8 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R

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1 8 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R 8.1 Konvergenz monotoner Folgen 8.2 Die Zahl e 8.3 Existenz monotoner Teilfolgen 8.4 Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß 8.5 Konvergenzkriterium von Cauchy 8.7 Charakterisierung von Häufungswerten 8.8 Kleinster und größter Häufungswert von Folgen 8.10 Charakterisierung beschränkter, abgeschlossener und folgenkompakter Teilmengen von R 8.11 Folgenkompaktheit gewisser Intervalle 8.12 Existenz des Minimums und Maximums folgenkompakter Mengen Die Frage nach der Konvergenz einer Folge und die Frage nach ihrem Grenzwert sind bisher nur simultan behandelbar. Vermutet man, daß eine Zahl Grenzwert der vorgegebenen Folge ist, so kann man dies auf Grund der Definition der Konvergenz oder mit Hilfe der daraus abgeleiteten Regeln überprüfen. Die Kriterien für monotone Folgen und das Cauchy-Kriterium ermöglichen nun eine Überprüfung der Folge auf Konvergenz, ohne daß man schon den möglichen Grenzwert der Folge im voraus kennen muß. 8.1 Konvergenz monotoner Folgen Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist. Genauer gilt: (i) Ist (a n ) n m monoton wachsend und nach oben beschränkt, so besitzt die Folge einen Grenzwert, und es gilt: lim n a n = sup({a n : n m}). Ist (a n ) n m monoton fallend und nach unten beschränkt, so besitzt die Folge einen Grenzwert, und es gilt: lim n a n = inf({a n : n m}). C 1 [8] 1

2 Kapitel II Konvergenz von Folgen und Reihen Beweis. Da eine konvergente Folge beschränkt ist (siehe 7.12), reicht es, (i) und zu beweisen. Zu (i) : Da {a n : n m} nach Voraussetzung nach oben beschränkt ist, existiert (1) a := sup({a n : n m}). Sei ε R +. Dann gibt es ein n 0 Z m mit (2) a n0 > a ε. Da (a n ) n m monoton wachsend ist, gilt a n a n0 für n n 0 und somit (3) a ε < a n0 a n a für n n 0. (2) (1) Aus (3) folgt nun a a n < ε für n n 0, d.h. a n a. Zu : (analog zu (i)). Es existiert a := inf({a n : n m}). Zu ε R + gibt es dann ein n 0 Z m mit a n0 < a + ε. Also ist a a n a n0 < a + ε für n n 0, d.h. a n a. Im folgenden steht a n a für: a n a und (a n ) ist monoton wachsend. a n a für: a n a und (a n ) ist monoton fallend. Im ersten Fall spricht man von monoton wachsender, im zweiten Fall von monoton fallender Konvergenz gegen a. Die in Beispiel 7.3 vermutete Konvergenz von (1 + 1/n) n folgt nun aus 8.1 mit: 8.2 Die Zahl e Die Folge ((1 + 1/n) n ) n N konvergiert monoton wachsend. Ihren Grenzwert bezeichnet man mit e. Es ist also e = sup({(1 + 1/n) n : n N}). Beweis. Nach 3.22(iv) und (v) ist (1 + 1 n )n eine monoton wachsende, durch 3 nach oben beschränkte Folge. Nach 8.1(i) konvergiert dann ((1 + 1 n )n ) monoton wachsend gegen sup({(1 + 1 n )n : n N}). Natürlich ist nicht jede Folge monoton; jedoch besitzt jede Folge eine monotone Teilfolge. 8.3 Existenz monotoner Teilfolgen Jede Folge (a n ) n m besitzt eine monotone Teilfolge. [8] 2 C 1

