4. Statistik 4a. Formeln und Tabellen

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1 4. Statistik 4a. Formeln und Tabellen Formeln und Tabellen zum Thema Statistische Qualitätssicherung Inhaltsverzeichnis Mittelwert, Standardabweichung, Prozessfähigkeit Seite 4-2 Histogrammentwurf Seite 4-3 Die Darstellung der theoretischen Normalverteilung Seite 4-4 Der Fehleranteil in einer Fertigungsserie Seite 4-5 Die 7 Qualitätswerkzeuge Seite 4-6 Vertrauensbereich, Unsicherheit Seite 4-7 Das Larsson-Nomogramm Seite 4-8 Ablauf Einfach- und Doppelstichproben Seite 4-9 AQL Kennbuchstaben Seite 4-10 Tabelle Einfach- und Doppelstichprobe nach DIN 2859 Seite 4-11 Tabelle Stichprobe nach DIN 3951 Seite 4-12 Fo7S1S12.dtp Seite 4a - 1

2 1. Mittelwert µ = Mittelwert einer Gesamtheit von Werten x-quer = Mittelwert einer Stichprobe 2. Medianwert x-tilde: Der Median ist bei ungerader Anzahl von Werten der Wert in der Mitte der Rangfolge. Bei einer geraden Anzahl von Werten wird der Median durch den Mittelwert der Werte in der Mitte der Rangfolge gebildet. Beispiel: Meßwerte: 4, 7, 3, 5, 9 Median = 5 Beispiel: Meßwerte: 4, 7, 3, 5 Median = 4,5 3. Spanne (eng. Range) R: Beispiel: Meßwert: 3, 5, 2, 6 Spanne R = 4 Formelblatt zu Kennwerten 4. Standardabweichung σ = Standardabweichung einer Gesamtheit von Werten s = Standardabweichung einer Stichprobe ( σ n-1 ) Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Einzelwerte um den Mittelwert. Sie hat die Einheit der Einzelwerte. Beispiel: Meßwerte: 4, 6, 5, 9 x1+ x2 + x3 + x4 x = 4 R = xmax - x min s = n (x - x ) i = 1 i n 1 2 i x i µ (µ-x i ) (µ-x i )² s = = 2, Summe = 14 Streubereich links und rechts vom Mittelwert Anzahl der Werte, die in diesem Streubereich liegen s 68,26 % 2s 95,45 % 3s 99,73 % 4s 99,994 % 5. Prozeßfähigkeit Prozeßfähigkeit nach Streuung: cp Toleranz erfüllt bei cpk > 1,33 cp = > 1,33 Prozeßfähigkeit nach Lage: cpk erfüllt bei cpk > 1,33 Krit ist der kleinste Abstand vom Mittelwert bis zur Toleranzgrenze. Nur der kleinere Wert Krit ist einzusetzen. Beispiel zur Bestimmung von cp, cpk: 6 s Krit cpk = > 1,33 3 s Krit = Abstand vom Mittelwert zur nahesten Grenze Gegeben: Nennmaß 0 +12/-9 Mittelwert µ = 2 Standardabw. σ =4 OGW = 12; UGW = -9 Toleranz = 21 Ergebnis Streuung: cp = T/6σ =21/6*4=0,875 Nicht prozeßfähig, da unter 1,33 Ergebnis Lage: cp k = (OGW - µ)/3 * σ = 10/3*4 = 0,833 Nicht prozeßfähig, da unter 1,33 Mittelwert µ = 2 UGW = -9 OGW = 12 Krit σ σ σ σ σ Abweichungen vom Nennmaß in µm Fo7S1S12.dtp Seite 4a - 2

