Test auf einen Anteilswert (Binomialtest) Vergleich zweier Mittelwerte (t-test)

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1 Spezielle Tests Test auf einen Anteilswert (Binomialtest) Vergleich zweier Anteilswerte Test auf einen Mittelwert (Ein-Stichproben Gauss bzw. t-test) Vergleich zweier Mittelwerte (t-test)

2 Test auf einen Anteilswert (Binomialtest) Beispiel: Untersucht werden soll ein Präparat zur Rückbildung von Tumoren Dabei: Weiterentwicklung des Präparats bei Rückbildung in mindestens 40% der Fälle H 0 : π 40% H : π > 40% π: Anteil der Fälle, in denen sich der Tumor zurückbildet Erfolgswahrscheinlichkeit

3 Exakter Binomialtest Y: Anzahl der Erfolge Lehne H 0 zugunsten von H ab, falls Y > c Berechnung des kritischen Wertes Hier: α = 0.05, H 0 : π 40% vs. H : π > 40% n = 0: c = 7 n = 0: c = n = 00: c = 48 c ( = 70% ) n c ( = 60% ) n c ( = 48% ) n 3

4 Berechnung des Fehlers. Art Signifikanzniveau: α = 0.05, β = P(H 0 wird beibehalten H ) π ω : wahre Erfolgswahrscheinlichkeit - β: Teststärke (Power) n = 0: π ω = 0.45 β = 0.97 π ω = 0.6 β = 0.83 π ω = 0.8 β = 0.3 n = 0: π ω = 0.45 β = 0.94 π ω = 0.6 β = 0.58 π ω = 0.8 β = 0.03 n = 00: π ω = 0.45 β = 0.75 π ω = 0.6 β = 0.0 π ω = 0.8 β =

5 Beachte: Wahrscheinlichkeit für Fehler. Art abhängig von wahrer Erfolgswahrscheinlichkeit, d.h. der Abweichung von H 0 Stichprobenumfang Für große N: Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximativer Binomialtest 5

6 Vergleich zweier Anteilswerte Beispiel: Verglichen werden soll ein neues Präparat zur Rückbildung von Tumoren mit einem Standardpräparat. π : Erfolgswahrscheinlichkeit Standardpräparat π : Erfolgswahrscheinlichkeit neues Präparat Zweiseitiger Test: H 0 : π = π vs. H : π π Randomisierte Studie mit je n = 30 für Standardpräparat und m=30 für neues Präparat. 6

7 Ergebnis wird in Form einer Vierfeldertafel dargestellt: Standardpräparat neues Präparat Erfolg kein Erfolg Summe Erfolgsanteile: Standardpräparat : neues Präparat Unter H 0 : : πˆ = = 60 = 33% = 50% 5 60 = = πˆ πˆ 7

8 Es gibt Möglichkeiten zur Berechnung der Testgröße:. Verwendung des approximativen Binomialtests. Testgröße Z ist approximativ N(0,)-verteilt: Z = πˆ ˆ π πˆ( πˆ) n + m 8

9 Im Beispiel: Z =.3 Kritischer Wert (zweiseitig) für α=0.05 ist.96. Also Z <.96. Damit kann H 0 nicht abgelehnt werden!. Möglichkeit (äquivalent zu Möglichkeit ). H 0 ist äquivalent zur Hypothese, dass die Merkmale Erfolg und Präparat unabhängig sind! Berechne Pearsons Chi-Quadrat (siehe Vorlesung vom !) und führe einen Chi-Quadrat-Test durch. Im Beispiel: 9

10 χ =.7 Unter H mit Freiheitsg rad. α = 0.05 ist Also : χ Damit : =.7 < 3.84 H nicht ablehnen! 0 ist χ 0 approximativ χ Der kritische Wert für verteilt 0

11 Es gilt: Z =.3 Kritische Werte =.7 = χ :.96 Deshalb sind beide Möglichkeiten äquivalent. = 3.84 Bemerkungen:. Bei kleinen Stichprobenumfängen sollte der exakte Test nach Fisher verwendet werden.. Der obige Test lässt sich auf einseitige Fragestellungen übertragen, z.b. H 0 : π π vs. H : π < π

