Brownsche Bewegung, Diffusionsprozesse und Itos Lemma

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1 Fakulä für Volkswrschafslehre Ludwg-Mamlas-Uversä Müche Schwerpuksemar Bewerug vo Werpapere Sommersemeser Prof. Sve Rady Browsche Bewegug, Dffusosprozesse ud Ios Lemma Bereuug: Dpl.-Volksw. Markus Resger Verfasser: Mahas Kredler Werer-Fredma-Boge Müche Markelummer: Fachsemeser: 8

2 Glederug I. Eleug II. Browsche Bewegug (oder Weer-Prozess). Herleug über ee Radom Walk dskreer Ze. Defo 5 3. Egeschafe 6 a) Nch-Dfferezerbarke b) Markov-Egeschaf c) Erwarugswer ud Varaz d) Segke ud Pfadläge 4. Bespel: Der DAX währed ees Hadelsages 8 III. Dffusosprozesse (oder Io-Prozesse) 9.Defo 9. Wchge Prozesse a) Browsche Bewegug m Drf b) Geomersche Browsche Bewegug c) Mea-Reverg Process (oder Orse-Uhlebeck-Prozess) IV. Io-Formel 3. Herleug 3. Ierpreao 5 3. Bespel: der Logarhmus ees Akede über lägere Ze 6 V. Möglchkee ud Vorele seger Prozesse 7

3 VI. Ahag 8. Grafke 8 a) zu II.4.: Bespel: Der DAX währed ees Hadelsages 8 b) zu III..: Browsche Bewegug m Drf c) zu III..: Geomersche Browsche Bewegug d) zu III.3.: Mea-Reverg Process (oder Orse-Uhlebeck-Prozess e) zu IV.3.: Bespel: Der Logarhmus des DAX über lägere Ze 4. Mahemascher Tel 7 a) zu II.3 d: Segke ud Pfadläge 7 b) zu IV..: Herleug der Io-Formel 7 c) zu IV.: Ierpreao der Io-Formel: Jeses Uglechhe 3 d) zu VI.a: Smulao eer Browsche Bewegug 33 e) zu VI.b: Smulao eer Browsche Bewegug m Drf 33 f) zu VI.c: Smulao eer geomersche Browsche Bewegug 33 g) zu VI.d: Smulao ees Mea-Reverg Process 34 h) zu VI.e: Kosruko vo Erwarugswere ud Kofdezervalle der geomersche Browsche Bewegug 34 VII. Leraurverzechs 35 3

4 I. Eleug I vele Dszple, we de Igeeurwsseschafe oder der Klasssche Physk, de sch der Mahemak als Hlfsmel bedee, sehe deermssche Fukoe m Vordergrud. Be deermssche Fukoe s jedem Argume edeug e Fukoswer zugeorde. Wll bespelswese e Igeeur de Flugbah eer Rakee bereche, bede er sch gewsser mahemascher Werkzeuge, um de Rakeekoordae als ee Fuko der Ze zu erhale. Dam ka m Rahme bekaer Toleraze de Flugbah perfek vorhergesag werde. I adere Dszple, we der Quaephysk, der Medz oder der Wrschafswsseschaf, s es hgege mes ch möglch, ee solch schere Vorhersage zu reffe. Auf de Fazmärke s de Vorhersagbarke aufgrud der he ewohede Egeschafe besoders egeschräk. Würde ämlch der Kurs ees Werpapers eer deermssche Fuko folge, besüde de Möglchke zur Arbrage gerade das ka ch se. We Größe we der Pres ees Werpapers mahemasch als Fuko beschrebe werde solle, sd also Asäze voöe, de ee sochassche Kompoee aufwese. E esprechedes Isrumearum bee u.a. sochassche Prozesse. Für de Awedug Fazmarkmodelle sd sbesodere de sogeae Dffusos- oder Io-Prozesse vo Ieresse, dee sowohl deermssche als auch sochassche Aele de Modellerug egehe. So köe z.b. de lagfrsge Ewcklug ees Akede als ee Zusammesezug ees lagfrsge epoeelle Treds als deermsscher Kompoee ud kurzfrsge errasche Abwechuge als sochasscher Kompoee gesehe werde. Als Grudlage zur Modellerug eer sadardsere errasche Kompoee seger Ze de of de sogeae Browsche Bewegug. Auf der Bass deses Kozepes köe da durch mahemasche Erweeruge komplzerere Prozesse beschrebe werde. Das Kozep der Browsche Bewegug samm ursprüglch aus der Physk. Der eglsche Boaker Rober Brow hae 87 fesgesell, dass Wasser schwmmede Polleelche uer dem Mkroskop merkwürdg h- ud herzerde Bahe folge, obwohl se edeug ch mehr lebedg ware. Physker selle späer fes, dass dese Beweguge durch das sädge Bombardeme der Polleelche durch de Wassermoleküle hrer umelbare

5 Umgebug verursach wurde. Späer auche auch adere Bereche der Physk, we z.b. der Quaemechak, de Nowedgke auf, ch-deermssche Prozesse mahemasch zu beschrebe. De erse mahemasche Theore zur Browsche Bewegug wurde 95 vo Alber Ese ewckel; für dese Lesug erhel er späer de Nobelpres. Im Melpuk deser Arbe soll ee egägge, möglchs uve Beschrebug der Browsche Bewegug, eger Dffusosprozesse ud der Io-Formel sehe. De mahemasche Egeschafe der vorgeselle Prozesse werde bezüglch hrer Relevaz auf Fazmärke beschrebe ud m realwrschaflche Daerehe verglche. De Darsellug häl sch m Weselche a das Kapel 3 Ivesme uder Uceray vo A. D ud R. Pdyck ud de Ahag vo Asse Prcg vo J. Cochrae. Sochasc Dffereal Equaos vo B. Øksedal, e Buch aus der mahemasche Fachleraur, geh ur ee Herleug m Ahag e. II. Browsche Bewegug (oder Weer-Prozess) II.. Herleug über ee Radom Walk dskreer Ze De Browsche Bewegug (auch Weer-Prozess gea) s e errascher Prozess seger Ze, der als Grezwer ees Radom Walks dskreer Ze hergelee werde ka. M Hlfe deser Herleug ka aschaulch dargesell werde, warum es svoll s, de Browsche Bewegug m besmme Egeschafe we z.b. der Normalverelug der Ikremee zu defere. Herzu wrd e Radom Walk ohe Drf eer Varable über e Zeervall T berache. Deses große Zeervall T wrd glech lage klee Iervalle m Läge aufgeel. I jeder deser Perode ka sch de Varable um de Berag h eweder ach obe oder ach ue bewege. E Sprug ach obe bzw. ue erfolg jedem Zeervall jewels m der Wahrschelchke ½. Dadurch ergb sch e rekombereder Bomalbaum 3, der für dre Perode grafsch we folg dargesell werde ka: De Herleug der Browsche Bewegug aus dem Radom Walk häl sch a D/Pdyck, Kapel 3,.B. De bede Wahrschelchkee köe auch uerschedlch groß se (we der Herleug vo D ud Pdyck). Da ergb sch e Radom Walk m Drf. De eressae Implkaoe der Herleug köe aber auch be gleche Wahrschelchkee erhale werde ud de Herleug s weger komplzer. 3 De Tasache, dass de Techk der rekomberede Bomalbäume der Pras vo Ivesme-Baker be der Bewerug eoscher Werpaperdervae agewad wrd, zeg, dass de Browsche Bewegug als

