3. Ganzrationale Funktionen

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1 3. Gnzrtionle Funktionen ) Definitionen und Beispiele Definition: Eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht ls Definitionsterm ein Polynom n-ten Grdes, d.h. y = f() = n n n-1 n n 0, i ( i = 1, n) n y = f() = i= 0 i i Beispiele: 1) y = f() = π Grd 5 2) y = f() = Grd 1 Gegenbeispiele: Keine gnzrtionlen Funktionen sind 1) y = -1, y = -2 usw. 2) y = 0.5, y = usw. 3) y = sin, y = cos, y = tn, y = rc sin usw. 4) y = e, y = ln usw. Stz: Summe, Differenz und Produkt von gnzrtionlen Funktionen sind wieder gnzrtionle Funktionen. Beweis: direkt us der Definition und den Rechenregeln Beispiele: u() = 2 2 Grd 2 v() = 1 Grd 1 u() v() = Grd 2 u() v() = Grd 3 Bechte: Der Quotient zweier gnzrtionlen Funktionen ist im llgemeinen u() 1 keine gnzrtionle Funktion, z.b. u() = 1, v() = ; y = = v() b) Nullstellen von gnzrtionlen Funktionen Definition: 1 ist Nullstelle der Funktion mit Gleichung y = f(), flls f( 1 ) = 0 ist. Zerlegungsstz Ist 1 Nullstelle der gnzrtionlen Funktion mit y = f() vom Grde n, so ist f() durch 1 teilbr. Beweis: f() f( 1 ) = n n n-1 n ( n 1 n n-1 1 n ) = n ( n 1 n ) n-1 ( n-1 1 n-1 ) 1 ( 1 ) = f() - 0 (B.Berchtold) 1

2 Wir hben früher gezeigt (bei der Ableitung f ( 1 ) von y = f() = n ), dss sich ( n 1 n ) durch ( 1 ) teilen lässt (für lle n ) Also ist der Term links des Gleichheitszeichens durch ( 1 ) teilbr und somit uch derjenige rechts. Beispiel: y = f() = Errten: 1 = 1 ist Nullstelle Polynomdivision f() : ( 1) = (selber!) Definition: Ist 1 p-fche Nullstelle der gnzrtionlen Funktion mit Gleichung y = f(), flls f() durch ( 1 ) p teilbr ist. " p-fches Absplten des Linerfktors ( 1 ) " Beispiel: In y = f() = ( 3) 2 ( 5) 4 ( 1) ist -5 vierfche, 3 zweifche und 1 einfche Nullstelle (f ht Grd 7) Aus dem Zerlegungsstz folgt der Nullstellenstz Eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht höchstens n Nullstellen. (p-fche Nullstellen werden dbei uch p-fch gezählt) Aufgbe Der Grph G f von y = f() = und der Grph G g von y = g() = schneiden sich im Punkt S(2/?). Bestimme die übrigen Schnittpunkte. Ordinte y S = = -52, lso S(2/-52) S G g : -52 = 2, lso = -26 Schnittgleichung: = -26 ist äquivlent zur Nullstellengleichung: = 0 D 1 = 2 Lösung dieser Gleichung, so ist durch ( 2) teilbr: ( ) : ( 2) = (selber!) Weitere Lösungen dieser Gleichung: = ( 3) ( 4) = 0, lso 2 = 3 und 3 = 4 und dmit y 2 = = -78 und y 3 = = -104 Resultt: S(2/-52), S 2 (3/-78) und S 3 (4/-104) Zum Suchen einer Nullstelle hilft etw der folgende Stz: Ht die Gleichung 1 n n-1 n = 0 eine gnzzhlige Lösung 1 und sind lle i ( i = 0,1,..n-1), so ist 1 ein Teiler von 0. Beweis: 1 1 n n-1 1 n = ist Teiler der gnzzhligen linken Seite, lso uch der rechten Seite. (B.Berchtold) 2

