Grenzwerte von Folgen und Funktionen

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1 Kapitel 3 Grezwerte vo Folge ud Fuktioe 3. Grezwerte vo Folge Defiitio: Eie Folge ist formal gesehe) eie Abbildug vo N oder N + ach R, d.h. jedem N wird ei a R zugeordet. Abweiched vo der fuktioale Notatio werde für Folge die Schreibweise a ) N, a ) 0 oder a 0,a,a,... verwedet. Ma et die Zahle a die Glieder der Folge. Sie köe explizit oder auch rekursiv defiiert werde. Beispiele für explizite Defiitioe:. Kostate Folge c R): Durch die Defiitio a c etsteht die Folge c) N c,c,c,.... Arithmetische Folge c,d R): Durch die Defiitio a c + d etsteht die Folge c + d) N c,c + d,c + d, Geometrische Folge c,q R,q 0): Durch die Defiitio a c q etsteht die Folge c q ) N c,cq,cq,cq 3, Harmoische Folge: Durch die Defiitio a ) N +,, 3,... Beispiele für rekursive Defiitioe: für alle etsteht die Folge. Eie kostate Folge wird rekursiv durch a 0 c ud a + a defiiert.. Eie arithmetische Folge wird rekursiv durch a 0 c ud a + a + d defiiert 3. Eie geometrische Folge wird rekursiv durch a 0 c ud a + a q defiiert. 4. Auch die harmoische Folge ka ma rekursiv defiiere, aber diese Beschreibug ist mit a ud a + wesetlich komplizierter ist als die explizite Defiitio. + a 5. Die Folge der Fiboacci-Zahle ist ei Beispiel dafür, dass bei rekursive Defiitioe evetuell auch Verakeruge a mehr als eier Stelle otwedig sid: a 0 0, a ud a + a + a +. 30

2 Beschräktheit ud Mootoie Defiitio: Eie Folge a ) N et ma: Kovergez beschräkt K R N a K vo ute beschräkt K R N a K vo obe beschräkt K R N a K mooto wachsed N a + a streg mooto wachsed N a + > a mooto falled N a + a streg mooto falled N a + < a Defiitio: Eie Folge a ) N kovergiert strebt) gege de Grezwert a, falls ε > 0 0 N 0 a a < ε Zur Notatio der Kovergez eier Folge a ) N gege de Grezwert a köe die folgede Ausdrücke verwedet werde: a a oder kurz a a a a oder kurz a a Satz: Für jede kovergete Folge a ) N ist der Grezwert eideutig, d.h. a a a b a b Beweis idirekt): Ageomme, es gäbe eie Folge a, die gege zwei verschiedee Zahle a b kovergiert. Zur Herleitug eies Widerspruchs wird ε b a 3 > 0 gesetzt. 0,a 0,a a a < ε 0,b 0,b a b < ε Für alle > 0 gilt: 0 max 0,a, 0,b ) a a < ε a b < ε b a b a + a a Dreicksugleichug < ε + ε b a Widerspruch! 3 Satz: Jede kovergete Folge ist beschräkt. Beweis: Ma kostruiert eie Schrake, idem ei Wert für ε festgelegt wird, z.b. ε :. Nach Grezwertdefiitio gibt es ei 0 N, so dass für alle 0 die Ugleichug a a erfüllt ist, die ma äquivalet durch a a a + beschreibe ka. Wählt ma K max{ a 0, a,... a 0, a, a + }, da ist a K für alle N. 3

