1.Kreiszahl π 1.1.Kreis α Länge des Kreisbogens b = 2π 360 α

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1 Grundwissen athematik 0.Klasse Gymnasium SOB.Kreiszahl..Kreis α Länge des Kreisbogens b r 360 α Fläche des Kreissektors A r 360 Das Bogenmaß b eines Winkels α ist die Länge der zugehörigen Bogenlänge b im Kreis mit dem Radius. α Umrechnung: b 360 wobei b der Winkel im Bogenmaß zum Winkel α im Gradmaß ist. Besondere Werte: α b Kugel Kugeloberfläche: O K 4 r² Kugelvolumen: V K 4/3 r³ 3.Geometrische und funktionale Aspekte..Sinus und Kosinus am Einheitskreis Definition: Ist /y) ein beliebiger Punkt auf dem Einheitskreis und α der Winkel mit der positiven Halbachse als erstem und der Halbgeraden von O durch P als zweitem Schenkel, so legt man fest: sin α y und cos α. Die Sinuswerte sind im I. und II. Quadranten positiv, im III. und IV. Quadranten negativ. Die Kosinuswerte sind im I. und IV. Quadranten positiv, im II. und III. Quadranten negativ. Besondere Beziehungen: sin (0 - α) sin α, sin (0 + α) -sin α, sin (360 - α) -sin α, cos (0 - α) -cos α, cos (0 + α) -cos α, cos (360 - α) cos α. Alle anderen Winkel ( > 360 und negative Winkel) lassen sich durch mehrfache Addition und Subtraktion von 360 auf einen Winkel zwischen 0 und 360 zurückführen.

2 ..Sinus- und Kosinusfunktion Graphen: Periode: 6, W [-;] sin ist punktsymmetrisch zum Ursprung cos ist achsensymmetrisch zur y- Achse.3.Die allgemeine Sinusfunktion a sin (b + c) a sin [b( + c/b)] Beispiel: f() 3 sin ( + ) 3 sin [ ( + /)] schwarz: Ausgangskurve sin grün: Stauchung um den Faktor in Richtung woraus die neue Periode / folgt. blau: Verschiebung um c/b / nach links bzw. für c < 0 nach rechts. rot: Streckung mit dem Faktor 3 in y Richtung. Falls a oder b negativ sind, bewirkt dies zusätzlich eine Spiegelung an der Achse.

3 3 3.Eponentielles Wachstum und Logarithmieren Lineares und eponentielles Wachstum: Bei linearem Wachstum vergrößert sich der y Wert bei Zunahme des Wertes um beispielsweise immer um den gleichen Wert. Die graphische Darstellung von g() 0,5 - liefert eine Gerade mit konstanter Steigung 0,5. Beim eponentiellen Wachstum wird der momentane Funktionswert immer mit dem gleichen Faktor multipliziert, wenn der Wert um einen konstanten Wert zunimmt. Die graphische Darstellung von y zeigt, dass bei Erhöhung von um der y Wert jeweils verdoppelt wird. Funktionen der Form f: b a ( aus R) heißen Eponentialfunktionen. Die Konstante a gibt den Wachstumsfaktor an. Es muss gelten: a > 0; a. Für a > steigt der Graph, für a < fällt er. Die Achse ist Asymptote. Die Konstante b gibt den Anfangswert der Funktion für 0 an, also ist f(0) b. Ist b < 0 so wird der Graph noch zusätzlich an der Achse gespiegelt. Die eindeutige Lösung der Eponentialgleichung a b ( für a > 0, a und b > 0) bezeichnet man als Logarithmus von b zur Basis a und schreibt log a b. log a b ist diejenige Zahl mit der man a potenzieren muss um b zu erhalten. Rechenregeln: log a (u v) log a (u) + log a (v) log a (u : v) log a (u) - log a (v) log a (u ) log a (u) log a (u) lgu / lga (Umrechnung des Logarithmus) Anwendung Eponentialgleichungen: die Unbekannte tritt im Eponenten auf. Beispiel : 5 4 : und :,5 Logarithmieren log, 5 0,756 Beispiel : Substitution u 5 5 u + u 6 5 u ² + 6u 0 Lösungsformel 6 ± ± 4 u 5 0 u : 5 0 u : Probe: Beide Ergebnisse sind Lösungen.

4 4 4.Zusammengesetzte Zufallseperimente Beispiel: In einer Klasse aus Schülern sind 0 ädchen und 0 Jungen. Insgesamt tragen Kinder eine Brille, davon 4 Jungen. Bezeichnet man das Ereignis ädchen mit, das Ereignis Jungen mit J, das Ereignis Brillenträger mit B und das Gegenereignis mit B B, so bilden die Schnittmengen B, B, B und B eine Zerlegung des Ergebnisraumes, d.h. die Schnittmengen haben kein gemeinsames Element und ihre Vereinigung ergibt Ω. Der Sachverhalt kann damit gut in einer Vierfeldertafel dargestellt werden. B B 4 B B B 6 B 0 0 Ω Die Anzahl der Elemente von,, B, B treten als Spaltensummen bzw. als Zeilensummen auf. Obiges Zufallseperiment kann auch in einem Baumdiagramm veranschaulicht werden, wobei zu unterscheiden ist, ob man erst nach oder nach B sucht J 6 0 B B B B B B) B) J B) J B) 4 B B 6 J J B ) B J) B ) B J) Im Baumdiagramm findet man am Pfadende die Wahrscheinlichkeiten der die Zerlegung bildenden Schnittmengen der Vierfeldertafel.

