Definition: Unter dem vektoriellen Flächenelement einer ebnen Fläche A versteht man einen Vektor A r der

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1 Obeflächenntegale Vektofluß duch ene Fläche - betachtet wd en homogenes Vektofeld v (B Lchtbündel) - das Lcht falle auf enen Spalt Defnton: Unte dem vektoellen Flächenelement ene ebnen Fläche vesteht man enen Vekto de senkecht auf de Fläche steht und dessen Betag glech st Das Voechen wd pe Konventon festgelegt; n unseem Falle st es günstg, das Voechen so festulegen, daß n de Rchtung egt, n welche de Stom aus de Fläche austtt Bespele: Fage: Wkt sch ene Negung des Spaltes auf de hnduchtetende Lchtmenge aus? e e e Flächenvekto steht senkecht auf de Fläche! hnduchtetende Lchtmenge: J v V (V -Komponente von J) Duch de belebg n den Lchtstom gelegte Fläche ttt genausovel Lcht, we duch de Pojekton j Defnton: Gegeben se ene ebene Fläche und en homogenes Vektofeld v Das skalae Podukt von v mt dem vektoellen Flächenelement wd dann beechnet als Fluß des Vektofeldes v duch de Fläche Obeflächenntegal Bshe galten be Betachtung des Flusses Enschänkungen: das Vektofeld sollte homogen sen, de Fläche sollte eben sen Dese Enschänkungen lassen w fallen D Hempel / Mathematsch Gundlagen - Obeflächenntegale - Sete 1

2 Fage: We beechnet sch be enem belebgen Vektofeld F und ene gekümmten Fläche de Fluß von F duch? Näheung: Zelegung von n Telflächen Snd de Flächenelemente klen genug, kann man se als eben auffassen und jedem en vektoelles Flächenelement uodnen mt Im Beech de Telflächen nehmen w F als homogen an De Fluß F duch st dann Näheungswese gegeben duch F (,, ) En Näheungsausduck fü den gesamten Fluß F duch de Fläche ehält man duch ddton de Telflüsse duch de Flächen : Fluß F duch n 1 F (,, ) Vefeneung de Telflächen Genwet n egbt den genauen Wet Desen Genwet nennt man Obeflächenntegal Fluß F duch F( d Defnton: Obeflächenntegal von F ( übe de Fläche ode Fluß von F duch : n F( d lm n 1 F(,, ) häufge nwendung: Obeflächenntegal übe ene geschlossene Fläche Defnton: Ene geschlossene Fläche elegt den Raum deat n we Teläume, daß man de Fläche duchstoßen muß, um von enem Telaum n den andeen u gelangen Obeflächenntegal übe geschlossene Flächen wd smbolsch mt enem Kes duch das Integalechen dagestellt Das Voechen des vektoellen Flächenelements wd so festgelegt, daß d nach außen egt D Hempel / Mathematsch Gundlagen - Obeflächenntegale - Sete

3 Beechnung des Obeflächenntegals fü Spealfälle Fluß enes homogenes Feldes duch enen Quade homogenes Vektofeld F F, F, F ) u Beechnung Zelegung n Telntegale (entspechend de Quadeflächen) 1 ab (,,1) 3 ac (,1,) bc (1,,) 5 ( Das Obeflächenntegal enes homogenen Vektofeldes F duch ene ebne Fläche st gegeben duch das Skalapodukt F Daaus egeben sch de Telflüsse: F 1 ab F F ab F F 3 ac F F ac F F bc F F bc F 4 ab (,, 1) 4 ac (, 1,) bc ( 1,,) 5 Damt egbt sch de Gesamtfluß duch de Fläche: F 1 De Fluß enes homogenen Feldes F duch ene belebge geschlossene Fläche veschwndet Fluß enes adalsmmetschen Feldes duch ene Kugelobefläche adalsmmetsches Feld: F e f () mt e de Kugelmttelpunkt se glechetg Koodnatenuspung Das Flächenelement d steht senkecht auf de Kugelobefläche, st also paallel u F d f ( ) e d f ( ) d Integaton efolgt fü R mt f ( ) d f ( R) d f ( R) d d 4π R folgt: ( duch ene Kugelobefläche mt dem Ra- De Fluß enes adalsmmetschen Feldes dus R st: F d 4π R F f ) e f ( R) D Hempel / Mathematsch Gundlagen - Obeflächenntegale - Sete 3

4 Bespel: Feld ene punktfömgen Ladung Q m Koodnatenuspung Q e E( 4πε ( Q 3 πε 4 E d 4π f ( R) R Q ε mt + + Gaußsches Geset Fluß des el Feldes unabhängg von R! (Glt fü alle geschlossenen Flächen) Beechnung des Obeflächenntegals m allgemenen Fall Gegeben se Obeflächenntegal F( d [ Fd + Fd + Fd ] Fagen : 1 We sehen de Komponenten d, d, d des dffeentellen Flächenvektos d aus? We beückschtgt man den duch de Fläche vogegebenen Integatonsbeech? Komponenten d, d, d des dffeentellen Flächenvektos d - Enhetsvektoen n Rchtung de Flächenelemente: De Komponenten,, enes Flächenvektos snd de entspechenden Pojektonen de Fläche Fü de Komponenten d, d, d des dffeentellen Flächenelements d ehält man: d d d, d d d, d d d D Hempel / Mathematsch Gundlagen - Obeflächenntegale - Sete 4

5 De Flächen, auf denen de Vektoen senkecht stehen snd kene Quadate (mt Flächennhalt 1) meh, sonden dffeentelle Flächen dd, dd, dd d ( dd, dd, dd) Integatonsbeech, de duch de Fläche vogegeben wd: Das betachtete Obeflächenntegal wa: F( d + [ Fd + Fd + Fd ] Fd + Fd F d betachten w den 3 Summanden: Fd F dd Welche Wete haben und u duchlaufen? Es st genau de Fläche, de sch aus de Pojekton von auf de -- Ebene egbt naloges egbt sch fü de beden andeen Pojektonen: daaus egbt sch lettendlch: F ( d Fd + Fd + F d Bespel: Gegeben st das nchthomogene Vektofeld F (,, ) Gesucht st de Fluß des Vektos F duch en Rechteck, welches duch de Vektoen (a,,) und (,b,) aufgespannt wd F d a b a b dd Be Vegößeung de Fläche n -Rchtung stegt de Fluß quadatsch; be Vegößeung de Fläche n Rchtung stegt e lnea D Hempel / Mathematsch Gundlagen - Obeflächenntegale - Sete 5