Working Paper Dualitätstheoretische Untersuchung des Einigungsbereichs von Optionsgeschäften auf unvollkommenen Märkten

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1 econstor Der Open-Access-Publikationsserver er ZBW Leibniz-Informationszentrum Wirtschaft The Open Access Publication Server of the ZBW Leibniz Information Centre for Economics Mirschel, Stefan Working Paper Dualitätstheoretische Untersuchung es Einigungsbereichs von Optionsgeschäften auf unvollkommenen Märkten Wirtschaftswissenschaftliche Diskussionspapiere // Ernst-Moritz-Arnt-Universität Greifswal, Rechts- un Staatswissenschaftliche Fakultät, No. 08/2006 Provie in Cooperation with: Ernst Moritz Arnt University of Greifswal, Faculty of Law an Economics Suggeste Citation: Mirschel, Stefan (2006) : Dualitätstheoretische Untersuchung es Einigungsbereichs von Optionsgeschäften auf unvollkommenen Märkten, Wirtschaftswissenschaftliche Diskussionspapiere // Ernst-Moritz-Arnt-Universität Greifswal, Rechts- un Staatswissenschaftliche Fakultät, No. 08/2006 This Version is available at: Nutzungsbeingungen: Die ZBW räumt Ihnen als Nutzerin/Nutzer as unentgeltliche, räumlich unbeschränkte un zeitlich auf ie Dauer es Schutzrechts beschränkte einfache Recht ein, as ausgewählte Werk im Rahmen er unter nachzulesenen vollstänigen Nutzungsbeingungen zu vervielfältigen, mit enen ie Nutzerin/er Nutzer sich urch ie erste Nutzung einverstanen erklärt. Terms of use: The ZBW grants you, the user, the non-exclusive right to use the selecte work free of charge, territorially unrestricte an within the time limit of the term of the property rights accoring to the terms specifie at By the first use of the selecte work the user agrees an eclares to comply with these terms of use. zbw Leibniz-Informationszentrum Wirtschaft Leibniz Information Centre for Economics

2 Ernst-Moritz-Arnt-Universität Greifswal Dualitätstheoretische Untersuchung es Einigungsbereichs von Optionsgeschäften auf unvollkommenen Märkten Stefan Mirschel Diskussionspapier 08/2006 Oktober 2006 Rechts- un Staatswissenschaftliche Fakultät Wirtschaftswissenschaftliche Diskussionspapiere

3 Anschrift Dipl.-Wirtsch.-Ing. Stefan Mirschel Ernst-Moritz-Arnt-Universität Greifswal Rechts- un Staatswissenschaftliche Fakultät Lehrstuhl für Allg. Betriebswirtschaftslehre un Prouktionswirtschaft Frierich-Loeffler-Str Greifswal Telefon: + 49(3834) Fax: + 49(3834) Dieses Werk ist urch Urheberrecht geschützt. Die amit begrüneten Rechte, insbesonere ie er Entnahme von Abbilungen un Tabellen, er Funksenung, es Nachrucks, er Übersetzung, es Vortrags, er Mikroverfilmung oer er Vervielfältigung auf aneren Wegen un er Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur in Auszügen erfolgener Verwenung, vorbehalten. Eine vollstänige oer teilweise Vervielfältigung ieses Werkes ist in jeem Fall nur in en Grenzen er gesetzlichen Bestimmungen er jeweils geltenen Fassung es Urheberrechtgesetzes er Bunesrepublik Deutschlan vom 9. September 1965 zulässig. Grunsätzlich ist ie Vervielfältigung vergütungspflichtig. Verstöße unterliegen en Strafbestimmungen es Urheberrechtsgesetzes.

4 Dualitätstheoretische Untersuchung es Einigungsbereichs von Optionsgeschäften auf unvollkommenen Märkten Stefan Mirschel

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6 Inhaltsverzeichnis Abkürzungsverzeichnis... II Symbolverzeichnis... III 1 Bewertung von Optionen bei einheitlichem Zinssatz un Einigungspunkte Einigungslücken bei gespaltenem Zinssatz Einigungspunkte un -bereiche bei gegebenem Eigenkapital Basisprogramm Einigungspunkte bei einer erwarteten Aktienkursveränerung kleiner als er Haben-Aufzinsungsfaktor Grenzpreisfunktion un Minesteigenkapital für en Stillhalter einer Kaufoption Grenzpreisfunktion un Minesteigenkapital für en Käufer einer Verkaufsoption Einigungspunkte bei einer erwarteten Aktienkursveränerung größer als er Soll-Aufzinsungsfaktor Grenzpreisfunktion un Minesteigenkapital für en Käufer einer Kaufoption Grenzpreisfunktion un Minesteigenkapital für en Stillhalter einer Verkaufsoption Grafische Darstellung er Grenzpreisverläufe Einigungsbereiche bei Eigenkapitalausstattung un unterschielichen Erwartungen er Aktienkursveränerung urch Optionskäufer un Stillhalter Zusammenfassung un Ausblick Anhang A Anhang B Literaturverzeichnis I

