2.8. Aufgaben zum Satz des Pythagoras

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1 Aufgbe 1 Vervollständige die folgende Tbelle:.8. Aufgben zum Stz des Pythgors Kthete Kthete b Hypotenuse c Aufgbe Berechne jeweils die Länge der dritten Seite: Aufgbe 3 Zeichne die Punkte P und Q jeweils in ein Koordintensystem mit der Längeneinheit 1 cm ein und bestimme ihren Abstnd durch Zeichnung und Rechnung. ) P( 1) und Q(5 5) b) P( 3 4) und Q( 1) c) P( 3 1) und Q(0 4) d) P(3 0) und Q( 4 0) Aufgbe 4 Um zwei sich berührende Leisten rechtwinklig uszurichten, misst der Tischler uf der einen Leiste 90 cm und uf der nderen 10 cm b und mrkiert diese Stellen. Dnn werden die beiden Leisten so usgerichtet, dss die Mrkierungen 150 cm Abstnd hben. Erkläre dieses Verfhren. Aufgbe 5 Berechne den Flächeninhlt eines rechtwinkligen Dreieckes ABC mit = 90. ) = 7, cm und b = 5,4 cm b) c = 8,0 cm und h c = 4,5 cm c) = 4,5 cm und c = 7,5 cm d) b =,4 cm und c = 4,0 cm Aufgbe 6 Vervollständige die Tbelle für ein Rechteck mit den Seiten und b, der Digonle d und dem Flächeninhlt A: 3,6 cm,5 cm b,5 cm 1,5 dm d 36 mm A 40 cm Aufgbe 7 Vervollständige die Tbelle für ein Qudrt mit der Seite, der Digonle d und dem Flächeninhlt A: 5 cm d 47 m d A 34 cm A 1

2 Aufgbe 8 Vervollständige die Tbelle für ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkeln, der Bsis c, der Höhe h und dem Flächeninhlt A:,4 cm 4, cm c 1,8 cm,8 dm 3,8 cm m h 3,4 cm 5,4 dm 19,3 dm A 477 mm 700 dm 0,8 m Aufgbe 9 Vervollständige die Tbelle für ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite, der Höhe h und dem Flächeninhlt A: 4 cm h 98 mm h A 4,6 m A Aufgbe 10 ) Welchen Flächeninhlt ht ein gleichseitiges Dreieck mit dem Umfng 1 m? b) Welchen Flächeninhlt ht ein gleichseitiges Dreieck mit der Höhe 1 m? c) Welchen Umfng ht ein gleichseitiges Dreieck mit Flächeninhlt 1 m? d) Welchen Umfng ht ein gleichseitiges Dreieck mit der Höhe l m? Aufgbe 11 0 Ein Gerde ht eine Steigung von 0 % =, wenn sie uf 100 m einen 100 Höhenunterschied von 0 m bewältigt. ) Welche konstnte Steigung müsste eine Strße hben, die einen Höhenunterschied von 157 m uf einer Strecke von 1800 m überwindet? b) Wie lnge wäre eine Strße mindestens, die bei mximl 10 % Steigung einen Höhenunterschied von 157 m überwindet? Aufgbe 1 Wie hoch drf ein Schrnk höchstens sein, dmit mn ihn wie rechts bgebildet durch Kippen ufstellen knn? Aufgbe 13 Beim Bu von Eisenbhnstrecken werden Unebenheiten des Geländes oft durch Dämme usgeglichen. Ein 6,5 m hoher Dmm mit einem Böschungswinkel von 30 soll m Gleisbett 13,7 m breit sein. Wie breit muss die Dmmsohle gewählt werden? Aufgbe 14 Die Kugel eines Gskessels ht einen Rdius von 14 m. Sie soll durch ebenflls 14 m lnge Streben gehlten werden, welche die Kugel berühren. Der tiefste Punkt der Kugel soll 4 m über dem wgerechten Erdboden liegen. Berechne den Abstnd der Punkte A 1 und A in dem die Streben in der Erde befestigt werden. Aufgbe 15 Einem Kreis mit Rdius r wird ein regelmäßiges Sechseck einbeschrieben und ein regelmäßiges Sechseck umbeschrieben. (siehe folgende Seite) ) Berechne den Umfng und den Flächeninhlt beider Sechsecke in Abhängigkeit vom Rdius r. b) Um wie viel Prozent ist der Umfng (Flächeninhlt) des einbeschriebenen Sechsecks kleiner ls beim umbeschriebenen? 14 m 14 m 4 m