3 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R Beweis. Setze N 1 := {n Z m : a k < a n für alle k > n}. Wir unterscheiden die zwei Fälle: Fall (i): N 1 ist endlich. Wähle ϕ(n) Z m für n m induktiv mit: { ϕ(m) = max(n1 {m}) + 1 Z m (1) ϕ(n) > ϕ(n 1), a ϕ(n) a ϕ(n 1) für n > m. (A) Da N 1 endlich ist, existiert ϕ(m) (benutze 3.32). (S) Sind nun ϕ(m),..., ϕ(n) mit den angegebenen Eigenschaften definiert, so ist ϕ(n) ϕ(m) und daher ϕ(n) N 1. Daher existiert nach Definition von N 1 ein ϕ(n + 1) > ϕ(n) mit a ϕ(n+1) a ϕ(n). Nach (1) ist (a ϕ(n) ) n m eine monoton wachsende Teilfolge von (a n ) n m. Fall : N 1 ist unendlich. Wähle induktiv ϕ(n) Z m für n m mit (2) ϕ(n) N 1, und für n > m gilt ϕ(n) > ϕ(n 1). (A) Da N 1 nicht-leer ist, existiert ϕ(m) := min(n 1 ) (benutze 3.33(i)). (S) Wähle ϕ(n + 1) := min({k > ϕ(n) : k N 1 }). Da N 1 unendlich ist, ist {k N 1 : k > ϕ(n)} nicht-leer. Wiederum nach 3.33(i) existiert dann ϕ(n + 1). Es ist ϕ(n + 1) N 1 und ϕ(n + 1) > ϕ(n). Somit ist (2) induktiv bewiesen. Da ϕ(n) N 1 und ϕ(n + 1) > ϕ(n) ist, gilt nach Definition von N 1, daß a ϕ(n+1) < a ϕ(n) ist. Also ist (a ϕ(n) ) n m eine monoton fallende Teilfolge von (a n ) n m. Bei der Auswahl einer monotonen Teilfolge aus einer Folge wurde nur benutzt, daß R eine total geordnete Menge ist. Aus 8.3 ergibt sich zusammen mit dem Satz über monotone Folgen ein überaus wichtiger Satz, der auf Bolzano ( ) und Weierstraß ( ) zurückgeht. 8.4 Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. Beweis. Nach 8.3 besitzt (a n ) eine monotone Teilfolge (a ϕ(n) ), die, da (a n ) beschränkt ist, ebenfalls beschränkt ist. Nach 8.1 ist dann aber (a ϕ(n) ) konvergent. Nach Cauchy ist das folgende Konvergenzprinzip benannt. 8.5 Konvergenzkriterium von Cauchy Eine Folge (a n ) n m ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem ε R + ein n 0 Z m gibt, so daß a n0 +n a n0 < ε für alle n N ist. Eine Folge mit dieser Eigenschaft heißt Cauchy-Folge oder auch Cauchy-konvergent. C 1 [8] 3

4 Kapitel II Konvergenz von Folgen und Reihen Beweis. : Sei ε R + gewählt. Aus a n a folgt a k a < ε/2 für alle k n 0 mit einem geeigneten n 0 Z m. Somit gilt für n N a n0 +n a n0 a n0 +n a + a a n0 < ε. : (a n) ist beschränkt, da es zu ε := 1 ein n 0 mit a n a n a n0 + a n0 1 + a n0 für fast alle n gibt. Also besitzt (a n ) nach dem Auswahlprinzip 8.4 eine gegen ein a R konvergente Teilfolge (a ϕ(n) ). Wir zeigen, daß (a n ) selbst gegen a konvergiert: Sei hierzu ε R +. Dann gibt es nach Voraussetzung ein n 0 Z m mit (1) a k a n0 < ε/3 für alle k n 0. Wähle nun zu n 0 ein n Z m mit ϕ(n) n 0 und (2) a ϕ(n) a < ε/3; ein solches n existiert, da nach Voraussetzung (a ϕ(n) ) gegen a konvergiert. Wegen ϕ(n) n 0 ist nach (1) ferner: (3) a ϕ(n) a n0 < ε/3. Somit gilt für alle k n 0 nach (1) (3): a k a a k a n0 + a n0 a ϕ(n) + a ϕ(n) a < ε. Also konvergiert (a n ) gegen a. Aus der Ungleichung im Cauchy-Kriterium folgt auch a n0 +n a n0 +n < 2ε für n, n N. Somit kann man im Cauchy-Kriterium statt a n0 +n a n0 < ε auch a k a n < ε für k, n > n 0 oder auch a k a n < ε für k, n n 0 fordern. 8.6 Häufungswerte von Folgen Sei (a n ) eine Folge und a R. a heißt Häufungswert der Folge (a n ), wenn für jede Umgebung O von a gilt: a n O für unendlich viele n. In R lassen sich Häufungswerte von Folgen mittels Konvergenz von Teilfolgen beschreiben. 8.7 Charakterisierung von Häufungswerten Sei (a n ) eine Folge. Dann ist a genau dann ein Häufungswert von (a n ), wenn es eine Teilfolge von (a n ) gibt, die gegen a konvergiert. Beweis. : Sei a ein Häufungswert von (a n ) n m. Dann ist O k := U 1/k (a) für jedes k N eine Umgebung von a. Wähle induktiv für k N ϕ(m + k) > ϕ(m + k 1) mit ϕ(m) := m und a ϕ(m+k) O k. (A) Es gibt ein l > ϕ(m) = m mit a l O 1, da a Häufungspunkt von (a n ) n m ist und somit a n O 1 für unendlich viele n gilt. (S) Es gibt ein l > ϕ(m + k) mit a l O k+1, da es für O k+1 unendlich viele l gibt mit a l O k+1, also auch ein a l mit l > ϕ(m + k). Setze ϕ(m + k + 1) := l. [8] 4 C 1