7 Abkürzungsverzeichnis Aufl. Auflage bzw. beziehungsweise et al. et alii f. folgene ff. fortfolgene ggf. gegebenenfalls GPF Grenzpreisfunktion Hrsg. Herausgeber insb. insbesonere i. V. m. in Verbinung mit Jg. Jahrgang max. maximiere min. minimiere Nr. Nummer. e.. uo erat emonstranum S. Seite u.. N. unter en Nebenbeingungen vgl. vergleiche z. B. zum Beispiel ZGPM Zustansgrenzpreismoell II

8 Symbolverzeichnis Variablen, Konstanten un Parameter a B C u C DP EK en ga GEN gw k v ka p P H S s u WAR x EK x O δ λ ρ Aktienkurs / Kurs es Basisguts Ausübungspreis er Option Optionszahlung im Zustan nach er Aufwärtsbewegung Optionszahlung im Zustan nach er Abwärtsbewegung Abwärtsfaktor Wert er ualen Grenzpreisfunktion Eigenkapital Entnahme Gelanlage Wert er gewichteten Entnahmen Eintrittswahrscheinlichkeit Kaufmenge es Basisguts / er Aktie (Leer-)Verkaufsmenge es Basisguts / er Aktie Kreitaufnahme Grenzpreis Grenzpreis risikoloser Aufzinsungsfaktor Haben-Aufzinsungsfaktor Soll-Aufzinsungsfaktor Zustan Aufwärtsfaktor Wert er ausgeschöpften Restriktionen mit em Eigenkapital abgesicherte Aktienmenge eines Leerverkaufs- oer Kaufgeschäfts mit en Optionszahlungen abgesicherte Aktienmenge eines Leerverkaufs- oer Kaufgeschäfts uale Strukturvariable er Minestzielfunktionswertrestriktion uale Strukturvariable einer Liuiitätsrestriktion enogener Abzinsungsfaktor III

9 Deskriptoren b K KO min opt S VO Bewertungsprogramm Käufer Kaufoption minimal optimal Stillhalter Verkaufsoption IV

10 1 Bewertung von Optionen bei einheitlichem Zinssatz un Einigungspunkte Optionen sin beingte Hanlungsmöglichkeiten. Deshalb wir er Umgang mit Optionen grunsätzlich von er Methoik er flexiblen Planung erfaßt, 1 un es lassen sich Optionswerte z. B. mit Hilfe es Zustansgrenzpreismoells ermitteln, as auf er flexiblen Planung beruht. Dem steht ie finanzierungstheoretische Ermittlung von Optionswerten unter Voraussetzung vollkommener un vollstäniger Märkte gegenüber. Eine wesentliche Entwicklung ieses Theoriegebäues ist as Moell von COX, ROSS un RUBINSTEIN. 2 Unter enselben Prämissen müssen sich jeoch ie Ergebnisse beier Herangehensweisen entsprechen, insbesonere subjektive Wahrscheinlichkeiten müssen sich auch im Zustansgrenzpreismoell urch kurs- un zinsabhängige Pseuowahrscheinlichkeiten ersetzen. 3 Unter en Voraussetzungen, aß - er Markt vollkommen un - vollstänig ist sowie - er Aufwärtsfaktor u es Basiswerts größer un er Abwärtsfaktor es Basiswerts kleiner als er risikolose Aufzinsungsfaktor sin, ergibt sich im einperioigen Binomialmoell sowohl mit er Replikationsmethoe von COX, ROSS un RUBINSTEIN als auch mit em Zustangrenzpreismoell folgener Grenzpreis P opt für en Käufer un en Stillhalter einer Kaufoption un einer Verkaufsoption, wenn a en Aktienkurs un B en Ausübungspreis er Option symbolisieren: 4 opt 1 u P = C + C u u u, (1) wobei Cu { } KO Cu = max u a B;0 im Falle einer Kaufoption = VO Cu = max{ B u a;0} im Falle einer Verkaufsoption Vgl. allgemein zur flexiblen Planung HART (1940), S. 56 ff., HAX (1970), S. 136 ff., HAX (1985), S. 165 ff., HAX/LAUX (1972), LAUX (2005), S. 283 ff. un S. 308 ff. Vgl. zur getroffenen Aussage BREUER (2001), S. 249 f., FISCHER et al. (1999), S ff., GÖTZE (2006), S. 411, TRIGEORGIS (1996), S Vgl. COX et al. (1979), S. 232 ff. Vgl. BREUER (2001), S. 249 f., insb. Fußnote 15 auf S. 150, FISCHER et al. (1999), S ff., TEISBERG (1995), S. 32. Vgl. COX et al. (1979), S. 232 ff., zur Abbilung im Zustansgrenzpreismoell vgl. HERING (2006), S. 247 ff. 1

