Analytische Geometrie

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1 nalytisce Geometrie. Vektoren Mitte einer Strecke B M B Verbindunsvektor B B B Mittelwert der zwei Ortsvektoren ( 6 ) B( 5 ) m B ( a + b) M( ( ) ( + 5) ( + 6) M( ) Spitze nfan: B b a ( 6 ) B( 5 ) 6 B Scwerpunkt eines Dreiecks BC C S B Mittelwert der drei OVn s B ( a + b + c) Bsp: ( ) B( 5 ) C( ) + s Lineare bänikeit von zwei Vektoren u und v. Zwei Vektoren sind linear abäni wenn einer ein Vielfaces vom anderen ist: v k u Bsp: u v v u desalb sind sie l.a. Bedinun dafür dass das Viereck BCD ein Trapez ist. D C Die Differenzvektoren von zwei eenüberlieenden Seiten sind linear abäni. Bsp: ( 6 ) B( ) C( 5 ) D( ). B 6 und DC sind lin. 5 abäni d.. BCD ist ein Trapez. B Zusammenfassun nalytisce Geometrie /

2 . Geraden Gerade durc den unkt in Rictun u X u a Spurpunkt der Geraden : a + tut IR mit der - Ebene. Spurpunkt der Geraden : a + tut IR mit der - Ebene. Spurpunkt der Geraden : a + tut IR mit der - Ebene. O Der OV eines beliebien Geradenpunktes X ist die Summe aus a und einem Vielfacen des RVs u. a + tu Im LGS * a + tu setzen a + tu Gleicun lösen und Lösun in andere Gleicunen von (*) einsetzen Im LGS (*) setzen Im LGS (*) setzen Bsp: unkte ( ) Rictun u : + t t R. Bsp: : eribt S ( - 5 ) Bsp: : S ( 5 5 ) Bsp: : S ( 8 ) Liet der unkt auf der Geraden : a + tut IR? (unktprobe) In der Geradenleicun statt den OV p des unktes einsetzen und entstandenes LGS lösen. Wenn sic kein Widerspruc eribt folt. Bsp: ( 5 ) : - 5 λ λ d... - Zusammenfassun nalytisce Geometrie /

3 Gerade durc und parallel zu : a + tut IR Gerade durc und ortoonal zur Ebene E: E n Gerade : a + tut IR als unkt escrieben Die unkte t lieen auf einer Geraden.. Lae von zwei Geraden Lae von zwei Geraden : a + tut IR und : b + svs IR zueinander d OV p als Stützvektor von und RV u von ebenfalls als RV von wälen: : p + t u t IR OV p als Stützvektor von und Normalenvektor n von E als RV von wälen : p n t (a + tu a + tu a + tu ) Die Zeilen der arameterleicun nebeneinander als Koordinaten screiben t ( a + tu..a + tu a + tu ) Die Koordinaten als die Zeilen der arameterleicun screiben und in Vektorscreibweise aufspalten. Scritt: u v linear abäni? Ja. arallel oder identisc. Nein.. Scritt: Gleicsetzen a + tu b + sv LGS a + tu b + sv lösen. a + tu b + sv Es ibt Lösun Scnitt Keine Lösun windscief ctun: LGS mit Gleicunen und Var.! z.b. Teil-LGS lösen und robe in Gl. Bsp: ( 5 ) : : 5 + t λ IR Bsp: E : + ( 5 ) : 5 λ IR Bsp: : λ IR t ( +t t +t ) Bsp: t ( - t + t t ) : + t t IR Bsp: : ; : + µ u v linear unabäni also und nict parallel. +λ - λ -+µ at keine Lösun. Damit aben +µ und keinen Scnittpunkt d.. windscief. Zusammenfassun nalytisce Geometrie /