6 ... +3h +h +h -h -h -3h... /8 /4 / 3/8 / / 3/8 /4 / Scho ach zwe bs dre Perode s zu erkee, dass am Ede -Were ahe am Ausgagswer m größerer Wahrschelchke aufree werde als -Were am obere ud uere Ede der Verelug. Das leg dara, dass Were der Me über mehr Pfade errechbar sd als de Eremwere obe ud ue. So s z.b. 3 der Wer + h be dre verschedee Ewckluge vo errechbar 4, der Wer + 3h hgege ur be eem Hergag des Prozesses ämlch dre Aufwärsbeweguge Folge. Dese Wahrschelchkesverelug m eer große Wahrschelchkesmasse be mlere Were ud klee Wahrschelchkee a de Ede fde ma auch be der Normalverelug; asächlch s es so, dass de de Radom Walk beschrebede Bomalverelug gege de Normalverelug koverger, we uedlch groß wrd. Um über de Verelugsegeschafe vo zuküfge Were Aussage reffe zu köe, s es owedg, zuers de Egeschafe der Dffereze zwsche de -Were a zwe aufeader folgede Zepuke zu berache. Dese Dffereze, de Ikremee gea werde, werde we folg bezeche: + Grezwer des Radom Walk de Realäe der Fazmärke wegses überschaubare Zeabsche hreched gu abblde. 4 ämlch be de Abfolge auf-auf-ab, auf-ab-auf ud ab-auf-auf 3

7 s ee Zufallsvarable, de de Were h ud h aehme ka. Für Erwarugswer ud Varaz vo gl: E( ) h h Var( ) ( h ) + ( h ) ( h) M Hlfe deser Were ka ma da de Verelugsegeschafe für de kumulere Veräderug vo über das Gesamervall T, also, besmme. Dese kumulere Veräderug s de Summe aller ezele Ikremee. Der Erwarugswer für de Summe deser Ikremee s glech der Summe der Erwarugswere aller Ikremee, also. De ezele Ikremee sd ach der Defo ees Radom Walks uabhägg; deswege s auch de Varaz vo - efach de Summe der Varaze der ezele Var( ) ( h ) ( h) T Ierhalb des Iervalls solle u de Telervalle mmer kleer werde ud schleßlch gege de Größe gehe, um de gewüsche Prozess seger Ze zu erhale. Das Problem s es, de Parameer h so zu wähle, dass der Prozess auch m Grezwer och de gewüsche Egeschafe ha ud Erwarugswer sowe Varaz svolle Were aehme. Für de Erwarugswer s de Wahl vo h uerheblch, da deser mmer bleb, egal we groß h s. Als problemasch erwes es sch, h so zu wähle, dass de Varaz m Grezwer och svoll defer s. Wähl ma bespelswese für h ee Kosae, so geh de Varaz vo - gege uedlch, we de Zeervalle mmer kleer werde. Es s also klar, dass h ee Fuko der Größe der Iervalle se muss; de Sprüge dem Radom Walk müsse mmer kleer werde, je kleer de Zeervalle werde. I eem weere Versuch köe ma h σ wähle. Dam wäre de Varaz σ T ud würde gege gehe, we uedlch kle würde. Es sell sch heraus, dass es ur ee Möglchke gb, ee edlche, posve Varaz zu erhale. h wrd folgedermaße gewähl: h σ De Größe der Schre m Radom Walk s also ee leare Fuko der Wurzel der Größe des Zeervalls. De Ikremee der Varable m Radom Walk bzw. späer de der Varable z der Browsche Bewegug sd also vo der Größeordug der Wurzel vo ee Egeschaf, de vele Belage vo großer Bedeuug se wrd. Es s hlfrech, sch deses Przp a eem Bespel klarzumache: Wähl ma σ ud ee Zeehe T vo eer Sekude, so wäre de Ikremee be eer Zerlegug Huderselsekude mmer- 4

8 h vo der Größe e Zehel; berachee ma ee Zerlegug Mlloselsekude, läge de Größe be eem Tausedsel. Das Verhäls vo Schwakug zu Iervall wrd also mmer größer, je kürzer das Iervall wrd. Dese Egeschaf der Browsche Bewegug führ zu ege ugewöhlche Implkaoe, de wrschaflch höchs releva sd. Zusammefassed läss sch sage, dass de Ikremee der Browsche Bewegug über das Zeervall T folgede Egeschafe habe müsse, we se aus dem gerade beschrebee Radom Walk hergelee werde solle: Normalverelug der Ikremee Ikremee der Größeordug Voeader uabhägge Ikremee, egal welcher Aufelug vo T Saoäre 5 Ikremee II.. Defo De Browsche Bewegug wrd als Prozess eer Varable z über de Ze defer. z bezeche dabe de Wer vo z zum Zepuk. De Defo des Prozesses erfolg we bem Radom Walk über de Dffereze, de zwsche de Were vo z zu Afag ud Ede belebger Zeervalle besehe: z z + z ~ N(, ) bzw. z ε wobe de Zedsaze vo belebger Läge se köe ud ε ee sadardormalverele Zufallsvarable s. Be eem Radom Walk folge de Ikremee eem sogeae Whe-Nose-Prozess, d.h. eem saoäre Prozess, be dem de ezele Ikremee voeader uabhägg sd. Geau de gleche Egeschafe habe de Ikremee z der Browsche Bewegug: Der Erwarugswer jedes Ikremes z s. We de Iervallläge kosa gehale wrd, s de Varaz der Ikremee z mmer glech groß, egal welche Were der Prozess z oder de Ze aehme. 5 Des bedeue, dass de Ikremee zum Zepuk de gleche Verelugsegeschafe habe we zum Zepuk + s, für belebges s >. 5

