Einführung in die technische Informatik

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1 Einführung in die technische Informatik hristopher Kruegel Logische Schaltungen System mit Eingängen usgängen interne Logik die Eingänge auf usgänge abbildet Einfache Schaltungen kein innerer Zustand bestimmter Eingangszustand wird immer auf den selben usgangszustand abgebildet eispiel Multiplexer, ddierer Einfuehrung in die technische Informatik

2 Logische Schaltungen Komplexe (sequentielle Schaltungen haben inneren Zustand bestimmter Eingangszustand kann auf unterschiedliche usgangszustände abgebildet werden eispiel Zähler Logische Schaltungen können auf unterschiedlichen bstraktionsebenen betrachtet werden In dieser Vorlesung sind logische Grundschaltungen (Grundgatter die asisbausteine (NND Gatter, (NOR Gatter, NOT Gatter keine Transistoren werden mehr berücksichtigt Einfuehrung in die technische Informatik Logische Schaltungen Einfache logische Schaltungen können durch oolsche Funktionen beschrieben werden Eingangszustand wird durch Eingangsvariablen beschrieben usgangszustand wird durch usgangsvariablen beschrieben jeder usgangsvariable kann eine Funktion zugeordnet werden, die von allen Eingangsvariablen abhängen kann Einfuehrung in die technische Informatik

3 oolsche Funktionen oolsche Funktion f (b,b,...,b n " {true, false} Wahrheitstabelle n Einträge, einen für jede mögliche elegung b b... b n f(... / / / Einfuehrung in die technische Informatik Logische Schaltungen ND Grundgatter b b b b n... & a % b "b "..."b n # a = true if ($b b = true i i & ' a = false else b b b.. b (n-.. b n a Einfuehrung in die technische Informatik

4 Logische Schaltungen OR Grundgatter b b b b n... a % b "b "..."b n # a = true if ($b i b i = true & ' a = false else b b b.. b (n-.. b n a Einfuehrung in die technische Informatik Logische Schaltungen NOT Grundgatter b a # a = true if (b = false b " $ % a = false else b a Einfuehrung in die technische Informatik

5 eispiel - Wahrheitstabelle Die Wahrheitstabelle kann zu jeder Funktion erstellt werden. eispiel: ( " " " D # ( " " " D # ( " " " D # ( " " " D # ( " D Einfuehrung in die technische Informatik eispiel - Wahrheitstabelle Funktion ( " " " D # ( " " " D # ( " " " D # ( " " " D # ( " D D f(.. Einfuehrung in die technische Informatik

6 Einfuehrung in die technische Informatik eispiel - Wahrheitstabelle Funktion ( " " " D # ( " " " D # ( " " " D # ( " " " D # ( " D f(.. D Einfuehrung in die technische Informatik eispiel - Wahrheitstabelle Funktion ( " " " D # ( " " " D # ( " " " D # ( " " " D # ( " D f(.. D

7 Einfuehrung in die technische Informatik eispiel - Wahrheitstabelle Funktion ( " " " D # ( " " " D # ( " " " D # ( " " " D # ( " D f(.. D Einfuehrung in die technische Informatik eispiel - Wahrheitstabelle Funktion ( " " " D # ( " " " D # ( " " " D # ( " " " D # ( " D f(.. D

8 eispiel - Wahrheitstabelle Funktion ( " " " D # ( " " " D # ( " " " D # ( " " " D # ( " D D f(.. Einfuehrung in die technische Informatik Minimierung oolsche Funktionen unterschiedliche, aber gleichwertige Darstellungen möglich disjunktive Normalform, konjunktive Normalform Frage nach minimaler Form Minimale disjunktive Normalform Verfahren nach Quine und Mclusky Verfahren nach Karnaugh und Veitch (KV-Diagramme Vorteil einfacher in Hardware zu realisieren Einfuehrung in die technische Informatik

9 Einfuehrung in die technische Informatik eispiel - Minimierung f(.. D D Einfuehrung in die technische Informatik eispiel - Minimierung f(.. D D

13 eispiel - Minimierung löcke finden größtmöglich alle True-Werte abdecken Randblöcke nicht übersehen Überlappungen sind in Ordnung D Einfuehrung in die technische Informatik eispiel - Minimierung ( " D D Einfuehrung in die technische Informatik

14 eispiel - Minimierung ( " D # ( " D Einfuehrung in die technische Informatik Rechenbeispiele Transformation Ändern von vorgegebenen Schaltungen Schaltungen oolsche Funktionen Wahrheitstabellen Minimierung Gatter / PL Einfuehrung in die technische Informatik