4 s Mittelparallele s der parallelen Geraden und B. Ebenen arameterleicun der Ebene p u O v E OV des Mittelpunkts M der Strecke B als Stützvektor und RV von bzw. als RV wälen. Für : a + tut IR und : b + svs IR ist dann die Mittel- parallele s: ( a b) + ru + r R Der Ortsvektor eines beliebien Ebenenpunkts X ist die Summe aus dem Ortsvektor p eines Ebenenpunktes und passenden Vielfacen der Spannvektoren u und v. : : s: + µ E: p u + µ v λ µ IR Koordinatenleicun der Ebene E arameterleicun Koordinatenleicun Spurpunkte der Ebene E: a + b + c d sind die Scnittpunkte von E mit den Koordinatenacsen n E: a + b + c d a Normalenvektor: n b c Normalenform der Ebene n d arameterleicun dreizeili screiben und dann die arameter eliminieren oder siee GTR - Spalte csenabscnittsform erstellen durc Division der Koordinatenleicun durc d. Die Koordinaten der Spurpunkte lassen sic an den entstandenen Nennern ablesen. 9 9 E: + µ E: + Division durc liefert + + und damit die Spurpunkte 6 S (6 ) S ( ) S ( -). Drei beliebie nict kollineare unkte der Ebene bestimmen und in a + b + c einsetzen LGS lösen. Dann mölicst anzzalie Koeffizienten abc erstellen durc Multiplikation der entstandenen Gleicun. Zusammenfassun nalytisce Geometrie /

5 Zusammenfassun nalytisce Geometrie 5/. ufstellen von Ebenenleicunen Ebene E durc die drei unkte B und C B C Zum Beispiel den Ortsvektor von als Stützvektor und die Vektoren C und B als Rictunsvektoren wälen ( ) B( ) und C( 5 - ) E: + + s r r s IR Ebene E die die Gerade und den unkt entält Q + + Voraussetzun ist ier dass nict auf der Geraden liet. Zum Beispiel den Ortsvektor von als Stützvektor und den Rictunsvektor von und den Vektor Q als Spannvektoren wälen. : IR λ ( ) E: + + s r s r IR Ebene E die die beiden Geraden und entält E Voraussetzun ist ier dass die Geraden sic scneiden Zum Beispiel den Stützvektor von als Stützvektor von E und die Rictunsvektoren von und als Spannvektoren wälen Bsp: : : + µ E: IR µ λ + µ Ebene E die die beiden parallelen Geraden und entält Q Zum Beispiel den Stützvektor p von als Stützvektor von E und als Spannvektoren den Vektor Q und den Rictunsvektor von wälen. Bsp: : : + µ E: IR µ λ + µ

6 Zusammenfassun nalytisce Geometrie 6/ Ebene E die die Gerade entält und parallel zu ist Zum Beispiel den Stützvektor von als Stützvektor von E und die Rictunsvektoren von und als Spannvektoren wälen Bsp: : ; : + µ E: IR µ λ + µ Ebene E durc und ortoonal zur Geraden E + E at den Rictunsvektor von als Normalenvektor und et durc den unkt. Bsp: ( 5) : IR λ 5 : E 5. Lae von Gerade und Ebene E zueinander Die Gerade ist parallel zur Ebene E Der Normalenvektor von E und der Rictunsvektor von sind ortoonal. Bsp: : E: + + +(-) d.. E und sind parallel. Symmetrieebene F der unkte und B F B F at den Vektor B als Normalenvektor und et durc den Mittelpunkt der Strecke B Bsp: ( 5) B( 5 ) F: 6 bzw. F: + +

7 6. Lae von Ebenen zueinander arallelität zweier Ebenen E und E E E Ortoonalität zweier Ebenen E und E E und E aben linear abänie Normalenvektoren E und E aben ortoonale Normalenvektoren Bsp: E : + E : Die Normalenvektoren sind das (-)-face voneinander die bsolutlieder das 6-face d.. E und E sind parallel und verscieden. Bsp: E : + E : E E 5 d.. E E 7. Scnitt von Ebenen / Geraden Scnitterade zweier Ebenen E und E E E Scnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene E E us beiden Ebenenleicunen eine Gleicun erstellen die nur Variablen entält. Darin eine Variable durc den arameter λ ersetzen und die anderen Variablen ebenfalls durc λ ausdrücken. Die entstandenen drei Gleicunen als Vektorleicun screiben. 8 - λ λ Die drei Zeilen der arameterleicun der Geraden in die Koordinatenleicun der Ebene einsetzen entstandene Gleicun nac dem arameter auflösen. Dieser in die arameterleicun einesetzt liefert die Koordinaten des Scnittpunkts. Bsp: E : + () E : + + () + () () () Für λ folt λ und 8 eribt Scnitterade 8 : 5 8 Bsp: E: + 9; : + t (58t) + (+t) 9 eribt t und den Scnittpunkt S( 5 ) Zusammenfassun nalytisce Geometrie 7/

