Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag

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1 MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner WS 203/4 Blatt Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag 4. a) Für a R betrachten wir die Funktion f : R + R, fx) = x a. Gemäß der Definition der allgemeinen Potenz erhalten wir fx) = x a = exp a ln x) = e a ln x für alle x R +. Die Logarithmusfunktion f : R + R, fx) = a ln x und die Exponentialfunktion f 2 : R + R, fx) = e x sind stetig und damit auch die Komposition f = f 2 f : R + R, fx) = e a ln x. Die Funktionen exp : R + R und ln : R + R sind stetig und streng monoton wachsend; wir treffen nun hinsichtlich a R folgende Fallunterscheidung: Sei a > 0. Für alle x, x 2 R + mit x < x 2 gilt: x < x 2 = ln x < ln x 2 = a ln x < a ln x 2 = damit ist f streng monoton wachsend. Sei a < 0. Für alle x, x 2 R + mit x < x 2 gilt: = e a ln x < e a ln x 2 = fx ) < fx 2 ); x < x 2 = ln x < ln x 2 = a ln x > a ln x 2 = damit ist f streng monoton fallend. = e a ln x > e a ln x 2 = fx ) > fx 2 );

2 b) Zunächst ist die allgemeine Exponentialfunktion exp a : R R, exp a x) = a x = exp), als Verknüpfung der stetigen) Exponentialfunktion exp : R R und der ebenfalls stetigen) linearen Funktion g : R R, gx) =, selbst stetig. Wir treffen nun die folgende Fallunterscheidung: Fall : a >, also ln a > 0. Für alle x, x 2 R mit x < x 2 gilt dann x ln a < x 2 ln a exp a x ) = expx ln a) < expx 2 ln a) = exp a x 2 ); damit ist exp a streng monoton wachsend. Wegen exp a x) = exp) > 0 für alle x R gilt W expa R + ; für sei nun y R +. Wegen lim exp ax) = lim exp ) x x } {{ } = 0 gibt es ein b < 0 mit exp a b) < y, und wegen lim exp ax) = lim exp ) x x } {{ } = gibt es ein c > 0 mit exp a c) > y, so daß nach dem Zwischenwertsatz ein ξ [b; c] mit exp a ξ) = y existiert; folglich ist W expa = R +. Fall 2: a =, also ln a = 0. Wegen exp x) = expx ln ) = expx 0) = exp0) = für alle x R ist exp eine konstante Funktion, insbesondere also sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend; ferner ist W exp = {}. Fall 3: a <, also ln a < 0. Für alle x, x 2 R mit x < x 2 gilt dann x ln a > x 2 ln a exp a x ) = expx ln a) > expx 2 ln a) = exp a x 2 ); damit ist exp a streng monoton fallend. Wegen exp a x) = exp) > 0 für alle x R gilt W expa R + ; für sei nun y R +. Wegen lim exp ax) = lim exp ) x x } {{ } = gibt es ein b < 0 mit exp a b) > y, und wegen lim exp ax) = lim exp ) x x } {{ } = 0 gibt es ein c > 0 mit exp a c) < y, so daß nach dem Zwischenwertsatz ein ξ [b; c] mit exp a ξ) = y existiert; folglich ist W expa = R +.

3 42. Wir betrachten die Funktion a) Die quadratische Funktion und die Sinusfunktion f : R R, fx) = sin2 x + sin 2 x. f : R R, f x) = x 2, f 2 : R R, f 2 x) = sin x, sind stetig und damit auch die Komposition f 3 = f f 2 : R R, f 3 x) = sin x) 2 = sin 2 x. Zudem ist die konstante Funktion und damit die Summe und schließlich der Quotient f 4 : R R, f 4 x) =, f 5 = f 4 + f 3 : R R, f 5 x) = + sin 2 x, f = f 3 f 5 : R R, fx) = sin2 x + sin 2 x, stetig; dabei ist f 5 x) = + sin 2 x und damit f 5 x) 0 für alle x R. b) Für alle x R gilt 0 sin 2 x und damit 0 < + sin 2 x 2, woraus sich zum einen fx) = sin2 x + sin 2 x fx) = sin2 x + sin 2 x = + sin2 x) + sin 2 x 0 und zum anderen = + sin 2 } {{ x } 2 2 ergibt; damit gilt zunächst W f [ 0, 2]. Für sei y [ 0, 2] ; wegen sin 0 = 0 und sin π 2 = gilt f0) = sin2 0 + sin 2 0 = 0 y 2 = sin2 π 2 + sin 2 π 2 = f π 2 ), und für die ebenfalls stetige Einschränkung f [0, π 2 ] existiert nach dem Zwischenwertsatz ein ξ [ 0, 2] mit fξ) = y, und damit ist y Wf.

