Technische Mechanik 2 Festigkeitslehre. Kapitel : Torsion

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1 Technische Mechanik 2 Festigkeitslehe Kapitel : Tosion Pof. D. Alexande Jickeli Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 1 Lenziele Schubspannungen die aufgund von Tosionsbelastungen entstehen beechnen können Vedehwinkel die bei Tosionsbelastung entstehen beechnen können Statisch unbestimmte Bauteile unte Tosionsbelastung beechnen können. Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 2

2 Anwendungsbeispiele Hibbele, S. 220 Hibbele, S. 236 Hibbele, S. 237 Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 3 Tosionsvefomung von Wellen Tosionsmoment vedeht Queschnitte gegeneinande (um die Längsachse). Achsen, Wellen, etc. Annahmen: Linea elastische Vefomung Ebene Schnitte bleiben eben und unvefomt. Hibbele, S. 221 Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 4

3 Eingespannte Welle vezet sich in de dagestellten At und Weise Tosionsvefomung von Wellen Hibbele, S. 222 Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 5 Tosionsvefomung von Wellen Betachtung eines Volumenelementes mit adialem Abstand ρ von de Wellenachse Beechnung des Gleitwinkels γ γ = π/2 - lim θ` fü A und D A Nach Genzübegang folgt γ = ρ * dф/dx ode γ = ρ/ * γ max Hibbele, S. 223 Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 6

4 Tosionsschubspannungen Äußees Dehmoment veusacht innees Tosionsmoment Wichtig ist de Zusammenhang zu den koespondieenden Schubspannungen Hooksches Gesetz: τ = G * γ lineae Ändeung de Gleitung bewikt lineae Zunahme de Schubspannung τ = ρ/ * τ max Hibbele, S. 224 Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 7 Tosionsschubspannungen An jedem Flächenelement da wikt die Kaft df = τ da Tosionsmomente dt = ρ df = ρτda Integation übe die ganze Queschnittsfläche liefet ρ τ max 2 T = ρτda = ρ τ maxda = ρ da A A A Das Integal entspicht hie dem polaen Flächenmoment zweite Odnung J (auch I) um die Längsachse de Welle. τ max Hibbele, S. 224 = T J Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 8

5 Tosionsschubspannungen Gleichheit zugeodnete Schubspannungen ezwingt auch Schubspannungen in Längsschnitten de Welle. Hibbele, S. 226 Hibbele, S. 226 Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 9 Übungsaufgaben: Beispiel 1 Eine Vollwelle mit de Radius ist einem Tosionsmoment T ausgesetzt. Bestimmen Sie den Anteil von T, de innehalb des äußeen Beeiches de Welle aufgenommen wid. Diese Beeich habe den Innenadius /2 und den Außenadius. Hibbele, S. 231 Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 10

6 Übungsaufgaben: Beispiel 1 Spannung ändet sich in adiale Richtung de Welle linea. Das Tosionmoment eine Ringfläche egibt sich entspechend zu dt` = ρ (τ * da) = ρ (ρ/) τ max 2πρd ρ τ max 3 τ max 1 4 T = 2π d 2 ρ ρ = π ρ 4 2 τ τ T = π = 2π π 3 T = τ max max 4 4 max 4 2 Hibbele, S. 231 Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 11 Übungsaufgaben: Beispiel 1 T T 2T Übe τ max = = = 3 J π 4 π 2 folgt 15π 3 15π 2T 3 T = τ max = = π 15 T 16 Hibbele, S. 231 De äußee Beeich nimmt ca. 94 % des Tosionmomentes auf. Außen befindliches Mateial ist wikungsvoll bei de Aufnahme von Tosionsmomenten Hohlwellen Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 12

7 Übungsaufgaben: Guppenübung 1 Die dagestellte Welle wid von 2 Lagen gestützt und ist dei Dehmomenten ausgesetzt. Bestimmen Sie die fü zwei im Schnitt a-a liegende Punkte A und B die auftetenden Schubspannungen. Dabei liegt A auf dem Außenadius de Welle, B ist 15 mm von de Wellenachse entfent. M1 = 4250 knm, M2 = 3000 knm, M3 = 1250 knm, = 75 mm Hibbele, S. 232 Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 13 Übungsaufgaben: Übung 1 Das dagestellte Roh hat einen Innenduchmesse d i und einen Außenduchmesse d a. Das Ende wid in das Lage bei A mit Hilfe eines bei B angesetzten Dehmomentenschlüssels eingeschaubt. Bestimmen Sie die Schubspannungen, die an dem Mateial an den Innen- und Außenwänden in de Mitte des Rohes ezeugt weden, wenn de Dehmomentschlüssel an Hibbele, S. 233 unteschiedlichen Hebelamen l 1 und l 2 mit de Kaft F gedeht wid. F = 80 kn, d i = 80 mm, d a = 100 mm, l 1 = 300 mm, l 2 = 200 mm Eigenabeit! Zu Hause! Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 14

8 Leistung von Antiebswellen Leistung ist definiet als geleistete Abeit / Zeit In Wellen ist die übetagene Abeit gleich dem Tosionsmoment Momentane Leistung P = Tdθ/dt ode P = T ω Damit kann die Dimensionieung von Wellen efolgen, sofen bestimmte Leistungs- und Mateialpaamete vogegeben sind (z.b. P, ω und τ zul ). J/ = T/τ zul Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 15 Vedehwinkel dφ = γ dx ρ dφ = T(x) J(x)G dx Hibbele, S. 237 Hibbele, S. 237 Integation übe die Länge liefet L Φ = T ( x) dx J ( x G 0 ) Hibbele, S. 238 Bei konstantem Tosionsmoment und konstantem Queschnitt egibt sich T L Φ = J G Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 16