11 un C { } KO C = max a B;0 im Falle einer Kaufoption = VO C = max{ B a;0} im Falle einer Verkaufsoption Die Faktoren un u weren auch als Pseuowahrscheinlichkeiten bezeichnet, a sie an ie Stelle subjektiver Wahrscheinlichkeiten treten un sich insbesonere u u zu 1 aieren. 5 Ein Einigungsbereich zwischen em Stillhalter un em Optionskäufer ist immer ann gegeben, wenn er Grenzpreis es Käufers P K,opt (Preisobergrenze), em Grenzpreis es Stillhalters P S,opt (Preisuntergrenze), minestens entspricht; wenn also gilt: P K,opt S,opt P (2) Wie sich zeigt, besteht er Einigungsbereich auf em vollkommenen un vollstänigen Kapitalmarkt aus genau einem einzigen Grenzpreis. Ein solches Fall sei im folgenen stets als Einigungspunkt bezeichnet. Vom Einigungsbereich sei nur noch ann gesprochen, wenn tatsächlich ein Intervall möglicher Grenzpreise existiert. Die Ermittlung er Grenzpreise beruht letztlich auf er Konstruktion eines Replikationsportfolios (Heging-Portfolio), mit em ie Optionszahlungsströme urch Gelanlage un Leerverkauf er Aktie oer Kreitaufnahme un Kauf er Aktie nachgebilet weren. Der Käufer (Stillhalter) einer Kaufoption (Verkaufsoption) repliziert ie Zahlungsströme urch einen Leerverkauf verbunen mit einer Gelanlage. Hingegen besteht as Replikationsportfolio eines Stillhalters (Käufers) einer Kaufoption (Verkaufsoption) aus einem kreitfinanzierten Aktienkauf. In beien Fällen jeoch wir ie Aktienmenge un ie Gelanlage oer Kreitaufnahme aurch begrenzt, aß im Zustan nach er Aufwärtsentwicklung es Basisguts (im folgenen stets er Zustan eins) er Verlust aus einem Leerverkaufsgeschäft oer einem kreitfinanzierten Kaufgeschäft gerae noch urch ie Optionszahlung un as angelegte Kapital geeckt weren kann. Die Grenzpreisfunktion (1) basiert auf einem einheitlichen Zinssatz, wourch sich ie Grenzpreise eines Optionskäufers un eines Stillhalters genau entsprechen. Die Annahme einheitlicher Zinssätze ist allerings wenig realitätsnah. In er Realität sin ggf. nur gering ifferierene Soll- un Habenzinssätze vorzufinen. 5 Vgl. COX et al. (1979), S. 235 f. 2

12 2 Einigungslücken bei gespaltenem Zinssatz Vorab wir ie Prämisse gesetzt, aß er Soll-Zinssatz für Kreite höher als er Haben-Zinssatz für Gelanlagen ist. Außerem muß gelten, aß er Aufwärtsfaktor u größer als er Soll-Aufzinsungsfaktor S un er Abwärtsfaktor kleiner als er Haben-Aufzinsungsfaktor H ist. Die Einführung eines gespaltenen Zinssatzes veränert en bei Optionskäufer un Stillhalter anzusetzenen Diskontierungszinssatz, enn je nach Replikationsportfolio ist einmal eine Gelanlage zum Aufzinsungsfaktor oer eine Kreitaufnahme zum Aufzinsungsfaktor S as Grenzobjekt er Bewertung. Im Falle er Kaufoption gilt mithin für ie Bewertung er Kaufoption für en Käufer H un für en Stillhalter S. Der Grenzpreis es Käufers (K) berechnet sich somit nach: opt,k 1 H KO u H KO P = Cu C + H u u (3) Für en minestens vom Stillhalter (S) zu forernen Preis gilt hingegen: opt,s 1 S KO u S KO P = Cu C + S u u (4) Eine Gleichsetzung er beien Funktionen beweist, aß ie Preisuntergrenze es Stillhalters P größer als ie maximale Zahlungsbereitschaft es Optionskäufers opt,s opt,k P ist (siehe azu en Anhang A). Ein solcher Fall sei im folgenen stets als Einigungslücke bezeichnet. Ein Optionsgeschäft ist also bei gespaltenem Zinssatz un sonst gegenüber em vollkommenen un vollstänigen Markt unveränerten Prämissen wegen eines fehlenen Einigungsbereichs für ie Kaufoption unmöglich. Daß bei gespaltenem Zinssatz unterschieliche Grenzpreise für Käufer un Stillhalter gelten, haben bereits COX, ROSS un RUBINSTEIN erwähnt, geben jeoch keine genauere Interpretation. 6 BERGMANN gelangt für ein zeitstetiges Optionsmoell ebenfalls zu iesem Ergebnis. 7 Allerings ist seine Interpretation schlicht falsch, aß es sich bei er Einigungslücke um ein Arbitrageban hanelt, worin ein (oer gar er) Gleichgewichtspreis liegt. Es kann im Falle einer Einigungslücke keinen Gleichgewichtspreis für ie Option geben, weil kein Hanel zustane kommt. Darauf weist auch KORN hin, 8 er außerem zeigt, aß für einen bestimmten (neuen) Optionstyp mit speziellen Optionszahlungen ie Grenzpreise ennoch übereinstimmen können. 9 Hier soll jeoch Vgl. COX et al. (1979), S Vgl. BERGMANN (1995), S. 481 ff. i. V. m. S Vgl. KORN (1995), S Vgl. KORN (1995), S. 267 ff. un 272 f. 3