3 % 236% 1 0 Schaumhöhe in cm T = charakteristische Lebensdauer T 1/2 = Halb wertszeit 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Zeit in min Cloodt 6. Histogrammentwurf nach DIN Das Histogramm dient zur übersichtlichen Darstellung von Prüfergebnissen. Es liefert anschauliche Hinweise für die Form der Verteilung (Symmetrie, Ausreißer, aussortierte Teile, Vermischung von Fertigungslosen). Regel für die Histogrammerstellung: Die Norm empfiehlt eine gleichbleibende Klassenweite W. Sie wird nach folgender Formel berechnet. Spanne R W = = Anzahl der Meßwerte R n DIN-Regel: Die untere Grenze gehört zur Klasse, die obere nicht. Bei n >400 : Klassenzahl 20; Mindestklassenzahl = 5 Die unterste Klasse beginnt an der unteren Toleranzgrenze Urwertliste mit 25 Meßwerten des Außendurchmessers 10 n6 (+19/+10) (Abweichungen vom Nennmaß 10 in µm) R 9 W = = = 1,8 gerundet = 2 n 25 Strichliste und Häufigkeitstabelle Meß- Strichliste Häufig- Summenwert keit häufigkeit I IIII IIIII IIIII IIII IIIII I 1 25 Histogramm Toleranz Formelsammlung zum Arbeitsbuch Lehr und Lernmittelverlag Dipl.Ing.Thomas Cloodt Spessartweg Fuldabrück Tel.: Fax info@cloodt.de Informationen über Medien, Bücher, Arbeitsunterlagen für den technischen Unterricht unter Schaumhöhe in cm T T 1/2 Fo7S1S12.dtp Seite 4a - 3

4 7. Die Darstellung der theoretischen Verteilung Beispiel der Darstellung durch punktweise Berechnung oder mit EXCEL (Werte nach Beispiel Histogramm 10 n6 ( ) yo = Scheitelhöhe der Funktion (gewählt 10 cm), y wird mit untenstehender Formel berechnet, x-quer = Mittelwert, s = Standardabweichung (im Beispiel s = 1,33), x wird schrittweise von 9 bis 20 gewählt und y ausgerechnet. y = y 0 Wertetabelle x y 9 0,0 10 0,0 11 0,2 12 1,2 13 4,2 14 8,5 15 9,8 16 6,5 17 2,4 18 0,5 19 0,1 20 0,0 e (x - ) 2 - xi 2 s 2 Darstellung in EXCEL: =10*EXP(-((($B$51-D5)^2)/(2*$B$52^2))) 10 = Scheitelhöhe D5 = 1. Feld der x-werte $B$51 = Feld mit dem Mittelwert $B$52 = Feld mit der Standardabweichung YW2 0-2 Theor. Verteilung für 10 n6 ( ) UGW=10 Mittelwert 14, X-Werte in Mikrometern OGW=19 8. Wahrscheinlichkeit Die Anzahl fehlerhafter Teile in einer Charge ist binomialverteilt. Mit folgender Formel wird die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl fehlerhafter Teile (oder auch die Anzahl der Nieten/Gewinne) zu finden, berechnet. g(x) n! x! (n - x)! Beispiel: p = 0,08 (8% Gewinne im Topf/Fehler in der Gesamtheit) n = 10 Anzahl der gezogenen Lose / Stichprobenzahl x = Zahl der erhofften Gewinne / Fehler in der Stichprobe g(x) = Wahrscheinlichkeit genau x Gewinne zu ziehen / Fehler zu finden Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit bei 10 gezogenen Losen genau 1 Gewinn zu erzielen beträgt 37,7% g(1) = 10 0,08 1 x n -x = p (1- p) 5! = 5 - Fakultät = (1-0,08) (10-1) = 0,377 = 37,7% Fo7S1S12.dtp Seite 4a - 4

