Übungsblatt Nr. 1. Lösungsvorschlag

Transkript

1 Istitut für Kryptogrphie ud Sicherheit Prof. Dr. Jör Müller-Qude Dirk Achebch Tobis Nilges Vorlesug Theoretische Grudlge der Iformtik Übugsbltt Nr. 1 svorschlg

2 Aufgbe 1 (K) (4 Pukte): Edliche Automte ud Semi-Thue-Systeme Der ebeso geile wie ufmerksme Wisseschftler ud Superbösewicht Doktor Met ist bestürzt. Er vermutet, dss ei itertiol tätiger Nchrichtediest seie Twitter-Nchrichte (@DoktorMet) verfolgt. Um seie Verdcht zu bestätige, ht er seie Hdlger ei Progrmm uf dem zetrle Dtebkserver des Nchrichtediestes istlliere lsse, welches ls edlicher Automt relisiert ist. Sobld ds Suchprogrmm bestimmte Zeichefolge erket, schlägt es Alrm. Im Folgede betrchte wir Worte über dem Alphbet Σ = {, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m,, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z, ä, ö, ü, }. i.) Kostruiere Sie eie edliche Automte, der geu d kzeptiert, we eies der Worte w 1 = chos, w 2 = ukokret oder w 3 = pl i seier Eigbe ethlte ist. Ihr Automt drf ichtdetermiistisch sei. (2P) Nchdem Doktor Met festgestellt ht, dss seie Twitter-Nchrichte icht ur vo seie Ahäger gelese werde, möchte er seie Nchrichte codiere. Diese Codierug modelliert er mit eiem Semi-Thue-System: ii.) Gegebe sei ei Semi-Thue-System (Σ, P ) mit de Produktioe P = {beteuerliches ud ukokretes schöes, Wede Sie P so lge uf gef ährliches ud uwägbres beteuerliches, umögliches ukokretes, uterfge rezept, weltherrschft kuche}. w 4 = beteuerliches ud ukokretes uterfge f ür weltherrschft, bis keie Regel mehr wedbr ist. (1P) iii.) Wrum sollte Doktor Met die Methode us dem vorige Aufgbeteil icht verwede? (1P) ii

3 svorschlg i.) Der Automt liest die Zeiche sequetiell ei, bis ds Wort vollstädig gelese ist. Σ q 0 c q 1 h q 2 q 3 o q 4 s u q 5 q 6 k q 7 o q 8 q 9 k q 10 r q 11 e q 12 t p Σ q 16 ii.) q l 13 q 14 q 15 D der Automt ichtdetermiistisch sei drf, müsse wir us keie Gedke um die Eideutigkeit eies Pfdes mche. w 4 = beteuerliches ud ukokretes uterfge f ür weltherrschft schöes uterfge f ür weltherrschft schöes rezept f ür weltherrschft schöes rezept f ür kuche iii.) Die Codierug ist icht ijektiv, es k lso icht immer ei eideutiges Urbild gefude werde. Dies köte zu Missverstädisse uter Doktor Mets Ahäger führe. Aufgbe 2: Kostruktio vo Grmmtike (K) (4 Pukte) Ei Plidrom ist ei Wort, ds rückwärts wie vorwärts gelese gleich ist. Beispielsweise sid, reter ud tcoct Plidrome. Bezeiche w die Rückwärtsschreibug vo eies Wortes w Σ, d ist die Sprche ller Plidrome über eiem Alphbet Σ gegebe durch L P = {wxw w Σ, x Σ {ε}}. Betrchte Sie der Eifchheit hlber ds eigeschräkte Alphbet Σ = {, b}. i.) Gebe Sie eie Grmmtik G P, die L P erzeugt. (1P) ii.) Zeige Sie: G P erzeugt usschließlich Plidrome. (1P) iii.) Zeige Sie: G P erzeugt lle Plidrome. (1P) iv.) Ist G P regulär? Wrum, wrum icht? (1P) iii

4 svorschlg i.) G P = (Σ, V, S, P ) mit V = {S} ud P = {S S bsb b ε}. ii.) Wir zeige die Behuptug per Iduktio ch der Azhl der Regelweduge. Alle durch eie Regelwedug durch G P (us dem Strtsymbol) erzeugbre Worte sid Plidrome:, b, ε. Seie im Folgede lle Worte, die durch Regelweduge us S erzeugbr sid, Plidrome im Sie der Defiitio. Betrchte u + 1 Regelweduge. Nch der erste Regelwedug S S bsb etsteht ei Zwischeusdruck, der ds Nichttermil S ethält. Wird S uf ei Plidrom bgeleitet, so sid uch S, bsb Plidrome gemäß der Defiitio. Nch Iduktiosvorussetzug wird S ch Regelweduge uf ei Plidrom bgeleitet. (I der erste Regelwedug k S b ε icht bgeleitet werde, d d keie Regel mehr wedbr ist, wir ber im Iduktiosschritt usschließlich Ableituge mit + 1 Ableitugsschritte betrchte.) Dmit ist die Behuptug gezeigt. iii.) Sei v = wxw ei Plidrom, ds icht durch die Produktioe i G P us dem Strtsymbol S bgeleitet werde k. Sei o. B. d. A. v > 1. Schreibe v ls v = rsr mit r Σ ud s Σ. (Ds ist möglich, d v ei Plidrom ist.) rsr k durch Regelwedug us S bgeleitet werde. Folglich k s icht durch Regelwedug us S bgeleitet werde. Betrchte im Folgede lso s. Per Iduktio folgt: I der Mitte vo v steht ei Symbol x Σ {ε}, ds icht us S bgeleitet werde k. Ds ist ei Widerspruch zu de Produktiosregel. iv.) G P ist icht regulär, d die erste beide Produktioe weder liks- oder rechtslier, och termiiered sid. Aufgbe 3: Semi-Thue-Systeme (K) (4 Pukte) Gegebe sei ei Semi-Thue-System (Σ, P ) mit Σ = {, b, c} ud P = {b b, c c, cb bc}. i.) Simuliere Sie ds System uf de folgede Worte Σ, bis keie Regel mehr wedbr ist: (2P) bcbb ccbcbc cbb bbbc ii.) Ws bewirkt ds System? (2P) iv

5 svorschlg i.) bcbb bcbb bbcb bbbc ccbcbc cbccbc bcccbc bccbcc bcbccc bbcccc cbb cbb bcb bbc bbc bbc bbc bbbc ii.) Ds Semi-Thue-System sortiert die Buchstbe lexikogrphisch (ch dem Prizip hiter Bubblesort). Aufgbe 4: Reguläre Ausdrücke ud edliche Automte (K) (4 Pukte) Sei Σ = {, b}. i.) Gebe Sie reguläre Ausdrücke für die folgede Sprche : ) L 1 = {w Σ w ethält b ls Teilwort}. (1P) b) L 2 = {w Σ w ethält eie ugerde Azhl }. (1P) ii.) Gebe Sie eie determiistische edliche Automte, der geu L 1 = Σ \ L 1 kzeptiert. (2P) svorschlg i.) ii.) ) L 1 = ( + b) b( + b) b) L 2 = b (b b ) b b q 0 b q b 1 q 2 v