle ht ei Polyom? Polyom vom Grd : Eie reelle Nullstelle Polyom vom Grd : Diskrimite D = b²-4c D>0 Zwei reelle Nullstelle b, = D=0 Geu eie reelle Nullstelle D<0 Keie reelle, ber wei komplee Nullstelle (kojugiert komple) Polyom vom Grd 3 = (Grd ) (Grd ) Keie reelle - Eie reelle- wei reelle- drei reelle ± b 4c Polyom vom Grd 4: (Grd ) (Grd ) Keie reelle - Eie reelle- wei reelle- drei reelle vier reelle Didktik: I der Schule dere Argumettio über Grphe!

19 9 f() = (-)² (²-) Doppelte Nullstelle (i R) Betrchte Umgebug U vo =, i der f ur die NST = ht,.b. U = (,5;,5) D gilt i U f() = (-)² (²-) > 0 >0 >0 D.h. der Grph scheidet i = die -Achse icht.

20 0 Schulufgbe Beschreibe Sie, wie sich die Grphe der Fuktioe f, g, h ud i uterscheide. f() =. () g() =. () h() =. () 3 i() =. () 4

21 Doppelte Nullstelle (i R) Allgemei gilt: Flls für f gilt f() = (-)² g() ud g() 0, d heißt heißt doppelte Nullstelle vo f. Auf Übugsbltt u eige: ist doppelte Nullstelle vo f f() = f () = 0 ud f () 0 d.h Der Grph vo f ht der Stelle eie Etremstelle d.h Der Grph vo f berührt die -Achse der Stelle

22 Roter Fde weiter.... Grphe vo trigoometrische Fuktioe skiiere Grphe vo gebroche-rtiole Fuktioe skiiere