5 9. Zu erwartender Fehleranteil in einer Fertigungsserie Sind die Kennwerte Mittelwert und Standardabweichung bekannt, läßt sich die Anzahl der Teile bestimmen, die außerhalb einer bestimmten Grenze liegen (theoretische Verteilung angenommen). Beispiel: Für die Serie des Histogramms (10 n6 ( ) soll ermittelt werden wieviele Teile über 16 µm liegen. Kennwerte: Mittelwert x-quer = 14,76 µm, Standardabw. s = 1,33 µm Formel für die Hilfsgröße u x = 16 (Maß für die die Überschreitungsanteile betimmt werden sollen. Ergebnis für Q(u): u = 16-14,76 1,33 = 0,93 Teileüber 16 µm nach Tabelle 17,1% der Teile liegen über 16 mm. Für die Berechnung der Teile die über/unter den Toleranzgrenzen ( ) liegen (Fehleranteil) ergeben sich die Werte 0,073% (unten) und 0,018% (oben), insgesamt also 0,093% Fehler oder 910 ppm. 17,1% x - x u = s Q(u) = Fehleranteil 1 u21 Q(u) t-tabelle für Vertrauensgrenzen 95% 99% n t t 5 2,776 4, ,571 4, ,447 3, ,365 3, ,306 3, ,262 3, ,228 3, ,179 3, ,145 2, ,093 2, ,064 2, ,045 2, ,023 2, ,010 2, ,001 2, ,990 2, ,984 2, ,976 2, ,972 2, ,965 2, Eingriffskriterien bei der Qualitätsregelkarte Bei folgenden Prozeßstörungen ist einzugreifen. 7 Werte OEG UEG OEG UEG 7 Werte UEG UEG OEG UEG OEG UEG Ausreißer OEG überschritten Trend 7 Werte in Folge nach oben Run 7 Werte in einer Hälfte Middle- Third zuviel im mittleren Drittel Middle- Third zuwenig im mittleren Drittel u Q(u) % u Q(u) % u Q(u) % in ppm 0,00 50,000 1,70 4,457 3,40 0, ,05 48,006 1,75 4,006 3,45 0, ,10 46,017 1,80 3,593 3,50 0, ,15 44,038 1,85 3,216 3,55 0, ,20 42,074 1,90 2,872 3,60 0, ,25 40,129 1,95 2,559 3,65 0, ,30 38,209 2,00 2,275 3,70 0, ,35 36,317 2,05 2,018 3,75 0, ,40 34,458 2,10 1,786 3,80 0, ,45 32,636 2,15 1,578 3,85 0, ,50 30,854 2,20 1,390 3,90 0, ,55 29,116 2,25 1,222 3,95 0, ,60 27,425 2,30 1,072 4,00 0, ,65 25,785 2,35 0,939 4,05 0, ,70 24,196 2,40 0,820 4,10 0, ,75 22,663 2,45 0,714 4,15 0, ,80 21,186 2,50 0,621 4,20 0, ,85 19,766 2,55 0,539 4,25 0, ,90 18,406 2,60 0,466 4,30 0, ,95 17,106 2,65 0,402 4,35 0, ,00 15,866 2,70 0,347 4,40 0, ,05 14,686 2,75 0,298 4,45 0, ,10 13,567 2,80 0,256 4,50 0, ,15 12,507 2,85 0,219 4,55 0, ,20 11,507 2,90 0,187 4,60 0, ,25 10,565 2,95 0,159 4,65 0, ,30 9,680 3,00 0,135 4,70 0, ,35 8,851 3,05 0,114 4,75 0, ,40 8,076 3,10 0,097 4,80 0, ,45 7,353 3,15 0,082 4,85 0, ,50 6,681 3,20 0,069 4,90 0, ,55 6,057 3,25 0,058 4,95 0, ,60 5,480 3,30 0,048 5,00 0, ,65 4,947 3,35 0,040 5,05 0,000 0 Fo7S1S12.dtp Seite 4a - 5