3 Nullfolge ud Teilfolge Defiitio: Eie Folge, die gege 0 kovergiert, wird Nullfolge geat. Defiitio: Ist a ) N eie Folge ud i ) i N eie streg mooto wachsede Folge vo atürliche Zahle, da wird a i ) i N a 0,a,a,... eie Teilfolge vo a ) N geat. Satz: We a ) N gege a kovergiert, da kovergiert auch jede Teilfolge vo a ) N gege a. Beispiele: ) Die harmoische Folge a ist eie Nullfolge. Begrüdug a Had der Defiitio: Es sei ei ε > 0 gegebe. Gesucht ist ei 0, so dass für alle 0 die Ugleichug a 0 < ε erfüllt ist. Da sich bei der Bildug der iverse Werte vo positive Zahle die Ugleichuge umkehre, ist 0 : ε + eie geeigete Wahl, de 0 > ε < ε. 0 ε ) Die Folge b +4+5 ist eie Nullfolge. Begrüdug: Die Folge c ) N ist streg mooto wachsed ud alle Folgeglieder sid atürliche Zahle. Damit ist b ) N eie Teilfolge der harmoische Folge ud kovergiert gege Null. Bestimmte Divergez Defiitio: Die Folge a ) N divergiert, we sie icht kovergiert, also keie eigetliche) Grezwert hat. Die Folge divergiert gege de ueigetliche Grezwert bzw. falls K R 0 0 a > K bzw. K R 0 0 a < K Ma spricht i diesem Fall vo bestimmter Divergez ud drückt das symbolisch durch a bzw. a aus. Beispiele:. Für die arithmetische Folge a c + d gilt: a. Für die geometrische Folge b c q gilt: a c falls d 0 falls d > 0 falls d < 0 ubestimmt diverget falls q ud c 0 0 falls q < oder c 0 c falls q falls q > ud c > 0 falls q > ud c < 0 3

4 Reihe Defiitio: Für eie Folge a ) N defiiert ma die zugehörige Reihe s ) N als Folge der Partialsumme: s Kovergiert eie Reihe s ) N gege eie Grezwert S, ka ebe der übliche Notatio s S auch die Schreibweise 0 a S verwedet werde. 3. Grezwertregel ud Kovergezkriterie Grezwertregel i0 Satz: Für zwei kovergete Folge a ) N ud b ) N mit de Grezwerte a ud b gilt: a i. a + b ) a + b. a b ) a b Spezialfall: c b ) c b) 3. a b ) a b falls b 0 ud b 0 für alle N) 4. a a 5. a a Beweis: Wir beschräke us auf die Herleitug der erste zwei Regel. ) Zu zeige ist, dass ma für jedes ε > 0 ei 0 fide ka, so dass für alle 0 die Ugleichug a + b a + b) < ε gilt. Dazu utzt ma die Dreiecksugleichug ud zeigt da, dass beide Summade jeweils kleier als ε/ sid: a + b a + b) a a + b b ) < ε + ε ε Die mit ) gekezeichete Ugleichug leitet ma aus der Kovergez der Ausgagsfolge ab. Dazu setzt ma ε ε ud erhält 0,a 0,a a a < ε 0,b 0,b b b < ε Offesichtlich gelte beide Ugleichuge für alle > 0 max 0,a, 0,b ) ) Zu zeige ist, dass ma für jedes ε > 0 ei 0 fide ka, so dass für alle 0 die Ugleichug a b ab < ε gilt. Der Beweis ist etwas komplizierter, folgt aber dem gleiche Muster wie im erste Fall. Vor Awedug der Dreiecksugleichug wird ei 0-Summad der Form a b + a b eigefügt: a b ab a b a b + a b ab a b b + b a a ) < ε + ε ε Zur Begrüdug der Ugleichug ) verwedet ma die Tatsache, dass jede kovergete Folge beschräkt ist. Sei K eie Schrake für a ) N. Ma setzt geeigete Werte ε,ε für 33

5 die Ausgagsfolge ei ud erhält: ε ε ε K : 0,b 0,b b b < ε ε b + ) 0,b a b b < ε a K ε 0,a 0,a a a < ε 0,a b a a < ε b b + ) ε Offesichtlich gelte beide Ugleichuge für alle > 0 max 0,a, 0,b ) Beispiele: ) )) ) ) + 3 ) + Regel 3) ) ) Regel ud ) )) ) Regel 5) ) 3 ) Regel 3) 8 36 Regel ud ) 3 Vergleichskriterium Satz: Sei k N ud a ) N,b ) N,c ) N Folge mit a b c für alle k. Kovergiere die beide äußere Folge gege de gleiche Grezwert c a c, da ist auch b c. Etsprechedes gilt auch für die bestimmte Divergez gege ±. Beispiel: Zu bestimme ist der Grezwert vo a si : Wege 0 si gilt 0 si. Außerdem ist 0 ) 0. ) Daraus folgt: si 0. 34

