H Dreiecke und Vierecke

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1 H Dreieke und Viereke 1 eziehungen zwishen Seiten und Winkeln im Dreiek In einem Dreiek liegt der längsten Seite der größte Winkel gegenüer. Umgekehrt liegt dem größten Winkel uh die längste Seite gegenüer. Entsprehend gilt: In einem Dreiek liegt der kürzesten Seite uh der kleinste Winkel gegenüer und umgekehrt. ddierst du die Längen zweier Dreieksseiten, dnn ist diese Summe stets größer ls die Länge der dritten Seite. Es gilt lso: + > und + > und + > (Dreieksungleihung). Die Summe der Innenwinkel eines Dreieks eträgt = 180 eispiel Von einem noh niht gezeihneten Dreiek weißt du shon: Der Winkel ist 66 groß, ist 55 groß und die Seite ist 6,0 m lng. ) Ws weißt du von dem Dreiek lles, evor du es konstruierst? ) Knnst du es üerhupt konstruieren? ) Der Winkel ist = 69 groß. ist der größte Winkel des Dreieks. Dmit ist die längste Seite im Dreiek und die dem Winkel gegenüerliegende Seite die kürzeste. ) Ds Dreiek ist konstruierr. Du würdest mit der Seite eginnen und drn die Winkel und ntrgen. ufge 1. Entsheide, o folgende Vorgen zu einem Dreiek pssen. ) Der Winkel ist 70, ist 60 groß. Die längste Seite ist. ) Die drei Winkel sind 60, 70 und 80 groß. ) Die Seite ist 3 m lng, Ferner gilt = 75, =

2 2 Kongruenzsätze Dreiekskonstruktionen Dreieke sind elementre Figuren. Vieleke lssen sih in Drei eke zerlegen oder us ihnen ufuen. Die Kongruenzsätze stellen fest, unter welhen edingungen zwei Dreieke kongruent sind. Gleihzeitig knn mn us ihnen shließen, o ein Dreiek us estimmten gegeenen Stüken eindeutig konstruierr ist oder niht. 1. Kongruenzstz (SSS) Zwei Dreieke sind kongruent, wenn sie in llen drei Seiten üereinstimmen. 2. Kongruenzstz (SWS) Zwei Dreieke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeshlossenen Winkel üereinstimmen. 3. Kongruenzstz (ssw) Zwei Dreieke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und in dem Winkel üereinstimmen, welher der längeren Seite gegenüer liegt. 4. Kongruenzstz (WSW zw. SWW) Zwei Dreieke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und zwei gleih liegenden Winkeln üereinstimmen. Präge dir die Kongruenzsätze gut ein. Sie sind in der Geometrie sehr wihtig. Die uhstentrios sind eine gute Merkhilfe. Tipp Von zwei Dreieken ( und ) sind gegeen: 1 = 2,1 m, 1 = 3,5 m, 1 = 30 und 2 = 2,1 m, 2 = 3,5 m, 2 = Sind die eiden Dreieke kongruent? : In der ildung siehst 2 2 du zu deiner Üerrshung, dss die ntwort nein ist. Es liegt kein Kongruenzfll vor, weil hier zwei Seiten und 1 1 der Gegenwinkel der kürzeren Seite gegeen sind eispiel 1 65

3 H Dreieke und Viereke eispiel 2 Knn mn us den gegeenen Stüken ein Dreiek eindeutig konstruieren? Weißt du lso vor eginn der Konstruktion, dss es genu ein estimmtes Dreiek geen wird, niht zwei oder mehr oder gr keins? ) = 2 m; = 3 m; = 4 m ) = 42 ; = 62 ; = 76 ) = 3,2 m; = 4,8 m; = 28 d) = 3,2 m; = 4,8 m; = 28 ) Es git genu eine. Kongruenzfll SSS. ) Es git unendlih viele en. WWW ist kein Kongruenzfll. ) Es knn eine oder zwei oder uh gr keine geen. SsW ist kein Kongruenzfll. d) Es git genu eine. Kongruenzfll SWS. ufgen 2. Konstruiere ein Dreiek. Lege vorher eine Proefigur n. ) = 5,6 m; = 3,1 m; = 6,2 m ) = 75 ; = 42 ; = 6,2 m Tipp Kontrolliere stets deine Zeihnungen, indem du die Größen der Winkel und die Längen der Seiten misst, die niht gegeen sind, und deine Messwerte mit denen im steil vergleihst. 3. Konstruiere ein Dreiek und eshreie deine Konstruktion. ) = 5,8 m; = 36 ; = 68 ) = 29 ; = 77 ; = 3,2 m 4. Konstruiere ein Dreiek. Gi uh Proefigur zu 4. ) eine Konstruktionseshreiung. ) = 4,4 m; = 82 ; = 7,0 m ) = 8,1 m; = 5,9 m; = Konstruiere ein gleihshenkliges Dreiek mit den Shenkeln und und den siswinkeln und. ) = 6,4 m; = 71 ) = 5,0 m; = 65 ) = 4,0 m; = 125 Proefigur zu 5. ) 6. Konstruiere ein rehtwinkliges Dreiek mit = 90. ) = 3,0 m; = 5,0 m ) = 3,1 m; = 66 66

