Festigkeitshypothesen

Transkript

1 Fesigkeishpohesen Zum chweis der lbrkei einer Konsrukion muss immer gelen. vorhnden ulässig Außerdem müssen ndere ersgensmöglichkeien, wie um Beispiel Knicken, usgeschlossen werden. Wegen der unerschiedlichen Benspruchungsren können in einem Bueil ormlspnnungen und Schubspnnungen, lso lle Komponenen der Spnnungsmrix, gleicheiig ufreen. Dies knn mi der obigen Aussge nur durch die Einführung von Fesigkeishpohesen, hier Spnnungskrierien (ergleichsspnnungen), in Einklng gebrch werden. ieru is wiederum meis die Kennnis der upspnnungen erforderlich. Diese Fesigkeishpohesen knn mn nich beweisen. hre ülichkei und Richigkei wird durch die Prxis beleg oder verworfen. Die wichigsen (Spnnungs)krierien sind: upnormlspnnungshpohese (Lmé, Rnkine) und nwendbr für spröde erilien ul ul updehnungshpohese (Bch, de Sin enn, Poncele) ε ε und ε ε liefer u niedrige Were, h sich nich durchgese ul ul upschubspnnungshpohese (Coulomb, Tresc, ohr) mx ul für Werksoffe mi usgepräger Sreckgrene und spröde erilien bei Druck Energiehpohese (Belrmi) w ij εij w w i j ul Gesländerungsenergiehpohese (uber, von ises, enck) Die Energie läss sich in einen Kompressions- und einen Gesländerungsneil ufsplen. n den meisen Fällen wird ds ersgen mßgeblich durch den Gesländerungsneil beeinfluss. Der hdrosische Spnnungsusnd bewirk keine Zersörung des erils. Diese pohese h sich weiesgehend durchgese. wg [( ) ( ) ( ) 6( x x )] G für ähe erilien w w G G ul

2 Um die Were us einem mehrchsigen Spnnungsusnd mi einem ulässigen erilwer, wie er um Beispiel in einem (einchsigen) Zugversuch gewonnen wird, u vergleichen, werden ergleichsspnnungen herngeogen. Dbei muss immer die Bedingung ulässig vorhnden erfüll sein. upnormlspnnungshpohese (Lmé) updehnungshpohese (Bch, de Sin enn, Poncele) ( ) ν upschubspnnungshpohese (Coulomb, Tresc, ohr) mx Gesländerungsenergiehpohese (uber, von ises, enck) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] 6 x x Bei gleicheiigem Aufreen von wei ormlspnnungen und einer Schubspnnung im selben uerschnispunk vereinfchen sich die Gleichungen für die ergleichsspnnungen u: ( ) x x x Bei gleicheiigem Aufreen von einer ormlspnnung und einer Schubspnnung im selben uerschnispunk vereinfchen sich die Gleichungen für die ergleichsspnnungen u: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ν ν ν ν Dies riff u bei den von uns verwendeen odellen Sb, Blken (Spnnungen in x-richung senkrech ur uerschnisfläche) in Kombinion mi uerkrfschub und Torsion (Spnnungen in der --uerschnisebene).

3 Übungsufgben Fesigkeishpohesen, ergleichsspnnungen uelle: ibbeler, Technische echnik, Person Sudium, 005. Belsung durch Längskrf, uerkrf, Biegemomen um die x-achse. Belsung durch Längskrf, uerkräfe, Torsionsmomene, Biegemomene um die - und um die -Achse

4 . Belsung durch Längskrf, uerkrf, Torsion, Biegemomen um die x- und -Achse. Belsung durch uerkrf, Biegemomen, Torsionsmomen

5 5. Belsung durch uerkrf, Biegemomen, Torsionsmomen 5

6 Lösung ur Aufgbe Welche Belsungen reen uf? P P P P Längskrf und (*) Biegung um die -Achse, Torsion Biegung um die -Achse, Torsion Torsion uerkrfschub in -Richung uerkrfschub in -Richung Dimensionierung / Spnnungsnchweis Wo is der gefährdee uerschni? Es sind die Schnigrößen und drus die Spnnungen u ermieln. Zur Schnigrößenberechnung sind Abschnie erforderlich; wir beginnen m freien Ende des Trägers.. Abschni 0 x l b b P 0 0 P r 0. Abschni 0 x l b b P 0 P r 0 P P r P x b b b b. Abschni 0 x l b b P P r P r P P P x P r P ( l x ) b b Die mximlen Benspruchungen reen in der Einspnnung (x l) uf. 6