6 Satz: Der Grezwert vo a mit ist. Beweis: Die Herleitug dieses Grezwerts erfolgt über die Hilfsfolge b. Mit dem Vergleichskriterium wird gezeigt, dass b ) N eie Nullfolge ist, woraus a folgt. Die Folge b ist vo ute durch 0 begrezt. Eie obere Begrezug ergibt sich aus der folgede Betrachtug: b + ) + ) + b ) + ) + ) b + ) b ) + b ) b ) b +... b b Wege 0 ergibt sich aus dem Vergleichskriterium ud der füfte Grezwertregel 0 b b ud somit a. Folgerug: Die Limesbildug erhält schwache Ugleichuge, d.h. sid a ) N ud b ) N koverget ud a b für 0 ), da a b. Achtug: Dies gilt icht für starke Ugleichuge. Mootoiekriterium Satz: Jede mooto wachsede fallede), beschräkte Folge a ) N ist koverget. Beweis: Ist a ) N mooto wachsed, da ist a sup{a N} der Grezwert der Folge: Gegebe sei ei ε > 0 ud zu zeige ist, dass ei 0 existiert, so dass für alle 0 die Ugleichug a a < ε gilt. Da a eie obere Schrake für alle Glieder der Folge ist ud die Folge mooto wächst, reicht es zu zeige, dass ei 0 mit a 0 > a ε existiert. Ei solches 0 muss es aber gebe, de aderfalls wäre a ε eie obere Schrake für alle a, ei Widerspruch zur Voraussetzug, dass a die kleiste obere Schrake ist. Ist a ) N mooto falled, da ist a if{a N} der Grezwert der Folge Begrüdug aalog). Beispiele: ) Die geometrische Folge a c q kovergiert für c 0 ud 0 q < gege 0. Begrüdug: Die Folge a ist mooto falled ud mit 0 a c beschräkt. Daraus folgt die Kovergez gege das Ifimum a der Mege {a N}. Dieser Grezwert a muss gleich Null sei, de a 0 ist offesichtlich ud aus a > 0 würde a q > a folge wege q > ). 35

7 Da gäbe es ei a < a q ud folglich wäre a + a q < a q q aq < a, ei Widerspruch dazu, dass a eie utere Schrake für alle a ist. ) Die geometrische Reihe s k0 c q kovergiert für q < gege c q. Begrüdug: Die bekate Formel für die geometrische Summe k0 c q c q+ q sich leicht mit vollstädiger Iduktio beweise. Folglich ist s c ) q+ q+ ) c q q) c q lässt 3) Die zur Folge Begrüdug: Die Reihe ) N gehörige Reihe kovergiert. s ist mooto wachsed, de s + s +) > 0. s + ) ) ) k k ) + ) ) ) < Teleskopsumme) Damit wurde die Kovergez der Reihe achgewiese, ohe de kokrete Grezwert zu kee. Mit etwas mehr Aufwad ka ma zeige, dass die Reihe gege π 6 kovergiert. Cauchy-Kriterium Satz: Eie Folge a ) N ist geau da koverget, we ) ε > 0 0,m 0 a a m < ε Der Beweis, dass die Bedigug ) otwedig ist, erfolgt ach dem izwische) übliche Schema. Ma setzt ε ε, erhält aus der Grezwertdefiitio ei 0, so dass für alle,m 0 der Abstad vo a bzw. a m ) zum Grezwert a kleier als ε ist ud leitet mit der Dreiecksugleichug die Bedigug ) ab. Zum Beweis, dass die Bedigug ) hireiched ist, zeigt ma zuerst, dass aus ) die Beschräktheit vo a ) N folgt ud betrachtet da eie Hilfsfolge b ) N, die wie folgt defiiert ist: b supa,a +,...) Da die Mege, vo dee das Supremum gebildet wird, immer kleier werde, ist die Folge b ) N mooto falled, vo ute beschräkt durch ifa 0,a,...) ud damit koverget. Es bleibt zu zeige, dass b b auch der Grezwert vo a ) N ist. Für ei gegebees 36

