Univ.-Prof. Dr. A. Kleine/Univ.-Prof. Dr. H. Singer

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1 Fernuniversität in Hagen Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. A. Kleine Lehrstuhl für Angewandte Statistik und Methoden der empirischen Sozialforschung Univ.-Prof. Dr. H. Singer Klausur: Modul Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik Termin: , Uhr Prüfer: Univ.-Prof. Dr. A. Kleine/Univ.-Prof. Dr. H. Singer

2 Hinweise zur Bearbeitung der Klausur: 1. Bitte lesen Sie diese Hinweise vollständig und aufmerksam durch, bevor Sie mit der Bearbeitung beginnen. 2. Die Klausur besteht aus 19 Aufgaben, die in 120 Minuten zu bearbeiten sind. Bitte kontrollieren Sie sofort, ob Sie ein vollständiges Klausurexemplar mit 14 Seiten, einen LOTSE-Markierungsbogen. erhalten haben. Der LOTSE-Markierungsbogen der Klausur wird maschinell korrigiert. 3. Bevor Sie mit der Bearbeitung der Klausuraufgaben beginnen, füllen Sie bitte den Identifikationsteil des LOTSE-Markierungsbogens aus und tragen Sie Ihren Namen, Ihre Anschrift und Ihre Matrikelnummer ein. Hinweis: Ausschließlich Ihre Markierungen auf dem LOTSE-Markierungsbogen sind für die Bewertung Ihrer Klausur ausschlaggebend (Das Klausurexemplar wird nicht eingesammelt!). Erfahrungen haben gezeigt, dass Sie spätestens 15 Min. vor Abgabe der Klausur mit dem Markieren beginnen sollten. Kontrollieren Sie am besten noch einmal Ihre Markierungen, bevor Sie den Markierungsbogen abgeben. 4. Bei jeder Aufgabe ist die maximal erreichbare Anzahl der Punkte angegeben. 5. Insgesamt können Sie 100 Punkte erreichen. Mit 50 Punkten haben Sie die Klausur bestanden. 6. Die Klausur besteht aus numerischen und Multiple-Choice-Aufgaben. Beachten Sie bitte, dass bei den Multiple-Choice-Aufgaben vom Typ (1 aus n) genau eine Alternative angekreuzt werden muss, wohingegen bei den Aufgaben vom Typ (x aus n) möglicherweise auch mehrere Alternativen richtig sein können. Richtige Antworten sind zu markieren, falsche Antworten sind nicht zu markieren. Für die Ergebnisse der numerischen Aufgaben sind auf dem LOTSE- Markierungsbogen entsprechende Felder zum Eintrag vorgesehen. Geben Sie alle Lösungen in Dezimaldarstellung an und verwenden Sie als Dezimalzeichen ein Komma. Nutzen Sie für jedes Komma ein eigenes Kästchen und tragen Sie die Lösung linksbündig ein.

3 7. Grafiken Bei Grafiken und Formeln wurde zugunsten der Übersichtlichkeit z. T. auf (streng mathematisch eigentlich notwendige) Beschriftungen und Details verzichtet. So wurden i. d. R. die Achsenbeschriftungen und häufig die Definitionsbereiche weggelassen. Sofern nichts anderes angegeben ist, gelten die üblichen Konventionen. 8. Für beide Klausurteile ist die Verwendung eines Taschenrechners dann und nur dann erlaubt, wenn dieser einer der drei folgenden Modellreihen angehört: - Casio-fx86 - Texas Instruments TI 30 X II - Sharp EL 531 Die Verwendung anderer Taschenrechnermodelle wird als Täuschungsversuch gewertet und mit der Note nicht ausreichend (5,0) sanktioniert. Ob ein Taschenrechner einer der drei Modellreihen angehört, können Sie selbst überprüfen, indem Sie die vom Hersteller auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung mit den oben angegebenen Bezeichnungen vergleichen: Bei vollständiger Übereinstimmung ist das Modell erlaubt. Ist die auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung umfangreicher, enthält aber eine der oben angegebenen Bezeichnungen vollständig, ist das Modell ebenfalls erlaubt. In allen anderen Fällen ist das Modell nicht erlaubt. Als weiteres Hilfsmittel ist für den Statistikteil das Glossar zugelassen. Unterstreichungen, Korrekturhinweise und Post-Its sind erlaubt. Weitere Anmerkungen oder zusätzlich eingeheftete eigene Aufzeichnungen gelten als Täuschungsversuch. 9. Abzugeben ist nur der LOTSE-Markierungsbogen. Das Klausurexemplar wird nicht eingesammelt. Viel Erfolg!