7 P b P l b P r P P r P r P P l Die Dimensionierung erfolg ofmls ohne Berücksichigung von und, d bei nich gedrungenen Bueilen deren Einfluss gering is. n verdeuliche sich uch die Spnnungsvereilung infolge dieser Größen im uerschni. Bei der Überlgerung der beiden Biegemomene is bei Kreis(ring)querschnien eine Besonderhei u bechen: die Koordinen und sind nich unbhängig voneinnder. Aufgrund der beliebigen Smmerie des Kreisquerschnies (jede Smmeriechse is uch eine uprägheischse) is die Bildung eines resulierenden Biegemomenes sinnvoll. n h dnn gerde Biegung um eine ndere Achse deren Lge sich über die Komponenen des resulierenden omenes besimmen läss. b res b b l P P ergleichsspnnung nch der Gesländerungsenergiehpohese ch unserer verwendeen Theorie hben wir nur eine ormlspnnung ( x ) und eine Schubspnnung ( ). Die Formel für die ergleichsspnnung reduier sich dmi uf: Die ormlspnnung ergib sich us: hier vernchlässigen.) Für den Kreisquerschni: Die Torsionsschubspnnung ergib sich us: b b (Den leen Aneil wollen wir A b Beide Spnnungen sind mximl uf der Bueiloberfläche. (Die uerkrfschubspnnungen sind in jeweiligen Richungen mximl uf öhe der Roionschse und ull uf dem Rnd, dbei jedoch konsn über die jeweilige Breie. Die Zug/Druck-Spnnung is konsn über die uerschnisfläche.) Die ergleichsspnnung ergib sich somi u: b mx bres r* bres r mx mx π r r* bres r mx r π r π r bres r π r π r b res π r b res π r ul Die ermiele ergleichsspnnung muss kleiner oder gleich der für ds eril ulässigen Spnnung sein. 7

8 Zur ernschulichung wählen wir folgende Zhlenwere: P P l r 00 mm 500 m mm mm d.h. die Gesmlänge beräg 600 mm, der Durchmesser 0 mm. Es is lso ein schlnker Träger (erhälnis L/D 5) uerschniskennwere: A π r 00π 57mm π r π 0 566mm π r π 0 57mm ormlspnnung 000 Z / D 0, 8mm A 57mm b res b 00mm b res mm mm 0mm r 90mm 566mm Torsionsschubspnnung mm 0mm r 8, mm 57mm ergleichsspnnung ( 5 ) ( 8, ) mm 5, mm Anmerkung: uerkrfschubspnnungen (qudrische ereilung über bw., S( ) x b( ) ) 000 x mx 06, mm A 57mm ( 000 ) x mx, mm A 57mm Die uerkrfschubspnnungen sind wie die Zug/Druck-Spnnungen hier von unergeordneer Bedeuung. 8

9 Lösung ur Aufgbe x Schnigrößen im Bereich 0 x 7l (lle Schnigrößen eigen m posiiven Schniufer in Richung der posiiven Koordinenrichungen) F sin( θ ) F cos( θ ) 0 b b F cos( θ ) h F sin( θ ) h F cos( θ ) x Bis uf b sind die Schnigrößen konsn. b is mximl in der Einspnnung 7Fl cos( θ ) b mx Dmi is die Einspnnung der gefährdee uerschni. Wir seen für die weiere Rechnung h l. A b b Besonderhei Kreisquerschni: jede Achse is eine uprägheischse, und sind über die Kreisgleichung gekoppel Es ergib sich: b res A b res ( F sin( θ ) l) ( F cos( θ ) 7l) Fl sin ( θ ) 9cos ( θ ) r b res b b d 0 r Die Richung des resulierenden omenes läss sich us den Komponenen berechnen. mx F sin( θ ) Fl π d sin F sin( θ ) Fl π d ( θ ) 9cos π d 6 sin ( θ ) d ( θ ) 9cos π d ( θ ) 9