3 Aufgbe 16 Einem Kreis mit Rdius r wird ein regelmäßiges Achteck einbeschrieben. Berechne den Umfng und den Flächeninhlt des Achtecks. Aufgbe 17 ) Zeichne zwei Kreise mit den Rdien 3 cm und 4 cm, deren Mittelpunkte 6 cm voneinnder entfernt sind. Konstruiere mit dem Stz des Thles eine gemeinsme Tngente beider Kreise einschließlich ihrer Berührpunkte P und Q. Berechne die Länge der Strecke PQ. b) Löse ), wenn die beiden Kreismittelpunkte 9 cm voneinnder entfernt sind und die Tngente die Verbindungsstrecke der Kreismittelpunkte schneidet. Aufgbe 18 Berechne in den chsensymmetrischen Figuren 1, 11 und 111 den Rdius des dunklen Kreises in Abhängigkeit von. Die Viertelkreise in Figur 11 gehen durch den Mittelpunkt des Qudrtes. Aufgbe 19 Berechne die drei Flächendigonlen d b, d bc und d c eines Quders mit den folgenden Mßen: d b ) = 4 cm, b = 5 cm und c = 6 cm b) = cm, b = 4 cm und c = 6 cm d c d d bc c b Aufgbe 0 Die rechts bgebildete Pyrmide ht eine qudrtische Grundfläche mit der Seitenlänge. Die schrägen Seitenflächen hben die Seitenlänge s und die Seitenhöhe h s. Die Höhe der Pyrmide ist h. Alle Mßngben sind in cm. Vervollständige die Tbelle s h s h h s h s 3

4 Aufgbe 1 Die rechts bgebildete Pyrmide ht ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge ls Grundfläche. Die schrägen Seitenflächen hben die Seitenlänge s und die Seitenhöhe h s. Die Höhe der Pyrmide ist h. Alle Mßngben sind in cm. Vervollständige die Tbelle s h s h h s h s Aufgbe Die rechts bgebildete Pyrmide ht ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge ls Grundfläche. Die schrägen Seitenflächen hben die Seitenlänge s und die Seitenhöhe h s. Die Höhe der Pyrmide ist h. Alle Mßngben sind in cm. Vervollständige die Tbelle s h s h h s h s Aufgbe 3 Eine Fliege sitzt in der rechten unteren Ecke eines Schuhkrtons mit den Mßen = 40 cm, b = 30 cm und c = 0 cm. Berechne die Länge der möglichen Krbbelstrecken d k1, dk und d k3 sowie der Flugstrecke d s zur gegenüberliegenden Ecke. dk3 d k1 d f d k c Aufgbe 4 Beim rheinischen Rutendch bestehen die Dchflächen eines Gebäudes mit qudrtischer Grundfläche us kongruenten Ruten. ) Berechne ncheinnder in Abhängigkeit von und g die Längen s, e und f und zeige, dss h = g gilt. b) Weise nch, dss die Dchfläche den Inhlt A = + 8g ht. c) Können die vier Ruten der Dchfläche Qudrte sein? Aufgbe 5 Ein Gebäude ht eine rechteckige Grundfläche mit den Seitenlängen und 3, die Höhe des Dches ist. Bei den bgebildeten Dächern sind gegenüber liegende Flächen kongruent. Bestimme für diese Dächer ) den Flächeninhlt der gesmten Dchfläche b) die gesmte Länge der Dchknten (d. h. des Dchfirstes und der Dchgrte). b 4

5 .8. Lösungen zu den Aufgben zum Stz des Pythgors Aufgbe 1 Kthete Kthete b Hypotenuse c Aufgbe x = 53, y = 56, z = 0, = 0, b = 10 7, c = 16 6 Aufgbe 3 ) PQ = 5 cm b) PQ = 5 cm c) PQ = 34 cm d) PQ = 7 cm Aufgbe = 150. Aufgbe 5 ) A = 19,44 cm b) A = 18 cm c) b = 6 cm A = 13,5 cm d) = 3, cm A = 3,84 cm Aufgbe 6 Aufgbe 7 Aufgbe 8 Aufgbe 9 3,6 cm,5 cm 1,6 dm b,5 cm 1,05 cm 1,5 dm d 4,38 cm 36 mm,19 dm A 9 cm,6 cm 40 cm 5 cm 33,3 m 5,83 cm 1 d A d 73,54 cm 47 m 8,5 cm d A A 7,04 dm 11,04 34 cm 1 d A,4 cm 4, cm 5,58 dm 3,15 cm 11,7 m 19,74 dm c 1,8 cm 4,93 cm,8 dm 3,8 cm m 8,9 dm h, cm 3,4 cm 5,4 dm,51 cm,45 m 19,3 dm A,00 cm 8,38 cm 7,56 dm 477 mm 700 dm 0,8 m 4 cm 11,3 cm 3,6 m 3 3 h 1 3A 3 h 0,78 cm 98 mm,8 m h 3A A,49 dm 55,4 cm 4,6 m 1 3 h A 3 Aufgbe 10 ) A = 4,8 dm b) A = 57,7 dm c) u = 4,56 m d) u= 3,46 m Aufgbe 11 ) Die Steigung müsste 8,76 % betrgen b) Die Strße wäre mindestens 1,58 km lng 5