8 8. Skalarprodukt Läne der Strecke B B B B b a ( b ) ( ) ( ) a + b a + b a Bsp: ( 5) B( 5 ) B B (5 ) + ( ) + ( ( 5)) 9 7 Bedinun dafür dass das Viereck BCD ein Quadrat ist. D C B Die Diaonalen sind leic lan ortoonal und albieren sic. Bsp: ( ) B( ) C( ) und D( ). C 8 BD C BD und M C M BD 5 5 Gerade stet auf dem Quadrat BCD senkrect und et durc die Quadratmitte. D C B Bedinun dafür dass das Viereck BCD eine Raute ist. Vektor n bestimmen der zu (z.b.) C und BD ortoonal ist. Gleicun der Gerden durc M C mit Rictunsvektor n aufstellen. Die Diaonalen scneiden sic rectwinkli und albieren sic: Bsp: ( ) B( ) C( ) und D( ). n + n und n + n n bzw. n n n 5(n +n ) fürt auf n 5 M C ( 5 5 ); : + t 5 Bsp: ( ) B( 5 7 ) C( 5 ) und D( 7 ). D C B C BD und M C M BD C BD 8 M C M BD Zusammenfassun nalytisce Geometrie 8/

9 Geeben: Gerade und unkte B. Gesuct ist C so dass CB ein recter Winkel ist C B llemeiner Geradenpunkt C t Bedinun: Ct BCt eribt quadratisce Gleicun. Deren Lösunen in die Gleicun von einesetzt liefern die Koordinaten der unkte C und C. Bsp: ( - ) B( 6 ) : 7 + t C t ( -+t 7t t ) + t + t Ct BCt t t 9t 5t + t t mit Lösunen t und t. 9 C und C ( 5 ) Winkel Winkel zwiscen zwei Geraden : a u λ IR und : b + µ v µ IR Winkel zwiscen zwei Ebenen E und E Der Winkel ϕ zwiscen den Geraden und ist leic dem Winkel zwiscen den Rictunsvektoren. Da man stets den kleineren Winkel bestimmen will stet in der Formel im Zäler der Betra. Der Winkel ϕ zwiscen den Ebenen E und E ist leic dem Winkel zwiscen den Normalenvektoren der Ebenen. Da man stets den kleineren Winkel bestimmen will stet in der Formel im Zäler der Betra. Bsp: : : + µ uv + cos ϕ u v ϕ 75 Bsp: E : + E : n n cos ϕ n n ϕ Zusammenfassun nalytisce Geometrie 9/

10 Winkel zwiscen einer Geraden und einer Ebene E E ϕ Der Winkel ϕ zwiscen der Geraden und der Ebene E errecnet sic aus dem Winkel zwiscen dem RV der Geraden und dem NV der Ebene durc cos (9 ϕ) sin ϕ. Da man stets den kleineren Winkel bestimmen will stet in der Formel im Zäler der Betra. Bsp: : E: + u n 6 sin ϕ ; ϕ u n 9. bstände bstand unkt Ebene E. Mit Hessescer Normalenform (HNF) Betra des NV der Ebene E bestimmen Koordinatenleicun von E in die Form... brinen und durc den Betra des NV dividieren; man erält die HNF von E. Setzt man jetzt die Koordinaten von ein eribt sic betrasmäßi der bstand von zu E. Bsp: E: + ( I 5 I ) n ; HNF: ( + ) 5 d(;e) ( + ) bstand unkt Ebene mit Lotfußpunkt E. F Mit Loterade Loterade aufstellen. Loterade mit der Ebene E scneiden. Der Scnittpunkt ist der Lotfußpunkt F. Der bstand ist leic dem Betra des Verbindunsvektors F also d F. Bsp: E: + 7 ( I I ) Loterade: + t t IR Loterade mit E scneiden leifert den Lotfußpunkt F (siee Scnitt Ebene - Gerade): + 9t 7 also t und damit F( I 6 I - ). d F Zusammenfassun nalytisce Geometrie /

