Numerisches Lösen von Gleichungen

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1 Numerisches Gesucht ist eine Lösung der Gleichung f(x) = 0. Das sverfahren ist eine numerische Methode zur Bestimmung einer Nullstelle. Es basiert auf dem Zwischenwertsatz: Satz (1.1.1) Zwischenwertsatz: Sei f : [a, b] R stetig mit f(a) < 0 f(b) > 0. Dann existiert eine Zwischenstelle ξ (a, b) mit f(ξ) = 0.

2 Darstellung des Zwischenwertsatzes Sei f : [a, b] R stetig mit f(a) < 0 f(b) > 0. Dann existiert eine Zwischenstelle ξ (a, b) mit f(ξ) = 0.

3 : Algorithmus 1 Initialisierung: x 1 = a, x 2 = b, f 1 = f(x 1 ), f 2 = f(x 2 ), δ = Iteration: a) Bestimme Intervallmitte: x 3 = 1 2 (x 1 + x 2 ) b) Bestimme Funktionswert: f 3 = f(x 3 ) c) Festlegung des neuen Intervalls: i) falls f 3 f 2 0 (Nullstelle zwischen x 2 x 3), dann x 1 := x 3 f 1 := f 3 ii) falls f 3 f 2 > 0 (Nullstelle zwischen x 1 x 3), dann x 2 := x 3 f 2 := f 3 d) Abbruchbedingungen i) falls x 2 x 1 δ, dann x 3 := ξ Stop ii) falls x 2 x 1 > δ, dann weiter mit a)

4 Bemerkungen zum sverfahren Das sverfahren liefert nur eine Nullstelle im Intervall I = [a, b]. δ ist Abbruchskriterium sollte nicht kleiner als die Rechengenauigkeit sein. Beispiel Gegeben ist die Funktion f(x) = x 3 x im Intervall I = [1, 2] Da f(1) = f(2) = liegt nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle im Intervall I = [1, 2]. 1. Schritt des Algorithmus: x 3 = 1.5 f(1.5) = usw. Nach 13 Iterationen ergibt sich als Nullstelle: ξ =

5 Beispiel Es soll die n-ten Wurzel x = n a für a 0, a 1 berechnet werden. Diese Aufgabe ist äquivalent mit dem folgenden Nullstellenproblem: x = n a f(x) = x n a = 0 z.b. x = 5 8 f(x) = x 5 8 = 0.

6 Das ist die am häufigsten eingesetzte Methode zur numerischen Bestimmung einer Nullstelle f(x) = 0 im Intervall I = [a, b], da es eine schnelle Konvergenz bestitzt. Iteratives Verfahren: Man startet mit einem Startwert x 0, berechnet die Tangente an die Funktion f(x) in x 0 bestimmt den Schnittpunkt mit der x-achse. Dieser Schnittpunkt wird der neue Punkt x 1, an dem die nächste Tangente berechnet wird wieder der Schnittpunkt mit der x-achse usw..

7 Darstellung des s

8 Formeln zum Tangentengleichung in x 0 : y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Schnittpunkt x 1 mit der x-achse, d.h. für y = 0: 0 = f(x 0 ) + f (x 0 )(x 1 x 0 ) x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 )

9 Newton: Algorithmus 1 Initialisierung: wähle x 0 δ := Iteration: a) Newton-Formel: x n+1 = x n f(x n) f, n = 0, 1, 2, 3,... (x n ) b) Abbruchbedingung: i) falls x n+1 x n < δ, dann δ = x n+1; Stop ii) falls x n+1 x n δ, dann weiter mit a).

10 Eigenschaften des s schnelle Konvergenz (wenige Iterationsschritte) bei einem schlechten Startwert kann das Verfahren divergieren. Ausweg: Finde über das sverfahren zunächst einen guten Startwert. die Ableitung f (x) muss existieren das Verfahren ist erweiterbar auf Funktion mehrerer Veränderlicher f(x, y,...)

11 Beispiel Gegeben ist die Funktion f(x) = x 3 x 2 + 1, im Intervall I = [1, 2]. Die Ableitung lautet: f (x) = 3x 2 x x Die Newton-Iteration ergibt: n x n f(x n ) d.h. nach 4 Iterationen hat man die Nullstelle bis auf 8 Dezimalstellen genau bestimmt.

12 Das benötigt die Berechung der ersten Ableitung von f(x). Falls dies nicht möglich ist, ist das Regula falsi Verfahren eine alternative Methode zur Lösung der Gleichung f(x) = 0. Hierzu werden zwei Startwerte x 0 x 1 benötigt. Geometrisch: Statt einer Tangente wird eine Sekante zwischen den Punkten (x 0, f(x 0 )) (x 1, f(x 1 )) bestimmt dann der Schnittpunkt x 2 der Sekanten mit der x-achse berechnet. Daraus ergibt sich ein neuer Punkt (x 2, f(x 2 )), der zusammen mit (x 1, f(x 1 )) den nächsten Iterationsschritt bildet, usw..

13 Darstellung des Regula fals Verfahrens

14 Formeln zum Verfahren Sekantengleichung in x 0 x 1 : f(x 1 ) f(x 0 ) x 1 x 0 = y f(x 0) x x 0 Schnittpunkt x 2 mit der x-achse, d.h. für y = 0: x 2 = x 0 f(x 0 ) x 1 x 0 f(x 1 ) f(x 0 )

15 Konstruktion der Sekanten

16 : Algorithmus 1 Initialisierung: wähle x 0, x 1 δ := Iteration: a) Sekanten-Formel: x n x n 1 x n+1 = x n 1 f(x n 1 ) f(x n ) f(x n 1 ) b) Abbruchbedingung: i) falls x n+1 x n < δ, dann δ = x n+1; Stop ii) falls x n+1 x n δ, dann weiter mit a).

17 Bemerkungen die Konvergenz des Verfahrens ist langsamer als die des s Bei Nullstellen von Polynomausdrücken ist das Horner-Schema zur Auswertung der Funktionswerte f(x 1 ) sehr geeignet. Es kann außerdem zur Berechnung der Ableitung f (x 1 ) an einem Punkt x 1 angewendet werden. Bei dem muss in jedem Iterationsschritt f(x n ) f (x n ) berechnet werden. Hierzu ist es schnell, das doppelte Horner-Schema zu verwenden.

18 Horner-Schema zur Auswertung der Ableitung Gegeben ist ein Polynomausdruck: f(x) = (x x 1 ){b k x k 1 + b k 1 x k b 2 x + b 1 } + b 0 Mit der Produktregel folgt } f (x) = {b k x k 1 + b k 1 x k b 2 x + b 1 + } (x x 1 ) {(k 1)b k x k 2 + (k 2)b k 1 x k b 2 f (x 1 ) = {b k x k b k 1 x k b 2 x 1 + b 1 } mit dem Horner-Schema ergeben sich die Koeffizienten b i : c k = b k c i 1 = b i 1 + c i x x, i = k, k 1,..., 2 f (x 1 ) = c 1.

19 Doppeltes Horner-Schema Beispiel Gegeben ist die Funktion f(x) = 4x 3 5x 2 + 2x + 1. Gesucht ist der Wert der Funktion f(x) der Wert der Ableitung f (x) jeweils an der Stelle x 1 = = f(2) = f (2)