ÜbungsaufgabeN mit Lösungen

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1 ÜbngsafgabeN mt Lösngen Statstk / Grndstdm Statstk I G - 3. Fachhochschle der Detschen Bndesbank Dr. Detmar Hbrch

2 Dr. Detmar Hbrch Statstk I Afgaben nd Lösngen Fachhochschle der G 3. Detschen Bndesbank S. Afgabe Am. Janar 995 wrden 500 Taschenrechner enes Compterherstellers asgelefert. De Lebensdaer deser Geräte enthält de folgende Tabelle: Lebensdaer Häfgket Jan Dez Jan Dez Jan Dez Jan Dez Jan. 0 - Dez Gesamt 500 a) Berechnen Se as den gegebenen Werten ene vollständge Häfgketstabelle. b) Stellen Se de Häfgket n Abhänggket von der Lebensdaer n enem Hstogramm dar. c) Erstellen Se ene Grafk der appromerten Dchtefnkton Ihrer Vertelng. Was lässt sch allgemen über de Fläche nterhalb ener Dchtefnkton assagen? d) Berechnen Se - das arthmetsche Mttel - den Modalwert - den Zentralwert der Vertelng. Interpreteren Se jewels Ihr Ergebns. e) Berechnen Se - de Spannwete - de Qartlsabwechng - de Varanz nd de Standardabwechng - den Varatonskoeffzenten der Vertelng. Interpreteren Se jewels Ihr Ergebns.

3 Dr. Detmar Hbrch Statstk I Afgaben nd Lösngen Fachhochschle der G 3. Detschen Bndesbank S. Lösng: a) Klasse Jahre h f F() * d f /d 0 < 80 0,7 0,7 0,085 < , 0,9,5 0, 3 3 < 70 0, 0,3 3,5 0, < ,3 0,86 5 0,5 5 6 < ,,0 8 0,035 Σ 500,00./../. 0./. b)

4 Dr. Detmar Hbrch Statstk I Afgaben nd Lösngen Fachhochschle der G 3. Detschen Bndesbank S. 3 c) De Fläche nterhalb ener Dchtefnkton beträgt mmer oder 00%. De appromerte Dchtefnkton erfüllt dese Bedngng m Falle glecher Klassenbreten. Problematsch st m konkreten Afgabenfall de Interpretaton der Häfgket m negatven Berech! d) arthmetsches Mttel: Klasse Jahre h f F() * d f/d h * * 0 < 80 0,7 0,7 0, < , 0,9,5 0, < 70 0, 0,3 3,5 0, 50 < ,3 0,86 5 0, < , 8 0, q Σ 500 3,3 Jahre h h * De Lebensdaer der Taschenrechner beträgt m Drchschntt,3 Jahre. 3

5 Dr. Detmar Hbrch Statstk I Afgaben nd Lösngen Fachhochschle der G 3. Detschen Bndesbank S. Modalwert : Vorgehenswese: Ermttlng der modalen Klasse (Klasse mt der größten Besetzngsdchte). De modale Klasse st m Bespel de Klasse. De Klassenmtte der modalen Klasse st der Modalwert. : Klasse Jahre h f F() * d f/d 0 < 80 0,7 0,7 0,085 < , 0,9,5 0, 3 3 < 70 0, 0,3 3,5 0, < ,3 0,86 5 0,5 5 6 < , 8 0,035 D Σ Jahre Modale Klasse mt der Klassenmtte 5 Jahre. Der häfgste Wert für de Lebensdaer der Taschenrechner beträgt 5 Jahre. Zentralwert (Medan): z e + α d Vorgehenswese : Man bestmmt de medane Klasse, für de glt, dass der Wert der Vertelngsfnkton 0,5 das erstemal überschretet. Her de Klasse. Man bestmmt den Antel der medanen Klasse α. Der Medan ergbt sch dann as : Klasse Jahre h f F() 0 < 80 0,7 0,7 Medane Klasse. Gescht st de Strecke der nteren < , 0,9 Schranke bs 0, < 70 0, 0,3 < ,3 0, < , z Σ 500,36 Jahre 0,5 0,3 a 0,68 0,86 0,3 z 0,68 +,36 De Hälfte der Taschenrechner errechen ene Lebensdaer von mehr als,36 Jahren, de andere Hälfte ene Lebensdaer von wenger als,36 Jahren.