9 E wchger Gedakeschr bem Übergag vom Radom Walk dskreer Ze zur Browsche Bewegug seger Ze s, dass de Zeervalle uedlch kurz werde köe. Für das Ikreme der Browsche Bewegug eem solche fesmal kurze Iervall schreb ma da dz. dz s defer als: dz lm ( z+ z ) Be der obe beschrebee Defo der Browsche Bewegug werde dre weselche Aahme a de Ikremee dz ud dam für de Prozess geroffe: De Ikremee sd voeader sochassch uabhägg: Für < < 3 gl: z( ) z( ) uabhägg vo z( 3 ) z( ) De Ikremee sd saoär, d.h. hre Verelug s uabhägg vo. De Ikremee z sd ormalverel. II.3. Egeschafe a) Erwarugswer Der Erwarugswer ees Ikremes z der Browsche Bewegug ha de Erwarugswer für jedes Zeervall, gaz glech welcher Läge es s. Deswege s der Erwarugswer vo z + mmer der gerade akuelle Wer vo z : E ( z z + ) De Browsche Bewegug ha also de Markov-Egeschaf: I de Vorhersage für zuküfge Were vo z +s geh mmer ur der akuelle Wer z e; de gesame Ewcklug vo z davor s ch releva. Dese Egeschaf mach de Browsche Bewegug zu eem eressae Prozess für de Modellerug vo Größe auf Fazmärke. Dor ka ma davo ausgehe, dass alle über de Zukuf erhällche Iformao Sekudeschelle de Pres m ebezoge wrd. Der akuelle Pres, de de Eschäzuge aller Markelehmer über de zuküfge Ewcklug der Alage egehe, solle kee sysemasche Über- oder Uerschäzug des Erwarugsweres des zuküfge abdskoere Preses aufwese asose wäre Arbrage möglch. Zudem solle es auf formaoseffzee Fazmärke ch möglch se, m Hlfe lech erhällcher Iformao we der hsorsche Ewcklug ees Werpaperpreses 6

10 überdurchschlche Rede zu erzele. Köe ma ämlch aus der Hsore der Alehe verlässlche Vorhersage über de zuküfge Werewcklug ablee, würde sch bald alle Markelehmer deser Techk bedee. De verlässlche Vorhersage würde de Pres des Werpapers aufgeomme werde ud der Erwarugswer für zuküfge Prese hge weder ur vom akuelle Pres ab der Presprozess häe weder de Markov-Egeschaf. b) Varaz ud Sadardabwechug De Varaz der Ikremee der Browsche Bewegug wächs lear m der Läge des Zeervalls: Var z z bzw. Var( dz ) d ( + ) De Auswrkug deser Egeschaf wrd klar, we ma ee ypsche Abwechug vo z, ämlch desse Sadardabwechug berache: σ ( z+ z ) Var( z+ z ) z s also vo der Größeordug der Quadrawurzel des Zeervalls ; ee Egeschaf, de be vele der weere Schre ee eschedede Rolle spele wrd. Kokre bedeue das, dass für lägere Zeervalle de ypsche Abwechug relav zur versrchee Ze kleer s ud de vele errasche Bewegug dazu edere, sch ewas auszugleche. Verhuderfach ma bespelswese das Zeervall, wrd sch de Sadardabwechug ur verzehfache. Umgekehr gl auch, dass sehr klee Zeervalle relav große Abwechuge z aufwese: Tel ma e Zeervall durch huder Tele, so s de Sadardabwechug jedem der Telervalle mmerh e Zehel der Sadardabwechug des vorherge Iervalls. Auch dese Egeschaf erwes sch als passed be der Beschrebug vo Kapalmärke: So wese z.b. Akedzes währed ees Tages of gaz erheblche Schwakuge auf, über mehrere Jahrzehe hweg gesehe erwes sch dese kurzfrsge errasche Bewegug jedoch als weg releva ud es domer der epoeelle Aufwärsred. 7

11 c) Nch-Dfferezerbarke De ereme Ausschläge der Browsche Bewegug kurze Zeervalle führe außerdem zu eer weere wchge Egeschaf: Der Pfad der Browsche Bewegug s a keer Selle dfferezerbar. Des folg mahemasch aus der Defo der Ableug: lm z ε lm ε lm ± De Nch-Dfferezerbarke s ee Egeschaf, de be eem mahemasche Prozess zur Modellerug vo Zerehe auf Fazmärke erfüll se muss. Wäre ämlch de Kurve des Preses ees Fazels dfferezerbar, wüsse ma, welche Rchug sch der Pres m ächse Zeervall bewege. Dam allerdgs wäre Arbrage möglch geau das jedoch darf ch der Fall se. d) Segke ud Pfadläge De Browsche Bewegug ha weere eressae mahemasche Egeschafe, de jedoch für hre Verwedug zur Beschrebug vo Fazmärke kee große Bedeuug habe. So folg z.b. jede Realserug eer Browsche Bewegug eem sege Pfad der Ze. Theoresch wäre es allerdgs für wrschaflche Modelle ch zwged owedg, kee Sprüge be Prese, Zse ud adere Varable zuzulasse. 6 Außerdem ka ma zege, dass de Browsche Bewegug auf jedem also auch jedem belebg kurze Zeervall ee uedlche Pfadläge ha. Iuv läss sch des wederum dadurch begreflch mache, dass de Browsche Bewegug relav zur Ze um so mehr h- ud herzer, je kürzer de berachee Zeervalle werde. 7 Jedoch s auch dese Egeschaf vo weg Ieresse be wrschaflche Frageselluge. II.4. Bespel: Der DAX währed ees Hadelsages E Bespel, auf das das Modell der Browsche Bewegug agewede werde köe, s der DAX über ee Hadelsag hweg gesehe. Währed ees Tages s der lagfrsge Aufwärsred des Ide zu verachlässge ud der Erwarugswer für de Sad am Ede 6 Es gb sogar Prozesse, de solche Sprüge eplz erlaube ud modellere, ämlch de sogeae Jump Processes ( D ud Pdyck, Kapel 3.6, erklär). 7 Weere Erläuerug zur uedlche Pfadläge m Ahag (VI.a) 8

12 des Tages dürfe zemlch geau seem Eröffugssad a desem Tag espreche. Grafke m Ahag (VI.a) zege ee Gegeübersellug des DAX 3 am. März ud eer Smulao der Browsche Bewegug. Ma seh, dass bede Prozesse offebar ählche Geseze gehorche. Jedoch s m bloßem Auge aürlch ch zu erkee, ob de Kurve des DAX a jeem Tag wrklch de Aahme der Browsche Bewegug erfüll. Doch auch be geauerer Prüfug der Dae komm ma zu dem Schluss, dass de Browsche Bewegug ke perfekes, aber e durchaus passables Modell für de Kursverlauf des DAX a desem wohlgemerk relav ruhge Hadelsag s. 8 III. Dffusosprozesse (oder Io-Prozesse) III.. Defo Um reale Wrschafsgröße zu modellere, wrd sele ee ree Browsche Bewegug geege se. So s be vele Varable e sädger Aufwärsred zu beobache, der be der ree Browsche Bewegug ch modellerbar s. Des Weere köe ma z.b. ee Prozess darselle wolle, desse Varaz sch m der Ze bzw. der Größe der Varable selbs veräder. Dese Möglchkee ud vele adere mehr köe m sogeae Dffusosprozesse (auch Io-Prozesse) abgeblde werde. De allgemee mahemasche Darsellug ees Dffusosprozesses laue folgedermaße: d a(, ) d + b(, ) dz Dabe sd a ud b deermssche Fukoe vo ud. De Ikremee vo seze sch also aus zwe Tele zusamme: aus eem deermssche Gled, das d ehäl ud z.b. ee Tred über de Ze erfasse köe, ud aus eem sochassche Gled, das de Browsche Bewegug dz als errasche Kompoee egeh. E Dffusosprozess s also ee Kombao vo deermssche ud sochassche Prozesse. Dabe s vor allem zu beache, dass sowohl de Ze als auch der akuelle Wer des Dffusosprozesses jewels de Fukoe a ud b egehe köe. Das heß kokre, dass sowohl der Tred m erse Term als auch de errasche Kompoee m zwee Term m der Ze varere köe. So köe z.b. de Ikremee m der Ze kleer werde 8 Sassche Tess ud Grafke sd m Ahag (VI.a) zu fde. 9