13 er klassische Optionstyp untersucht weren. KANE un MELNIKOV irren hingegen bei er Zielfunktion es Käufers. Nach Meinung er Autoren muß er Käufer ie minimale Zahlung ermitteln, für ie er am Markt ie Option gerae noch kaufen kann. 10 Daurch wir aber leiglich ie nierigste Preisuntergrenze mehrerer potentieller Stillhalter, im hier beschriebenen Fall also ie Preisuntergrenze es einen Stillhalters bestimmt. Dessen Preisuntergrenze ist aber grunsätzlich nicht ie Preisobergrenze es Käufers, auch wenn sich ie Grenzpreise unter bestimmten Voraussetzungen entsprechen können. Im Falle er Verkaufsoption wure zuvor festgestellt, aß nun er Optionskäufer ein Replikationsportfolio aus Aktienkauf un Kreitaufnahme aufweist. Der Stillhalter hingegen kann ie Optionszahlungen urch einen Leerverkauf un eine Gelanlage replizieren. Somit gilt für ie Bewertung er Verkaufsoption für en Käufer er Habenzinssatz un für en Stillhalter er Sollzinssatz. Die maximale Zahlungsbereitschaft für en Käufer (K) berechnet sich emnach wie folgt: opt,k 1 S VO u S VO P = Cu C + S u u (5) Hingegen berechnet sich ie Preisuntergrenze es Stillhalters (S) anhan: opt,s 1 H VO u H VO P = Cu C + H u u (6) Auch hier läßt sich mit einer Gegenüberstellung er beien Grenzpreise beweisen, aß es keinen Einigungsbereich zwischen Optionskäufer un Stillhalter gibt (siehe azu Anhang B). Die Preisuntergrenze es Stillhalters liegt über er Preisobergrenze es Käufers. Um Optionsgeschäfte bei gespaltenen Zinssätzen erklären zu können, bearf es offensichtlich einer Moellerweiterung. Im folgenen wir azu wenigstens eines er beien Bewertungssubjekte mit Eigenkapital ausgestattet. 10 Vgl. KANE/MELNIKOV (2005), S. 6. 4

14 3 Einigungspunkte un -bereiche bei gegebenem Eigenkapital 3.1 Basisprogramm Die Einigungslücke wir von en unterschielichen Grenzobjekten un eren unterschielichen Zinssätzen hervorgerufen. 11 Soll ennoch ie Bewertung bei Optionskäufer un Stillhalter zu einem Einigungsbereich oer -punkt führen, ann müssen ie Grenzobjektunterschiee aufgehoben weren. Das gilt auch auf vollkommenen Märkten, auf enen iese Anforerung urch ie Annahme eines einheitlichen Zinssatzes erfüllt wir. Auf Märkten mit gespaltenen Zinssätzen kann sie erfüllt weren, in em ie Kreitaufnahme zur Finanzierung von Aktienkäufen oer umgekehrt ie Gelanlage bei Leerverkäufen umgangen wir. Da ies letztlich nur urch vorhanenes Eigenkapital möglich ist, muß ie Existenz subjektiv gegebenen Eigenkapitals vorausgesetzt weren. Auf vollkommenen Märkten spielen Eigenkapitalausstattungen für ie Bewertung keine Rolle, 12 was aber nicht auf unvollkommenen Märkten gilt. 13 Für ie Bewertung von Optionen unter Berücksichtigung von Eigenkapital wir im folgenen as bereits erwähnte Zustansgrenzpreismoell (kurz ZGPM) eingesetzt. Es ist ein von HERING entwickeltes Entscheiungsmoell, as auf em WEINGARTNER- HAX-Moell zur linearen Investitionsprogrammplanung un en Bewertungsansätzen nach LAUX/FRANKE, JAENSCH un MATSCHKE sowie em Prinzip er flexiblen Planung beruht. 14 Zunächst muß ein Basisprogramm aufgestellt weren, mit essen Hilfe ein Subjekt seinen Investitions- un Finanzierungsplan vor em Kauf er Option optimiert. 15 Als Zielfunktion wir ie Summe er mit en subjektiven Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichteten Entnahmen en in en rei Zustänen maximiert. 16 Im einperioigen Binomialfall kann iese Zielsetzung zu einer Maximierung er Entnahme in Zustan null oer einer Maximierung es Erwartungswerts er zustansspezifischen Envermögen führen. Insbesonere bei mehrperioigen Moellen unter Unsicherheit wir urch iese Zielsetzung as sogenannte Flaschenhalsproblem vermieen. 17 Die Maximierung Vgl. auch KORN (1995), S Vgl. zur FISHER-Separation z. B. FRANKE/HAX (2004), S. 154 f. Vgl. zum HIRSHLEIFER-Moell z. B. FRANKE/HAX (2004), S. 158 ff. Die Autoren zeigen, aß bei gleich hohen Transaktionskosten für alle Finanzierungstitel ie Irrelevanz er Finanzierung auch auf unvollkommenen Märkten gilt. Vgl. FRANKE/HAX (2004), S. 162 f. Vgl. HERING (2006), S. 43 ff. Das Grunmoell zur linearen Investitionsprogrammplanung geht auf WEINGARTNER un HAX zurück. Vgl. WEINGARTNER (1974), S. 139 ff., HAX (1964) S. 435 ff. Zum zweistufigen Vorgehen von JAENSCH un MATSCHKE vgl. u. a. JAENSCH (1966), S. 138 f. un MATSCHKE (1969), S. 59. Zum Moell von LAUX un FRANKE vgl. LAUX/FRANKE (1969), S. 210 ff. Zur flexiblen Investitionsplanung vgl. ausführlich INDERFURTH (1982). Die Begriffe es Basis- un später es Bewertungsprogramms gehen auf MATSCHKE zurück. Vgl. MATSCHKE (1969), S. 59. Zum Vorgehen er Bewertung mit Basis- un Bewertungsprogramm vgl. MATSCHKE/BRÖSEL (2005), S. 124 ff. Vgl. zur Begrünung ieser Zielfunktion HERING (2003), S. 57 f. Vgl. azu KLINGELHÖFER (2003), S