12 Test auf einen bestimmten Mittelwert Beispiel: Ist Mittelwert eines Laborparameters in behandelter Population größer als Standardwert µ 0 = 5.5? Gauss-Test: Hypothesen: H 0 : µ µ 0 vs. H : µ > µ 0 Annahme: Laborparameter normalverteilt mit Standardabweichung σ =.0 (bekannt) Daten: y,, y n mit Mittelwert y = yi n Testvorschrift: Lehne H 0 ab, falls y c c = µ 0 + z -α x y µ.64 für α = 0.05 bzw. σ n 0 n z α σ

13 In der Praxis ist die Annahme bekannter Streuung häufig unrealistisch Schätzung der Streuung aus den Daten t-test (Ein-Stichproben-Fall) Hypothesen: H 0 : µ µ 0 vs. H : µ > µ 0 Annahme: Laborparameter normalverteilt Daten: y,, y n mit n s² = ( yi y ) n T = y µ s i= 0 Lehne H 0 ab, falls T > t -α (n-) t -α (n-): (-α)-quantil der t-verteilung mit n- Freiheitsgraden n 3

14 Daten aus dem Beispiel: y 6.43 t-test: y y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y0 y 3.9 y 5.5 t = n = 3.9 s α = 0.05 t 0.95 (0) = >.8 H 0 wird abgelehnt p-wert: y =.39, s 8.07 = Gauss-Test: Annahme σ = 5 c = = 7.97 y =.39 > 7.97 H 0 wird abgelehnt 4

15 Bemerkungen: Häufig wird die zweiseitige Fragestellung H 0 : µ = µ 0 vs. H : µ µ 0 verwendet. Testvorschrift (Gauss-Test) Lehne H 0 ab, falls y µ 0 n z σ z α α =.96 für α = 0.05 Bei größeren Stichprobenumfängen (n 30) sind t-test und Gauss-Test praktisch identisch. Bei größeren Stichprobenumfängen (n 30) ist die Normalverteilungsannahme nicht erforderlich. Das Auftreten von Ausreißern kann zu falschen Testentscheidungen führen. 5

16 Vergleich zweier Mittelwerte Beispiel: Vergleich zweier Futtermittel Zielgröße: Gewichtszunahme unabhängige Stichproben (jeweils n = 6) Futtermittel A:,, 8, 6,, 7 Futtermittel B: 0,, 7, 3, 7, 8 µ : Mittelwert der Gewichtszunahme durch Futtermittel µ : Mittelwert der Gewichtszunahme durch Futtermittel Fragestellung: Gibt es Unterschiede zwischen den Futtermitteln? H µ µ 0 : µ = µ vs. H : 6

17 Zwei-Stichproben t-test Annahme: Unabhängige normalverteilte Stichproben mit gleicher Varianz Y Y Hypothesen: Bl Teststatistik: Ak ~ N ~ N Lehne H 0 ab, falls ( µ, σ ) k =,..., n ( µ, σ ) l =,..., m H µ µ 0 : µ = µ vs. H : T = s mit s p p y A = T > t α n y + B m ( n ) s + ( m ) ya ( n + m ) n + m s yb 7

18 Im Beispiel: Y Y Y A B A = = 6 6 Y ( ) ( ) B =.5 = 9.33 = 7.83 t = Kritischer Wert: <.8 H 0 wird nicht abgelehnt p-wert:

19 Zusammenfassung I (was Sie können müssen) Beide Möglichkeiten für Tests zum Vergleich zweier Anteilswerte (zweiseitige Fragestellung) Ein-Stichproben Gauss-Test und Ein-Stichproben t- Test (ein und zweiseitige Fragestellung) Zwei-Stichproben t-test (zweiseitige Fragestellung) Die kritischen Werte werden Ihnen vorgegeben 9

20 Bestimmung der erforderlichen Tierzahl Allgemeines Vorgehen Exakter Binomialtest t-test Fisher-Test zum Vergleich zweier Anteile 0