8 ε > 0 wird ε ε 3 gesetzt: Bedigug *) : 0 m, 0 a a m < ε b b : > 0 b b < ε b supa,a +,...) : > a b < ε Dreiecksugleichug: : a b a a + a b + b b < 3ε ε Eie wichtige Awedug des Cauchy-Kriteriums besteht im Nachweis der Kovergez der alterierede harmoische Reihe. Die harmoische Reihe s i ist icht koverget, sie divergiert gege : s > }{{} } {{ } } {{ } Im Gegesatz dazu kovergiert die alterierede harmoische Reihe s } {{ } i+ i i Zum Beweis ka ma die Differeze s m s für m > utersuche ud mit vollstädiger Iduktio ach m die folgede zwei Eigeschafte achweise:. s m s 0 ist gerade. s m s + Mit der zweite Eigeschaft ist das Cauchy-Kriterium erfüllt ud folglich kovergiert die Reihe. Diese Beweisidee ka auch dazu verwedet werde, eie verallgemeierte Aussage über alterierede Reihe abzuleite. Satz: Ist eie Nullfolge a ) N mooto wachsed oder falled), da kovergiert die alterierede Reihe s k0 ) a. 3.3 Die Eulersche Zahl e ud die Expoetialfuktio I diesem Abschitt wird die Eulersche Zahl e als Grezwert eier spezielle Reihe eigeführt ud die Gleichheit mit dem Grezwert eier adere Folge gezeigt. Aus dem Zusammespiel dieser beide Grezwerte ergebe sich iteressate Eigeschafte vo e, isbesodere als Basis der Expoetialfuktio ud des atürliche Logarithmus. Satz: Reihe s k0 k! ! ! kovergiert. 37

9 Begrüdug mit dem Mootoiekriterium: ) Die Reihe ist streg mooto wachsed, de s + s +)! > 0. ) Die Reihe ist vo obe durch 3 beschräkt:! s k k + k0 + < + 3 Defiitio: Die Eulersche Zahl e ist defiiert als Satz: Die Folge a ) k ) + ) kovergiert gege e. k0 ),788 k! Vor dem Beweis soll die Bedeutug dieser Folge für atürliche Wachstumsprozesse a eiem Beispiel erläutert werde. Eie Kapitalalage soll i eiem Jahre mit eiem fiktive Zissatz vo 00% verzist werde. Was ist der Uterschied zwische eier eimalige Verzisug ach Ablauf des Jahres, eier moatliche Verzisug mit 00 % ud eier tägliche Verzisug mit %? Der Faktor der Kapitalvermehrug bei -facher Aufzisug wird durch das Folgeglied a + ) beschriebe. Beweis: jährliche Aufzisug a moatliches Aufzisug a, tägliche Aufzisug a 365,74 Mootoie a a + + ) ) + ) ) ) ) + ) ) ) ) ) Für die mit ) gekezeichete Ugleichug wurde die Beroulli-Ugleichug h) h mit h verwedet. Damit ist c mooto wachsed. 38

10 Beschräkug: Wir zeige c e für alle N. c + k0 k0 ) k) k! e ) k Für die mit ) gekezeichete Ugleichug wurde die folgede Abschätzug verwedet k) ) k )... k + ) k!... k! Kovergez gege e: Nach dem Mootoiekriterium kovergiert die Folge a ) N gege eie Grezwert a e. Im Folgede wird a s N für jede feste Wert N N gezeigt. Daraus folgt die Ugleichug a s e ud letztlich. a e a + ) N k0 N k0 a k) k k0 k! N N k0 ) ) k) k ) N N k0 k! N ) ) Die Expoetialfuktio als Grezwert k! ) )... k ) N k0 Satz: Für jedes x R existiert der Grezwert N )) N k! + x ) N k0 k! s N Auf de Beweis, der große Ählichkeit mit dem Beweis des letzte Satzes hat, wird hier verzichtet. Die Existez dieser Grezwerte erlaubt die Defiitio der reelle) Expoetialfuktio ud der achfolgede Satz ebefalls ohe Beweis) zeigt die Übereistimmug dieser eue Defiitio mit de scho vorher eigeführte Poteze mit ratioale Expoete. Defiitio: Die Expoetialfuktio exp : R R wird für jedes x R durch expx) + x ) defiiert. Satz: Für beliebige x,y R gilt expx+y) expx) expy), d.h. für alle ratioale Zahle q Q gilt expq) e q. Folgerug : Es gilt exp0) ud für alle x R ist expx) exp x). 39