11 bstand paralleler Ebenen E + E bstand unkt Gerade + Q t u Beliebien unkt der Ebene E bestimmen bstand von zu E mit HNF berecnen Für den allemeinen Geradenpunkt Q t den Vektor Q t berecnen Bedinun Q t u ( u ist der RV von ) eribt Gleicun in t diese lösen Lösun für t in Gleicun von einesetzt eribt die Koordinaten des Lotfußpunkt Q. Die Entfernun Q ist der esucte bstand. Bsp: E : + E : + 7 ( I I ) E ; HNF von E : ( + 7) d(;e ) ( + 7) Bsp: ( I I ) : Q t ( +t I +t I t ) ; 7 + t t IR t Q t + t t t Bed. Q t u liefert + t bzw. t t + t 6 + t t und damit Q(5 I I ) Q + + bstand paralleler Geraden Beliebien unkt bestimmen dessen bstand von berecnen ( siee bstand unkt Gerade ) Bsp: : : 6 ( I I ) ; Q t (+λ I +λ I 6-λ ) ; λ Bed. Q t u liefert λ + bzw. λ + 8 λ + + λ 8 λ 9 7 Q Zusammenfassun nalytisce Geometrie /

12 bstand windsciefer Geraden und mit Fußpunkten und Q Q Für die allemeinen Geradenpunkte r und Q t den Vektor r Q t bestimmen Bedinunen r Q t u und r Q t v ( u v RVn von bzw. ) füren zu LGS dieses lösen. Die Lösunen in die Gleicunen von bzw. einesetzt ereben die Koordinaten der Lotfußpunkte und Q. Q Q ist der esucte bstand. r Q t u r Q t v Bsp: : : 5 + r ; : + t. 6 Für r ( -+r I r I +r) und Q t ( 5+t I -t I 6 ) 6 + t r ist r Q t t + r und die Bed. 5 r füren zum LGS 5 + t r bzw. mit der Lösun + 5t 6r Lotfußpunkte ( I I ) Q( I I 6) +tr +tr+5r +tr+tr Q Q ( ) + ( + ) + ( 6 ) 6 6 r t - bstand windsciefer Geraden one Fußpunkte H Ebene H durc parallel zu leen Koordinatenleicun von H berecnen Beliebien unkt bestimmen. Der bstand von zur Ebene H ( HNF! ) ist der esucte bstand der windsciefen Geraden Bsp: : 5 + r ; : + t. 6 H : HNF von H: ( ) Für den unkt (- I I ) ist dann d(;h) ( + + 9) 6 Bestimmun von H beliebie unkte der Ebene H wälen z.b. ( 5 I I 6 ) ( 7 I I 6 ) und ( 7 I - I 7 ) diese in a + b + c (*) einsetzen und LGS lösen. (Im Menü EQU SIML (F) dann F für Unbekannte wälen); Lösunen in (*) einsetzen und Gleicun mit 9 multiplizieren Zusammenfassun nalytisce Geometrie /

13 Fläceninalt eines aralleloramms QRS S R Q bstand des unktes S von der Geraden (Q) bestimmen Inalt Q Bsp: ( ) Q( 5 ) R( ) und S( 6 ). F t ( λ ) (Q) 7 SF t u + 9λ λ 8 + λ λ eribt λ und damit F( 6 ) SF 5 6 Inalt Q 8 Fläceninalt eines Trapezes QTS. S T M m M Q bstand des unktes S von der Geraden (Q) und Läne m der Strecke M M berecnen Inalt m Bsp: ( ) Q( 5 ) T( 5 5 ) und S( 6 ). d(s;(q)) ( siee Fläceninalt aralleloramm ) M (5 5 ) M ( ).5 m M M m 5 Zusammenfassun nalytisce Geometrie /