9 Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen

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1 Übungsmaterial 9 Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen Die trigonometrischen Funktionen sind die Sinus-, die Kosinus- und die Tangensfunktion. 9. Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Die trigonometrischen Funktionen haben folgende Eigenschaften: Die Sinus- und die Kosinusfunktion sind periodisch mit Periode 2. Die Tangensfunktion ist periodisch mit Periode. Der Graph der Sinusfunktion ist punktsmmetrisch zum Ursprung, der Graph der Kosinusfunktion ist achsensmmetrisch zur -Achse. Der Graph der Tangensfunktion ist punktsmmetrisch zum Ursprung. sin hat Nullstellen bei = k, cos hat Nullstellen bei = (2k + ) 2, (jeweils k Z). tan = sin cos tan hat Nullstellen bei = k, k Z. tan ist nicht deniert für = (2k + ) 2, k Z (dort sind die Nullstellen des Kosinus). Die Tangensfunktion hat dort senkrechte Asmptoten. Die folgenden Abbildungen zeigen die Graphen der trigonometrischen Funktionen. sin - 2 Abbildung : Die Sinusfunktion

2 Übungsmaterial 2 cos Abbildung 2: Die Kosinusfunktion tan Abbildung 3: Die Tangensfunktion Ableitungen der trigonometrischen Funktionen (sin ) = cos (cos ) = sin (tan ) = cos 2 Stammfunktionen der trigonometrischen Funktionen sin d = cos + c cos d = sin + c tan d = ln cos + c

3 Übungsmaterial Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Da keine der trigonometrischen Funktionen eindeutig in dem Sinne ist, dass jeder Wert der Zielmenge nur einmal angenommen wird, sind sie auf ihrem Denitionsbereich nicht umkehrbar. Wir werden daher jeweils den Denitionsbereich einschränken müssen, um die Funktionen umkehren zu können Die Umkehrfunktion der Sinusfunktion Wir schränken den Denitionsbereich ein auf D = [ 2 ; 2 ]. Die Sinusfunktion ist in diesem Bereich eindeutig, besitzt also eine Umkehrfunktion. Diese nennen wir arcsin, die Arcussinusfunktion. Ihr Denitionsbereich ist [ ; ], ihr Wertebereich ist [ 2 ; 2 ]. Ihr Graph ergibt sich aus der Spiegelung der Sinusfunktion an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten. arcsin - - Abbildung 4: Die Arcussinusfunktion Die Ableitung der Arcussinusfunktion ist (arcsin ) = 2 Beispiele a) arcsin = 2, weil sin 2 = ist. b) arcsin 2 = 6, weil sin 6 = 2 ist. 2) f() = arcsin + 2 f () = 2 + 2

4 Übungsmaterial Die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion Wir schränken den Denitionsbereich ein auf D = [0; ]. Die Kosinusfunktion ist in diesem Bereich eindeutig, besitzt also eine Umkehrfunktion. Diese nennen wir arccos, die Arcuskosinusfunktion. Ihr Denitionsbereich ist [ ; ], ihr Wertebereich ist [0; ]. Ihr Graph ergibt sich aus der Spiegelung der Kosinusfunktion an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten. arccos - 2 Abbildung 5: Die Arcuskosinusfunktion Die Ableitung der Arcuskosinusfunktion ist (arccos ) = 2 Beispiele a) arccos 0 = 2, weil cos 2 = 0 ist. b) arccos 2 = 3, weil cos 3 = 2 ist. 2) f() = arccos(2 2 ) f () = = 4 4 4

5 Übungsmaterial Die Umkehrfunktion der Tangensfunktion Wir schränken den Denitionsbereich ein auf D = [ 2 ; 2 ]. Die Arcustangensfunktion ist in diesem Bereich eindeutig, besitzt also eine Umkehrfunktion. Diese nennen wir arctan, die Arcustangensfunktion. Ihr Denitionsbereich ist R, ihr Wertebereich ist [ 2 ; 2 ]]. Ihr Graph ergibt sich aus der Spiegelung der Tangensfunktion an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten. arctan Abbildung 6: Die Arcustangensfunktion Die Ableitung der Arcustangensfunktion ist (tan ) = + 2 Beispiele a) arctan 0 = 0, weil tan0 = 0 ist. b) arctan = 4, weil arctan 4 = ist. ( ) 2) f() = arctan + f () = + ( + + )2 ( + ) 2 = (+) (+) 2 ( + ) 2 =

6 Übungsmaterial Aufgabe ) Beweise: tan d = ln cos + c 2) Berechne: a) arcsin 0; arcsin( 2 ); arcsin( ); arcsin 3 2 b) arccos ; arccos 2 ; arccos 0; arccos( 2 2 ) c) arctan 0; arctan 3; arctan( 3); arctan( 3 3 ) 3) Berechne die Ableitung von f() = 2 arcsin Lösung ) tan d = sin sin cos d = cos d = ln cos + c 2a) arcsin 0 = 0 arcsin( 2 ) = arcsin 2 = 6 arcsin( ) = arcsin = 2 arcsin 2 2 = 2 b) arccos = 0 arccos 2 = 3 arccos 0 = 2 arccos( 2 2 ) = c) arctan 0 = 0 arctan 3 = 3 arctan( 3) = arctan 3 = 3 arctan( 3 3 ) = arctan 3 3 = 4

7 Übungsmaterial 7 3) f() = 2 arcsin = 2 arcsin( ) f () = 2 3 arcsin( ) = = 2 3 arcsin + 4

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