Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt

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1 Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt f 1 : W D, y wobei D mit f() = y die Umkehrfunktion zu f. Der Graph G f 1 = {(y, ) W D y = f()} = {(y, ) W D (, y) G f } entsteht aus G f durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden mit der Gleichung = y. 20

2 Beispiel 1.10 Wir betrachten wieder die Stückkostenfunktion S() = Für welche Stückzahl ergibt sich 1500? Wir lösen hierzu nach auf und erhalten = 1500 = 1000, = 170. Das ist die gesuchte Stückzahl, denn es ist nun S(170) = Lösen wir allgemein die Gleichung = y

3 nach auf, so erhalten wir = y 500 und dies ist gerade die Umkehrfunktion, also S 1 (y) = y 500. Mit ihr lässt sich zu beliebigen Stückkosten die zugehörige Stückzahl ermitteln. 22

4 Beispiel 1.11 Die Funktion f : R + 0 R + 0 mit f() = 2 ist bijektiv. Ihre Umkehrabbildung ist f 1 (y) = y. 4 3 y Beachte: Die Funktion f() = 2 kann auch für alle R betrachtet werden, ist dann aber nicht injektiv, folglich gibt es dann auch keine Umkehrfunktion. 23

5 Verknüpfung von Funktionen Aus gegebenen Funktionen können durch Verknüpfung mittels der Grundrechenarten neue Funktionen gebildet werden. Seien f, g : R R Funktionen und λ R. Dann lassen sich auch die folgenden Funktionen definieren: λf : R R, mit f ± g : R R, mit f g : R R, mit f f : R R, mit g (λf)() = λf(), (f ± g)() = f() ± g(), (f g)() = f() g(), f() () = g g(). 24

6 Die Definitionsbereiche sind D(λf) = D(f), D(f ± g) = D(f) D(g), D(f ( g) ) = D(f) D(g), f D = { R : D(f) D(g) und g() 0}. g Wir erinnern daran, dass man auch f g (Verkettung von f und g) bilden kann. Der Definitionsbereich von f g sind diejenigen Elemente R, für die g() im Definitionsbereich von f liegt. 25

7 Beispiel 1.12 Seien f() = 15 3, g() = Dann sind (5f)() = 75 15, (f + g)() = , (f g)() = (15 3)( ) = , ( ) f () = 15 3 g Aus dem Definitionsbereich von f müssen 1 und 1/2 ausgeschlossen g werden, weil g(1) = 0 und g(1/2) = 0. 26

8 Intervalle Seien a, b R mit a < b. Dann unterscheiden wir die folgenden Typen von Intervallen [a, b] = { R : a b} (a, b) = { R : a < < b} [a, b) = { R : a < b} (a, b] = { R : a < b} Intervalle der Form [a, ) = { R : a} (, b] = { R : b} (a, ) = { R : > a} (, b) = { R : < b} abgeschlossenes Intervall, offenes Intervall, halboffene Intervalle. werden uneigentliche Intervalle genannt, die ersten beiden sind abgeschlossene, die letzten beiden offene Intervalle. 27

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10 Monotonie Neben Injektivität und Surjektivität spielen weitere Eigenschaften von Funktionen eine wichtige Rolle. Besonders wichtig ist die Monotonie: Seien f : R R eine Funktion und I R ein Intervall im Definitionsbereich von f. Gilt für alle 1, 2 I mit 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ) (bzw. f( 1 ) < f( 2 )) (1.2) dann heißt f (streng) monoton wachsend in I. Gilt für alle 1, 2 I mit 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ) (bzw. f( 1 ) > f( 2 )) dann heißt f (streng) monoton fallend in I. 28

11 Die Funktion f heißt (streng) monoton wachsend auf dem ganzen Definitionsbereich, wenn die Bedingung (1.2) für alle 1, 2 D(f) mit 1 < 2 erfüllt ist. Entsprechendes gilt für (streng) monoton fallend. Die Stückkostenfunktion S() = ist streng monoton fallend. Anschaulich bedeutet das: Je mehr Stücke produziert werden, so geringer sind die Stückkosten, um so effizienter ist also die Produktion. Wir halten folgenden interessanten Zusammenhang zwischen Monotonie und Injektivität fest: Ist f streng monoton wachsend (oder streng monoton fallend) dann ist f injektiv, hat also eine Umkehrfunktion. 29

12 Beispiel 1.13 Die Funktion f() = ist auf [0, ) streng monoton wachsend, auf (, 2] streng monoton fallend. Wo genau sich das Wachstumsverhalten umkehrt, ist am Graphen nicht genau zu erkennen. Das werden wir später mit mathematischen Methoden ermitteln können

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14 Können Funktionen nicht beliebig groß oder klein werden, spricht man von beschränkten Funktionen: Sei f : R R eine Funktion und sei D der Definitionsbereich. Gibt es ein c R mit f() c (bzw. f() c) für alle D, dann heißt f nach unten (bzw. oben) beschränkt. Ist f nach unten und nach oben beschränkt, dann heißt f beschränkt. Anders formuliert: Der Wertebereich W (f) ist beschränkt, also W (f) [a, b] für geeignete a, b R. 31

15 Beispiel 1.14 Die Funktion f() = 2 4 mit dem Graphen ist nach unten beschränkt, weil f() 4 für alle R. Die Funktion ist aber nicht nach oben beschränkt. 32

16 Beispiel 1.15 Die Funktion f() = 3 ist weder nach oben noch nach unten beschränkt

17 Wir betrachten wieder die Kostenfunktion K() = auf dem Intervall [0, 2000]. Dort ist K beschränkt, weil K() K(0) = K() K(2000) = für alle [0, 2000]. Das Intervall [0, 2000] könnte aus ökonomischer Sicht relevant sein, wenn etwa die Maimalauslastung bei 2000 produzierten Waschmaschinen liegt. 34

18 Folgende Eigenschaft beschreibt eine gewisse Symmetrie des Funktionsgraphen: Sei f : R R eine Funktion mit D(f) = R, die Funktion ist also auf ganz R definiert. Gilt f( ) = f() für alle R, dann heißt f gerade. Wenn f( ) = f() für alle R gilt, dann heißt f ungerade. Der Graph einer geraden Funktion ist achsensymmetrisch zur y-achse, der einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs des Koordinatensystems. 35

19 Beispiel 1.16 Die Funktion f() = 4 ist gerade, y

20 Die Funktion f() = 5 ist ungerade: 15 y

21 Nullstellen Häufig interessiert man sich für die Werte der unabhängigen Variable einer Funktion, für die der Funktionswert 0 ist: Sei f : R R eine Funktion. Ist 0 D(f) eine reelle Zahl mit f( 0 ) = 0, dann heißt 0 eine Nullstelle von f. Der folgende Graph skizziert eine Funktion mit drei Nullstellen (3, 1 und 3):