13 ud es köe sch glechzeg de Varaz der sochassche Kompoee verkleer. Des Weere s es möglch, dass de Realseruge des Prozesses sowohl de weere Tred als auch de sochassche Kompoee m weere Verlauf beeflusse. Zur Illusrao köe ee Varable dee, dere Ikremee be höhere Were vo edezell größer werde. Dese Varable würde also umso särker wachse, je größer der akuelle Wer wäre. Glechzeg köe der Prozess z.b. ee höhere Varaz habe, je größer de -Were sd. Im Folgede werde dre Dffusosprozesse vorgesell, de besoders wchg be der Modellerug vo Varable auf Kapalmärke sd. III.. Wchge Prozesse a) Browsche Bewegug m Drf De Browsche Bewegug m Drf 9 s das sege Aalogo zum Radom Walk m Drf ud de efachse Erweerug der Browsche Bewegug: d α d + σ dz Dabe bezeche α de Drfrae, also de erwaree Zuwachs vo eer Zeehe. De wrklche Ikremee sd jedoch um α herum gesreu, da ja auch de sochassche Kompoee auf der reche See des Pluszeches das Ikreme m egeh. Dabe s σ der Varazparameer. Je größer σ s, deso särker s de errasche Kompoee m Verglech zur Drfkompoee α. We bem Radom Walk m Drf gl, dass de Ikremee des Prozesses m Sadardabwechug σ um de Melwer α verel sd. Es s ch efach, Aweduge zur Browsche Bewegug m Drf aus der Wrschafswel zu fde, da kosa wachsede wrschaflche Größe we das BIP, e Pres- oder Akede fas mmer epoeeller ud ch learer Form zuehme. Meses s für de Modellerug derarger Zerehe de geomersche Browsche Bewegug besser geege, de eg m der Form m Drf verwad s, we späer och ausführlch erläuer wrd. 9 Ee Smulao der Browsche Bewegug m Drf s m Ahag (VI.b) zu fde

14 b) Geomersche Browsche Bewegug De geomersche Browsche Bewegug s we folg defer: d α d + σ dz bzw. d α d + σdz I desem Fall sd ch de absolu gemessee Ikremee, soder de Ikremee relav zum akuelle Wer ormalverel um de Drfrae α. Besoders der zwee Glechug obe wrd deulch, dass e eger Zusammehag zu der Form m Drf beseh. Allerdgs sd be der geomersche Browsche Bewegug de prozeuale Wachsumsrae, ch we vorher de absolue Zuwächse, um de mlere Wachsumsrae α herum m Sadardabwechug σ ormal verel. Dese Ar vo Prozess köe z.b. für ee Größe Frage komme, de jährlch um durchschlch % wächs, dere Wachsumsrae aber vo Jahr zu Jahr um dese Durchschswer schwake. Für de Awedug der geomersche Browsche Bewegug komme also ee Fülle vo wrschaflche Größe Frage: Akedzes, Prese ezeler Werpapere, aber auch Presdzes ud das BIP, we ma de Kojukurzykle herausreche bzw. aderweg das Modell m ebezehe köe. Auf lage Sch ähel de geomersche Browsche Bewegug eer Kurve Form eer Epoealfuko e Muser, dem z.b. auch eem Akede über mehrere Jahrzehe hweg berache folg. Des ka ma de Grafke m Ahag (VI.c) erkee, dee der DAX se 988 eer smulere geomersche Browsche Bewegug gegeüber gesell s. Am Verlauf der bede Kurve ka ma auch gu ee weere Egeschaf der geomersche Browsche Bewegug erkee: Nch ur der Erwarugswer der Ikremee des Prozesses wrd be höhere Were des DAX bzw. vo mmer größer, soder auch dere Varaz. Je weer der DAX seg, umso höher sd auch de Schwakuge, we se absolue DAX-Puke gemesse werde. Mahemasch schläg sch das der sochassche Kompoee σ dz der erse Glechug obe eder: Ihre Varaz wächs m. We ma de Grafk des DAX über 3 Jahre m der vorher berachee Kurve des DAX über ee Tag verglech, r ee grudlegede Egeschaf vo Dffusosprozesse m Allgemee zu Tage: Währed ees Tages domer de errasche Kompoee de Drf so sark, dass er m Modell verachlässg werde ka. I der lage Frs jedoch beherrsch Sassche Tess des DAX auf Kompablä m de Aahme eer geomersche Browsche Bewegug sehe Ahag (VI.e)

15 de deermssche Kompoee das errasche Zer ud de Kurve des DAX ha äherugswese ee epoeelle Form. c) Mea-Reverg Process (oder Orse-Uhlebeck-Prozess) E weerer eressaer Prozess zur Modellerug wrschaflcher Größe s der Mea- Reverg Process: d η ( µ ) d + σdz Der Term auf der lke See des Pluszeches bewrk ee Tred h zum Melwer µ. Je weer sch der akuelle Wer vo desem Melwer efer, deso särker s deser Tred. De Kosae η vor der Klammer ka als Geschwdgkesparameer aufgefass werde. Je größer η s, deso scheller wrd der Prozess zu µ hgezoge. Auf der reche See des Pluszeches seh we üblch der errasche Term. Deser mach überhaup ers ee Eferug vom Melwer möglch. Der Mea-Reverg Process ka zur Modellerug aller Größe beuz werde, de zwar Schocks uerlege, aber lagfrsg mmer weder auf ee Glechgewchswer zurückdräge. Des köe z.b. be flaosberege Prese für Güer der Fall se, be dee sch de Produkoskose lagfrsg ch mehr veräder, wel ewa de echologsche Möglchkee so gu we ausgerez sd. We auf dem Mark für e solches Gu perfeker Webewerb herrsch, Agebo ud Nachfrage aber Schocks uerlege, solle der Pres zwar volal se. Lagfrsg aber würde er mmer weder auf das Nveau der Produkoskose zurückdräge. Auch be reale Wechselkurse solle es ählche Effeke gebe: Das Theorem der Kaufkrafparä seer schwache Form besag, dass der reale Wechselkurs zwsche zwe Läder lagfrsg kosa s. De Kurse uerlege aber zuglech durch de Volalä a de Devsemärke mmer weder Schocks, de de reale Wechselkurs vo der Glechgewchsrae abbrge. Ee weere Awedugsmöglchke des Mea-Reverg Process wäre de Modellerug vo Zssäze. We es so ewas we ee lagfrsge durchschlche Zsrae Wche der Kurs vo desem Glechgewchswer ab, köe Hädler aus dem Lad m der uerbeweree Währug Güer das adere Lad eporere ud so überdurchschlche Gewe mache. De Nachfrage ach der uerbeweree Währug würde sege ud der reale Wechselkurs käme weder s Glechgewch.