11 Folgerug : Die Expoetialfuktio exp ist streg moto wachsed, d.h. aus x < y folgt expx) < expy), ud expx) > 0 für alle x R. Damit ist exp eie bijektive Fuktio vo R ach R +. Die Umkehrfuktio ist der atürliche Logarithmus l : R + R. Der Zusammehag zwische Expoetialfuktio ud atürlichem Logarithmus lässt sich wie folgt charakterisiere: l a b expb) e b a isbesodere ist a expl a) e l a Das Expoetialgesetz expx + y) expx) expy) impliziert für die Umkehrfuktio die Regel la b) l a + l b. Ma ka de atürliche Logarithmus auch utze, um eue Expoetialfuktioe für beliebige Base a > 0 ud ihre Umkehrfuktioe log a defiiere: a x e l a ) x : e l a) x ud a b c log a c b Isbesodere ka ma aus e l b b a log a b e l a log a b die Regel log a b l a lb I verallgemeierter Form lautet sie: ableite. log a b log c a log c b für alle a,b,c > Grezwerte ud Stetigkeit vo Fuktioe Grezwerte vo Fuktioe Defiitio: Es seie I R ei Itervall a I bzw. a {± } f : I\{a} R bzw. f : I R falls a {± }) eie Fuktio Da gilt: Die Fuktio f hat i a de Grezwert c, falls für jede Folge x I mit dem Grezwert a die Folge der etsprechede Fuktioswerte de Grezwert c hat, d.h.: fx ) c Die Fuktio f hat i a de liksseitige Grezwert c, falls fx ) c für jede Folge x I mit dem Grezwert a ud der Eigeschaft x < a. Die Fuktio f hat i a de rechtsseitige Grezwert c, falls fx ) c für jede Folge x I mit dem Grezwert a ud der Eigeschaft x > a. Zur Notatio verwedet ma: x a fx) c x a fx) c für de Grezwert für de liksseitige Grezwert ud 40

12 x a+ fx) c für de rechtsseitige Grezwert. Da ma mit dieser Defiitio die Grezwerte vo Fuktioe auf Grezwerte vo Zahlefolge zurückgeführt hat, übertrage sich auf atürliche Weise auch die bekate Grezwertsätze ud Kovergezkriterie. Satz: Aus x a fx) c ud x a gx) d folgt x a fx) ± gx)) c ± d x a fx) gx)) c d fx) x a gx) c d falls d 0) Spezialfall: x a b fx)) b d für b R) Bei de Aweduge kommt es hauptsächlich darauf a, die richtige Termuformuge vorzuehme: x x x x ) x + x x x + ) x x x + x x + x x x x x 0 x + x x 0 x + ) x + + ) x x + + x + x 0 x x + x 0 x 0 x + x x x + Satz Vergleichskriterium): Seie f, g ud h Fuktioe mit gx) fx) hx) für alle x I ud a I,so dass gx) hx) c x a x a da ist auch Awedug: Berechug des Grezwerts six x 0 x fx) c x a. Ma vergleicht i der folgede Grafik die Flächeihalte des kleie Dreiecks, des Kreisauschitts ud des große Dreiecks. 4

