Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1

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1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere V1 Geometrische Grundbegriffe V2 Grundkonstruktionen und Bestimmungslinien V3 Dreiecke und ihre Eigenschaften (Winkel, Kongruenzsätze, Linien/Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze) V4 Vierecke und ihre Eigenschaften (Typisierung, besondere Vierecke, Haus der Vierecke, Symmetrien) V5 Dreiecke (Flächensätze, Ähnlichkeit) V6 Vielecke (Sätze, Winkel, Symmetrien, Beziehungen zum Kreis) V7 Kreis (Geraden, Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze) V8 Kongruenzabbildungen - Symmetrie V9 Flächeninhalt und Umfang von Vielecken und Kreisen V10 Typisierung von Körpern (Quader, Prismen, Spitzkörper, Platonische Körper, Kugel) V11 Rauminhalt von Körpern (Rauminhalt von Prismen und Spitzkörpern, Rauminhalt und Oberfläche der Kugel) V12 Zusammenfassung (Freitag) Uhr, Klausur (HS 1, HS 2) 1

2 V7 Kreis (Geraden, Winkel) 1 Geraden und Winkel am Kreis 2 Sehnenvierecke 3 Tangentenvierecke 4 Falten/Zeichnen von Figuren im Kreis Quellen: Krauter. Erlebnis Elementargeometrie; Hefendehl- Hebecker. Figuren und Abbildungen. Duden Mathematik; Kusch. Geometrie und Stereometrie 2

3 1 Geraden und Winkel am Kreis Der Kreis ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt M der Ebene den gleichen Abstand r haben. M heißt Mittelpunkt und die Strecke der Länge r, die jeden Punkt des Kreises mit seinem Mittelpunkt verbindet, heißt Radius. 3

4 Eine Gerade kann bezüglich eines Kreises drei verschiedene Lagen einnehmen: Sie kann den Kreis meiden (Passante). Sie kann den Kreis schneiden (Sekante). Sie kann den Kreis in einem Punkt berühren (Tangente). passer (franz.) vorbeigehen secare (lat.) schneiden tangere (lat.) - berühren Die Sehne ist eine Strecke, die zwei Punkte der Kreislinie miteinander verbindet. Eine Sehne, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft, heißt auch Durchmesser. 4

5 Von einem Punkt P außerhalb gibt es zwei Tangenten an den Kreis. 5

6 Die Mittelsenkrechte einer Sehne führt immer durch den Mittelpunkt des Kreises. Diese Information benötigen wir, um in Kreisen einen (nicht vorhandenen) Mittelpunkt zu erzeugen. Zeichnen Sie mit Hilfe einer Schablone/eines Gegenstandes einen Kreis und konstruieren Sie den Mittelpunkt des Kreises. Anders gesagt, durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, kann man einen Kreis bestimmen. Man kann die Verbindungsstrecken der Punkte als Sehnen eines Kreises betrachten und über die Konstruktion des Mittelpunktes den Kreis entstehen lassen. Ein Kreis ist durch drei (nicht auf einer Geraden liegenden) Punkte eindeutig bestimmt. 6

7 Winkel im Kreis 7

8 Zentriwinkel Zwei Radien eines Kreises bilden zwei Winkel mit dem Mittelpunkt des Kreises als gemeinsamen Scheitel. Man erhält zwei Winkel, die sich zu 360 ergänzen. Man nennt sie Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel. Um sie zu unterscheiden, gibt man den Kreisbogen an, über welchem der Winkel steht. 8

9 Peripheriewinkel Zwei über dem Bogen AB stehende Sehnen, die einen Punkt C der Kreisperipherie gemeinsam haben, bilden den Umfangsoder Peripheriewinkel. 9

10 Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Zentriwinkel und dem dazugehörigen Peripheriewinkel? Vermutung: Zentriwinkel α über dem Bogen AB ist doppelt so groß wie ein Peripheriewinkel β über dem gleichen Bogen. 10

11 Beh.: Ein Zentriwinkel über dem Bogen AB ist doppelt so groß wie der Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen. Wir schauen uns eine Begründung an für den Fall, dass M auf einem Schenkel des Peripheriewinkels liegt. Der Zentriwinkel α ist ein Außenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks MBC und als solcher so groß wie die beiden nichtanliegenden Innenwinkel des Dreiecks. Es gilt also α = 2 β. 11

12 Da alle Peripheriewinkel über dem Bogen AB halb so groß sind wie die dazugehörigen Zentriwinkel, sind sie untereinander alle gleich groß. Im Fall, dass der Bogen AB ein Halbkreis die Sehne also ein Durchmesser ist, ist der Zentriwinkel ein gestreckter Winkel, also 180 groß. Die zugehörigen Peripheriewinkel sind dann alle 90 groß. Dieser Sachverhalt wurde im Satz des Thales (s. folgende Folie) beschrieben. 12

13 Fazit (zu Folie 12) Der Zentriwinkel über dem Bogen AB ist doppelt so groß wie der Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen. Zentri-Peripheriewinkelsatz Alle Peripheriewinkel über dem Bogen AB sind gleich groß. Peripheriewinkelsatz Alle Peripheriewinkel über einem Durchmesser sind rechte Winkel. Thales-Satz 13

14 Welcher Zusammenhang besteht zwischen Peripheriewinkeln, die auf verschiedenen Seiten derselben Sehne liegen? Peripheriewinkel auf verschiedenen Seiten eines Bogens (einer Sehne) ergänzen sich zu