16 für ee Volkswrschaf gb, um de de Zse sädg pedel, dürfe der Mea-Reverg Process für de Modellerug vo Zssäze geege se. IV. Io-Formel IV.. Herleug M de bs jez dskuere Prozesse ka ma velerle Aussage über ezele Größe auf de Kapalmärke reffe. Of aber eresser ch ubedg de Ewcklug eer Größe selbs (we z.b. des DAX, der Zse ec.) soder ee Fuko deser Größe (z.b. der Nuze aus dem Wer ees Werpapers, der Pres ees Dervas ees Werpapers ec.). Be solche Berechuge s of de Io-Formel vo großem Nuze. s weerh e belebger Dffusosprozess, we er scho Absaz III.. defer wurde: d a(, ) d + b(, ) dz () F( ) bezeche ee belebge deermssche Fuko vo, de mdeses emal ud zwemal dfferezerbar s. 3 Be F( ) köe es sch z.b. um de Logarhmus eer Daerehe oder de Nuzefuko ees Idvduums Abhäggke vom Wer sees Porfolos hadel. Ma berache u ee Taylor-Rehe 4. Ordug, um de Äderug df der Fuko F( ) zu besmme: F F F F F df d + d + (d ) + dd + (d ) () Zel s es, df ur och als Fuko der Gleder d ud dz zu schrebe, dere Egeschafe beka sd. Alle Terme, dee d vorkomm, werde also m Folgede umgeform. Dabe soll auch besmm werde, welche Terme vo der Größe her verachlässg werde köe, we d sehr kle wrd. Offeschlche Kaddae dafür sd de Terme zweer Voraussezug für das Theorem s, dass de bede Läder meader Hadel rebe ud Trasporkose kee überragede Rolle spele. I Grafke m Ahag (VI.d) sd ee lagfrsge Zskurve, der Wechselkurs DM/USD ud de Smulao ees Mea-Reverg Process gegeübergesell. 3 Be F( ) köe es sch z.b. um de Logarhmus eer Daerehe oder de Nuzefuko ees Idvduums Abhäggke vom Wer sees Porfolos oder 4 sehe Ahag (VI.b) zur Erläuerug vo Taylor-Rehe 3

17 Ordug der Klammer rechs Glechug (). Zuers wrd de eschedede Varable (d ) m leze Term berache. Durch Eseze vo () ergb sch: ( d ) a (, )( d) + a(, ) b(, ) ddz + b (, )( dz ) (3) We scho Absaz II.3.b beschrebe, s dz vo der Ordug der Quadrawurzel vo d; also s (dz ) ud som der gesame leze Term (3) vo der Ordug d. Der gemsche Term der Me s vo der Ordug (d) 3/. We u d sehr kle wrd, spel ur och der Term vo Ordug d ee Rolle, de Terme vo Ordug (d) bzw. (d) 3/ gehe m Grezwer gege. Also ka ma schrebe: ( d ) b (, )( dz ) (4) Berache ma u de adere Gleder. Ordug der große Klammer Glechug (), seh ma, dass se vo höherer Ordug als d ud som zu verachlässge sd. Das erse Gled s offeschlch vo Ordug (d), das gemsche Gled der Me vo der Ordug (d) 3/. Der Term m (dz ) s also das ezge Gled. Ordug, das weer mgeführ wrd. Durch Eseze vo () ud (4) () ergb sch da: df F F d + [ a, ) d + b(, ) dz ] + b (, ) ( dz ) ( Es sell sch außerdem heraus, dass (dz ) ch ur vo der Ordug d, soder sogar glech d s. 5 Aus eem sochassche Term wrd also e deermsscher. De Umformug (dz ) d s keeswegs selbsversädlch. Des wrd be eem Blck auf das sochassche Gled m dz klar. dz s zwar vo der Ordug d, ma ka es aber ch efach d umwadel. Iuv läss sch dese Ideä vo (dz ) ud d wohl am ehese folgedermaße versehe: We dz quadrer wrd, werde auch aus de egave Ikremee dz posve Were (dz ) muss also als sreg posver Berag de Io-Formel egehe. Außerdem muss deser posve Berag m Mel de Größe d habe, da (dz ) m Erwarugswer glech d s. 6 F (5) 5 Der mahemasche Bewes dafür s m Ahag (VI.b, Behaupug ) zu fde. 6 Bewes sehe Ahag (VI.b, Behaupug ); der Erwarugswer ka desem Fall allerdgs ur als Veraschaulchug versade werde; schleßlch s dz m Erwarugswer glech, ka aber wederum ch efach durch ersez werde. 4

18 M Hlfe der gerade beschrebee Glechhe (dz ) d ud ach Grupperug der Terme deermssche (d.h. Terme m d) ud sochassche (d.h. Terme m dz ) ergb sch de Io- Formel: F F F F df + a(, ) + b (, ) d b(, ) dz + (6) IV.. Ierpreao Dass de Terme F F ud a(, ) de Io-Formel egehe, s ch wrklch überrasched. Erserer beschreb de dreke Tred vo F( ) der Ze, lezerer de Veräderug F( ), de drek über de Zered m Dffusosprozess bewrk wrd. Auch de sochassche Kompoee sell sch dar, we ma das uv erware würde: Je achdem, we sark de Fuko F( ) auf Veräderuge m Dffusosprozess reager (was sch m Term F ederschläg), wrk sch de errasche Kompoee dem Dffusosprozess auf de Fuko F() aus. ( ) dz b, aus b Scho eher verblüffed s de Tasache, dass der Term ( ), F der Io-Formel aufauch ud das auch och m deermssche Gled 7. Der Term ka als Korrekurfakor m Se vo Jeses Uglechhe 8 aufgefass werde. Er korrger de Erwarugswer vo df der Rchug der. Ableug vo F ach : We F( ) ee kovee Fuko s, s E[F( )] größer als F[E( )] ud der Term korrger ach obe h. Is F( ) hgege kokav, muss F[E( )] ach ue korrger werde. 7 We scho begrüde ergb sch das aus der Ideä vo (dz ) ud d. 8 Ee Erläuerug zu Jeses Uglechhe fde sch m Ahag (VI.c) 5