21 Festlegung der wissenschaftlichen Fragestellung Typ der Studie: Orientierungsstudie Vergleichsstudie Äquivalenzstudie Festlegung der Hauptzielgrößen Nebenzielgrößen

22 Festlegung der statistischen Auswertungsstrategie Häufig: Bestimmung des Stichprobenumfangs durch primäre Fragestellung Dazu sind folgende Angaben notwendig: Art des statistischen Tests α-fehler (meist % oder 5%) β-fehler (meist 0.) Größe des nachzuweisenden Effekts

23 Beispiel: Präparat zur Rückbildung von Tumoren Vergleichsstudie (mit Standardwert π = 40%) Hauptzielgröße: Anteil der rückgebildeten Tumoren Testverfahren: Exakter Binomialtest H 0 : π = 40% vs. H : π > 40% Biol. rel. Unterschied: d = 0%Punkte Signifikanzniveau: α = 0.05 Fehler. Art: β 0.0 Wahl des Stichprobenumfangs N: N = 0, π ω = 60%, β = 0.58 zu klein N = 00, π ω = 60%, β = 0.0 zu groß Wähle kleinstes N, dass β 0.0 erfüllt N = 4, π ω = 60%, β =

24 Bestimmung des Stichprobenumfangs beim t-test Vergleich zweier Futtermittel (Daten aus Beispiel werden als Vorstudie verwendet) Typus: Vergleichsstudie Zielgröße: Gewichtszunahme Biol. rel. Unterschied: d = Signifikanzniveau: α = 0.05 Fehler. Art: β = 0. Test: H 0 : µ A = µ B vs. H : µ A µ B Annahme Streuung aus Vorstudie: σ = 3 Relevante Größe: d = σ 3 Aus Tabelle (Bock, 998): N = 74 Gruppengröße: n = n = 37 4

25 Nötige Angaben zur Fallzahlberechnung Signifikanzniveau α Fehler. Art β biologisch relevante Differenz d Annahme zur Streuung σ Einige Werte für Stichprobenumfang N unter α = 0.05, β = 0. (zweiseitige Fragestellung Zwei-Stichproben t-test) d/σ n = n

26 Bestimmung der Stichprobenumfangs Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten Vergleich zweier Behandlungen Typus: Vergleichsstudie Zielgröße: Behandlungserfolg (Ja/Nein) Biol. rel. Untersch.: 0% 80% 40% 60% Signifikanzniveau: α = 0.05 Fehler. Art: β = 0. Test: p < = p vs. p p Aus Tabelle (Bock, 998) Umfang pro Gruppe n 0% 80% n = 8 40% 60% n = 84 6

27 Wichtig: Erforderliche Tierzahl ist in jedem Einzelfall neu zu bestimmen und zu begründen also: allgemeingültige Angaben von erforderlichen Tierzahlen nicht sinnvoll 7

28 Zusammenfassung II (was Sie wissen müssen für den zweiseitigen t-test) Für vorgegebene Wahrscheinlichkeiten für die Fehler.Art und.art hängt der erforderliche Stichprobenumfang von dem nachzuweisenden Unterschied (der biologisch relevant sein sollte) und der Streuung ab Je kleiner der nachzuweisende Unterschied, desto größer muss der Stichprobenumfang sein (ceteris paribus) Je größer die Streuung, desto größer muss der Stichprobenumfang sein (ceteris paribus) 8

29 Literaturhinweise:. Bock, J. (998): Bestimmung des Stichprobenumfangs. R. Oldenbourg Verlag, München Wien 3. Cavalli-Sforza, L. (969): Biometrie: Grundzüge biologischmedizinischer Statistik. Gustav Fischer Verlag, Stuttgart 5. Fahrmeir, L., Künstler, R., Pigeot, I., Tutz, G. (003): Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. Springer Verlag Berlin Heidelberg 7. Lorenz, R.J. (996): Grundbegriffe der Biometrie. 4. Auflage. Gustav Fischer Verlag, Stuttgart New York 9. Mead, R., Curnow, R.N. (983): Statistical Methods in Agriculture and Experimental Biology. Chapman and Hall, London New York. 9

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