6 Dr. Detmar Hbrch Statstk I Afgaben nd Lösngen Fachhochschle der G 3. Detschen Bndesbank S. 5 e) Spannwete : Defnton : R ma - mn. Be klasserten Werten st mn de Untergrenze der ersten Klasse nd ma de Obergrenze der letzten Klasse. Also : ma Dez. 0 0 mn Jan R 0 Jahre De Spannwete der Unterschng beträgt 0 Jahre. Qartlsabwechng :. Schrtt Bestmmng der Qartlsklassen. In welchen Klassen überschretet de Vertelngsfnkton das erstemal den 0,5 bzw. 0,75 Wert?. Qartl : F() Klasse : ( - 3). Qartl : F() Klasse : ( - 6). Schrtt Bestmmng der Untergrenze. 0,5 0,7 0,08 α 0,67 0,9 0,7 0, d e d α + e 0,67 +,67 3. Schrtt Bestmmng der Obergrenze o. 0,75 0,3 0,3 α 0,7 0,86 0,3 0,3 d e d α + e 0,7 + 5,8. Schrtt Bestmmng der Qartlsabwechng QA. QA o 5,8,67, ( ) ( ) 05 In enem Intervall von ±,05 Jahren m Drchschntt m den Medan befnden sch 50% der Lebensdaern der Taschenrechner. 5

7 Dr. Detmar Hbrch Statstk I Afgaben nd Lösngen Fachhochschle der G 3. Detschen Bndesbank S. 6 Varanz: Klasse Jahre h * * - q (* - q)^ h * (* - q)^ 0 < 80-3,306 0, ,8093 < 3 600,5 -,7306, , < 70 3,5-0,7306 0, , < , , , < ,776978, ,67,30 Σ ,079 σ,3855 De Varanz beträgt ca.,386 [Jahre]. Sachlch oft ncht z nterpreteren. Erst de Standardabwechng st weder emprsch nterpreterbar. Her nr theoretsches Maß zr Beschrebng der Streng. Formel : σ h * ( ) h Standardabwechng: σ σ,09 De enfache Standardabwechng st de Qadratwrzel as der Varanz. Se gbt an n welchem Abstand m das arthmetsche Mttel ca. 68% der Vertelngsmasse legen. Dese Angabe glt nr nter der Annahme n nd nter Gültgket der Vertelngsform ener Normalvertelng. De enfache Standardabwechng beträgt,09 Jahre. Damt werden ca. /3 der Vertelngsmasse n enem Abstand von ±,09 Jahren m das arthmetsche Mttel angetroffen. Varatonskoeffzent: V,09 σ 0,959 9,59%,3 De enfache Standardabwechng beträgt 9,59% vom arthmetschen Mttel. Der Varatonskoeffzent wrd zm Verglech der Strengen von Vertelngen herangezogen, de n nterschedlchen Dmensonen gemessen wrden. 6

8 Dr. Detmar Hbrch Statstk I Afgaben nd Lösngen Fachhochschle der G 3. Detschen Bndesbank S. 7 Afgabe : Jemand kaft senem Sohn 0 Glasmrmeln. Als passonerter Statstker seht er n hnen soglech ene statstsche Masse. Zr Berechnng charakterstscher Kennzffern hrer Vertelng bestmmt er den Drchmesser der Mrmeln nd fndet folgende Werte n cm : a) Berechnen Se : - den Modalwert - den Medan - das arthmetsche Mttel Interpreteren Se Ihre berechneten Werte. b) Berechnen Se : - de Spannwete - de Qartlsabwechng - de Varanz nd Standardabwechng - den Varatonskoeffzenten Interpreteren Se Ihre berechneten Werte. c) Af Wnsch des Sohnes beschafft der Vater zsätzlch 0 Glasmrmeln ähnlchen Typs. Als Drchmesser der Mrmeln n cm fndet er desmal : Bestmmen Se anhand des Varatonskoeffzenten welche Telmasse, a) oder c), wahrschenlch mt höherer Fertgngsgenagket erstellt wrde. d) Berechnen Se für de zsammengefasste Grndgesamthet - den Modalwert - den Medan - das arthmetsche Mttel 7

