Wichtige mathematische Symbole

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1 Wichtige mathematische Symbole Die folgende Liste enthält wichtige Zeichen und Symbole, die vor allem in der Mathematik, aber z.t. auch in den angewandten Fachbereichen Verwendung finden. Der Schwerpunkt liegt auf Themen des. Semesters, denn gerade hier stellen mehrdeutige oder unbekannte Symbole eine nicht zu unterschätzende Schwierigkeit für ein erfolgreiches Studium dar. Die Symbole sind grob thematisch sortiert, die Liste erhebt jedoch keinerlei Anspruch auf Vollständigkeit. Präzise Definitionen finden Sie in den Lerneinheiten und Fachbüchern. Verschiedene Zeichen und Buchstaben Griechische Buchstaben klein groß Name lat. α A Alpha a ν N Ny n β B Beta b ξ Ξ Xi x γ Γ Gamma g o O Omikron o δ Delta d π Π Pi p ε, ɛ E Epsilon e ϱ, ρ P Rho r ζ Z Zeta z σ Σ Sigma s η H Eta ē τ T Tau t ϑ, θ Θ Theta th υ Y Ypsilon y, u ι I Iota i ϕ, φ Φ Phi ph, f κ K Kappa k χ X Chi ch λ Λ Lambda l ψ Ψ Psi ps µ M My m ω Ω Omega ō Einige Verwendungen der Buchstaben in der Geometrie (häufig werden Großbuchstaben für Punkte, Flächen und Volumina; Kleinbuchstaben für Strecken verwendet) Geometrie α, β, γ, ϕ Winkel b Bogenmaß r,d,h Radius, Abstand/Durchmesser, Höhe U,A,O,M,V Umfang, Fläche, Oberfläche, Mantelfläche, Volumen ω (Kreis-)Frequenz λ, µ reelle Konstanten r, ϱ Radius (im R 3 )

2 In der Analysis und Algebra werden lateinische Buchstaben häufig wie folgt verwendet. Analysis und Algebra a,b,c natürliche Zahlen, reelle Konstanten d Differential e Eulersche Zahl f,g,h Funktionen i,j,k,l Indexzahlen i,j Imaginäre Einheit m,n natürliche bzw. ganze Zahlen o (kleine) Restfunktion p,q,r,s Polynome, rationale Zahlen t,u Parameter u,v,w Substitutionen, alternative Koordinaten x,y,z Variablen, Koordinaten z Komplexe Zahl z = x + iy Großbuchstaben Punkte, Mengen, Matrizen, Funktionen Spezielle Zeichen und Buchstaben + Summe, Differenz ± Plus oder Minus, Minus oder Plus Multiplikation (auch xy = x y) / Division (auch x/y = x y ) π Kreiszahl pi: π = 3, e Eulersche Zahl: e = 2, Unendlich ε 0 oft als beliebig kleine positive Zahl in der Grenzwertrechnung verwendet, also im Sinne ε 0 0 a a Mittelwert von a n

3 Mengen und Intervalle Meist werden Mengen mit großen lateinischen Buchstaben angegeben und die Elemente der Mengen (Zahlen, Variablen etc.) mit kleinen. N N 0, N Menge der natürlichen Zahlen (einschl. der 0): {0; ; 2; 3;...} N + N +, N Menge der positiven natürlichen Zahlen: {; 2; 3;...} Z Z Menge der ganzen Zahlen: {0; ±; ±2; ±3;...} Q Q Menge der rationalen Zahlen R R Menge der reellen Zahlen C C Menge der komplexen Zahlen {z : z = x + iy; x, y R} D D Definitionsbereich W W Wertebereich L L Lösungsmenge [a; b] geschlossenes Intervall (a; b) ]a; b[ offenes Intervall [a; b) [a; b[ (rechtsseitig) halboffenes Intervall (a; b] ]a; b] (linkssseitig) halboffenes Intervall R + (0; ) positive reelle Zahlen R 0,+ [0; ) nicht-negative reelle Zahlen { } Leere Menge (nicht: {0}!) R 2, R 3 2- bzw. 3-dimensionaler Raum (Vektorraum) R n n- bzw. beliebig-dimensionaler (Vektor-)Raum A B Kartesisches Produkt zweier Mengen R m n m n-dimensionaler kartesicher Raum ( Matrizen) Element von (z.b. 2, 5 Q) / nicht Element von (z.b. 2, 5 / N) Teilmenge von (z.b. N R) Obermenge von (z.b. N 2; 4; 6;...) Vereinigungsmenge (A B = {x : (x A) (x B)}) Schnittmenge (z.b. A B = {x : (x A) (x B)})