13 cos x six x π } {{ } π kleies Dreieck ta x cos x } {{ } großes Dreieck Nu ka de Limes für die beide äußere Werte bestimme: Damit folgt aus dem Vergleichskriterium: x 0 cos x x 0+ x 0+ cos x x si x x 0+ x si x) x 0+ Schließlich erhält ma aus der Kehrwertbetrachtug: x six cos x x si x si x x 0 x x x 0 si x Stetigkeit Defiitio: Es sei I R ei Itervall ud f : I R eie Fuktio. Die Fuktio f heißt stetig im Pukt x 0 I, we x x0 fx) fx 0 ). Liegt x 0 Rad vo I, wird ur der eiseitige Limes betrachtet. Satz: Eie Fuktio f ist stetig i x 0 geau da, we ) ε > 0 δ > 0 x I x x 0 < δ fx) fx 0 ) < ε) Beweis ): Für jede Folge a ) N mit dem Grezwert x 0 muss fa ) fx 0 ) gezeigt werde. Das bedeutet formal ε > fa ) fx 0 ) < ε. Für das gegebee ε betrachtet ma das δ > 0 aus der Bedigug ) ud verwedet es i der Grezwertdefiitio vo a x 0 : 0 0 a x 0 < δ Offesichtlich hat ma damit das gesuchte 0 gefude, de für alle 0 gilt a x 0 < δ ud aus der Bedigug ) folgt fa ) fx 0 ) < ε. Beweis ), idirekt: Ma begit mit der Negatio der Bedigug ) ud muss daraus die Existez eier Folge a ) N mit dem Grezwert x 0 ableite, so dass die Folge fa )) N icht gege dem Grezwert fx 0 ) kovergiert. ) : ε > 0 δ > 0 x I x x 0 < δ ud fx) fx 0 ) ε) Die Folge a ) N wird durch das folgede Argumet kostruiert: a a : Setze δ x a I x x 0 < δ ud fx) fx 0 ) ε) : Setze δ x a I x x 0 < δ ud fx) fx 0 ) ε) 4

14 Damit ist x 0 a x 0 da a x 0 < ), aber fa ) fx 0 ) ε für alle N ud damit ist f icht stetig i x 0. Bemerkug: Ist f i x 0 icht defiiert, aber x x0 fx) R existiert, da ka ma die Defiitio vo f auf x 0 erweiter durch fx 0 ) : x x0 fx). Eie solche Erweiterug wird stetige Fortsetzug der Fuktio f im Pukt x 0 geat. Beispiele: a) Bei ratioale Fuktioe sid behebbare Lücke im Defiitiosbereich scho per Kovetio ausgeschlosse: Damit ist f). fx) x x x ) x + ) x wird gekürzt zu x + b) gx) six x ist auf R\{0} defiiert ud ka durch g0) : auf R fortgesetzt werde. c) hx) x + x ist auf R\{0} defiiert. Wege x 0 x + x muss ma zur stetige Fortsetzug h0) : setze. Die folgede Sätze sid wieder eifache Kosequeze aus etsprechede Grezwertbetrachtuge. Satz: Sid f ud g stetig auf I, da sid auch f + g, f g ud f g stetig auf I f g stetig i alle x 0, für die gx 0 ) 0 Satz: Ist eie Fuktio f : I R stetig auf I, eie Fuktio g : D R stetig auf D ud ist gd) I, da ist die Fuktio hx) : fgx)) stetig auf D. Folgeruge: Polyome sid auf R stetig. Ratioale Fuktioe px) qx) mit ggtpx),qx)) sid stetig i alle x R mit qx) 0. Satz: Für jede auf eiem abgeschlossee Itervall [a,b] stetige Fuktio f gilt: Schrakesatz: K R x [a,b] fx) < K Satz vom Miimum ud Maximum: x 0,x [a,b] x [a,b] fx 0 ) fx) fx ) 43

