Berechnung von Flächen unter Kurven

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1 Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert wird. Aer die Untersuchung dieser Flächenfunktion liefert uns uch ein ektes Verfhren zur Berechnung von Flächeninhlten unter Kurven. g( + h) g() Zur Wiederholung: lim g( ) h h 0

2 Die Flächenfunktion Gegeen sei f()². Gesucht ist die Fläche A unter der Kurve von der unteren Grenze 0,5 is zur oeren Grenze. A() Um A zu erechnen, untersuchen wir zunächst die Fläche von is zu einem elieigen ( ). Für erhlten wir unsere gesuchte Fläche A. Gk M OBB 006

3 Die Flächenfunktion Wie ändert sich nun die Flächenfunktion A(), wenn wir etws ändern, etw uf +h? A() Vergrößern wir um h uf +h, so ändert sich die Flächenfunktion von A() uf A(+h). Wo in dem Bild findet mn die Differenz A(+h)-A()? +h Gk M OBB 006

4 Die Flächenfunktion A() A(+h)-A() Untersuchen wir nun diesen Streifen von is +h etws genuer: Für seeeehr kleine h wird der Streifen seeeehr schml, d.h., die Funktionswerte in dem Intervll [,+h] sind ungefähr gleich. Dnn gilt: A(+h)-A() h f() WARUM??? +h Gk M OBB 006 4

5 Die Flächenfunktion A(+h)-A() h f() A(+h)-A() Wir dividieren eide Seiten durch h dürfen wir ds? JA, denn h ist zwr seeeehr klein, er nicht 0 A() A( + h) h A() f() Je kleiner h ist, desto genuer ist diese Näherungsformel für den Flächeninhlt A() +h Also ilden wir den Grenzwert für h 0 und erhlten eine ekte Formel Gk M OBB 006 5

6 Die Flächenfunktion A(+h)-A() h f() A(+h)-A() A( + h) h A() f() A() lim h 0 A( + h) h A() lim f() h 0 A () f() +h Ws edeutet nun diese Gleichung? Ws ht sie mit unserem ursprünglichen Prolem zu tun? Gk M OBB 006 6

7 Die Flächenfunktion A () f() A() A(+h)-A() Wir w(s)ollten die Fläche unter der Kurve im Intervll [,] erechnen. A() ist die Flächenfunktion, lso die Funktion, die ngit, wie groß der Flächeninhlt unter einer Kurve von is zu einem gewissen ist. Die oige Formel sgt nun, dss wir dzu lediglich eine Funktion ruchen, deren Aleitung f() ist. Eine solche Funktion nennt mn Stmmfunktion von f() +h Gk M OBB 006 7

8 Stmmfunktion Um unsere gesuchte Fläche erechnen zu können, müssen wir uns zunächst mit Stmmfunktionen und deren Gesetzmäßigkeiten efssen: Die gegeene Funktion wr f()² Wir ruchen eine Funktion, deren Aleitung ² ist een eine Stmmfunktion von f() Def.: F() ) heißt Stmmfunktion von f() ) genu dnn, wenn F ()f() ) ist. Bezeichnung: Geg.: f() Stmmfunktion: F() F ()f() Mn schreit uch : F() f() d Sprich: unestimmtes Integrl üer f() d Ds Finden einer Stmmfunktion ist lso ds Lösen des unestimmten Integrls üer f() die Umkehrung des Differenzierens Gk M OBB 006 8

9 Stmmfunktion. d. ²d. ³d 4. n d 5. (²-)d 6. d 7. (³-²-)d Regeln: Ist F() eine Stmmfunktion von f(), dnn ist uch F()+c (c ) eine Stmmfunktion von f() zwei Stmmfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstnte zu jeder Funktion git es unendlich viele Stmmfunktionen ht mn eine, dnn ht mn lle n d d n+ + n+ c + c (, c R) ( n, c R) mit d ht mn eine Stmmfunktion mit d - ht mn uch eine Stmmfunktion mit d + c ht mn lle Stmmfunktionen Ws ist mit d d? Gk M OBB 006 9

10 Flächenerechnung Gegeen sei f()². Gesucht ist die Fläche A unter der Kurve von der unteren Grenze 0,5 is zur oeren Grenze. A() Wie lässt sich die Aufge mit den inzwischen gewonnenen Erkenntnissen lösen? Wir wissen: A ()f() A() ist eine Stmmfunktion A()0 A() ist die gesuchte Fläche Ist nun F() eine ndere Stmmfunktion von f(), dnn folgt: A()F()+c ; zwei Stmmfunktionen unterscheiden sich um eine Konstnte A()F()+c und mit A()0 folgt c-f() A()F()+cF()-F() Für die Berechnung einer Fläche unter dem Grphen einer Funktion f im Intervll [,] müssen wir lediglich irgendeine Stmmfunktion von f kennen und die Differenz ihrer Werte n den Stellen und ilden. Gk M OBB 006 0

11 Flächenerechnung Gegeen sei f()². Gesucht ist die Fläche A unter der Kurve von der unteren Grenze 0,5 is zur oeren Grenze. F() F() F() F() F( ) A 7 4 Schreiweise Gk M OBB 006

12 Ds estimmte Integrl f ()d ) [ F( ] F() F() mit F () f() Für unsere Aufge ergit sich somit: ( ) d In unserem Beispiel sind diese 7 4 der Inhlt der Fläche unter dem Grphen von f() im Intervll [, ]. Neue Frgen: Ist die mit dem estimmten Integrl erechnete Zhl immer ein Flächeninhlt? Ws ist, wenn der Grph gnz oder teilweise unter der Aszissenchse liegt? Wie muss dnn ei der Flächenerechnung vorgegngen werden? Ihr werdet sehen: Berechne ds estimmte Integrl und Berechne den Flächeninhlt können verschiedene Aufgen sein. Gk M OBB 006