6 900 DM 800 DM 700 DM 600 DM 500 DM 400 DM 300 DM 200 DM 100 DM 0 DM 300 DM 560 DM 665 DM 755 DM 825 DM 894 DM DM Cloodt Die 7 Qualitätswerkzeuge Fehlersammelliste 0012.B Produktnummer: Produktbezeichnung: Rückwand Nr. Fehlerart Strichliste Gesamt Verschmutzung IIIII IIIII IIII Beulen III 3 3 Kratzer IIIII II 7 4Korrosion I 1 5 Fehlende IIIII IIIII 11 Teile I 6 Montagefehler II 2 7 Sonstiges III 3 Uhrzeit: Prüfzyklus: 8:00 bis 11:00 Datum: Stck je Tag Kontrolleur: Schulze Fehlersammelkarte Sie dient zur Darstellung von Fehlerart und Fehlerzahl. Man kann so Trends und Schwerpunkte der Fertigungsfehler feststellen. Histogramm Mit dem Histogramm können Prüfergebnisse übersichtlich dargestellt werden. Man kann auch abschätzen, ob eine normalverteilte Serie vorliegt. Qualitätsregelkarte Sie dient zur laufenden Kontrolle der Fertigung. Die häufigste Form ist die Xquer - R - Karte. Auf ihr wird der Mittelwert von Stichproben überwacht. Pareto-Diagramm Paretodiagramm Das Paretodiagramm soll helfen Wichtiges von Unwichtigerem zu trennen. Aus mehreren Fehlerursachen wird diejenige herausgefiltert, die den größten Einfluß hat. Ishikawa-Diagramm Diese Methode unterstützt ein Team bei der Zerlegung eines Problems in seine Ursachen. Dabei werden Abhängigkeiten zwischen Ursachen erkannt und Ursachengruppen zusammengefaßt. Brainstorming Brainstorming ist ein Instrument mit dem man die kreativen Fähigkeiten mehrerer Menschen anregen und zusammenführen kann. Korrelationsdiagramm Mit dem Korrelationendiagramm lassen sich Wechselbeziehungen zwischen zwei Einflußfaktoren finden. Fo7S1S12.dtp Seite 4a - 6

7 Cloodt 4a Formeln und Tabellen Wie werden die obere und untere Grenze des Vertrauensbereichs für µ berechnet? Vertrauensbereich µ u x-quer µ o Formel für die obere und untere Grenze: µ u = X - t s n µ o = X + t s n t = Student-Faktor aus Tabelle x-quer = Mittelwert der Stichprobe s = Standardabweichung (Streuung) der Stichprobe n = Anzahl der entnommenen Teile Die Tabelle für den t-faktor zeigt, daß t größer wird, wenn man die Aussagewahrscheinlichkeit (Vertrauensniveau) auf 99% steigert. Damit wird der Vertrauensbereich größer. Der Vertrauensbereich wird allerdings kleiner mit größerer Teilezahl n. Je größer das Vertrauensniveau, desto größer wird der Vertrauensbereich. Je größer die entnommene Teilezahl n, desto kleiner wird der Vertrauensbereich. Tabelle für t-faktor: 95% 99% n t t 5 2,776 4, ,571 4, ,447 3, ,365 3, ,306 3, ,262 3, ,228 3, ,179 3, ,145 2, ,093 2, ,064 2, ,045 2, ,023 2, ,010 2, ,001 2, ,990 2, ,984 2, ,976 2, ,972 2, ,965 2,586 4afo7s1s12.dtp Seite 4a - 7

8 Larson-Nomogramm Musterbeispiel Gegeben: Fehler in der Grundgesamtheit p = 0,08 Gesucht: Wie wahrscheinlich ist es, in einer Stichprobe von n = 10, bis zu 1 Fehler zu finden? Lösung: Linie von Links 0,08 über den Kreuzungspunkt n=10 und x=1 eine Linie bis nach G ziehen. Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit bis zu 1 Fehler (= 0 oder 1) zu finden, beträgt 0,81 = 81% Die Wahrscheinlichkeit genau 1 Fehler zu finden beträgt 81% minus 43% (für 0 Fehler) = 38% Fo7S1S12.dtp Seite 4a - 8

