Deskriptive Statistik Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten

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1 Deskriptive Statistik Kapitel VII - Konzentration von Merkmalswerten Georg Bol bol@statistik.uni-karlsruhe.de Markus Höchstötter hoechstoetter@statistik.uni-karlsruhe.de

2 Agenda 1. Einleitung 2. Lorenzkurve 3. Gini-Koeffizient 4. Weitere Konzentrationsmaße Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 1

3 Einleitung Bei vielen Verteilungen sind Lage- und Streuungsparameter für die Analyse einer Häufigkeitsverteilung nicht ausreichend. Beispiel 7.1 Bei einer Einkommensverteilung ist neben dem arithmetischen Mittel, also dem durchschnittlichen Einkommen, ein Streuungsparameter, z.b. die Standardabweichung, von Bedeutung, die etwas über die Abweichung vom mittleren Einkommen aussagt. Die Standardabweichung ist allerdings nicht genügend aussagekräftig, da die Verteilung sicherlich in der Regel nicht symmetrisch ist. Es kann z. B. viele mit geringeren Einkommen als dem Durchschnittseinkommen und einige wenige mit wesentlich höheren Einkommen geben. Das Ziel ist es diese Ungleichheit in der Verteilung der Einkommen mit Hilfe eines aussagekräftigen Maßes sichtbar und damit vergleichbar zu machen. Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 2

4 Einleitung Ziel: Beschreibung, graphische Darstellung und Messung von Ungleichheiten z.b. bei der Verteilung von Besitz Gegeben: Besitz -Verteilung in Form einer nichtnegativen geordneten Urliste 0 x (1) x (2)... x (n) Gesamtbesitz: Positive Merkmalssumme x = x (i) > 0 n i=1 Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 3

5 Einleitung Frage: Wie ist die Merkmalssumme auf die n Personen verteilt? Extremfälle: Alle besitzen gleich viel. Einer besitzt alles. Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 4

7 Lorenzkurve Wichtigstes graphisches Hilfsmittel zur Verdeutlichung von Konzentrationsphänomenen. Ausgegangen wird dabei von einer geordneten nichtnegativen statistischen Reihe mit positiver Summe der Beobachtungswerte (Merkmalssumme) 0 x (1) x (2)... x (n), x = n i=1 x (i) > 0 Prinzip: Gegenüberstellung des Anteils an der statistischen Masse und des Anteils an der Merkmalssumme der k statistischen Einheiten mit den kleinsten Merkmalswerten Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 6

8 Lorenzkurve Anteil an der Merkmalssumme, der auf die k statistischen Einheiten mit den kleinsten Merkmalswerten (x (1),..., x (k) ) entfällt: v k = x (i) i=1 = x (i) i=1 nèkè Anteil an der gesamten statistischen Masse: x (1) x (k) x (1) x (n) u k = k n Damit steht also dem Anteil u k an der statistischen Masse ein Anteil v k an der Merkmalssumme gegenüber. Für k = 1,..., n trägt man die Punkte (u k, v k ) in ein Koordinatenkreuz ein und verbindet sie durch einen Streckenzug, beginnend mit dem Ursprung (0,0): Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 7

9 Lorenzkurve Anteil an der Merkmalssumme 1 (un, vn) = (1, 1) (u 3, v 3 ) (u 2, v 2 ) (u 1, v 1 ) 0 1 Anteil an der statistischen Masse Abbildung Lorenzkurve. Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 8

10 Lorenzkurve Beispiel 7.1 Die geordnete statistische Reihe der Monatslöhne in einem mittleren Handwerksbetrieb laute wie folgt in Euro: 500, 1900, 2050, 2200, 2250, 2400, 2600, 2950, 4000, Merkmalssumme ist: Damit erhält man folgende Tabelle: u k v k Und die folgende Lorenzkurve... Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 9

11 Lorenzkurve Figure 1: Abbildung Lorenzkurve zu Beispiel 7.1 Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 10

12 Lorenzkurve Eigenschaften der Lorenzkurve: Die Lorenzkurve beginnt in (0,0) und endet in (1,1). Die Lorenzkurve verläuft nirgendwo oberhalb der Diagonalen. Die Lorenzkurve steigt monoton. Die Lorenzkurve ist konvex. Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 11

13 Lorenzkurve Anmerkung: Die Diagonale ist die Bezugskurve zur Lorenzkurve. Sind nämlich alle Beobachtungswerte gleich......so ist für k = 1,..., n v k = 0 < x 1 = x 2 =... = xn, x i i=1 kè = x i i=1 nè k x 1 n x 1 = k n = u k. Die Diagonale gibt also den Zustand wieder, in dem die Merkmalssumme völlig gleichmäßig über die Masse verteilt ist ( Gleichverteilung der Merkmalssumme ). Aus der Sicht der Konzentration der Idealzustand ohne jegliche Konzentration. Dem Idealzustand der Gleichverteilung entgegengesetzt ist der Extremfall, dass die gesamte Merkmalssumme in einer statistischen Einheit vereint ist: 0 = x (1) =... = x (n 1) < x (n). Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 12