5 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R Ist nun O eine beliebige Umgebung von a, so gibt es ein k 0 mit O k0 O. Somit ist a ϕ(m+k) O k O k0 O für alle k k 0, d.h. (a ϕ(n) ) n m konvergiert gegen a. : Es konvergiere (a ϕ(n)) n m gegen a. Ist dann O eine Umgebung von a, so gilt a ϕ(n) O für fast alle n. Da ϕ injektiv ist, gilt für die unendlich vielen k {ϕ(n) : n m}, daß a k O ist. Wegen 8.7 ist 8.4 äquivalent zu Jede beschränkte Folge besitzt einen Häufungswert. Unbeschränkte Folgen, wie z.b. (n) n N, brauchen keinen Häufungswert zu besitzen. Ist eine Folge konvergent, so konvergiert jede der Teilfolgen gegen denselben Grenzwert (siehe 7.20). Daher besitzt eine konvergente Folge nur einen Häufungswert (benutze 8.7). Nur divergente Folgen können also keinen, wie z.b. die Folge (n) n N, oder mehrere Häufungswerte besitzen, wie z.b. die Folge (( 1) n ) n N. Für eine beschränkte Folge gibt es also einen oder mehrere Häufungswerte. Der folgende Satz zeigt, daß die Menge aller Häufungswerte einer beschränkten Folge ein kleinstes und ein größtes Element besitzt. 8.8 Kleinster und größter Häufungswert von Folgen Sei (a n ) n m eine beschränkte Folge. (i) Es existiert lim n inf({a k : k n}), und dieser Wert ist der kleinste Häufungswert von (a n ). Er wird mit lim inf a n oder lim a n bezeichnet. Es existiert lim n sup({a k : k n}), und dieser Wert ist der größte Häufungswert von (a n ). Er wird mit lim sup a n oder lim a n bezeichnet. Beweis. (i) + Es gibt α, β R mit Es folgt für n m α a k β für alle k m. (1) α c n := inf({a k : k n}) sup({a k : k n}) =: d n β. Nun gilt c n c n+1 und d n d n+1. Nach 8.1 existieren daher lim n c n und lim n d n. Zu zeigen bleibt: (2) Ist a ein Häufungswert von (a n ), so gilt lim n c n a lim n d n. (3) lim n c n und lim n d n sind Häufungswerte der Folge (a n ). C 1 [8] 5

6 Kapitel II Konvergenz von Folgen und Reihen Zu (2): Da a Häufungswert von (a n ) ist, gibt es eine Teilfolge (a ϕ(n) ) (siehe 8.7), die gegen a konvergiert. Da ϕ(n) n ist (Induktion), gilt: c n a ϕ(n) d n. (1) Aus dem Vergleichssatz (siehe 7.13) folgt daher d.h. es gilt (2). lim n c n a lim n d n, Zu (3): Sei c := lim n c n. Sei ε R +. Es reicht zu zeigen, daß a n U ε (c) für unendlich viele n gilt. Zunächst gilt c n ]c ε, c + ε[ für alle n n(ε) mit geeignetem n(ε). Nach Definition von c n gibt es dann ein ϕ(n) n mit a ϕ(n) ]c ε, c + ε[. Somit sind a ϕ(n) U ε (c) für n n(ε). Wegen ϕ(n) n muß {ϕ(n) : n n(ε)} aber eine unendliche Menge sein. Für die Folge (d n ) verfahre man analog. Nach Definition des kleinsten und größten Häufungswertes einer beschränkten Folge (a n ) gilt also für jede konvergente Teilfolge (a ϕ(n) ) nach 8.7: Wir erhalten nun aus 8.8: lim inf a n lim n a ϕ(n) lim sup a n. 8.9 Kriterium für die Konvergenz einer beschränkten Folge Für eine beschränkte Folge (a n ) sind äquivalent: (i) Die Folge ist konvergent. Die Folge besitzt nur einen Häufungswert. (iii) lim a n = lim a n. Ist eine der drei äquivalenten Bedingungen erfüllt, so gilt: lim a n = lim n a n = lim a n. Beweis. (iii) Nach 8.8 besitzt eine beschränkte Folge den kleinsten Häufungswert lim a n und den größten Häufungswert lim a n. Daher ist lim a n = lim a n genau dann, wenn die Folge genau einen Häufungswert besitzt, d.h. genau dann, wenn gilt. (i) Da nach 8.7 jeder Häufungswert Grenzwert einer Teilfolge ist, folgt die Behauptung aus (iii) (i) Es gilt c n := inf({a k : k n}) a n sup({a k : k n}) =: d n, und c n konvergiert gegen lim a n und d n konvergiert gegen lim a n. Somit folgt nach dem Sandwichsatz (siehe 7.14) wegen lim a n = lim a n, daß (a n ) konvergent ist mit lim n a n = lim a n = lim a n. Dies beweist (iii) (i) und den Zusatz. Wir wollen nun die Konvergenz von Folgen benutzen, um Beschränktheit, Abgeschlossenheit und Folgenkompaktheit von Teilmengen von R zu charakterisieren. [8] 6 C 1