15 Zwischewertsatz: Gleichmäßige Stetigkeit: c fx 0 ) c fx ) x [a,b] fx) c ε > 0 δ > 0 x,x [a,b] x x < δ fx) fx ) < ε) Asymptote Defiitio: Asymptote eier Fuktio Kurve) y fx) sid Gerade der folgede Form: a) Die durch x a defiierte Gerade ist eie vertikale Asymptote, we fx) ± oder fx) ± x a x a+ b) Die durch y c defiierte Gerade ist eie horizotale Asymptote, we fx) c oder fx) c x x c) Die durch y ax + b defiierte Gerade ist eie schräge Asymptote, we a 0 ud fx) ax b) 0 oder fx) ax b) 0 x x Diese drei Arte vo Asymptote köe auch bei ratioale Fuktioe auftrete. Es sei fx) px) qx) eie ratioale Fuktio wobei ggtpx), qx)) vorausgesetzt wird. a) Ist b eie Polstelle vo fx), da ist x b vertikale Asymptote. We b ei k-facher Pol ud k gerade, da sid rechtsseitiger ud liksseitiger Grezwert gleich. We b ei k-facher Pol ud k ugerade, da habe rechtsseitiger ud liksseitiger Grezwert etgegegesetztes Vorzeiche. b) Sei Gradpx)) ud m Gradqx)) Ist m >, da ist y 0 eie horizotale Asymptote vo fx). Ist m, da ist y a b m eie horizotale Asymptote vo fx). Ist m +, da ist die Gerade eie schräge Asymptote vo fx). y a b m x + b m a a b m b m Die Formel für die horizotale ud schräge Asymptote folge aus der Polyomdivisio, d.h. die Geradegleichuge sid der gazratioale Quotiet aus der Polyomdivisio. 44

16 3.5 Die O-Notatio ud das asymptotische Wachstum vo Fuktioe I diesem Abschitt werde Aweduge der Beschräktheit ud Koevregez vo Folge behadelt, die bei der Laufzeitaalyse vo Algorithme eie wichtige Rolle spiele. Dabei geht ma davo aus, dass die mögliche Eigabe eies algorithmische Problems ach ihrer Läge Größe) uterscheide ka. Defiitio: Die Laufzeit T) eies Algorithmus ist die maximale Azahl der Schritte bei Eigabe der Läge. Welche Schritte dabei gezählt werde z.b. arithmetische Operatioe, Vergleiche, Speicherzugriffe, Wertzuweisuge) hägt sehr stark vo dem verwedete Modell oder der verwedete Programmiersprache ab. Oft uterscheide sich die Laufzeite des gleiche Algorithmus uter Zugrudelegugug verschiedeer Modelle um kostate Faktore. Das Ziel der folgede Betrachtuge besteht dari, de Eifluss solcher modell- ud implemetierugsabhägiger Faktore auszublede ud damit eie davo uabhägige Vergleich vo Laufzeite zu ermögliche. Beispiele: Die Biärsuche hat eie Laufzeit vo T ) c log. Quicksort hat eie Laufzeit vo T ) c. Mergesort hat eie Laufzeit vo T 3 ) c 3 log, wobei c,c ud c 3 modell- ud implemetierugsabhägige Kostate sid. Die folgede Tabelle zeigt am Beispiel vo zwei ageommee Laufzeite T 3 ud T 3 00 log de schwidede Eifluss vo multiplikative Kostate bei große Eigabeläge. 3 Zeit i s bei GHz 00 log Zeit i s bei GHz 0, 0 µs 00 0, µs , 048 µs 800 0, 8 µs ms 0 6 ms s 0,833 h 0 9 s s 00 Jahre s 0,833 h 45