9 Vedehwinkel Vozeichenkonvention Hibbele, S. 239 Hibbele, S. 239 M A = 80 Nm, M B = 150 Nm, M C = 60 Nm, M D = 10 Nm Hibbele, S. 240 T AB = 80 Nm, T BC = -70 Nm, T CD = -10 Nm Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 17 Übungsaufgaben: Übung 2 Die auf eine am Ende E fest eingespannten Welle angebachten Zahnäde sind den dagestellten Dehmomenten ausgesetzt. Bestimmen Sie bei gegebenem Schubmodul G und Wellenduchmesse d die Veschiebung des Zahns P auf dem Zahnad A in Umfangsichtung. Die Hibbele, S. 242 Welle ist in B fei dehba. G = 80 GPa, d = 14 mm, M A = 150 Nm, M C = 280 Nm, M D = 40 Nm, l AC = 0,4 m, l CD = 0,3 m, L DE = 0,5 m, A = 100 mm Eigenabeit! Zu Hause! Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 18

10 Übungsaufgaben: Übung 3 Ein Pfosten mit Vollkeisqueschnitt aus Metallguss (Schubmodul G) mit dem Duchmesse d ist auf die Tiefe l 1 in den Boden eingegaben. Bestimmen Sie die maximale Schubspannung im Pfosten und den Vedehwinkel des obeen Endes gegenübe dem unteen Ende, wenn auf ihn übe den staen Schaubenschlüssel ein Dehmoment wikt. Nehmen Sie an, dass de Boden einen gleichmäßigen Tosionswidestand m T entlang de Länge l 1 übetägt und de Pfosten sich geade noch nicht in Bewegung setzt. F = 100 N, G = 40 (10 3 ) MPa, d = 50 mm, l 1 = 600 Hibbele, S. 245 mm, l 2 = 900 mm, a = 150 mm. Eigenabeit! Zu Hause! Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 19 Statisch unbestimmt gelagete tosionsbeanspuchte Bauteile Anwendung de Gleichgewichtsbedingungen und de Kompatibilitätsbedingungen Gleichgewicht: Feiköpebild zeigt alle wikenden Tosionsmomente. Damit weden die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Kompatibilitätsbedingungen Beücksichtigung von Vefomungsbehindeungen Ausdücken de Kompatibilität duch Vedehungen und Anwendung de Tosionsmoment - Vedehungs- Beziehung (z.b. Φ = TL/JG) Auflösen de ehaltenen Gleichungen nach den Reaktionsmomenten Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 20

11 Statisch unbestimmt gelagete tosionsbeanspuchte Bauteile Beispiel 2 Die dagestellte Vollwelle aus Stahl hat den Duchmesse d. Bestimmen Sie die Reaktionsmomente an den festen Einspannungen A und B, wenn zwei äußee Dehmomente wiken. Gleichgewicht: Feiköpebild zeigt statische Unbestimmtheit. M x = 0 -M B +M C -M D -M A = 0 (1) M A = - M B + M C -M D Kompatibilität: Gesamte Dehwinkel muss Null sein! Φ A/B = 0 Es gibt dei Beeiche de Welle übe diese wid mit Φ = TL/(JG) summiet. (2) M Bl1 ( M A + M D ) l2 M Al3 + + = 0 JG JG JG Auflösen von (1) und (2) egibt M B = 645 Nm, M A = -345 Nm Hibbele, S. 250 Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 21 Übungsaufgaben: Übung 4 Die dagestellte Welle besteht aus einem Stahloh mit einen fest vebundenen Messingken. Stellen Sie die Schubspannungsveteilung längs eine adial velaufenden Linie in de Queschnittsfläche bei Einwikung eines Dehmomentes M T gafisch da. MT = 250 Nm, l = 1,2 m, i = 10 mm, a = 20 mm, G St = 80 GPa, G Me = 36 GPa Hibbele, S. 251 Eigenabeit! Zu Hause! Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 22

12 Kebwikung bei Tosionsbeanspuchung Es wid die gleiche Vogehensweise wie bei Zug/Duck angewandt. Hibbele, S. 265 τ max T = K J Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 23 Übungsaufgaben: Beispiel 3 Die dagestellte Welle ist in A und B gelaget. Bestimmen Sie die maximale Schubspannung in de Welle infolge de einwikenden Dehmomente. De Kebadius am Übegang de Wellensegmente hat den Radius K. M 1 = 30 Nm, M 2 = 60 Nm, 1 = 20 mm, 2 = 40 mm, K = 6mm Hibbele, S. 267 Innees Tosionsmoment M 1 -T = 0 T = 30 Nm Maximale Schubspannung: Geometie liefet D/d = 2; K / d = 0,15 K = 1,3 Aus τ max = K * T * /J folgt Ti (30Nm)(0,020m) τmax = K = 1,3 = 3, 1MPa π 4 π i (0,020m) Pof. D. Alexande Jickeli 2006 Technische Mechanik 2 - Tosion 24