19 IV.3. Bespel: Der Logarhmus des DAX über lägere Ze De Io-Formel ha eressae Implkaoe, we ma se auf de Logarhmus eer geomersche Browsche Bewegug awede (we z.b., we vorher erklär, de DAX). Es zeg sch, dass ma m dem Hlfswerkzeug des aürlche Logarhmus vele Rückschlüsse auf de Ewcklug des egelch eresserede zugrude legede Prozesses zehe ka. Ma sez also d α d + σ dz 9 Nach Ios Lemma gl: ud ( ) l() F. df + + σ d σdz + α σ α d + σdz Der Logarhmus der geomersche Browsche Bewegug folg also eer Browsche Bewegug m Drf. Über lezere s es veler Hsch lecher, Aussage zu reffe. So ka ma z.b. lecher de Erwarugswer ud Kofdezervalle besmme. Sez ma de erhalee Were de Epoealfuko e, erhäl ma de esprechede Größe für de zugrude legede Prozess. Außerdem s es jez sehr lech zu sehe, dass de Were vo F ormal verel sd. Für de Were vo bedeue das, dass se logormal verel sd. Ieressa s außerdem, dass der Logarhmus vo ch m der Rae α wächs, soder ur m α σ. Herbe mach sch der obe beschrebee Korrekurerm aus der zwee Ableug vo F bemerkbar: Da der aürlche Logarhmus ee kokave Fuko s, werde große Were vo bem Eseze F der Relao zu klee mehr gesauch. Be der Bldug des Erwarugsweres muss also m Verglech zum l[e( )] och ach ue korrger werde ud zwar umso mehr, je weer de Were vo sreue also je größer de Varaz σ s. 9 sehe Kapel III..b sehe Grafk zum Logarhmus des DAX über de leze 3 Jahre m Ahag (VI.e) Im Ahag (VI.e) werde Erwarugswere ud Kofdezbäder für de geomersche Browsche Bewegug bereche ud grafsch llusrer. e F() 6

20 V. Vorele ud Probleme seger Prozesse We de Browsche Bewegug ud hr verwade Dffusosprozesse zur Modellerug vo Fazmarkgröße verwede werde, ka sch eveuell de Normalverelugsaahme der Ikremee als problemasch herausselle. Wahrschelch komme erem sarke Sprüge de Kurse häufger vor, als des uer der Normalverelugsaahme zugelasse wrd. 3 E Ausweg wäre es, de Ikremee eer Verelug folge zu lasse, de mehr Wahrschelchkesmasse a de Ede (Tals) der Verelug aufwes. Ee weere Möglchke s de Verwedug vo sogeae Jump Processes 4. Dese Prozesse sd ab ud a useg ud wese Sprüge ach obe oder ue auf. E eschededer Vorel seger Prozesse gegeüber dskree s, dass be der Verwedug vo sege Prozesse häufg Lösuge geschlosseer Form möglch sd, selbs we das bem dskree Aalogo ch möglch s. So ka ma z.b. für ee Varable, de eer geomersche Browsche Bewegug folg, ee relav efache Dchefuko für de Realseruge der Varable der Zukuf agebe. Zeh ma hgege ee passede Form des Radom Walk zur Modellerug hera, s de Wahrschelchkesfuko für zuküfge Were höchs komplzer. Des Weere s de Aahme der sege Ze auf de heuge Fazmärke höchs realssch: Es ka rud um de Uhr a rgedeem Or auf dem Globus gehadel werde, durch modere Iformaosechologe ka ma sch sädg über de euese Ewckluge der Märke auf dem Laufede hale ud m Hlfe vo Compuerezwerke köe Geschäfe Sekudeschelle abgewckel werde. De Browsche Bewegug ud hre Erweeruge blde dabe e Isrumearum, das de Bewerug dverser Fazel sehr erlecher ka. 3 Deser Schluss leg z.b. be der Berachug des Q-Q-Dagramms der Log-Rede des DAX über 3 Jahre ahe (Ahag, VI.e). Im Q-Q-Dagramm werde de uer der Normalverelugsaahme erwaree Were gege de wrklche Were aufgerage. Ma seh, dass es Probleme a de Ede der Verelug gb: Es gb mehr Ausreßer, als des uer der Normalverelugsaahme zu erware wäre. 4 Jump Processes werde D ud Pdyck, Kapel 3.6, erläuer. 7

21 VI. Ahag VI.. Grafke a) zu II.4.: Bespel: Der DAX währed ees Hadelsages Gegeübersellug der Smulao eer Browsche Bewegug ud des DAX 3 am Freag, de. März : 5 54 Browsche Bewegug 4 3 DAX Perode : : : : 3: 4: Ze 5: 6: 7: 8: 9: Quelle: Egee Smulao 5 Daequelle: Bloomberg Facal Servces Gegeübersellug der Ikremee pro Perode der smulere Browsche Bewegug ud der mülche Ikremee des DAX 3 am Freag, de. März : Es sche, dass es bem DAX mehr Ausreßer gb als be der smulere Browsche Bewegug ud dass de Varaz bem DAX über de Ze ch gaz kosa s. Asose wese de bede Prozesse sehr große Ählchke auf. 5 Verwedee Techk zur Smulao eer Browsche Bewegug sehe mahemascher Ahag (VI.d) 8

22 De Normalverelugsaahme sche für de Ikremee des DAX allerdgs problemasch zu se. Im Hsogramm ersche de Verelug eer Normalverelug och sehr ählch (außer vellech, dass mmerh 5 der 6 mülche Ikremee m Berag größer als 7 Puke sd, ud das be eer Sadardabwechug vo ur,83 Puke). Berache ma hgege das Q-Q-Dagramm der Ikremee 6, seh ma, dass be der Normalverelugsaahme zwe ascheed sysemasche Probleme aufree: Erses ud ch ubedg sehr überrasched gb es a de Ede der Verelug zu vele Ausreßer. Zwees ud das verblüff scho eher lege zu vele Were drek um de Melwer herum. Deses Muser bleb übrges auch erhale, we de Dae logarhmer werde ud da de Dffereze geblde werde Q-Q-Dagramm vo Normal vo DHIGH Häufgke Ikreme pro Mue Erwareer Wer vo Normal Beobacheer Wer Ieressa s außerdem de Frage, ob de Ikremee wrklch uabhägg voeader sd, so we das vo de Aome der Browsche Bewegug geforder wrd. Be der Auokorrelaosfuko seh ma, dass des wohl ch der Fall s, außer vellech für de Lag. Ierhalb eer Mue sd de Ikremee sgfka posv korreler. Das leg wohl dara, dass e Iervall der Läge Mue selbs auf dem Sad der heuge Techologe zu kurz s, als dass dar scho e euer Iformaosschub komple de Kurse egepres werde köe. 6 Das Q-Q-Dagramm räg de uer der Normalverelugsaahme vorhergesage Were gege de wrklch beobachee Were ab. 9

23 Auokorrelaosfuko der Ikremee des DAX:. DHIGH Kofdezhöchsgrez e ACF -. Koeffze Lag-Nummer b) zu III..: Browsche Bewegug m Drf Smulao eer Browsche Bewegug m Drf: 5 Browsche Bewegug m Drf Perode Quelle: Egee Smulao