4 Weitere Hinweise Ausfu llen des LOTSE-Markierungsbogens: Wichtig ist, dass Sie beim Markieren der Antworten auf dem LOTSE-Markierungsbogen einen nicht zu du nnen Strich oder ein nicht zu du nnes Kreuz machen und dass Sie darauf achten, dass Ihre Markierungen nicht in Nachbarfelder hineinreichen. Bleiben Sie innerhalb der weißen Fla chen. Die Korrekturen mu ssen eindeutig und klar sein, damit sie anerkannt werden. Schreiben Sie z.b. an den Rand Durchgestrichen=falsch oder 8 A=falsch. Ha ufig werden einzelne Markierungen mehrfach durchgestrichen und dann auch als gelo scht gewertet. Wenn Sie diese Markierung gewertet haben wollen, schreiben Sie das an den Rand, z.b. 18 C=richtig. Ansonsten werden mehrfach durchgestrichene Markierungen als Lo schungen gewertet! In das Antwortfeld fu r numerische Antworten mu ssen Sie die Ziffernfolge in die entsprechenden Felder des LOTSE-Markierungsbogens eintragen. Verwenden Sie als Dezimalzeichen ein Komma! Jedes Komma wird in ein eigenes Ka stchen geschrieben. Bitte fangen Sie linksbu ndig mit der ersten Ziffer an. Damit Ihre Zahlen richtig interpretiert werden, sollen sie schno rkellos geschrieben sein. Bewertung: Ist eine numerische Aufgabe richtig, wird die volle Punktzahl, ansonsten Null Punkte, vergeben. Die Bewertung der Multiple-Choice-Aufgaben erfolgt nach folgendem Prinzip: Bei einer Einfachaufgabe wird die volle Punktzahl erreicht, wenn die entsprechende Alternative markiert worden ist. Ansonsten werden Null Punkte vergeben.

5 Für Mehrfachaufgaben erhalten Sie nur Punkte, wenn Sie die Mehrzahl der vorgegebenen Antworten richtig bearbeitet haben. Das Bewertungsschema wird in folgender Tabelle verdeutlicht. Anzahl richtiger Antworten Punkte-Aufgabe 1 Punkt 3 Punkte 5 Punkte 10-Punkte-Aufgabe 2 Punkte 6 Punkte 10 Punkte Beispiel: Sind A und B richtig und es wurden A, B und C markiert (d.h. 4 richtige Antworten A, B, D, E) gibt es bei einer Aufgabe mit 10 zu vergebenden Punkten 6 Punkte und bei einer Aufgabe mit 5 zu vergebenden Punkten 3 Punkte.

6 Grundlagen der Statistik Aufgabe 7 Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Ein metrisches Merkmal, das überabzählbar viele Ausprägungen besitzt heißt stetig. B Ein Merkmal ist entweder metrisch oder stetig, d.h. es gibt kein Merkmal, das gleichzeitig metrisch und stetig ist. C Das Merkmal Abiturnote in Deutsch ist kardinal skaliert. D Das Merkmal Körpergewicht ist ordinal skaliert. E Das Merkmal Geschwindigkeit ist bei beliebig genauer Messung stetig.

7 Grundlagen der Statistik Aufgabe 8 Gegeben sind 100 Beobachtungen mit den Merkmalsausprägungen x i und den zugehörigen relativen Häufigkeiten f(x i ): x i f(x i ) 0,1 0,25 0,35 0,15 0,1 0,05 Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Der Median nimmt den Wert 4,5 an. B Der Modus und der Median nehmen denselben Wert an. C Das arithmetische Mittel nimmt den Wert 3,95 an. D Das Quantil x 0,4 berechnet sich zu 4. E Die Spannweite beträgt 5.

8 Grundlagen der Statistik Aufgabe 9 Ein Sportlehrer möchte wissen, ob bei sechs seiner Schüler ein Zusammenhang zwischen den Leistungen im Weitsprung und im Kugelstoßen nachzuweisen ist. Bei einem Sportfest erbrachten die sechs Schüler folgende Leistungen. i Kugelstoßen x i 8,06 7,75 8,10 7,9 8,01 7,81 Weitsprung y i 4,18 4,07 4,15 3,98 3,87 3,95 Berechnen Sie anhand der Platzierungen den Korrelationskoeffizient nach Spearman. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Der Korrelationskoeffizient nach Spearman r s nimmt den Wert -0,36 (gerundet) an. B Der Korrelationskoeffizient nach Spearman r s misst lineare Zusammenhänge zwischen nominal skalierten Merkmalen. C Der Korrelationskoeffizient nach Spearman r s wird angewendet, wenn ordinalskalierte Merkmale vorliegen. D Der Korrelationskoeffizient nach Spearman r s nimmt den Wert 0,43 (gerundet) an. E Keine der Aussagen A - D ist richtig.