15 uniformer Entnahmeströme führt nämlich unter Unsicherheit azu, aß er entnahmeschwächste Zustan ie Entnahmehöhe auch aller aneren Zustäne bestimmt, weshalb entnehmbare Geler schlimmstenfalls verfallen. Die Zielfunktion lautet somit: max. GEN; GEN : = en0 + gw1 en1+ gw 2 en 2 mit gw1+ gw 2 = 1 un gw 1,gw 2 0 (7) Das Restriktionssystem besteht aus en Liuiitätsnebenbeingungen er rei Zustäne. Sie stellen sicher, aß zu keinem Zeitpunkt ie Liuiität von null unterschritten wir. Im Zustan null muß ie Summe aus er Entnahme en, er Gelanlage ga un em bereits grunsätzlich möglichen Kauf k er später als Basisobjekt betrachteten Aktie A zum Kurs a kleiner oer gleich er Gelaufnahme ka, em Leerverkauf v er Aktie A zum Kurs a un em gegebenen Eigenkapital sein. In en Zustänen eins un zwei weren ie Gelanlage un er Kreit multipliziert mit em Aufzinsungsfaktor H bzw. S zurückgezahlt. Im Zustan eins weren außerem ie im Zustan null gekauften (leerverkauften) Aktien zum um en Faktor u gestiegenen Kurs wieer verkauft (gekauft). Im Zustan zwei erfolgt as Gleiche, allerings zu em um en Faktor gesunkenen Aktienkurs. In en Zustänen eins un zwei gibt es jeoch kein zusätzlich zu berücksichtigenes Eigenkapital. Der Salo aus Gel- un Aktiengeschäften sowie er Entnahme en muß somit im Zustan null kleiner oer gleich em Eigenkapital un in allen aneren Zustänen kleiner oer gleich null sein. Somit gilt folgenes Restriktionssystem: K,S en0 + ga0 ka0 + a k0 a v0 EK (8) en1 H ga0 + S ka 0 u a k0 + u a v0 0 (9) en 2 H ga 0 + S ka 0 a k0 + a v0 0 (10) en 0,en 1,en 2,ga 0,ka 0,k 0, v0 0 (11) Jees lineare primale Problem kann auch als uales Problem formuliert weren. 18 Besitzt as primale Problem eine enliche optimale Lösung GEN opt, so besitzt auch as uale Problem eine enliche optimale Lösung WAR opt un ie Zielfunktionswerte sin gleich groß. Das Dualproblem minimiert en Wert er ausgeschöpften Restriktionen un sichert somit ie beste Verwenung er knappen Ressourcen. Die ualen Strukturvariablen geben en Wert er primalen Restriktionen an. Das Dualproblem ermöglicht eine wesentlich tieferreichene Interpretation es Zielfunktionswertes im Optimum. Das uale Basisprogramm lautet mit λ als ualen Strukturvariablen, ie mit en primalen Liuiitätsrestriktionen korresponieren: min. WAR; K,S WAR = EK λ 0 (12) 18 Vgl. allgemein zur Dualitätstheorie un en arauf aufbauenen Ausführungen z. B. HILLIER/LIEBERMAN (1997), S. 125 ff. 6