9 Stichprobenplan Los Los Prüfniveau Prüfniveau Kennbuchstabe Kennbuchstabe AQL-Zahl AQL-Zahl Stichpr.-Anweisung n-c Stichpr. Anweisung 1 n 1 -c 1 x x 1 <= c1 c 1 <x 1 <d 1 x 1 >= d 1 x<=c Annahme x>=d Rückweisung 2. Stichprobe n 2 =n 1 Prüfung n 1 +n 2 n x c d s c s d =Stichpr.Umfang =Fehlerzahl =Annahmezahl =Rückweisezahl (bei Einf.Stpr.:d=c+1) =Summe Annahmezahlen =Summe Rückweisez. x 1 +x 2 <= s C x 1 +x 2 >=s d Abb.: Ablaufschema für Einfach- und Doppel-Stichprobenplan nach DIN Annahme Rückweisung Fo7S1S12.dtp Seite 4a - 9

10 AQL-Tabellen AQL-Auswahl der Kennbuchstaben Qualitätive Stichprobenprüfung (zählende Prüfung ) nach DIN/ISO 2859 Losumfang besondere Prüfniveaus allgemeine Prüfniveaus 2859 S - 1 S - 2 S - 3 S - 4 I II III 2 bis 8 A A A A A A B 9 bis 15 A A A A A B C 16 bis 25 A A B B B C D 26 bis 50 A B B C C D E 51 bis90 B B C C C E F 91 bis150 B B C D D F G 151 bis 280 B C D E E G H 281 bis 500 B C D E F H J 501 bis1200 C C E F G J K 1201 bis 3200 C D E G H K L 3201 bis C D F G J L M bis C D F H K M N bis D E G I L N P bis D E G J M P Q und darüber D E H K N Q R Tabelle 1: AQL-Auswahl der Kennbuchstaben (zählende Messung) AQL-Auswahl der Kennbuchstaben Quantitätive Stichprobenprüfung (messende Prüfung ) nach DIN/ISO 3951 Losumfang besondere Prüfniveaus allgemeine Prüfniveaus 3951 S - 1 S - 2 S - 3 S - 4 I II III 2 bis 8 C 9 bis 15 B D 16 bis 25 ersten B C E Kennbuchstaben unter dem Pfeil 26 bis 50 verwenden C D F 51 bis90 B D E G 91 bis150 C E F H 151 bis 280 B D F G I 281 bis 500 C E G H J 501 bis1200 D F H J K 1201 bis 3200 E G I K L 3201 bis F H J L M bis G I K M N bis H J L N P bis H K M P P und darüber H K N P P Tabelle 2: AQL-Auswahl der Kennbuchstaben (Messend) Fo7S1S12.dtp Seite 4a - 10

11 Stichproben- Umf. n Qualitative (zählende) Stichprobenprüfung, Einfachpläne, normale Prüfung nach DIN/ISO 2859 (Auszug) frühere Norm DIN AQL-Zahl -----> Kennbuchstabe -----> Stichpr.Anweisung n - c 0,065 0,1 0,15 0,25 0,4 0,65 1 1,5 2,5 4 6, c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d A B C D E F G H J K L M N P Q R Tabelle 3: AQL-Einfach-Stichprobenplan Kennbuchstabe Kennbuchstabe Stichproben- Umf. Qualitative (zählende) Stichprobenprüfung, Doppelpläne, normale Prüfung nach DIN/ISO 2859 (Auszug) frühere Norm DIN AQL-Zahl -----> Kennbuchst > Stichpr.Anweisung n - c 1 /d 1 - c 1+2 0,065 0,1 0,15 0,25 0,4 0,65 1 1,5 2,5 4 6, n c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d A * A * B 1. 2 * B 2. 2 * * = entsprechende Einfachstichprobe C 1. 3 * anwenden C 2. 3 * D 1. 5 * D 2. 5 * E 1. 8 * E 2. 8 * F * F * G * G * H * H * J * J * K * K * L * L * M M N Stets erste N Stichprobenanweisung über/unter P der Pfeilspitze verwenden P Q Q R R Tabelle 4: AQL-Doppel-Stichprobenplan ISO 2859 einfach ISO 2859 doppelt Fo7S1S12.dtp Seite 4a - 11