4 c) Für alle x, x 2 [ 0, π 2 ] mit x < x 2 gilt fx ) fx 2 ) = sin 2 x + sin 2 x sin2 x 2 + sin 2 x 2 = sin2 x + sin 2 x 2 ) sin 2 x 2 + sin 2 x ) + sin 2 x ) + sin 2 x 2 ) = <0 wegen ) { }} { sin 2 x sin 2 x 2 + sin 2 x ) + sin 2 x 2 ) } {{ } >0 < 0, also fx ) < fx 2 ); damit ist f streng monoton wachsend. Dabei verwenden wir für ), daß die Sinusfunktion auf dem Intervall [ 0, π 2 ] streng monoton wachsend und nichtnegativ ist, so daß sich aus 0 x < x 2 π 2 schon 0 sin x < sin x 2 und damit sin 2 x < sin 2 x 2, also sin 2 x sin 2 x 2 < 0, ergibt. Da nun f auf dem Intervall [ ] 0, π 2 streng monoton ist, ist die Einschränkung f π [0, 2 ] umkehrbar; gemäß b) ist auch W f [0, π = [ [ 0, 2 ] 2]. Für y 0, 2] und x [ ] 0, π 2 gilt dabei: fx) = y sin2 x + sin 2 x = y sin2 x = y + sin 2 x) sin 2 x = y + y sin 2 x sin 2 x y sin 2 x = y y) sin 2 x = y sin 2 x = y sin x 0 y y y y 0 y y sin x = x = arcsin y x [0, π 2 ] y. Damit ist f : [ 0, 2] R, f y) = arcsin y. y 43. a) Für alle x R gilt sinh x) = 2 e x e x)) = 2 e x e x ) = 2 ex e x ) = sinh x cosh x) = 2 e x + e x)) = 2 e x + e x ) = 2 ex + e x ) = cosh x; damit ist sinh eine ungerade cosh eine gerade Funktion, d.h. G sinh ist punktsymmetrisch zum Ursprung bzw. G cosh ist achsensymmetrisch zur y Achse. Wegen sinh x = 0 e x = e x x = x x = 0

5 besitzt sinh genau eine Nullstelle, nämlich x = 0; für alle x R gilt ferner e x > 0 und e x > 0 und damit cosh x = 2 ex + e x ) > 0, insbesondere ist demnach cosh ohne Nullstellen. Zunächst sind Exponentialfunktion exp : R R, expx) = e x, die lineare Funktion f : R R, f x) = x, stetig. Damit ist auch die Verknüpfung f 2 = exp f : R R, f 2 x) = e x, die Differenz bzw. Summe f 3 = exp f 2 : R R, f 3 x) = e x e x, bzw. f 4 = exp +f 2 : R R, f 3 x) = e x + e x, stetig, woraus schließlich die Stetigkeit von sinh = f 2 3 und cosh = f 2 4 folgt. Wegen lim e x = und lim e x = 0 erhält man x x und wegen lim sinh x = lim x x 2 ex e x ) = lim cosh x = lim x x 2 ex + e x ) =, lim x ex = 0 und lim x e x = erhält man lim sinh x = lim x x 2 ex e x ) = lim cosh x = lim x x 2 ex + e x ) =. Die Grenzwerte für x lassen sich natürlich auch aus den entsprechenden Grenzwerten für x unter Berücksichtigung der Symmetrieeigenschaften herleiten. b) Für alle x, y R gilt sinh x cosh y + cosh x sinh y = = 2 ex e x ) 2 ey + e y ) + 2 ex + e x ) 2 ey e y ) = = 4 ex e y + e x e y e x e y e x e y ) ex e y e x e y + e x e y e x e y ) = = 2 ex e y e x e y ) = 2 e x+y e x+y)) = sinhx + y) cosh x cosh y + sinh x sinh y = = 2 ex + e x ) 2 ey + e y ) + 2 ex e x ) 2 ey e y ) = = 4 ex e y + e x e y + e x e y + e x e y ) + Damit ergibt sich für alle x R + 4 ex e y e x e y e x e y + e x e y ) = = 2 ex e y + e x e y ) = 2 e x+y + e x+y)) = coshx + y). = cosh 0 = coshx + x)) = cosh x cosh x) + sinh x sinh x) = = cosh x cosh x + sinh x sinh x) = cosh 2 x sinh 2 x.