16 u.. N. λ0 1 (13) λ0 H λ1 H λ2 0 (14) λ 0 + S λ 1 + S λ2 0 (15) a λ0 u a λ1 a λ2 0 (16) a λ 0 + u a λ 1 + a λ2 0 (17) λ s { 0,1,2} s gws (18) λ0, λ1, λ2 0 (19) Kennzeichen einer marktorientierten Bewertung ist ie scheinbare Unabhängigkeit er Grenzpreisfunktion von subjektiven Wahrscheinlichkeiten. Um ies sicherzustellen, muß als weitere Prämisse er subjektive Erwartungswert er Aktienkursveränerung gw1 u + gw 2 entweer kleiner als er Haben-Aufzinsungsfaktor H oer größer als er Soll-Aufzinsungsfaktor S sein. Ist ie erwartete Aktienkursveränerung kleiner H, ann lohnt es im Basisprogramm, mit em Eigenkapital einen Leerverkauf abzusichern. In iesem Falle erfolgt in Zustan zwei eine Entnahme, enn im Zustan eins wir er Verlust aus em Leerverkaufsgeschäft urch as verzinste Eigenkapital genau ausgeglichen. Sollte hingegen ie erwartete Aktienkursveränerung größer S sein, ann wir as Eigenkapital zur Deckung es Verlusts aus einem kreitfinanzierten Aktienkauf in Zustan zwei benötigt, so aß eine Entnahme im Zustan eins erfolgt. Liegt ie erwartete Aktienkursveränerung aber zwischen H un S, ann führt ein Leerverkaufsgeschäft zu einem schlechteren Zielwert als er ausschließlich eigenkapitalfinanzierte Kauf von Aktien. Ein arüber hinausgehenes kreitfinanziertes Kaufgeschäft lohnt aber nicht, weil ie erwartete Renite es Kaufgeschäfts unter em Sollzinssatz liegt. In iesem Falle wären ausschließlich ie subjektiven Erwartungen un Eigenkapitalausstattungen maßgeblich un marktorientierte Diskontierungsfaktoren gar nicht möglich. Marktorientierte Diskontierungsfaktoren sin bereits im Basisprogramm unter er soeben gesetzten Prämisse vorzufinen. Unter en Voraussetzungen, 19 aß - eine enliche Lösung es primalen Bewertungsprogramms existiert, - in keinem Zustan Gel mit null bewertet wir, weil es in unbegrenzter Höhe zu einem nichtnegativen Zinssatz angelegt weren kann un aher 19 Vgl. zu en Voraussetzungen HERING (2003), S. 147 f. 7

17 - jeem Gelbetrag in en Zustänen in einer Partialbetrachtung ein positiver Wert beigemessen wir, stellen ie Dualvariablen er Liuiitätsrestriktionen en zustansbezogenen Wert es Geles ar. Im Falle eines Leerverkaufsgeschäfts (wenn ie erwartete Aktienkursveränerung kleiner H ist), wir wegen er Komplementaritätsbeingungen zwischen primaler Strukturvariable un korresponierener ualer Restriktion ie Ungleichung (14) als Gleichung erfüllt: H λ 1 + H λ 2 =λ 0 (20) Die Restriktionen (16) un (17) lassen sich zusammenfassen zu: u λ 1 + λ 2 =λ 0 (21) Wir Gleichung (21) nach λ 2 umgestellt un in Gleichung (20) eingesetzt sowie er resultierene Ausruck nach λ 0 umgeformt, ann ergibt sich: u λ 0 =λ1 H H (22) Der zwischen em Zustan eins un null gültige Diskontierungsfaktor ρ 1,0 ermittelt sich anhan er Division von λ 1 urch λ 0 : 20 λ1 1 H ρ 1,0 = = λ u 0 H (23) Entsprechen läßt sich für en Diskontierungsfaktor ρ 2,0 folgenes errechnen: λ 1 u ρ 2,0 = = λ u 2 H 0 H (24) Die Diskontierungsfaktoren enthalten also ie marktorientierten Pseuowahrscheinlichkeiten. Erfolgt ein kreitfinanziertes Aktienkaufgeschäft, weil ie erwartete Aktienkursveränerung größer als S ist, ann ist wegen er Komplementaritätsbeingungen zwischen primaler Strukturvariable un korresponierener ualer Restriktion statt Restriktion (14) nun Restriktion (15) als Gleichung erfüllt. Da ies ie einzige Änerung bleibt, muß bei en Diskontierungsfaktoren (23) un (24) leiglich H urch S ersetzt weren. 20 Vgl. zu zustansabhängigen Diskontierungsfaktoren WEINGARTNER (1974), S. 24 ff. un HAX (1964), S. 439 ff. 8