10 mx mx r d W π W d 6 Fl cos( θ ) Fl cos( θ ) π d π d 6 S( ) x Die uerkrfspnnung is qudrisch über vereil (siehe orlesung b( ) und Übung um uerkrfschub); ihr ximum beräg: F cos( θ ) 6F cos( θ ) x mx A π d π d d Dieser Wer ddier/subrhier sich u mx bei ±. d Flls 0 7l is, hndel es sich um einen sogennnen schlnken Träger. Dnn werden die Einflüsse us uerkrfschub und Längskrf ofmls vernchlässig. ergleichsspnnungen nch verschiedenen pohesen (lle berücksichigen Spnnungen n der selben Selle x, hier in der Einspnnung) upnormlspnnungshpohese [ ] updehnungshpohese ( ν ) ( ν ) [ ] upschubspnnungshpohese Gesländerungsenergiehpohese 0

11 Beispiel: Würfel mi Knenlänge b, belse mi senkrech wirkender Druckkrf F Fll ) erschiebungen in - und -Richung sind möglich (linke Abb.) Fll b) erschiebungen in - und -Richung sind verhinder (reche Abb.) Geg.: Ges.: F500, ν0, ergleichsspnnung nch der Schubspnnungshpohese ergleichsspnnung nch der Gesländerungsenergiehpohese Fll ) F x, mm b 0 mm 0 Die upspnnungen sind dnn Fll b) x x 0, 75mm F 500, 75mm b 0 mm Die Lgerungsbedingungen führen uf drus folg ε 0 E ε 0 E [ ν ( )] [ ν ( )] x x F ν, 5mm b ν Die upspnnungen sind hier, 5mm, 75mm

12 ergleichsspnnung nch der Schubspnnungshpohese 0 75, mm, 75mm 50 75,, mm, 5mm Fll ) ( ) Fll b) ( ) ergleichsspnnung nch der Gesländerungsenergiehpohese Fll ) [( ) ( ) ( ) 6( )] [( ) ( ) ( ) ] 0 ( 0, 75) ( 0, 75) x x [ ], 75mm Fll b) [ 0 (, 50, 75) (, 50, 75) ], 5mm n diesem Beispiel simmen die ergleichsspnnungen nch beiden pohesen überein, ds muss nich immer so sein. Beispiel: llgemeiner Spnnungsusnd geg.: ges.: S , ν 0, ergleichsspnnung nch verschiedenen pohesen Die upspnnungen für diesen Spnnungsusnd berechnen sich us der Lösung des rieneigenwerproblems u ( S ) x 0 00mm 9, mm 9, mm Die Berechnung der ergleichsspnnung is nch verschiedenen pohesen möglich.

13 ergleichsspnnung nch der upnormlspnnungshpohese 00mm ergleichsspnnung nch der updehnungshpohese ν ( ) 00mm ergleichsspnnung nch der Schubspnnungshpohese 9, mm ergleichsspnnung nch der Gesländerungsenergiehpohese 6 [( ) ( ) ( ) ( )] [( ) ( ) ( ) ] 96, mm x x Beispiel: Aufgbe.0 der Aufgbensmmlung Elsosik (00) Geg.: 00mm, b00mm, D 50mm, F 000, F 000, ul 60 mm - Ges.: D i, dimensionier nch der Gesländerungsenergiehpohese. inweis: Es soll nur der Einfluss infolge Biegung und Torsion berücksichig werden. b D i D F F b Schnigrößen und b im Rohr Biege- und Torsionsmomen erreichen n der Einspnnselle ihr ximum. bmx mx ( F F ) 80 0 ( F F ) b 60 0 mm Spnnungen uf der Rohroberfläche: mm b D mx und π mx ( D D ) i mx 6 D mx π ( D Di ) Der erforderliche nnendurchmesser folg us der Beiehung mx mx ul mx

14 D ul i D π D mx mx ( D D ) π ( D D ) ( D D ) D π D, mm i π b ul Gewähl wird D i mm D i i bmx bmx mx mx 6 D i dem gewählen nnendurchmesser wird die vorhndene Spnnung nchgewiesen. 5, 8 < 60 ul mm mm vorh ul 60 vorhndene Sicherhei s, 0 5, 8 vorh Diese Sicherhei is whrscheinlich u knpp, ds heiß der nnendurchmesser muss ensprechend den Sicherheisnforderungen weier verkleiner werden. i