24 De Smulao ha pro Perode ee Drf vo, ach obe ud dauer Perode. Ihr Erwarugswer vom Zepuk aus gesehe (dargesell durch de rosa Gerade) für das Ede der Smulao s also der Wer. Besmm ma allerdgs de Erwarugswer 5 weder eu, komm ma zu eem Erwarugswer we uer (dargesell durch de blaue Gerade). Das leg dara, dass der Prozess 5 ee edrgere Wer amm als erware. Aufgrud der Markov-Egeschaf spele de frühere Erwaruge 5 allerdgs kee Rolle mehr; jez eresser ur der akuelle Wer des Prozesses be der Bldug des eue (durch de bsherge Pfad bedge) Erwarugsweres. De blaue Parabel sd 66%-Kofdezervalle für de Were des Prozesses ab 5. 7 c) zu III..: Geomersche Browsche Bewegug Gegeübersellug der Smulao eer smulere geomersche Browsche Bewegug ud des DAX 3 über de leze 3 Jahre: Geomersche Browsche Bewegug Perode DAX Daum 3.. Quelle: Egee Smulao Quelle: Bloomberg Facal Servces Absolue Ikremee der bede Prozesse: Smulaos-Seg ud Berechug der Iervalle sehe VI.e

25 Be de Ikremee s jewels ee Trcherform zu erkee. Das rühr daher, dass be der geomersche Browsche Bewegug de Varaz der Ikremee m dem Wer des Prozesses selbs wächs. Ma seh jedoch, dass de Varaz bem DAX ch kouerlch wächs, soder Me der 9er Jahre m dem Eseze des Techologe-Booms schlagarg eploder. Des köe ee Verlezug der Aahme der geomersche Browsche Bewegug bedeue. Ee geauere Uersuchug der Frage, ob der DAX se 988 eer geomersche Browsche Bewegug folg, fde späer Puk VI..e sa. d) zu III.3.: Mea-Reverg Process (oder Orse-Uhlebeck-Prozess) Gegeübersellug ees smulere Mea-Reverg Process 8, des Lbor-Zssazes 9 über 9 Tage se Afag 984 ud des Wechselkurses zwsche DM ud USD se Afag 97: 6 Mea-Reverg Process Perode Quelle: Egee Smulao (Melwer: ) 8 Smulaos-Seg fde sch VI..g 9 Der Lbor s der Ierbake-Zssaz Großbrae. Her m Bespel wurde der Saz für ee Lehe über 9 Tage gewähl.

26 8 6 4 Lbor 9 Tage Daum Quelle: Bloomberg Facal Servces 4 3,5 3 Kurs DM/USD,5,5, Daum Quelle: Bloomberg Facal Servces 3

27 e) zu IV.3.: Bespel: Der Logarhmus des DAX über lägere Ze Logarhmus des DAX über de leze 3 Jahre sowe desse Ikremee: 8,5,5 l(dax) 8 7,5 7 6,5 Ikremee vo l(dax),,5 -,5 -, Daum -,5 Ze Folge der DAX eer geomersche Browsche Bewegug, so müsse se Logarhmus eer Browsche Bewegug m Drf folge. Be der erse vsuelle Ispeko des Logarhmus des DAX seh auch alles daach aus. Allerdgs seh ma am Dagramm der Ikremee, dass de Varaz der Ikremee wohl ch über de Ze kosa s, we das be eer Browsche Bewegug m Drf der Fall se müsse, soder zu mache Zee größer s als zu adere. Weere Probleme m de Aahme der Browsche Bewegug ree we scho bem DAX über ee Tag be der Ispeko des Q-Q-Dagramms auf. Weder gb es zu vele ereme Were a de Ede der Verelug (vor allem zu vele erem egave Eregsse, also schwarze Tage). Im gesame mlere Berech allerdgs pass de Normalverelug jedoch hervorraged zu de Dae. De Uabhäggke der Ikremee s jedoch gegebe. Des mach e Blck auf de Auokorrelaosfuko deulch. 4

28 .6 Q-Q-Dagramm vo Normal vo DIF. DIFF(LNDAX,).4.5. Erwareer Wer vo Normal ACF Kofdezhöchsgrez e Koeffze Beobacheer Wer Lag-Nummer Über de Umweg des Logarhmus eer geomersche Browsche Bewegug ka ma lech Erwarugswer ud Kofdezervalle bereche. I der folgede Grafk s der Logarhmus der Smulao der geomersche Browsche Bewegug aus VI..c m Erwarugswer ud zwe Kofdezbäder dargesell: 3 9 Logarhmus der geomer. Browsche Bew l(()) E[l(())] l 66% obe l 66% ue l 95% obe l 95% ue Perode 3 Errechug der Kofdezervalle sehe mahemascher Ahag (VI.h) 5

29 Erapoler auf de egelche Prozess, de geomersche Browsche Bewegug, ergebe sch dadurch folgede Kofdezbäder: 5 Geomersche Browsche Bewegug () E[()] 66% obe 66% ue 95% obe 95% ue Perode 6

30 VI.. Mahemasche Herleuge ud Erläueruge a) zu II.3 d: Segke ud Pfadläge Erläuerug zur Egeschaf der uedlche Pfadläge der Browsche Bewegug: 3 Es s desem Zusammehag hlfrech, weder auf de Herleug der Browsche Bewegug aus dem Radom Walk II.. zurückzugrefe. Im Falle des Radom Walk s es klar, dass eem -mal uerele Iervall T -mal de verkale Srecke h zurückgeleg wrd (eweder ach obe oder ach ue). De Summe all deser Dsaze wrd als Pfadläge deses Prozesses bezeche. Für de Pfadläge gl, dass h T h T σ σt Im erse Schr wrd als Quoe des Gesamervalls T ud der Telervalle ausgedrück. Da ka ma für h de Bezehug zu eseze, de für de Browsche Bewegug gefude wurde. Geh jez gege, seh ma, dass de zurückgelege Pfadläge uedlch lag wrd. b) zu IV..: Herleug der Io-Formel Erläuerug vo Taylor-Rehe M der Hlfe vo Taylor-Rehe ka der Wer eer Fuko am Puk erreche werde, we a eem adere Puk a der Fukoswer ud de Were der Ableuge der Fuko beka sd: f ( ) k ( k ) f ( a) k ( a) k! Zeh ma ur de erse Summade Berach, so erhäl ma Näheruge für de Fukoswer vo. Ee Näherug drer Ordug sähe folgedermaße aus: f ( ) f ( a) + f ( a)( a) + f a a + f a a ( )( ) 6 ( )( ) 3 7

31 Taylor-Rehe fukoere ählch für Fukoe m mehrere Varable. Be der Herleug der Io-Formel wrd ee Näherug zweer Ordug für ee Fuko m zwe Varable verwede. De bekae Were für de Fuko ud hre Ableuge lege a der Selle a auf der -Achse ud a der Selle b auf der y-achse. Da laue dese Näherug allgemeer Form folgedermaße: f f f f f f (, y) f ( a, b) + ( a) + ( b) + ( a) + ( a)( b) + ( b) y y y Im Falle der Io-Formel s de Ze de erse Varable (her ) ud der Dffusosprozess de zwee (her y). Außerdem wrd ur e Dffereal erreche (df bzw. df her); de Fukoswere werde also auf bede See weggelasse. Behaupug : [( dz ) ] d E Bewes über de Verschebugsregel für Varaze: ( dz ) E ( dz ) [ ] E( dz ) [ ] E ( dz ) [ ] E[ ( dz ) ] d Var Q:E:D: Behaupug : A) Behaupug 3 Zu zege s, dass de zwe folgede Prozesse V ud T äquvale sd:: V dz τ ( τ ) ud T dτ τ 3 De Erläuerug häl sch a D ud Pdyck, S. 7 3 Der folgede Bewes folg m Weselche Øksedahl (985) 8