15 Transformation Schaltung nur aus bestimmten Gattern aufbauen z.., nur NND z.., nur NOR alles kann aus diesen Gattern aufgebaut werden De Morgan sche Regeln " = ( # # = ( " Einfuehrung in die technische Informatik eispiel - Transformation Die folgende Schaltung soll nur aus NND Gattern aufgebaut werden & Einfuehrung in die technische Informatik

16 eispiel - Transformation De Morgan & & Einfuehrung in die technische Informatik eispiel - Transformation & De Morgan & & Einfuehrung in die technische Informatik

17 eispiel - Transformation & & & Negationen verschieben Einfuehrung in die technische Informatik eispiel - Transformation lle drei Gatter sind NND Gatter, aber Negationen bei den Eingängen müssen noch ersetzt werden & & & Einfuehrung in die technische Informatik

18 eispiel - Transformation X X & Y X X X X X and X Y Einfuehrung in die technische Informatik eispiel - Transformation X X & Y X X X X X and X Y Y = X Einfuehrung in die technische Informatik

19 eispiel - Transformation & & & & & & Einfuehrung in die technische Informatik Rechenbeispiele Transformation Ändern von vorgegebenen Schaltungen Schaltungen oolsche Funktionen Wahrheitstabellen Minimierung Gatter / PL Einfuehrung in die technische Informatik

20 Schaltung Implementieren der Funktion Einzelbauteile ND, OR, NOT Gatter PL (Programmable Logic rray Setzen der entsprechenden Verbindungen Einfuehrung in die technische Informatik Schaltung - eispiel Realisieren der Funktion ( " D #( " mit einzelnen auteilen & D & Einfuehrung in die technische Informatik

21 Wahrheitstabellen Vollständige eschreibung des Systems Erstellt aus oolscher Funktion Erstellt aus textueller eschreibung des Systems Einfuehrung in die technische Informatik eispiel ngabe Eine Schaltung mit Eingängen soll entworfen werden, die genau dann (true liefert, wenn der Wert der Eingänge (als inärzahl interpretiert kleiner als ist. Einfuehrung in die technische Informatik

22 Einfuehrung in die technische Informatik Eingänge Variable Zahlen von - Tabelle mit Zeilen Funktion, wenn Wert ", wenn Wert f(.. Einfuehrung in die technische Informatik Funktion, wenn Wert ", wenn Wert f(.. Wert

23 Einfuehrung in die technische Informatik Funktion, wenn Wert " f(.. Wert Einfuehrung in die technische Informatik Funktion, wenn Wert f(.. Wert

24 Einfuehrung in die technische Informatik f(.. Einfuehrung in die technische Informatik f(..

25 f(.. Einfuehrung in die technische Informatik ( " Einfuehrung in die technische Informatik

26 ( " # ( " Einfuehrung in die technische Informatik ( " # ( " # ( " Einfuehrung in die technische Informatik

27 Realisierung als PL jede Variable an einem Eingang zu jeder Variable ist Negation verfügbar ND Matrix und OR Matrix ideal für disjunktive Normalform Einfuehrung in die technische Informatik f f f f Einfuehrung in die technische Informatik

28 Eingänge mit Negation f f f f Einfuehrung in die technische Informatik ND Matrix f f f f Einfuehrung in die technische Informatik

29 OR Matrix f f f f Einfuehrung in die technische Informatik Funktionsausgänge f f f f Einfuehrung in die technische Informatik

30 ( " #( " #( " f f f f Einfuehrung in die technische Informatik ( " #( " #( " f f f f Einfuehrung in die technische Informatik

34 Komplexe Schaltungen Für manche nwendungen sind mehrere usgänge erforderlich diese usgänge können unterschiedliche Werte liefern sie realisieren unterschiedliche logische Funktionen Einfuehrung in die technische Informatik eispiel ngabe Eine Schaltung soll als PL realisiert werden. Diese Schaltung soll zwei -bit Zahlen (X und Y vergleichen und am usgang genau dann den Wert liefern, wenn X kleiner als Y ist. Zusätzlich soll am usgang genau dann den Wert ausgegeben werden, wenn X gleich und Y ungleich ist. Einfuehrung in die technische Informatik

35 Einfuehrung in die technische Informatik x -bit Zahlen Eingänge Tabelle mit Zeilen Funktionen : X < Y : X == && Y = Y Y X X Einfuehrung in die technische Informatik : X < Y Y Y X X X =