4 3 esondere Dreieke und Viereke esondere Dreieksformen gleihshenkliges rehtwinkliges Dreiek gleihseitiges Dreiek gleihshenkliges Dreiek llgemeines rehtwinkliges Dreiek Ds rehtwinklig-gleihshenklige Dreiek und ds gleihseitige Dreiek sind Sonderfälle des gleihshenkligen Dreieks. Die drei zusmmen ilden die Klsse der hsensymmetrishen Dreieke. er kein Dreiek ist punktsymmetrish. Untersuhe ds gleihshenklige Dreiek. Wie definiert mn es? Unter welhen edingungen entstehen kongruente gleihshenklige Dreieke? Nenne wihtige Eigenshften der Figur. eispiel Definition: Ein Dreiek, in dem zwei Seiten gleih lng sind, heißt gleihshenkliges Dreiek. Die gleih lngen Seiten heißen Shenkel, die dritte Seite heißt sis. Zwei gleihshenklige Dreieke sind kongruent, wenn sie in der Länge eines Shenkels und der sis oder wenn sie in der Größe eines siswinkels und der Länge einer Seite oder in der Größe des Winkels n der Spitze und der Länge einer Seite üereinstimmen. Ds gleihshenklige Dreiek ist hsensymmetrish. Die siswinkel sind gleih groß. 7. ei zwei Dreieksformen genügt eine Seitenlänge, um ein gnz estimmtes Dreiek zu zeihnen. egründe. ufgen 8. Formuliere einen speziellen Kongruenzstz für gleihseitige Dreieke (für rehtwinklig-gleihshenklige Dreieke). 9. Spiegele ein gleihshenkliges Dreiek n seiner sis und untersuhe die entstndene Gesmtfigur. 67

5 H Dreieke und Viereke 4 esondere Linien im Dreiek lle Punkte, die von den Shenkeln eines Winkels den gleihen stnd hen, liegen uf der Winkelhlierenden des Winkels (Ortslinienstz). Die Winkelhlierenden eines Dreieks shneiden sih in einem Punkt, dem Mittelpunkt M I des Inkreises. lle Punkte, die von zwei Punkten und gleihe Entfernungen hen, liegen uf der Mittelsenkrehten der Streke }} (Ortslinienstz). Die Mittelsenkrehten der drei Dreieks seiten shneiden sih in einem Punkt, dem Mittelpunkt M U des Umkreises. w w w r i m m m eispiel Kommentiere die ildfolge. I II III M U M U M U Die Dreieke hen die gleihe Seitenlänge = = 3,4 m. Der hervorgehoene Winkel ist in. I spitz, in. II ein rehter und in. III stumpf. Der Mittelpunkt M U liegt in I innerhl des Dreieks, in II uf der Seite, in III ußerhl des Dreieks. In II ist der Umkreis ein Thles-Kreis. ufgen 10. Konstruiere ein Dreiek us = 3,2 m; = 2,9 m; = 5 m. Konstruiere dnn die Winkelhlierenden w und w, dnh den Inkreis des Dreieks. 11. Konstruiere ein Dreiek us = 5 m, = 77 und = 44. estimme den Mittelpunkt M U des Umkreises und zeihne ihn ein. 68