12 Kennbuchstab e Messende Stichprobenprüfung DIN 3951, normale Prüfung nach DIN/ISO 3951 (Auszug) frühere Norm DIN AQL-Zahl -----> Kennbuchstabe -----> Stichpr.Anweisung n - k ISO 3951 x-σ-plan 0,1 0,15 0,25 0,4 0,65 1 1,5 2,5 4 n k n k n k n k n k n k n k n k n k B C 2 1,36 2 1,25 2 1,09 2 0,94 D 2 1,58 2 1,42 2 1,33 3 1,17 3 1,01 E 2 1,94 2 1,81 3 1,,69 3 1,56 3 1,44 4 1,28 4 1,11 F 3 2,19 3 2,07 3 1,91 4 1,80 4 1,69 4 1,53 5 1,39 5 1,20 G 4 2,39 4 2,30 4 2,14 5 2,05 5 1,88 6 1,78 6 1,62 7 1,45 8 1,28 H 5 2,45 5 2,34 6 2,23 6 2,08 7 1,95 7 1,80 8 1,68 9 1, ,31 I 6 2,49 6 2,37 7 2,25 8 2,13 8 1,96 9 1, , , ,34 J 8 2,54 9 2,45 9 2, , , , , , ,38 K 11 2, , , , , , , ,42 L 16 2, , , , , , , , ,46 M 22 2, , , , , , , , ,48 N 31 2, , , , , , , , ,51 P 42 2, , , , , , , , ,51 Tabelle 5: messende Prüfung, x-σ - Plan Kennbuchstabe Stichprobenumfang Messende Stichprobe DIN 3951, normale Prüfung nach DIN/ISO 3951 (Auszug) frühere Norm DIN AQL-Zahl -----> Kennbuchstabe -----> Stichpr.Anweisung n - k 0,10 0,15 0,25 0,40 0,65 1,00 1,50 2,50 4,00 6,50 10,00 k k k k k k k k k k k B 3 1,12 0,958 0,765 0,566 C 4 1,45 1,34 1,17 1,01 0,814 0,617 D 5 1,65 1,53 1,40 1,24 1,07 0,874 0,675 E 7 2,00 1,88 1,75 1,62 1,50 1,33 1,15 0,995 0,755 F 10 2,24 2,11 1,98 1,84 1,72 1,58 1,41 1,23 1,03 0,828 G 15 2,42 2,32 2,20 2,05 1,91 1,79 1,65 1,47 1,3 1,09 0,866 H 20 2,47 2,36 2,24 2,11 1,96 1,82 1,69 1,51 1,33 1,14 0,917 I 25 2,50 2,40 2,26 2,14 1,98 1,85 1,72 1,53 1,35 1,16 0,936 J 35 2,54 2,45 2,31 2,18 2,03 1,89 1,76 1,57 1,39 1,18 0,969 K 50 2,60 2,50 2,35 2,22 2,08 1,93 1,80 1,61 1,42 1,21 1,00 L 75 2,66 2,55 2,41 2,27 2,12 1,93 1,84 1,65 1,46 1,24 1,03 M 100 2,69 2,58 2,43 2,29 2,14 2,00 1,86 1,67 1,48 1,26 1,05 N 150 2,73 2,61 2,47 2,33 2,18 2,03 1,89 1,70 1,51 1,29 1,07 P 200 2,73 2,62 2,47 2,33 2,18 2,04 1,89 1,70 1,51 1,29 1,07 Tabelle 6: messende Prüfung, x-s-plan Fo7S1S12.dtp Seite 4a - 12 ISO 3951 x-s-plan