4 Syntax, Relationen und Logische Operatoren ;, Trennung von Variablen, Satzteilen (z.b. L = {0; ; 2, 5}) : gilt: (z.b.: x R : x 2 0) : mit der Eigenschaft: (z.b.: M = {x R : x 2 > })... usw., logische Fortsetzung (z.b.: {0; 0, 5; ;, 5; 2;...}) ( ) [ ] Platzhalter für einen ganzen Ausdruck, Wiederholungszeichen Logische Symbole Symbol alt. Bedeutung/Beispiel = gleich; ungleich > größer als; größer oder gleich; sehr viel größer als < kleiner als; kleiner oder gleich; sehr viel kleiner als näherungsweise gleich Proportional zu... := =: linke (rechte) Seite wird definiert zu... aus (linke Seite) folgt... Äquivalenz, aus einer Seite folgt die andere und umgekehrt : : linke (rechte) Seite ist per definitionem gleichwertig nicht und oder und \ ohne Verknüpfung zweier Aussagen für alle (z.b. x R : x 2 0) existiert (mindestens) ein (z.b. y R0, + x R : x 2 = y)! existiert genau ein existiert kein

5 Vektoren v v v v v v v 2 Vektor v =, v Rn. v n v v Betrag von v, v = v 2 + v v2 n e v ê v ˆv Einheitsvektor von v ( e v = v v ) r A OA Ortsvektor eines Punktes ra = (a x ; a y ; a z ) v A B AB Verbindungsvektor zweier Punkte d AB AB Abstand zweier Punkte a ± b = c Vektoraddition (-Subtraktion) a b = c a b ( a; b) < a; b > Skalarprodukt (inneres Produkt) a b = c a b [ a; b] Vektorprodukt (äußeres Produkt) [ a b c] = V Spatprodukt ([ a b c] = a ( b c)) a b Winkel zwischen a und b a b a senkrecht auf b ( a b = 0) a b a parallel zu b ( a b = 0) Matrizen Symbol alt. Bedeutung/Beispiel A A A Matrix A R m n E I Einheitsmatrix A T Zu A transponierte Matrix A Inverse Matrix von A, A A = E det(a) A Determinante von A A x = b Lineares Gleichungssystem (LGS) in Matrizendarstellung (A b) Erweiterte Koeffizientenmatrix eines LGS

6 Funktionen Eine Funktion ist eine eindeutige Abbildung von Elementen einer Menge (Variablen) auf ein Element einer weiteren Menge (Wert). f : M N x y = f(x) oder kurz: y = f(x). In der Mathematik werden meist x als Variable und y als Wert verwendet und der Graph einer Funktion in der x y-ebene eingezeichnet. In technischen Bereichen werden in der Regel andere Variablen verwendet (z.b. V (p, T ) = nrt p (ideale Gasgleichung)). Funktionen allgemein Symbol alt. Bedeutung/Beispiel y = f(x) Funktion in expliziter Darstellung (z.b. y = x 2 ) F (x, y) = 0 Funktion in impliziter Darstellung (z.b. y x 2 = 0) y = f(x,..., x n ) y = f( x) Funktion mehrerer Variablen f (x) Umkehrfunktion (nicht f(x)!) f(x 0 ) f(x) x0 Funktionswert an der Stelle x 0 f(g(x)) f g(x) Verknüpfung zweier Funktionen f(x) und g(x) z.b. f(x) = sin(x), g(x) = x 2 f(g(x)) = sin(g(x)) = sin(x 2 ) M N Abbildung einer Menge M auf eine Menge N x y Zuordnung eines Elements x M auf einen Wert y N (a n ) n N Zahlenfolge (z.b. (2n + ) n N = ; 3; 5; 7;...) lim f(x) x x 0 Grenzwert einer Funktion Meist (aber nicht immer!) gilt folgende Vereinbarung: Funktionen beziehen sich auf einen Term bis zum nächsten Additions- oder Subtraktionszeichen, andernfalls muss der Term in der Funktion eingeklammert werden. Am besten klammert man den Term auf den sich die Funktion bezieht immer ein! Beispiele: /x + = x + ; /(x + ) = x + sin x + = + sin(x) sin(x + ). Eindeutig wäre für den ersten Ausdruck der zweiten Zeile: sin(x) +.