6 4 esondere Linien im Dreiek Rehts siehst du, wie mn eine Höhe (z.. h ) in einem Dreiek konstruiert. Höhen stehen senkreht uf den Seiten (zw. uf deren Verlängerung). h git den stnd des Ekpunktes von seiner Gegenseite n. Die Höhen eines Dreieks shneiden sih in einem Punkt. h Die Verindungsstreke eines Ekpunkts mit dem Mittelpunkt der gegenüer liegenden Seite heißt s s Seitenhlierende. Die Seitenhlierenden eines s Dreieks shneiden sih in einem Punkt S, dem Shwerpunkt des Dreieks. Sie werden deshl uh Shwerelinien gennnt. Die Seitenhlierenden teilen sih im Verhältnis 2 : 1. s Konstruiere ein Dreiek us = 4 m; = 68 und h = 2,5 m. eispiel Zeihne } = = 4 m. Konstruiere dzu h eine Prllele im stnd h = 2,5 m. uf dieser Prllelen muss der Punkt liegen. Trge n im Punkt den Winkel n. Der freie Shenkel dieses Winkels shneidet die Prllele in. Verinde mit. ist ds gesuhte Dreiek. 12. Es git eine Dreieksform, ei der die Mittelsenkrehten der Seiten, die Winkelhlierenden, die Höhen und die Seitenhlierenden zusmmenfllen. Wie heißt sie und wrum ist dies so? ufgen 13. Konstruiere ein Dreiek us } = = 2,9 m, = 72 und h = 3,8 m. Tipp: Zeihne eine Proefigur! eginne die Konstruktion mit einem Streifen der reite h = 3,8 m. 14. Konstruiere ein Dreiek us Proefigur = 6,1 m; = 6,7 m; s = 6,3 m. Tipp: In der Proefigur erkennst du: Ds Teildreiek X lässt sih us den Seiten, } 2 und s konstruieren. X s } 2 69

7 H Dreieke und Viereke 5 esondere Viereksformen In der Üersiht der Viereke fllen zunähst die vier punktsymmetrishen Viereksformen uf. Sie esitzen einen Mittelpunkt und gehen ei einer Hldrehung um diesen Punkt in sih üer. is uf ds Prllelogrmm M sind lle geildeten Viereke hsensymmetrish. Qudrt Ds Qudrt esitzt vier Spiegelhsen, Rehtek und Rute hen zwei Spiegelhsen. M M In den Viereken links sind Rehtek Rute die hsen zugleih Mittellinien der Viereke, in den Viereken rehts M sind sie Digonlen. gleihsh. Trpez Prllelogrmm Drhen eispiel Ds gleihshenklige Trpez esitzt zwei Pre gleih großer Nhrwinkel und ein Pr gleih lnger Seiten. Ds gegenüerliegende Drhenvierek esitzt zwei Pre gleih lnger Seiten und ein Pr gleih großer Winkel. Sie hen ihre Winkel- und Seiteneigenshften usgetusht. Zeige, dss dies uh für Rehtek und Rute gilt. Ds Rehtek esitzt vier gleih große Winkel und zwei Pre gleih lnger Seiten. Die Rute ht entsprehend vier gleih lnge Seiten und zwei Pre gleih großer Winkel. ufgen 15. Formuliere Definitionen für die Viereksformen Qudrt, Rehtek, Rute und Prllelogrmm. 16. eweise, dss ein gleihshenkliges Trpez zwei Pre gleih großer Nhrwinkel esitzt. 17. us vier kongruenten rehtwinkligen Dreieken knn mn eine Rute uen. Wrum ist dies möglih? 70

8 5 esondere Viereksformen d D M U Links siehst du ein Sehnenvierek und rehts ein Tngentenvierek. Ein Sehnenvierek esitzt einen Umkreis, ein Tngentenvierek einen Inkreis. d D M i eweise den Stz: In einem Sehnenvierek ergänzen sih die gegenüer liegenden Winkel zu 180. : Mn zeihnet die Rdien }} M, }} M, }} M und }} MD ein. Es entstehen vier gleihshenklige Dreieke und es ist 2 = 1 ; 2 = 1 ; usw. Ferner ist: = = d und = 2 + d 1. Drus folgt: + = d d 1 = + d. D die Summe der Innenwinkel eines Viereks 360 eträgt, gilt + = 180 = + d. D d 1 g 2 d 2 g 1 M U eispiel 18. Erläutere, dss Qudrt, Rehtek und gleihshenkliges Trpez Sehnenviereke sind. Welhe Spezilfälle sind Tngentenviereke? ufgen 19. Zur Konstruktion eines llgemeinen Viereks ruhst du fünf voneinnder unhängige Stüke, ei einem llgemeinen Sehnenvierek nur vier. Zeige dies durh die Konstruktion eines Sehnenviereks us ) = 4,2 m; = 3,6 m; = 112 ; = 62 ) = 4,2 m; = 3,6 m; = 2,8 m; = 62 Untersuhe, o die eindeutig ist, egründe deine ntwort. 20. Zeige: Je mehr Symmetriehsen eine Viereksform esitzt, desto weniger voneinnder unhängige Stüke ruhst du zur Konstruktion eines konkreten Viereks. Vergleihe dzu die Konstruktion eines Drhenviereks und einer Rute. Gegeen sei in eiden Fällen = 60. Wähle weitere Stüke so, dss es jeweils eine eindeutige git. 71