14 Lorenzkurve Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 13

15 Lorenzkurve Weitere Anmerkung: Für großes n, also viele statistische Einheiten, erhält man bei vollständiger Konzentration nahezu die Katheden des rechtwinkligen Dreiecks mit den Eckpunkten (0,0), (1,0), (1,1). Interpretation der Lorenzkurve: Je weiter die Lorenzkurve von der Diagonalen entfernt ist, je mehr die Lorenzkurve also durchhängt, desto größer ist die Konzentration. Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 14

16 Lorenzkurve Beispiel 7.2 Gegeben ist die Häufigkeitsverteilung a h(a) p(a) Geordnete Urliste ist dann: 1, 1, 2, 2, 2, 3; Merkmalssumme ist 11. Damit erhält man die Koordinaten der Lorenzkurve: u k v k Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 15

17 Lorenzkurve Figure 2: Abbildung Lorenzkurve zu Beispiel 7.2 Anmerkung: Man sieht, dass übereinstimmende Merkmalswerte zu Geradenstücken gleicher Steigung führen. Es genügt also, die Werte für k = 2 und k = 5 zu berechnen. Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 16

18 Lorenzkurve Ermittlung der Lorenzkurve aus der absoluten Häufigkeitsverteilung Merkmalssumme: x a h(a) a M = Zur Berechnung der Koordinaten sind die Merkmalsausprägungen zu ordnen: 0 a 1 < a 2 <... < am. Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 17

19 Lorenzkurve Ermittlung der Lorenzkurve aus der absoluten Häufigkeitsverteilung Anteil der k niedrigsten Merkmalsausprägungen an der Merkmalssumme: v k = Èa i h(a i ) i=1 a h(a) a M kè Anteil dieser Merkmalsausprägungen an der statistischen Masse: u k = Èh(a i ) i=1 h(a) a M kè Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 18

20 Lorenzkurve Beispiel 7.3 Im Beispiel 7.2 erhält man die notwendigen Koordinaten der Lorenzkurve u k v k Anmerkung: Der Unterschied besteht darin, dass hierbei lediglich die Knickstellen der Lorenzkurve berechnet werden. Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 19

21 Lorenzkurve Ermittlung der Lorenzkurve aus der relativen Häufigkeitsverteilung Anteil der k niedrigsten Merkmalsausprägungen an der Merkmalssumme: v k = Èa i p(a i ) i=1 a p(a) a M kè Anteil dieser Merkmalsausprägungen an der statistischen Masse: u k = p(a i ) k i=1 Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 20

22 Lorenzkurve Beispiel 7.4 In Beispiel 7.2 erhält man 3 i=1 a i p(a i ) = = 11 6 und damit v 1 = = 2 11, v 2 = ( ) 11 6 = 8 11, v 3 = 1 wie in Beispiel 7.3. Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 21

23 Lorenzkurve Ermittlung der Lorenzkurve bei klassierten Merkmalen Weder u k noch v k können gebildet werden. Seien I j die Klassen und h(i j ) bzw. p(i j ) die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten. Die Klasse I hat damit den relativen Anteil p(i) = h(i) n an der statistischen Masse. Seien also die Klassen I 1,..., I m nach ihren Klassengrenzen geordnet, dann kann man statt u 1,..., u n die folgenden Werte verwenden: p(i 1 ), p(i 1 ) + p(i 2 ),..., m j=1 p(i j ) Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 22

24 Lorenzkurve Ermittlung der Lorenzkurve bei klassierten Merkmalen Der Anteil an der Merkmalssumme einer Klasse I lässt sich nur anhand der Urliste oder der Häufigkeitsverteilung der unklassierten Daten feststellen. Geht man davon aus, dass die Klassenmitte z I das arithmetische Mittel der Merkmalswerte der Klasse ist, so ist z I h(i) Merkmalssumme der Klasse I und m j=1 z j h(i j ) Merkmalssumme der Gesamtmasse. Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 23

25 Lorenzkurve Ermittlung der Lorenzkurve bei klassierten Merkmalen Punkte der Lorenzkurve für absolute Häufigkeiten: (u k, v k ) =¼ k j=1 p(i j ), Punkte der Lorenzkurve für relative Häufigkeiten: z j h(i j ) j=1 kè k = 0,..., m z j h(i j )½ für j=1 mè (u k, v k ) =¼ k j=1 p(i j ), z j p(i j ) j=1 kè k = 0,..., m z j p(i j )½ für j=1 mè Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 24

26 Lorenzkurve Beispiel 7.5 Für eine Verbrauchsstudie wurden die Nettojahreseinkommen von 100 Männern festgestellt: Männer Einkommen in TEuro abs. H. rel. H. u k z j h(i j )Èz j h(i j ) v k unter bis unter bis unter bis unter bis unter bis unter bis unter Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 25 È 100