17 Defiitio: g) ist asymptotische obere Schrake vo f), falls eie Kostate c > 0 ud ei 0 N existiere, so dass für alle 0 gilt: f) c g) Die Mege aller Fuktioe f), für die eie gegebeee Fuktio g) eie asymptotische obere Schrake ist, wird mit Og)) bezeichet. Aalog dazu ka ma mit utere Schrake ud starke obere bzw. utere Schrake verfahre. Defiitio: Seie f ud g Fuktioe N R +. Die Fuktio g ist eie obere Schrake für alle Fuktioe f aus: Og)) {f) c > f) c g)} Die Fuktio g ist eie utere Schrake für alle Fuktioe f aus: Ωg)) {f) c > c g) f)} Die Fuktio g hat das gleiche Wachstum wie die Fuktioe f aus: Θg)) Og) Ωg))) Die Fuktio g ist eie starke obere Schrake für alle Fuktioe f aus: og)) {f) c > f) c g)} Die Fuktio g ist eie starke utere Schrake für alle Fuktioe f aus: ωg)) {f) c > c g) f)} Achtug: Astelle der korrekte Schreibwiese f) Og)) für g) ist asymptotische obere Schrake vo f)) wird auch häufig die Notatio f) Og)) verwedet. Lemma: Die Klasse Og)), Ωg)), og)), ωg)) köe wie folgt durch Quotietefolge charakterisiert werde: ) f) f) Og)) ist beschräkt g) Ωf)) g) N f) og)) f) g) 0 g) ωf)) Die folgede Aufstellug zeigt Fuktioe ud Operatioe, die bei Laufzeitabschätzuge häufig eie Rolle spiele: f) : Jede Eigabestelle sehe; f) log : Awedug vo Separatore i plaare Graphe oder aiver Primzahl- f) : test; Teile-ud-Herrsche-Prizip; f) : Utersuchug aller Teilmege Brute force); 46

18 f)!: Summe: Produkte: Utersuchug aller Permutatioe; Hitereiader-Ausführug vo Prozedure; geschachtelte Schleife; Die wichtigste Grudregel ud Werkzeuge ) Multiplikatio mit Kostate Für alle K R + ud alle f : N R + gilt K f) Θf)). Begrüdug mit dem Quotietekriterium: K f) f) ) Summe ud Produkte Für alle f,f,g,g : N R + folgt gilt: K ud f) K f) K. [f ) O g )) f ) O g ))] f ) + f ) O g ) + g )) Begrüdug mit dem Quotietekriterium: f ) + f ) g ) + g ) f ) g ) + g ) + f ) g ) + g ) f ) g ) + f ) g ) K + K Aaloge Regel gelte für die Multiplikatio a Stelle der Additio ud für Ω,o bzw. ω a Stelle vo O. 3) Basisumwadluge bei Logarithme Für alle a > ud b > gilt log a Θ log b ). Begrüdug: log a log b log b a ud log b a > 0. 4) Logarithme vo Poteze Für alle a > ud b,c > 0 gilt log a b Θ log a c ). Begrüdug: Wege log a b b log a ud log a c c log a sid die Quotiete durch b c bzw. c b beschräkt. 5) Stirlig-Formel ud log! Die Stirlig-Formel gibt eie Abschätzug des Wachstums vo!: ))! Ω π e geauer: π e )! ) + π e Daraus ka ma das Wachstum log! Θ log ) ableite, das ma z.b. zum Nachweis der utere Schrake für vergleichsbasierte Sortieralgorithme beötigt. Es gibt dafür aber auch eie elemetare Beweis: ) /!... + )... 47

19 Durch Logarithmiere erhält ma log / log log! log ) log wobei ma auf der like Seite och mit der Ugleichug log log weiterarbeite ka. 6) Logarithme als Expoet a log b b log b a) log b b log b ) log b a log b a für alle 4 ist eie Potez vo. Ei kokretes Beispiel dafür ist log ) Logarithmiere erhält obere Schrake Für alle f,g : N R + mit g) für alle 0 gilt: Begrüdug: f) O g)) log f) O log g)) f) g) K log f) log g) log K + log g) log g) Achtug: Die Regel gilt icht für die starke obere Schrake, was ma am Beispiel f) ud g) leicht achweise ka. 8) Vergleich vo Poteze Für alle 0 < a < b gilt a o b ). Begrüdug: a b a b b a 9) Logarithme gege Poteze 0 Für alle a > 0 ud alle b > 0 gilt log ) a o b ), auch we a sehr groß ud b sehr klei ist. 0) Poteze gege Expoetialausdrücke Für alle a > 0, b > 0 ud c > gilt a o b ) ud a oc ), auch we a sehr groß ud b sehr klei ist. Die Begrüduge für die letzte zwei Regel werde erst später besproche als Aweduge der Regel vo Beroulli L Hospital. 48