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Kristina Holzmann
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1 Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = x sin( x + ) Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral x dx Aufgabe : ( VP) x. Lösen Sie die Gleichung ( x 8) ( e ) = Aufgabe : ( VP) Das Schaubild der Funktion f mit f(x) = x + x x besitzt einen Wendepunkt. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt. Aufgabe : ( VP) Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f. a) Welche Aussagen über F ergeben sich daraus im Bereich - < x < 7 hinsichtlich - Extremstellen - Wendestellen - Nullstellen? Begründen Sie Ihre Antworten. b) Begründen Sie dass F() F() > gilt. Zuletzt aktualisiert:..

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt. Aufgabe : ( VP) Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f.

2 Aufgabe : ( VP) Hinweis: ab der Abiturprüfung nicht mehr prüfungsrelevant Untersuchen Sie ob die Vektoren und linear unabhängig sind. Aufgabe 7: ( VP) Gegeben sind die Ebene E: + x und die Gerade g: x = x = + r. a) Veranschaulichen Sie die Ebene E in einem Koordinatensystem. b) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g und E. c) Bestimmen Sie den Abstand des Ursprungs von der Ebene E. Aufgabe 8: ( VP) Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt A im Raum. A liegt nicht auf g. A wird an der Geraden g gespiegelt. Beschreiben Sie ein Verfahren um den Bildpunkt A zu bestimmen. Zuletzt aktualisiert:..

b) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g und E. c) Bestimmen Sie den Abstand des Ursprungs von der Ebene E.

3 Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Lösungen Aufgabe : Die Ableitungsfunktion wird mit der Produktregel und der Kettenregel ermittelt: f(x) = u(x) v(x) mit u (x) = x v (x) sin(x + ) = u (x) = x v (x) = cos(x + ) (Kettenregel) Anwendung der Produktregel: f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) = x sin(x + ) + x cos(x + ) Aufgabe : dx x dx x x = = = x [ x x] = ( ) = Aufgabe : x ( x 8) ( e ) = Das Produkt ist genau dann wenn einer der beiden Faktoren ergibt:.faktor: x 8 = x = x = ± x x.faktor: e = e = x = ln x = ln Lösungsmenge: L = { ; - ; ln } Aufgabe : f(x) = x + x x f (x) = x + x f (x) = x + f (x) = Berechnung des Wendpunktes: f (x) = x + = x = Da f () = existiert bei x = eine Wendestelle. Mit f() = folgt WP(/-). Die Steigung der Tangente im Wendepunkt beträgt f () =. Aufstellen der Tangentengleichung mit y = f (u) (x u) + f(u) mit u = : y = f () (x ) + f() y = (x ) + ( ) y = x Zuletzt aktualisiert:..

: x ( x 8) ( e ) = Das Produkt ist genau dann wenn einer der beiden Faktoren ergibt:.faktor: x 8 = x = x = ± x x.

4 Zuletzt aktualisiert:.. Aufgabe : a) An der Stelle x = - und an der Stelle x = besitzt f Nullstellen. Bei x = - existiert ein Vorzeichenwechsel von + nach - dort besitzt F einen Hochpunkt. Bei x = existiert ein Vorzeichenwechsel von nach + dort besitzt F einen Tiefpunkt. An der Stelle x = besitzt f einen Extrempunkt daher hat F an dieser Stelle einen Wendepunkt. Ob F in diesem Intervall Nullstellen besitzt kann nicht beurteilt werden da es keine eindeutige Stammfunktion F von f gibt (aufgrund der Integrationskonstanten C). b) Es gilt = f(x)dx F() () F. Es handelt sich anschaulich um die Fläche die im Intervall x zwischen dem Schaubild von f und der x-achse existiert. Durch die Zusammensetzung der Kästchen kann man erkennen dass hierdurch eine Fläche entsteht die größer als ist. Deshalb ist die Behauptung wahr. Aufgabe : Prüfung der linearen Unabhängigkeit von und : Lösung des Gleichungssystems = + + t s r ) ( Daraus folgt eindeutig t = s = und r =. Damit sind die Vektoren linear unabhängig.

Ob F in diesem Intervall Nullstellen besitzt kann nicht beurteilt werden da es keine eindeutige Stammfunktion F von f gibt (aufgrund der Integrationskonstanten C). b) Es gilt = f(x)dx F() () F.

5 Aufgabe 7: a) Zur Veranschaulichung der Ebene müssen die Durchstoßpunkte von E mit den Koordinatenachsen berechnet werden: Schnittpunkt mit der x-achse: S (x / / ) S ( / / ) x x Schnittpunkt mit der x -Achse: Sx ( / x / ) S ( / / ) x Schnittpunkt mit der x -Achse: Sx ( / / x ) : Dies führt auf den Widerspruch =. Das heißt dass dieser Schnittpunkt nicht existiert. Die Ebene E ist parallel zur x -Achse. b) Zur Ermittlung der gegenseitige Lage der Gerade und der Ebene wird der Schnittpunkt von g und E berechnet. Einsetzen der Zeilen der Parameterform von g in die Koordinatengleichung von E: ( + r) + ( r) = = Diese Gleichung besitzt unendlich viele Lösungen. Dies bedeutet dass die Gerade g in der Ebene E liegt. x + x c) Hesse sche Normalform von E: = Einsetzen des Ursprungs in die HNF ergibt den Abstand Aufgabe 8: + d (OE) = =.Schritt: Aufstellen einer Hilfsebene H die den Punkt A enthält und die orthogonal zur Geraden g verläuft (das heißt der Normalenvektor von H ist der Richtungsvektor von g).schritt: Bestimmung des Schnittpunktes L der Hilfsebene H und der Geraden g.schritt: Berechnung des Punktes A mit dem Vektorzug Die Koordinaten des Ortsvektors Punktes A. OA' = OA + AL OA ' entsprechen den Koordinaten des Zuletzt aktualisiert:..

Die Ebene E ist parallel zur x -Achse. b) Zur Ermittlung der gegenseitige Lage der Gerade und der Ebene wird der Schnittpunkt von g und E berechnet.

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