27 Lorenzkurve Figure 3: Abbildung Lorenzkurve u Beispiel 7.5 Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 26

29 Gini-Koeffizient Anteil der Fläche zwischen der Diagonalen und der Lorenzkurve an Gesamtfläche unterhalb der Diagonalen. Er ist ein Maß für die Konzentration, die eben gerade der Abweichung der Lorenzkurve von der Diagonalen entspricht. G = Fläche zwischen Diagonale D und Lorenzkurve L Fläche zwischen Diagonale D und u-achse Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 28

30 Gini-Koeffizient F i (u i+1,v i+1 ) (u i,v i ) u i u i+1 Abbildung Zur Berechnung des Gini-Koeffizienten Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 29

31 Gini-Koeffizient Berechnung des Gini-Koeffizienten Für F i gilt F i = (u i+1 u i ) ( u i v i 2 + u i+1 v i+1 ), 2 da F i (um 90 o gedreht) ein Trapez ist, mit der Höhe u i+1 u i und der Mittellinie 0.5((u i v i ) + (u i+1 v i+1 )). Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 30

32 Gini-Koeffizient Damit ist G = 1 2 n 1 (u i+1 u i )(u i v i +u i+1 v i+1 ) i=0 È 1 2 = n 1 (u i+1 u i )(u i v i + u i+1 v i+1 ) Èi=0 Setzt man die Daten aus der geordneten Urliste ein, so erhält man nach einigem Rechenaufwand G = 2 nèi=1 i x (i) (n + 1) nèi=1 x (i) n nèi=1. x (i) Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 31

33 Gini-Koeffizient Beispiel 7.6 (1) In Beispiel 7.1 erhält man: G = 1 10 ( ) = 2 Nach der zweiten Formel erhält man: = G = = Der Unterschied ist durch die Rundung der beiden Koordinaten (u k, v k ) begründet. Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 32

34 Gini-Koeffizient Beispiel 7.6 (2) Aus den Daten von Beispiel 7.2 bzw. 7.3 erhält man: G = = = = = (3) Für die Einkommensverteilung der Männer lautet der Gini-Koeffizient: G = = Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 33

35 Gini-Koeffizient Betrachte: Der Maximalwert des Gini-Koeffizienten ist für 0 = x (1) =... = x (n 1), x (n) = x (i) n i=1 nach der zweiten Formel Gmax = 2 n x (n) (n + 1) x (n) = n 1 n x (n) n Bei einer Maßzahl geht man üblicherweise von einem Maximalwert 1 aus. Aus diesem Grund normiert man den Ginikoeffizienten. Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 34

36 Gini-Koeffizient Normierter Gini-Koeffizient Es gilt Gnorm = n n 1 G. 0 Gnorm 1 und G norm G norm = 1 bei vollständiger Konzentration, = 0 bei gleichmäßiger Verteilung der Merkmalssumme. Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 35

37 Gini-Koeffizient Kritikpunkte Unterschiedliche Lorenzkurven können zu dem selben Gini-Koeffizienten führen. Es besteht ein starke Abhängigkeit des Gini-Koeffizienten von der Zahl der einbezogenen statistischen Einheinten. Weglassen von kleinen Merkmalswerten verringert G. Der Gini-Koeffizient ist nur ein Maß für die relative Konzentration, nicht für die absolute Konzentration. Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 36

38 Gini-Koeffizient Beispiel 7.7 Die Messung der Wettbewerbskonzentration mit Hilfe des Gini-Koeffizienten auf zwei verschiedenen Märkten ergibt den selben Wert, obwohl die Märkte nicht identisch sind: G = 0 für zwei Firmen mit je 50% Marktanteil G = 0 für 20 Firmen mit je 5% Marktanteil Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 37

39 Gini-Koeffizient Figure 4: Abbildung Beispiel zweier Lorenzkurven mit übereinstimmendem Gini-Koeffizienten Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 38

41 Weitere Konzentrationsmaße Konzentrationskoeffizient CRg = x (i) i=n g+1 nè für g = (1, 2, )3,... x (i) i=1 nè CR g gibt an, welchen Anteil der Merkmalssumme die g letzten Merkmalswerte der geordneten statistischen Reihe in sich vereinen. Die Vorgehensweise entspricht der Konstruktion der Lorenzkurve, wobei die geordnete Urliste von rechts nach links, also in umgekehrter Reihenfolge abgearbeitet wird. Die zugehörige Kurve wird üblicherweise als Paretokurve bezeichnet. Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 40

42 Weitere Konzentrationsmaße Figure 5: Abbildung Paretokurve Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 41

43 Weitere Konzentrationsmaße Herfindahl-Index n i=1¼ x i H := x i½ 2 H ist die Summe der quadrierten individuellen Anteile an der Merkmalssumme. Je größer H ist, desto größer ist die Konzentration. i=1 nè Kapitel IV - Häufigkeitsverteilungen 42