9 Grundlagen der Statistik Aufgabe 10 Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Der Mittelwert ist ein Lageparameter. B Die Varianz ist ein Maß für die Streuung der Beobachtungen um den Mittelwert. Je größer die Streuung, desto steiler ist der Verlauf der Dichtefunktionskurve der Normalverteilung. C Ob die Dichtefunktion einer Normalverteilung flach verläuft, hängt (abgesehen von der Achsenskalierung) vom Mittelwert ab. D Die Transformation z = x µ überführt die Werte einer normalverteilten σ Zufallsvariablen in Werte einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen. E Bei einer Normalverteilung liegen ca. 99% der Beobachtungen im Bereich (µ 2σ, µ + 2σ).

10 Grundlagen der Statistik Aufgabe 11 In einer Urne befinden sich 4 rote und 6 weiße Kugeln. Eine Kugel wird zufällig entnommen. Falls sie weiß ist, wird sie zurückgelegt, falls sie rot ist, wird sie nicht zurückgelegt. Danach wird eine zweite Kugel gezogen. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Zug eine weiße und im zweiten Zug eine rote Kugel zu erhalten, beträgt 0,24. B Die Wahrscheinlichkeit, zwei weiße Kugeln zu ziehen, beträgt 0,4. C Die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug eine weiße Kugel zu ziehen, beträgt 4/15 (unabhängig davon, welche Farbe im ersten Zug gezogen wurde). D Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen, beträgt 2/15. E Keine der Aussagen A - D ist richtig.

11 Grundlagen der Statistik Aufgabe 12 Die Werte -3,5; -3; -1; 0; 0,5, 0,8; 1; 1,7; 3,5 seien unabhängige Realisationen aus einer normalverteilen Grundgesamtheit mit bekannter Varianz σ 2 = 9 und unbekanntem Mittelwert µ (Zufallstichprobe aus einer unendlichen Grundgesamtheit). Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Da der Mittelwert µ der Grundgesamtheit unbekannt ist, läßt sich kein Konfidenzintervall berechnen. B Das 99%-Konfidenzintervall für µ lautet [-2,58;2,58]. C Das 99%-Konfidenzintervall für µ lautet [-2,33;2,33]. D σ x = 1. E Keine der Aussagen A - D ist richtig.

12 Grundlagen der Statistik Aufgabe 13 (10 Punkte) In einer Studie wurden zufällig 100 Absolventen einer Hochschule nach ihrer Studienrichtung und ihrer Studiendauer befragt, wobei die Stichprobe Absolventen der Wirtschaftswissenschaften (W), Geisteswissenschaften (G) und Naturwissenschaften (N) umfasst. Untersucht wurde, ob die Absolventen die Regelstudienzeit (R) weit überschreiten. W G N R > R Es soll der Zusammenhang zwischen Studiendauer und Studienrichtung überprüft werden (α = 0.05). Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5) A Als geeignetster Test wird der χ 2 -Unabhängigkeitstest durchgeführt. B Die geeignetste Prüfgröße nimmt einen Wert von 5.4 an (gerundet). C Als kritischer Wert ergibt sich D Die Hypothese, es liegt kein Zusammenhang vor, kann nicht abgelehnt werden. E Es liegt 1 Freiheitsgrad vor. Bemerkung: Hypothesen Anpassungstest H 0 : P (X = x j ) = π j für alle j = 1,..., m H 1 : P (X = x j ) π j für mindestens ein j = 1,..., m Hypothesen Unabhängigkeitstest H 0 : π jk = π j. π.k für alle j = 1,..., m, k = 1,..., r H 1 : π jk π j. π.k für mindestens ein j, k Hypothesen Mediantest H 0 : X med = δ 0 H 1 : X med δ 0

13 Grundlagen der Statistik Aufgabe 45 Eine Reifenfirma untersucht die Lebensdauer eines neu entwickelten Reifens. Dabei zeigt sich, dass die ermittelte Lebensdauer der Reifen durch eine Normalverteilung mit den Parametern µ=36000 km und σ=4000 angenähert werden kann. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Reifen mehr als km hält (4 Nachkommastellen)? (numerisch) P =

14 Grundlagen der Statistik Aufgabe 46 Ein Glücksrad hat 40 gleich große Felder, die mit den Zahlen 1 bis 40 beschriftet sind. Die Zahl 13 gewinnt 6 Euro, jede gerade Zahl 0,2 Euro. Berechnen Sie den Erwartungswert für den Gewinn eines Spielers (2 Nachkommastellen). (numerisch) E =