15 Wichtige Zusammenhänge: - Die Tangente verhält sich zum anliegenden Berührungsradius senkrecht. - Die längste Sehne im Kreis ist der Durchmesser. - Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen (über der gleichen Seite der Sehne) sind gleich groß. - Dies gilt auch für Peripheriewinkel über dem Durchmesser. Jeder dieser Winkel ist dann ein rechter Winkel (Satz des Thales). - Setzen wir Peripheriewinkel und Zentriwinkel über den gleichen Bogen, dann ist der Peripheriewinkel halb so groß wie der entsprechende Zentriwinkel. - Peripheriewinkel, die auf verschiedenen Seiten derselben Sehne liegen, ergänzen sich zu

16 Zeichnen Sie vier Sehnen so in einen Kreis, dass ein Viereck entsteht. Ein solches Viereck heißt Sehnenviereck. In jeden Kreis lassen sich unendlich viele Sehnenvierecke einzeichnen. Die Innenwinkel eines Sehnenvierecks sind gleichzeitig Peripheriewinkel des Kreises. 2 Sehnenvierecke 16

17 Ein Viereck ABCD ist nur dann ein Sehnenviereck, wenn die gegenüberliegenden Winkel zusammen 180 groß sind. Von den speziellen Vierecken müssten dann Quadrat, Rechteck und symmetrisches Trapez Sehnenvierecke sein. siehe: Peripheriewinkel auf verschiedenen Seiten einer Sehne ergänzen sich zu

18 Vor.: Viereck ABCD mit Umkreis Beh.: Die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ergänzen sich zu 180. Beweis: Idee: Peripheriewinkel auf verschiedenen Seiten derselben Sehne Diagonale AC zerlegt das Viereck in 2 Dreiecke, die denselben Umkreis haben. In ABC ist β Peripheriewinkel zur Sehne AC, der entsprechende Zentriwinkel ist dann doppelt so groß (2β). In ACD ist δ Peripheriewinkel zur Sehne AC, der entsprechende Zentriwinkel ist dann 2δ groß. Da β und δ Peripheriewinkel zu derselben Sehne sind, gilt: 2β + 2δ = 360 2(β + δ) = 360 β + δ =

19 Beim Sehnenviereck schneiden sich alle vier Mittelsenkrechten in einem Punkt und bilden den Umkreismittelpunkt. Wenn wir zu einem gleichschenkligen Trapez einen Umkreis suchen, reichen also zwei Mittelsenkrechten, um den Mittelpunkt des Kreises zu finden. 19

20 Unter dem Umkreis eines n-ecks versteht man den Kreis, der durch alle Eckpunkte des n-ecks geht. Die Seiten des n-ecks sind Sehnen des Umkreises. Alle Dreiecke und alle regelmäßigen Vielecke haben einen Umkreis, aber nicht jedes Viereck. Besitzt ein Viereck einen Umkreis, so ist es ein Sehnenviereck. Spezielle Sehnenvierecke sind gleichschenklige Trapeze, Rechtecke und Quadrate. 20

21 Wie wir wissen, ist auch das Rechteck ein spezielles Sehnenviereck. Man kann sich dies gut mit Hilfe des Satzes des Thales vorstellen. Durch Punktspiegelung des rechten Winkels ACB (bzw. des Dreiecks ABC) an M erhalten wir ein Rechteck. 21

22 3 Tangentenvierecke 22

23 Zeichnen Sie vier Tangenten so an einen Kreis, dass ein Viereck entsteht. Ein solches Viereck nennt man Tangentenviereck. Der Kreis wird zum Inkreis. Im Tangentenviereck ist die Länge der Summe zweier gegenüberliegender Seiten gleich der Summe der anderen beiden Gegenseiten. Tangentenviereck Tangenten konstruieren 23

24 Bei einigen Viereckformen ist die Bedingung (Summe der Gegenseiten gleich) stets erfüllt. Drachenvierecke, Quadrate und Rauten sind immer auch Tangentenvierecke. 24

25 Der Inkreis eines Vielecks ist ein Kreis, der alle Seiten von innen berührt. Die Seiten des Vieleckes sind dann Tangenten an den Inkreis. Alle Dreiecke und alle regelmäßigen Vielecke haben einen Inkreis. Vierecke, die einen Inkreis besitzen, heißen Tangentenvierecke. Inkreis und Umkreis für spezielle Vierecke Viereck Inkreis (Tangentenviereck) Quadrat ja ja Rechteck nein ja Raute ja nein Drachenviereck ja nein gleichschenkliges Trapez nein Parallelogramm nein nein Umkreis (Sehnenviereck) ja 25

26 3 Falten/Zeichnen im Kreis Falten einer Ellipse Eine Ellipse ist eine spezielle geschlossene ovale Kurve. 26

27 Stellen Sie sich vor, Sie wollen Kreise durch einen Punkt zeichnen, Kreise durch zwei Punkte, Kreise durch drei Punkte. Stellen Sie Überlegungen zu den Mittelpunkten dieser Kreise an, die durch 1, 2 oder 3 Punkte gehen. 27

28 Durch einen Punkt P lassen sich unendlich viele Kreise zeichnen. Die Mittelpunkte für Kreise mit dem gleichen Radius findet man auf einem Kreis um P. P Durch zwei Punkte kann man unendlich viele Kreise zeichnen. Die Mittelpunkte dieser Kreise liegen auf der Mittelsenkrechten der Verbindungsstrecke der beiden Punkte. P 1 P 2 Durch drei nicht auf einer Geraden liegenden Punkte lässt sich stets genau ein Kreis zeichnen. Den Mittelpunkt findet man über die Mittelsenkrechten der Verbindungsstrecken. 28

29 Aufgabe zur Übung, Woche vom Zeichnen Sie Sehnenvierecke. (Begründen Sie für ein spezielles Viereck.) Zeichnen Sie Tangentenvierecke. (Begründen Sie für ein spezielles Viereck.) 29

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