7 Potenzfunktionen x n Potenzfunktion n x x n Wurzelfunktion, n-te Wurzel aus x a x Exponentialfunktion zur Basis a e x exp(x) Exponentialfunktion (zur Basis e) log a (x) Logarithmus von x zur Basis a ln(x) Natürlicher Logarithmus (zur Basis e) lg(x) log(x) log 0 (x) Logarithmus zur Basis 0 ld(x) lb(x) log 2 (x) Logarithmus zur Basis 2 Trigonometrische- und Arcus-Funktionen sin(x) Sinus von x ( Gegenkathete durch Hypothenuse ) cos(x) Kosinus von x ( Ankathete durch Hypothenuse ) tan(x) Tangens von x (tan(x) = sin(x) cos(x) ) cot(x) Kotangens von (x) (cot(x) = tan(x) ) arcsin(x) sin (x) Umkehrfunktion von sin(x) (nicht: sin(x) ) arccos(x) cos (x) Dito arctan(x) tan (x) Dito arccot(x) cot (x) Dito Es gilt: cos 2 (x) + sin 2 (x) = (Trigonometrischer Pythagoras) Hyperbolische- und Area-Funktionen sinh(x) cosh(x) Sinus hyperbolicus von x (sinh(x) = 2 (ex e x )) Kosinus hyperbolicus von x (cosh(x) = 2 (ex + e x )) tanh(x) Tangens von x (tanh(x) = sinh(x) cosh(x) ) coth(x) Kotangens von (x) (coth(x) = tanh(x) ) arsinh(x) sinh (x) Umkehrfunktion von sinh(x) (nicht: sinh(x) ) arcosh(x) cosh (x) Dito artanh(x) tanh (x) Dito arcoth(x) coth (x) Dito Es gilt: cosh 2 (x) sinh 2 (x) = (Hyperbolischer Pythagoras) Bemerkung: Im komplexen gilt für die trigonometrischen Funktionen analog zu den hyperbolischen Funktionen: sin(x) = 2i (eix e ix ) und cos(x) = 2 (eix + e ix )

8 Spezielle Funktionen { x, x 0 x Betragsfunktion: x, x < 0 x floor(x) Abrundungsfunktion (z.b: 2, 7 = 2;, 6 = 2) x ceil(x) Aufrundungsfunktion (z.b: 2, 7 = 3;, 6 = ), x > 0 sgn(x) Vorzeichenfunktion: sgn(x) = 0, x = 0, x < 0 x x 2 x Differenz zweier Werte n a k Summe von n m + Elementen a k : a k k=m n a k k=m n! ( n k) m k n n k k= a m + a m a n + a n 8 z.b: k 2 = = 99 k=3 Produkt, analog zur Summe n-fakultät: n! = n Binominalkoeffizient n über k, ( ) n k = n! k!(n k)!

9 Operatoren f (x) f (x); f (x) f (n) (x) df(x) dx v x0 df(x) dx ; D xf(x) Ableitung von f(x) nach der Variablen x Zweite und dritte Ableitung von f(x) d (n) f(x) ; D (n) dx (n) x f(x) Höhere (n-te) Ableitung von f(x) Ableitung von f(x) an der dv(t) dt Stelle x = x 0 Parameterableitung von v(t) (oft mit t als Zeit) x f(x, y, z) D xf(x, y, z); df(x, y, z) Partielle Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen nach x b a f(x)dx Komplexe Zahlen Integral von f(x) i j Imaginäre Einheit i = Re(z) Realteil x einer komplexen Zahl z = x + iy Im(z) Imaginärteil y einer komplexen Zahl z = x + iy z z Die zu z = x + iy konjugiert komplexe Zahl z = x iy z z Betrag von z: z = x 2 + y 2 cis(x) e ix Abkürzung für e ix = cos(x) + i sin(x)

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