18 Bei gespaltenem Zinssatz nehmen ie subjektiven Wahrscheinlichkeiten somit mittelbar Einfluß, obgleich ie Diskontierungsfaktoren unmittelbar frei von ihnen sin. In Abhängigkeit er subjektiv erwarteten Aktienkursveränerung gilt für ie theoretisch richtige Diskontierung er Haben- oer er Soll-Aufzinsungsfaktor. 3.2 Einigungspunkte bei einer erwarteten Aktienkursveränerung kleiner als er Haben-Aufzinsungsfaktor Grenzpreisfunktion un Minesteigenkapital für en Stillhalter einer Kaufoption Für ie Bewertung einer Kaufoption aus Sicht es Stillhalters müssen eren Zahlungskonseuenzen in einem Bewertungsprogramm berücksichtigt weren. 21 In iesem Programm ist ie minimal zu forerne Zahlung P, mithin ie Preisuntergrenze, für en Verkauf er Kaufoption gesucht. Bei er Grenzpreisermittlung ist er alte Zielfunktionswert er gewichteten Entnahmen minestens einzuhalten, amit sich as Subjekt nicht schlechter stellt als im Basisprogramm. 22 Die Eigenkapitalausstattung bleibt im Bewertungsprogramm eines Stillhalters natürlich erhalten, so aß sich im Falle einer Kaufoption folgenes Bewertungsprogramm für en Stillhalter ergibt: S max. P ; u.. N. S P : = p (25) S en + ga ka + a k a v p EK (26) KO 1 H 0 S u en ga + ka u a k + u a v C (27) KO en 2 H ga 0 + S ka 0 a k0 + a v0 C (28) opt en0 gw1 en1 gw 2 en 2 GEN (29) ga 0,ka 0,k 0,v0 0 (30) Sofern ein Grenzpreis p größer null existiert, entsprechen sich ie Zielfunktionswerte es primalen un ualen Bewertungsprogramms. Das uale Bewertungsprogramm lautet mit δ als ualer Strukturvariable, ie mit er primalen Restriktion (29) korresponiert: S min. DP ; S S b KO b KO b opt b DP : = EK λ0 Cu λ1 C λ2 GEN δ (31) Zum Begriff es Bewertungsprogramms vgl. MATSCHKE (1969), S. 59. Vgl. MATSCHKE (1975), S. 250 ff. 9

19 u.. N. b λ0 1 (32) b b b λ0 H λ1 H λ2 0 (33) b b b λ 0 + S λ 1 + S λ2 0 (34) b b b a λ0 u a λ1 a λ2 0 (35) b b b a λ 0 + u a λ 1 + a λ2 0 (36) b s b gws 0 λ δ s { 0,1,2} (37) b b b λ0, λ1, λ2 0 (38) In Abschnitt eins wure argelegt, aß sich ie Zahlungsstruktur er Kaufoption aus Sicht es Stillhalters mit em kreitfinanzierten Kauf einer bestimmten Aktienmenge replizieren läßt, wenn kein Eigenkapital vorhanen ist. Im Basisprogramm wir mit em Eigenkapital ein Leerverkaufsgeschäft abgesichert, so aß es nunmehr bereits ausreichen sein kann, leiglich ieses Leerverkaufsgeschäft zu reuzieren. Dennoch ist es nicht auszuschließen, aß ie Reuktion nicht ausreicht un ein Aktienkauf zur Replikation er Optionszahlungsstruktur notwenig wir. Trotzem kann selbst ann noch as vorhanene Eigenkapital ausreichen, eine Kreitfinanzierung un somit en Grenzobjektwechsel zu verhinern. Es wir somit avon ausgegangen, aß beim Stillhalter im Bewertungsprogramm weiterhin eine Gelanlage erfolgt. Daher ist ie Restriktion (33) als Gleichung erfüllt un zusammen mit en Restriktionen (35) sowie (36) ergibt sich folgenes Gleichungssystem: b b b H λ 1 + H λ 2 =λ 0 (39) b b b u λ 1 + λ 2 =λ 0 (40) Existiert ein enlicher positiver Grenzpreis, ann ist Restriktion (32) als Gleichung b erfüllt, un aher istλ 0 = 1. Die Dualvariablen er Liuiitätsrestriktionen entsprechen aher en Diskontierungsfaktoren. Wir Gleichung (39) nach λ 2 umgestellt un b er resultierene Ausruck in Gleichung (40) eingesetzt, ann ergeben sich nach einigen Umformungen für λ 1 b un λ b 2 ie gleichen Pseuowahrscheinlichkeiten wie in en Gleichungen (23) un (24). In er ualen Zielfunktion sin aber noch er Eigenkapitalterm un er mit δ b multiplizierte Minestzielfunktionswert es Basisprogramms vorhanen. Sie heben sich gegenseitig auf, was urch ie Gültigkeit er folgenen Gleichung zu beweisen ist: 10