6 Aufgbe 1 Der Schrnk drf höchstens,3 m hoch sein. Aufgbe 13 Wegen des Steigungswinkels von 30 sind die beiden Dreiecke in der Skizze gleichseitig und hbeneine Höhe von m 11,6 m. Die Breite der Dmmsohle muss 11,6 m + 13,7 m = 36,3 m betrgen. (siehe Skizze) Aufgbe 14 In dem dunklen Dreieck gilt für die Hypotenuse c = c = 14 m. Eine Kthete ist = = 18 m lng. Für die ndere Kthete gilt b = c = = 68 b = 68 m = 17 m. Der gesuchte Abstnd ist b = 4 Aufgbe m 16,5 m Einbeschriebenes Sechseck: u = 6r und A = 3 3 r,6 r. 13 m 13,7 m 6,5 m 14 m c 14 m 4 m b Umbeschriebenes Sechseck: u = 4 3 r 6,93 r und A = 3 r 3,46 r. Der Umfng ist um 13,4 % kleiner und der Flächeninhlt ist um 5 % kleiner Aufgbe 16 Wegen des Mittelpunktswinkels 45 ist ds Dreieck BCM gleichschenklig und rechtwinklig CM = BC = 1 r AC = r 1 r und AM = r. Im rechtwinkligen Dreieck ACB gilt für die Hypotenuse AB = AC + BC = ( )r. Im rechtwinkligen Dreieck AMD gilt für die Kthete DM = AM ( 1 AB ) = ( )r. Ds Achteck ht lso den Umfng u = 8 AB = 8 r 6,1 r und den Flächeninhlt A = 8 1 AB DM = r,83 r. 4 Aufgbe 17 ) Konstruiere zunächst ds grue rechtwinklige Dreieck mit dem Thleskreis um die Verbindungsstrecke der beiden Mittelpunkte. Der Abstnd der Berührpunkte ist die Kthete des 3 cm 6 cm 3 cm 1 cm gruen Dreiecks: d = 6 1 = 35 d = 35 5,9 cm. b) Konstruiere zunächst ds grue rechtwinklige Dreieck mit dem Thleskreis um die Verbindungsstrecke der beiden Mittelpunkte. Der Abstnd der Berührpunkte ist die Kthete des 3 cm 4 cm gruen Dreiecks: d = 9 7 = 3 d = 3 5,66 cm. 3 cm 9 cm 4 cm 6

7 Aufgbe 18 Figur I: (r + 1 ) = ( 1 ) + ( r) 3r = r = 1 3. Figur II: (r + 1 ) = ( 1 ) + ( r) ( + )r = 3 4 r = 3 8 Figur III: (r + ) = ( 1 ) + ( r) 4r = 1 4 r = Aufgbe 19 ( ) 0,. d b = D bc = d c = b ) b) + b 6,40 cm 4,47 cm + c 7,81 cm 7,1 cm + c 7,1 cm 6,3 cm Aufgbe s h s h Aufgbe ,5 6 9 s , 5 h s , h Aufgbe s h s , h , 75 7 Aufgbe 3 d k1 = ( ) + 40 = cm 54,77 cm d k = d k3 = d s = ( ) + 30 = 30 5 cm 67,08 cm ( ) + 0 = cm 7,80 cm = 10 9 cm 53,85 cm 7

8 Aufgbe ) Mit s = + 4g und e = sowie f = 1 1 h = f + e = + 4g = g b) Der Inhlt der Dchfläche ist A = 4 ef = + 16g erhält mn + 16g = + 8g c) Wenn die vier Ruten Qudrte wären, müsste e = f und wegen ) dnn uch h = 0 sein. Dnn wäre ds Dch ber ein wgrechtes Flchdch und kein rheinisches Rutendch! Aufgbe 5 ) Zeltdch: A = ) 11,7. Wlmdch: A = ,4. Mnsrdendch: A = (4 + 5 ) 10,1 b) Zeltdch: l = 9 10,8. Wlmdch: l = ( ) 10,8. Mnsrdendch: l = 6 8