7 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R 8.10 Charakterisierung beschränkter, abgeschlossener und folgenkompakter Teilmengen von R Für Teilmengen M von R gilt: (i) M ist genau dann beschränkt, wenn jede Folge (m n ) n N M N eine konvergente Teilfolge besitzt. M ist genau dann abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge (m n ) n N M N zu M gehört. (iii) M ist genau dann beschränkt und abgeschlossen, wenn M folgenkompakt ist, d.h. wenn jede Folge (m n ) n N M N eine gegen ein Element von M konvergierende Teilfolge besitzt. Beweis. Da die leere Menge beschränkt und abgeschlossen ist, können wir in (i) (iii) o.b.d.a. M voraussetzen. (i) : Sei M beschränkt. Da (m n ) n N M N wegen {m n : n N} M eine beschränkte Folge ist, besitzt (m n ) n N nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß 8.4 eine konvergente Teilfolge. : Ist M nicht beschränkt, so gibt es eine Teilfolge (m n) n N mit m n M und m n n. Dann ist auch jede Teilfolge dieser Folge nicht beschränkt und daher nicht konvergent. : Sei (m n) n N M N mit m n a. Zu zeigen ist a M. Wäre a X \ M, dann wäre X \ M eine offene Menge, die a enthielte. Also wäre X \ M eine Umgebung von a. Daher müßte m n X \ M für fast alle n sein, ein Widerspruch zu m n X \ M für alle n. : Sei a ein Berührungspunkt von M. Nach 5.9(iv) ist a M zu zeigen. Nach 5.8 existieren m n M U 1 (a). Also gilt m n a und damit a M n nach Voraussetzung. (iii) : Sei M beschränkt und abgeschlossen. Nach (i) besitzt jede Folge (m n ) n N M N eine gegen ein a R konvergente Teilfolge (m ϕ(n) ) n N. Wegen (m ϕ(n) ) n N M N ist a M nach. : Es besitze jede Folge (m n) M N eine gegen ein Element von M konvergierende Teilfolge. Dann ist zunächst M beschränkt nach (i). Sei nun (m n ) n N M eine gegen a konvergente Folge. Zu zeigen reicht, daß a M, da dann aus die Abgeschlossenheit von M folgt. Nun besitzt (m n ) n N nach Voraussetzung eine gegen ein b M konvergierende Teilfolge. Da (m n ) n N gegen a konvergiert, konvergiert auch diese Teilfolge gegen a. Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes ist a = b M Folgenkompaktheit gewisser Intervalle Ein Intervall I ist genau dann folgenkompakt, wenn es a, b R mit a < b gibt, so daß I = [a, b] ist. C 1 [8] 7

8 Kapitel II Konvergenz von Folgen und Reihen Beweis. : Sei I ein folgenkompaktes Intervall. Nach 8.10 ist dann I eine beschränkte und abgeschlossene Menge. Nach 5.7 ist dann I ein abgeschlossenes Intervall im Sinne von 5.1. Da I auch eine beschränkte Menge ist, muß nach 5.1 das Intervall I von der Form [a, b] mit a, b R, a < b sein. : Ist I = [a, b], so ist I eine beschränkte und nach 5.7 abgeschlossene Menge. Also ist I folgenkompakt nach 8.10(iii) Existenz des Minimums und Maximums folgenkompakter Mengen Sei M R folgenkompakt. Maximum. Dann besitzt M ein Minimum und Beweis. Es ist M nach 8.10(iii) beschränkt und abgeschlossen. Somit existieren inf(m) und sup(m). Nach 7.22 gibt es nun Folgen (m n ) n N M N mit m n inf(m) (bzw. sup(m)). Da M abgeschlossen ist, folgt inf(m) M (bzw. sup(m) M) nach Also ist inf(m) = min(m) (bzw. sup(m) = max(m)). [8] 8 C 1