9 Dr. Detmar Hbrch Statstk I Afgaben nd Lösngen Fachhochschle der G 3. Detschen Bndesbank S. 8 Lösng zr Afgabe a ) Modalwert Der Modalwert st der häfgste Wert. D,89 cm (kommt 6 vor, globales Mamm) a ) Medan Der Medan st der Zentralwert von 0 Beobachtngen (n). Es glt m Falle gerader Anzahl von Beobachtngen: z n + + ( n ) ( 0 + ) (,89 +,93), 9 50% der Vertelngsmasse legen lnks we rechts vom Medan. De Hälfte aller Kgeln st größer als,9 cm, de andere Hälfte klener. a 3 ) arthmetsches Mttel Das arthmetsche Mttel beschrebt den Drchschntt von Nveagrößen. n 38,73, Der Drchschntt der Glasmrmeln legt be,9 cm b ) Spannwete De Spannwete gbt den emprschen Beobachtngsberech an. R ma mn,,7 0, De Schwankngsbrete der statstschen Masse beträgt 0, cm. b ) Qartlsabwechng De Qartlsabwechng gbt de drchschnttlche Dstanz zwschen dem Medan nd dem 5% Pnkt (bzw. 75% Pnkt o ) der Vertelngsfnkton an: ( ) QA o 8

10 Dr. Detmar Hbrch Statstk I Afgaben nd Lösngen Fachhochschle der G 3. Detschen Bndesbank S. 9 Telrehen werden (nach Sorteren) gebldet : ( + ) (,89 +,89), o ( + ) (,0 +,0), QA (,0,89) 0, % der Mrmeln befnden sch n enem Berech von ± 0,065 cm m Drchschntt m den Medan. b 3 ) Varanz nd Standardabwechng Varanz nd Standardabwechng snd theoretsche, statstsche Maße, de oft schwerg n der deskrptven Statstk z nterpreteren snd. σ n ( ) Mt dem Mttel von,9365 cm nd der Smme der qadrerten Beobachtngswerte von 75,97 cm folgt: σ 75,97, , De Varanz beträgt also 0, cm. Se kann znächst ncht nterpretert werden. De Standardabwechng als Wrzel der Varanz st weder nterpretatonsfähg. σ σ 0,099 Unter der Annahme, dass de Vertelng der beobachteten statstschen Masse ener Normalvertelng gehorcht, befnden sch ngefähr /3 der Vertelngsmasse n enem Berech von ± 0,099 cm m das arthmetsche Mttel. b ) Varatonskoeffzent Der Varatonskoeffzent normert de Standardabwechng af das arthmetsche Mttel. Standardserng wrd stets as Verglechsgründen vorgenommen. σ 0,099 V 0,058 5,8 %,9365 De Standardabwechng beträgt 5,8 % des arthmetschen Mttels. 9

11 Dr. Detmar Hbrch Statstk I Afgaben nd Lösngen Fachhochschle der G 3. Detschen Bndesbank S. 0 c) Varatonskoeffzent der. Telmasse Zm Verglech wrd der Varatonskoeffzent der. Telmasse benötgt. Es glt : n 9, 0,9 Das arthmetsche Mttel der. Telmasse beträgt,9 cm. Um den Varatonskoeffzenten blden z können, wrd de Standardabwechng der. Telmasse benötgt: σ n 0 ( ) ( ) 36,68,9 0, 0656 De Varanz der. Telmasse beträgt 0,0656 cm. De Standardabwechng st weder de Wrzel as der Varanz: σ σ 0,5 De Standardabwechng der. Telmasse beträgt 0,5 cm. Heras folgt n Verbndng mt dem arthmetschen Mttel : Der Verglech mt b ) zegt: σ 0,5 V 0,0588,9 5,88 % V < V Streng st klener als Streng Ergebns: De Orgnalrehe mt n 0 Werten bestzt de größere Fertgngsgenagket d ) Modalwert der zsammengefassten Grndgesamthet Der Modalwert der zsammengefassten Grndgesamthet lässt sch ncht as den Telmodalwerten berechnen. Es st notwendg, de statstschen Telmassen z ener neen Grndgesamthet zsammenzfassen. Man erhält: ges. D,89 cm. (,89 cm kommt n der zsammengefassten Grndgesamthet 0 vor. Globales Mamm!) 0

12 Dr. Detmar Hbrch Statstk I Afgaben nd Lösngen Fachhochschle der G 3. Detschen Bndesbank S. d ) Medan der zsammengefassten Grndgesamthet Nach Sorteren der neen Grndgesamthet (alle Werte!) erhält man den Medan: z ( + ),89 cm 5 6 d 3 ) arthmetsches Mttel der zsammengefassten Grndgesamthet Be dem arthmetschen Mttel ergbt sch der Drchschntt der Grndgesamthet als gewogenes arthmetsches Mttel der Telgesamtheten. n + n 0, ,9 30 ges. n + n Der Drchschntt der Grndgesamthet beträgt,93 cm.,983 cm