9 H Dreieke und Viereke 6 egründen und eweisen eispiel 1 egründe, wrum du us den gegeenen Stüken kein Dreiek konstruieren knnst. ) = 4 m; = 5 m; = 10 m ) = 4 m; = 5 m; = 92 ) Die Dreieksungleihung ist niht erfüllt. Es müsste + > sein. In diesem Fll ist er + = 9 m, und ds ist kleiner ls 10 m. ) wäre der größte Winkel im Dreiek. Ds er ist niht möglih, weil die Gegenseite dieses Winkels kürzer ls die Seite ist. eispiel 2 eweise, dss in einer Rute die gegenüer liegenden Winkel gleih groß sind. Vorussetzung: Die Rute esitzt zwei Spiegelhsen, die zugleih Digonlen des Viereks sind. eweis: ei der Spiegelung n den hsen gehen die gegenüer liegenden Winkel jeweils ineinnder üer, sind lso gleih groß. ufgen 21. egründe folgende ussgen. ) Ein gleihseitiges Dreiek knn niemls einen rehten Winkel hen. ) Ein Qudrt ist immer eine Rute. ) Die Summe der Winkel in einem Vierek eträgt immer eweise den folgenden Stz: Die Verindungsstreke zweier Seitenmitten eines Dreieks ist prllel zur dritten Seite und hl so lng wie diese. Tipp: Zeihne zunähst eine Proefigur. 23. Gegeen ist ein gleihseitiges Dreiek. uf den Seiten sind die Streken } X = } Y = } Z getrgen. eweise: Ds Dreiek XYZ ist gleihseitig. Z X Y 24. In der Üersiht der Viereksformen uf Seite 70 ist die nordnung der einzelnen Viereke niht zufällig so gewählt worden, sondern nh estimmten Gesetzmäßigkeiten vorgenommen. Erläutere dies! Tipp: Nimm ls Kriterien z.. Sonderfll llgemeiner Fll oder nzhl der Spiegelhsen. 72

10 Proe-Klssenreit: Dreieke und Viereke 1. Von einem Dreiek sind gegeen (1) = 70 ; = 45 ; = 5,0 m; (2) = 75, = 3,0 m; = 5,0 m. ) Git es eindeutige en? egründe deine ntwort! ) Konstruiere die eiden Dreieke, miss die Größen der niht gegeenen Stüke. 2. Konstruiere ein gleihshenklig-rehtwinkliges Dreiek mit = 90 us ) = = 3,8 m; ) = 6,0 m. Gi eine Konstruktionseshreiung. 3. Wrum lssen sih Dreieke us den folgenden Mßen niht konstruieren? ) = 4,5 m; = 2,4 m; = 7 m ) = 92 ; = 101 ; = 3 m 4. uer Niederer ht die Grenzen seiner Wiese n der Spitze in einer Skizze festgehlten. ) Zeihne ds Flurstük mßstsgereht. ) Wie lng ist die Streke } TU? ) Wie weit ist der kürzeste Weg von T zur gegenüerliegenden Strße? 5. Von einer Rute sind gegeen (1) = 55 ; = 2,8 m (2) = 55 ; = 125 ) Git es ei der Konstruktion eine eindeutige? egründe deine ntwort. ) Wenn j, dnn konstruiere ds Vierek, miss die Größen der niht gegeenen Winkel und Seiten und gi diese n. 6. Die Rute ist ein Sonderfll des Prllelogrmms. egründe diesen Stz. 73