36 Einfuehrung in die technische Informatik : X < Y Y Y X X X = Einfuehrung in die technische Informatik : X < Y Y Y X X X =

37 Einfuehrung in die technische Informatik : X < Y Y Y X X X = Einfuehrung in die technische Informatik : X == && Y = Y Y X X

38 Einfuehrung in die technische Informatik : X == && Y = Y Y X X X = Einfuehrung in die technische Informatik : X == && Y = Y Y X X X =

39 Einfuehrung in die technische Informatik : X == && Y = Y Y X X X = Einfuehrung in die technische Informatik Y Y X X Y Y X X

40 Einfuehrung in die technische Informatik Y Y X X Y Y X X Einfuehrung in die technische Informatik Y Y X X Y Y X X

41 usgang X ( X "Y Y Y X Einfuehrung in die technische Informatik usgang X ( X "Y # ( X " X "Y Y Y X Einfuehrung in die technische Informatik

42 usgang X ( X "Y # ( X " X "Y # ( X "Y "Y Y Y X Einfuehrung in die technische Informatik X X Y Y Y Einfuehrung in die technische Informatik X X Y

43 Einfuehrung in die technische Informatik Y Y X X Y Y X X Einfuehrung in die technische Informatik Y Y X X ( X " X "Y usgang

44 usgang X ( X " X "Y # ( X " X "Y Y Y X Einfuehrung in die technische Informatik X X Y Y : ( X "Y #( X " X "Y #( X "Y "Y : ( X " X "Y #( X " X "Y Einfuehrung in die technische Informatik

45 X X Y Y : ( X "Y #( X " X "Y #( X "Y "Y : ( X " X "Y #( X " X "Y Einfuehrung in die technische Informatik X X Y Y : ( X "Y #( X " X "Y #( X "Y "Y : ( X " X "Y #( X " X "Y Einfuehrung in die technische Informatik

49 Sequentielle Schaltungen isher einfache Schaltungen usgänge hängen immer direkt von Eingängen ab keine Speicherung von Information kein interner Zustand Sequentielle (komplexe Schaltungen usgänge hängen von Eingängen und aktuellem Zustand ab Zustand wird in Speicherelementen gehalten eispiel Zähler Speicherregister Einfuehrung in die technische Informatik Sequentielle Schaltungen Speicherelemente Flip-Flops / Latches arbeiten mit Rückkoppelung R Q S Q Einfuehrung in die technische Informatik

50 Sequentielle Schaltungen Speicherelemente Flip-Flops / Latches arbeiten mit Rückkoppelung R Q low (log. high (log. S Q Einfuehrung in die technische Informatik Sequentielle Schaltungen Speicherelemente Flip-Flops / Latches arbeiten mit Rückkoppelung R Q low (log. high (log. S set durchführen Q Einfuehrung in die technische Informatik

51 Sequentielle Schaltungen Speicherelemente Flip-Flops / Latches arbeiten mit Rückkoppelung R Q low (log. high (log. S Q Einfuehrung in die technische Informatik Sequentielle Schaltungen Speicherelemente Flip-Flops / Latches arbeiten mit Rückkoppelung R Q low (log. high (log. S Q Einfuehrung in die technische Informatik

53 Sequentielle Schaltungen Speicherelemente Flip-Flops / Latches arbeiten mit Rückkoppelung R Q low (log. high (log. S Q Einfuehrung in die technische Informatik Sequentielle Schaltungen Speicherelemente Flip-Flops / Latches arbeiten mit Rückkoppelung reset R durchführen Q low (log. high (log. S Q Einfuehrung in die technische Informatik

56 Sequentielle Schaltungen Speicherelemente Flip-Flops / Latches arbeiten mit Rückkoppelung R Q low (log. high (log. S Q Einfuehrung in die technische Informatik Sequentielle Schaltungen Typen von Speicherelementen RS-Flip-Flop auf vorigen Folien beschrieben undefinierter Zustand wenn R = S = D-Latch nur ein Eingang verhindert undefinierten Zustand des RS-Flip-Flops JK-Flip-Flop ähnlich wie RS-Flip-Flop wenn J = K =, dann schaltet der usgang des Flip-Flop in den anderen logischen Zustand (aus low wird high und umgekehrt Einfuehrung in die technische Informatik

57 Zusammenfassung Logische Schaltungen oolsche Funktionen Wahrheitstabellen Minimierung minimale disjunktive Normalform KV Diagramme Implementierung Gatter PL Sequentielle Schaltungen Einfuehrung in die technische Informatik