6 c) Wir zeigen zunächst W sinh = R; sei dazu y R. Wegen lim sinh x = x gibt es ein b > 0 mit fb) > y, und wegen sinh x = gibt es ein lim x a < 0 mit fa) < y; wegen der Stetigkeit von sinh existiert also nach dem Zwischenwertsatz ein ξ [a; b] mit sinh ξ = y. Folglich gilt also W sinh = R. Wir zeigen nun W cosh = [; [ durch den Nachweis von zwei Inklusionen: : Für alle x R gilt cosh2 x = + sinh 2 x und damit, da die Funktion cosh nur positive Werte annimmt, bereits cosh x ; folglich ist W cosh [; [. : Für alle y [; [ gilt cosh 0 = y, und wegen lim cosh x = gibt x es ein b > 0 mit cosh b > y; wegen der Stetigkeit von cosh existiert also nach dem Zwischenwertsatz ein ξ [0; b] mit fξ) = y. Folglich ist y W cosh, und es gilt auch W cosh [; [. 44. a) Seien x, x 2 R mit x < x 2, also x 2 < x ; da die Exponentialfunktion streng monoton wachsend ist, folgt damit e x < e x 2 und e x 2 < e x, also e x < e x 2, woraus sich e x e x < e x 2 e x 2 und schließlich sinh x = 2 ex e x ) < 2 ex 2 e x 2 ) = sinh x 2 ergibt. Damit ist sinh streng monoton wachsend. Für alle y R gilt sinh x = y 2 ex e x ) = y e x e x = 2 y e x 2 y = e x e x ) 2 2 y e x = e x ) 2 2 y e x + y 2 = y 2 + e x y) 2 = y 2 + e x y = ± y 2 + e x = y ± y 2 + e x >0 e x = y + y 2 + x = ln y + ) y 2 +. Damit gilt Arsinh : R R, Arsinh x = ln x + ) x 2 +. b) Seien x, x 2 R + 0 mit x < x 2 ; wegen a) gilt 0 = sinh 0 sinh x < sinh x 2, also sinh 2 x < sinh 2 x 2, woraus sich cosh 2 x = + sinh 2 x < + sinh 2 x 2 = cosh 2 x 2 und damit, da cosh nur positive Werte annimmt, schon cosh x < cosh x 2 ergibt. Damit ist cosh R + streng monoton wachsend. Die Argumentation 0 von Aufgabe 43 c) zeigt, daß die Wertemenge der Einschränkung mit der Wertemenge W cosh = [; [ übereinstimmt. Für alle y gilt cosh x = y 2 ex + e x ) = y e x + e x = 2 y e x 2 y = e x e x ) 2 2 y e x = e x ) 2 2 y e x + y 2 = y 2 e x y) 2 = y 2 e x y = ± y 2 e x = y ± y 2,

7 wobei y + y 2 y 0 < y y 2 = wegen x 0 ist e x, und damit erhält man e x = y + y 2, also x = ln y + y 2 gilt; y + ) y 2. Damit gilt Arcosh : [; [ R, Arcosh y = ln x + ) x 2. c) Für die Graphen von sinh und cosh von Arsinh und Arcosh ergibt sich: y 4 G cosh G sinh 3 2 G Arsinh G Arcosh x 2 3 4

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