3 c) Kurvendiskussion Gegeben: Gnzrtionle Funktion mit Gleichung y = f() Gesucht: Grph G f mit speziellen Punkten () Verhlten im ± Unendlichen f() = n n n-1 n = n ( n n 1 n n 1 0 n ) Für ± geht die Klmmer ( ) n Ds Verhlten von f() ist lso nur vom Term n n bhängig! Folgerung: ( typische Vertreter y = 2, y = - 2, y = 3, y = - 3 ) n gerde n ungerde n > 0 f() ( ± ) f() ( ) f() - ( - ) n < 0 f() - ( ± ) f() - ( ) f() ( - ) Folgerung: Jede gnzrtionle Funktion ungerden Grdes ht mindestens eine Nullstelle. (b) Symmetrie (b1) Symmetrie zur y-achse Grph G f einer Funktion mit Gl. y = f() ist symmetrisch zur y-achse, flls gilt: f() = f(-) für lle D f Figur: selber! Folgerung: Treten in der Gleichung einer gnzrtionlen Funktion nur gerde Eponenten von uf, so ist der Grph symmetrisch zur y-achse Beispiel: G f von y = f() = {vgl. uch etw früher: G f von y = f() = cos ist symmetrisch zur y-achse: cos ist eine 'gerde' Funktion} (b2) Punktsymmetrie zum Ursprung bzw. zum Punkt (0/c) Grph G f einer Funktion mit Gl. y = f() ist symmetrisch zum Ursprung, flls gilt: f() = -f(-) für lle D f (B.Berchtold) 3

4 Figur: selber! Folgerung: Treten in der Gleichung einer gnzrtionlen Funktion nur ungerde Eponenten von uf, so ist der Grph punktsymmetrisch zum Ursprung Beispiel: G f von y = f() = ist punktsymmetrisch zu (0/0) {vgl. uch etw früher: G f von y = f() = sin ist punktsymmetrisch zu (0/0): sin ist eine 'ungerde' Funktion} Ausbu: G g von y = g() = ist punktsymmetrisch zu (0/3), d G g der um 3 nch oben verschobene Grph G f ist. (c) Monotonie (c1) f'() > 0 für Intervll I Grph G f ist monoton steigend in I Steigung der Tngente n G f in jedem Punkt ( 0 / f( 0 )) positiv (c2) f'() < 0 für Intervll I Grph G f ist monoton fllend in I Steigung der Tngente n G f in jedem Punkt ( 0 /f( 0 )) negtiv (d) Krümmung (d1) f''() > 0 für I G f' ist monoton steigend in I G f ist linksgekrümmt (B.Berchtold) 4

5 "Je grösser, desto grösser die Steigungen der Tngenten". Flls zusätzlich gilt: Es eistiert 0 mit f'( 0 ) = 0, so besitzt G f einen Tiefpunkt T( 0 /f( 0 )). y 0 = f( 0 ) ist dnn reltives Minimum in I. Ds Kriterium f''( 0 )>0 ist hinreichend, ber nicht notwendig für Eistenz von T: Beispiel: y = f() = 4. G f ht T(0/0), ber f''(0) = = 0 (d2) f''() < 0 für I G f' ist monoton fllend in I G f ist rechtsgekrümmt "Je grösser, desto kleiner die Steigungen der Tngenten". Flls zusätzlich gilt: Es eistiert 0 mit f'( 0 ) = 0, so besitzt G f einen Hochpunkt H( 0 /f( 0 )). y 0 = f( 0 ) ist dnn reltives Mimum in I. Ds Kriterium f''( 0 )<0 ist hinreichend, ber nicht notwendig für Eistenz von H: Beispiel: y = f() = - 4. G f ht H(0/0), ber f''(0) = = 0 (e) Wendepunkt Definition: W( 0 /f( 0 )) ist Wendepunkt von G f, wenn dort die Krümmung ändert (von Rechts- zu Linkskrümmung oder umgekehrt) Ht ein Wendepunkt eine Horizontltngente, so heisst er Terrssenpunkt oder Sttelpunkt. f''( 0 )=0 ist notwendige Bedingung für Eistenz von W, ber nicht hinreichend: Beispiel: y = f() = 4. f''(0) = = 0, ber G f ht T(0/0) und nicht Wendepunkt Zwei Möglichkeiten für hinreichende Kriterien für die Eistenz von W: 1) direkt us Definition: ε>0: f''( 0 - ε) f''( 0 ε) < 0 (Vorzeichenwechsel von f'') 2) f'''( 0 ) 0 (Änderung der zweiten Ableitung) Möglichkeit 2) ist ber wiederum nicht notwendig: Beispiel: y = f() = 5. G f ht W(0/0), ber f'''(0) = = 0 (B.Berchtold) 5

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