32 B) Hlfssäze Folgede dre Hlfssäze werde beög, um de Behaupug zu zege: Lemma : Für belebge Zufallsvarable U ud Kosae c gl: [ c ) ] E(U ) c E (U ud außerdem P (U c ) Ählch gl für belebge Zufallsvarable U, V m Var(U) <, Var(V) < : E U V U V ( ) m quadrasche Mel. U äquvale V; also aschaulch gesproche glech bs auf pahologsche Eregsse ud solche m Wahrschelchke. De Führug des Beweses folg späer m Weselche Lemma. Lemma : Be de der Wahrschelchkesrechug üblche Lebesgue-Iegrale darf ma be der Bewesführug Lmes ud Erwarugswer verausche: E lm lm [ E( ) ] Lemma 3: T T T a c ad a c a d a ( c d ) ( c d ) T T aa ( c d) j a a ( c d )( c d ) j j j 9

33 C) Bewesführug Nach Lemma geüg es, folgede Glechhe zu zege, um de Behaupug zu verfzere: ) ( T d T dz E Iegrale sd als Grezwere edlcher Summe defer, also gl: ( ) [ ] lm z z E Zur Verefachug der Noao berache wr de dskree Ikremee: ( ) z z z ud T Da de quadrasche Fuko seg s, ka der Lmes aus der Klammer herausgezoge werde: lm z E M Hlfe vo Lemma köe Lmes ud Erwarugswer verausch werde: lm z E Ab u wrd ur de edlche Summe erhalb des Lmes berache. Durch Awedug vo Lemma 3 ergb sch für dese: j j j z z E S j ) ( ) ( Nu werde de Erwarugswere der Summade ezel berache. Bezeche de Summade m b j : [ ] ) ( ) ( j j j j z z E b 3

34 De Summade b j ud b j sd glech, daher gl: S bj b + j < j b j Berache zuers de Summade vom Typ b : [ ( z ) ( z )] E [ ( z ) ] b E j De bede quadrere Zufallsvarable de Klammer sd voeader uabhägg: De Ikremee der Browsche Bewegug erfolge m Zeervall drek ach der Realserug vo ; lau de Aome der Browsche Bewegug müsse se also vo de Were uabhägg se. Der Erwarugswer des Produks zweer uabhägger Zufallsvarable s das Produk der Erwarugswere der bede Varable, also: b E ) E ( z Schrebe ab jez: e E Außerdem gl, dass: E[ z ]...ud folglch: E[ 4 z ] Dam ka ma schrebe: b e ( 3 + ) e We der Herleug zur Io-Formel beschrebe, sd Terme deser Größeordug zu verachlässge. Berache u de Summade vom Typ b j : b j E j ( z )( z ) E j j [ ] )( ) E ( z z j j j Weder darf de Treug der Erwarugswere ur deswege so vorgeomme werde, wel de Zufallsvarable de zwe Erwarugswere auf der reche See des Glechheszeches voeader uabhägg sd. Des s deswege der Fall, wel < j s ud deswege 3

35 de Ikremee zelch her de beobachee Realseruge vo sehe. Wege der Uabhäggke der Ikremee folg des Weere: E ( z )( z ) E ( z ) E ( z ) j j j j Dam blebe der ursprüglch berachee Summe S ur och de Summade b übrg: S b ma T { e } ma{ e } ma{ e } T...ud som: [ ] lm S Dam s also gezeg, dass: ( ) z z [ ] E lm M Lemma folg also m Se der Abwechug m quadrasche Mel: T ( dz ) Q.E.D. T d c) zu IV.: Ierpreao der Io-Formel: Jeses Uglechhe: We X ee Zufallsvarable ud F ee kovee Fuko vo X s, da gl: [ F( X )] F[ E( X )] E > Is dagege F kokav, gl das Gegeel: [ F( X )] F[ E( X )] E < Ma ka sch das Przp vo Jeses Uglechhe a eer Zufallsvarable X verdeulche, de ur zwe Were aehme ka. Wede ma auf X ee kovee Fuko a, wrd das arhmesche Mel zwsche de bede Fukoswere größer se als der Fukoswer des arhmesche Mels der zwe Were selbs. 3

36 d) zu VI.a: Smulao eer Browsche Bewegug De Browsche Bewegug wurde folgedermaße smuler: + ε wobe ε ~ N(; ) ud De Ikremee wurde vom Zufallsgeeraor ees Compuerprogramms erzeug. e) zu VI.b: Smulao eer Browsche Bewegug m Drf De Browsche Bewegug m Drf wurde folgedermaße smuler: + + ε, wobe ~ N(; ) ε ud. De Gerade der Erwarugswere habe folgede Glechuge: ( ), E 5 ( ) 5 +, E ( 5) Das Kofdezervall ab 5 ergb sch folgedermaße (σ σ ): KI ( 66% ) E5 ( ) ± 5 f) zu VI.c: Smulao eer geomersche Browsche Bewegug De geomersche Browsche Bewegug wurde folgedermaße smuler: ( +,5 +,ε ) wobe ε ~ N(; ) ud Durch folgede Umformug s lech zu sehe, dass obge Formel der Srukur desch m der Defo der geomersche Browsche Bewegug s:,5 +, ε 33

37 g) zu VI.d: Smulao ees Mea-Reverg Process Der Mea-Reverg Process wurde folgedermaße smuler:,( ) + ε wobe ε ~ N(; ) ud h) zu VI.e: Kosruko vo Erwarugswere ud Kofdezervalle der geomersche Browsche Bewegug Der Erwarugswer für de logarhmere geomersche Browsche Bewegug (ab jez als F bezeche) wurde besmm durch: σ, E + 3 [ F ] F + α l( ) +,5 4,65, De Kofdezervalle wurde folgedermaße erreche: [ F ] ± E[ F ], KI 66 % E σ ± [ F ] ±,96 E[ F ], KI 95 % E σ ± 39 De esprechede Erwarugswere ud Kofdezervalle für de geomersche Browsche Bewegug wurde durch Eseze der obe errechee Were de Epoealfuko gewoe. 34

38 VII. Leraurverzechs: Cochrae, Joh (Prceo Uversy Press, ): Asse Prcg, Prceo, New Jersey D, Avash K. ud Pdyck, Rober S. (Prceo Uversy Press, 994): Ivesme uder Uceray, Prceo, New Jersey Øksedal, Ber (Sprger-Verlag, 985): Sochasc Dffereal Equaos, Oslo 35