5 5 Sind A und B Ereignisse eines Zufallseperiments mit A) 0 so versteht man unter der bedingten Wahrscheinlichkeit P A (B) die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von B A B) unter der Bedingung des Eintretens von A. P A ( B) A) Im Baumdiagramm findet man in der zweiten Stufe die bedingten B) Wahrscheinlichkeiten, z.b. P ( B) dagegen ist ) 0 0 B) P B ( ) B) 5.Ausbau der Funktionenlehre Die geraden Funktionen 0, 0, 4 5..Potenzfunktionen Funktionen der Form a n (n aus N) nennt man Potenzfunktionen n ten Grades. 0, 6... dargestellt im Koordinatensystem: Für negative -Werte nehmen die y-werte mit wachsenden ab, für > 0 nehmen die y-werte + mit wachsendem zu. W R 0 Ein negativer Vorfaktor a bewirkt eine Spiegelung an der Achse. Für negative - Werte nehmen die y-werte mit wachsenden nun zu, für > 0 nehmen die y-werte mit - wachsendem ab. W R 0 Die Graphen für Potenzfunktionen gerader Ordnung sind achsensymmetrisch zur y Achse. Die ungeraden Funktionen 0, 0, 3 0, 5... dargestellt im Koordinatensystem: Für alle -Werte nehmen die y-werte mit wachsenden zu. W R Ein negativer Vorfaktor a bewirkt eine Spiegelung an der Achse. Für alle -Werte nehmen die y-werte mit wachsenden nun ab. W R Die Graphen für Potenzfunktionen ungerader Ordnung sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

6 6 5..Ganzrationale Funktionen Terme wie z.b ³ - + 6, die aus Summen von Potenzen (mit Eponenten aus N 0 ) derselben Variablen und zugehörigen Koeffizienten (Vorfaktoren) bestehen, nennt man Polynome. Der höchste in einem Polynom bei einer Variablen vorkommende Eponent heißt Grad des Polynoms. Eine Funktion p(), deren Funktionsterm ein Polynom ist, heißt ganzrationale Funktion. Der Grad des Polynoms wird auch als Grad der ganzrationalen Funktion bezeichnet. Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion wird für betragsmäßig große Werte durch den Summanden mit dem höchsten vorkommenden Eponenten bestimmt. Die vier verschiedenen Fälle werden anhand von Beispielen betrachtet: Beispiel : 4 5³ läuft von links oben nach rechts oben Beispiel : - 4 5³ läuft von links unten nach rechts unten Beispiel 3: ² läuft von links oben nach rechts unten Beispiel 4: 5 + 5² läuft von links unten nach rechts oben Polynomdivision: Polynome dividiert man wie Zahlen. Beispiel: (5² ) : ( + ) 5 + -(5² + 5) + -( + ) 0 Ist a eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion f vom Grad n, dann lässt sich f() in der Form f() ( a) g() schreiben. g() ist dabei ein Polynom vom Grand n. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Nullstellenermittlung und Faktorisierung einer Polynomfunktion: Beispiel: f() ³ Schritt: Erraten einer Nullstelle (probiere Teiler des konstanten Glieds) z.b..schritt: (³ ) : ( ) ² Schritt: Bestimme die weiteren Nullstellen von ² + 3 : und 3-4.Schritt: f() ³ ( )² ( + ) Liegt eine Nullstelle ungerader Ordnung vor (Eponent des Linearfaktors ist ungerade) so findet ein Vorzeichenwechsel der Funktion statt, bei ungerader Ordnung nicht.

7 7 5.3.Vertiefen der Funktionenlehre Überblick über die bisher bekannten Funktionstypen:. Lineare Funktionen. Quadratische Funktionen 3. Ganzrationale Funktionen 4. Gebrochen rationale Funktionen 5. Eponentialfunktionen 6. Trigonometrische Funktionen Achsensymmetrie: Gleich weit vom Nullpunkt entfernte Werte besitzen stets den gleichen Funktionswert: f() f(-) Punktsymmetrie: Gleich weit vom Nullpunkt entfernte Werte besitzen stets den betragsmäßig gleichen Funktionswertaber verschiedene Vorzeichen: f() -f(-) Konvergenz: Kommen die Funktionswerte f() einer Funktion für beliebig groß werdende Werte einer Zahl a beliebig nahe, so nennt man a den Grenzwert der Funktion für gegen plus unendlich ( + ). Schreibweise: f ( ) a. Die Gerade y a ist waagrechte Asymptote des Graphen von f. Entsprechend ist der Grenzwert einer Funktion f für - definiert. Beispiel: 0 lim + Zur Bestimmung des Grenzwertes einer gebrochen rationalen Funktion teilt man jedes Glied des Zählers und des Nenners durch die höchste Nennerpotenz: lim lim lim Funktionen die keinen Grenzwert für gegen plus oder minus unendlich besitzen heißen divergent. Ganzrationale Funktionen vom Grad > 0 sind grundsätzlich divergent. Entscheidend ist dabei wieder die Potenz mit dem höchsten Eponenten (siehe 5.) Verschieben, Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen: f() a g(b( - c)) + d a : Streckung bzw. Stauchung in y Richtung b : Streckung bzw. Stauchung in Richtung c : Verschiebung in Richtung d : Verschiebung in y Richtung ultiplikation der Funktionswerte mit (-) bewirkt eine Achsenspiegelung an der Achse. g() - f() bedeutet, dass die Graphen von g und f achsensymmetrisch zur Achse sind. g() f(-) bedeutet, dass die Graphen von g und f achsensymmetrisch zur y Achse sind. +