20 S b opt b EK λ0 GEN δ = 0 (41) Wir für en optimalen Zielfunktionswert es Basisprogramms essen uale Entsprechung eingesetzt, ann gilt: S b S b EK λ0 EK δ λ 0 = 0 (42) Zu beachten ist, aß nach wie vor nur im Zustan zwei eine Entnahme erfolgt. Dann ist ie uale Restriktion (37), ie mit er primalen Strukturvariable en 2 korresponiert, als Gleichung erfüllt un läßt sich nach δ b umstellen: b b λ δ = 2 (43) gw 2 Sowohl im Basis- als auch im Bewertungsprogramm läßt sich aus en Gleichungen (20) un (21) sowie (39) un (40) er folgene Zusammenhang für λ ( b ) 0 schlußfolgern: ( b) ( b) u λ 0 =λ2 H (44) u H Im Basisprogramm war ebenfalls nur eine Entnahme im Zustan zwei möglich, so aß ie Restriktion (18) im Zustan zwei als Gleichung erfüllt ist: λ 2 = gw 2 (45) Weren ie Gleichungen (43) bis (45) in ie zu beweisene Gleichung (42) eingesetzt, ann gilt: b S b u λ2 u H 2 H 2 u H λ2 u H EK λ λ = 0 0 = 0. e.. (46) Somit gilt für en Grenzpreis im Optimum: 1 u P DP C C S,opt S,opt H KO H KO = = u + H u u (47) Der Grenzpreis es Stillhalters er Kaufoption entspricht bei gegebener Eigenkapitalausstattung er Gleichung (3) un aher genau em Grenzpreis es Optionskäufers, sofern as Eigenkapital en Grenzobjektwechsel zur Kreitaufnahme verhinert. Es existiert ein Einigungspunkt, wenn auch er Käufer eine Aktienkursveränerung kleiner H erwartet. 23 Somit ist trotz gespaltenem Zinssatz ein Optionsgeschäft möglich. 23 Wozu ie Aufhebung ieser Prämisse führen kann, wir in Unterkapital 3.5 erörtert. 11

21 Ferner zeigt sich, aß as Eigenkapital bei er Bewertung er Option keine unmittelbare Beeutung besitzt, a es in er Grenzpreisfunktion nicht vorkommt. Allerings hat es mittelbare Beeutung, enn ohne Eigenkapital gilt statt er Grenzpreisfunktion (47) ie Funktion (4). Besoners interessant ist asjenige Minesteigenkapital, bei em ie Optionsbewertung mit em Habenzinssatz gerae noch möglich ist. Es läßt sich mit Hilfe er Gelanlagehöhe im Bewertungsprogramm ermitteln, ie ann genau null betragen muß. Sie ergibt sich aus er urch as Eigenkapital ermöglichten un mit em Aktienkurs im Zustan null bewerteten Leerverkaufsmenge zuzüglich es Eigenkapitals selbst un es minestens zu forernen Grenzpreises sowie abzüglich er zur Optionszahlungsreplikation notwenigen Reuktion er Leerverkaufsmenge, ie mit em Aktienkurs im Zustan null bewertet wir: b S,min 0 EK O ga = 0 = x a + EK + p x a (48) Im Zustan eins wir er Aktienkauf zur Beienung es Leerverkaufs exakt urch as aufgezinste Eigenkapital sowie ie aufgezinste Einzahlung aus em Leerverkauf im Zustan null finanziert, wourch sich ie urch as Eigenkapital ermöglichte Leerverkaufsmenge berechnen läßt: ( ) S,min S,min H EK EK + H = EK = u H x u a x a EK 0 x a EK Für en Grenzpreis p gilt Gleichung (47). Für ie Reuktion er Aktienleerverkaufsmenge vom Basis- zum Bewertungsprogramm muß gelten, aß ie Differenz zwischen er urch en Verkauf er zur Optionszahlungsreplikation notwenigen Aktienmenge un er Optionsauszahlung im Zustan eins einer entsprechenen Differenz im Zustan zwei entspricht: 24 KO KO O u O x u a C = x a C x O C a = KO u C u Weren ie einzelnen Terme in Gleichung (48) urch ie entsprechenen Ergebnisse er Gleichungen (47), (49) un (50) substituiert un er resultierene Term nach EK S,min umgestellt, ann gilt für as Minesteigenkapital es Stillhalters: 1 u EK C C S,min H KO KO = u H u u Das Eigenkapital muß also minestens so hoch sein wie ie in en Zustan null iskontierte, mit er Pseuowahrscheinlichkeit es Zustans zwei gewichtete Differenz KO (49) (50) (51) 24 Diese Gleichung beruht auf en beien Bestimmungsgleichungen eines Replikationsportfolios (vgl. COX et al. (1979), S. 233), ie jeweils nach null umgestellt un gleichgesetzt weren. Die in beien Gleichungen ientisch vorzufinene Höhe er Gelanlage subtrahiert sich zu null. 12

22 zwischen er mit em Quotienten aus Ab- un Aufwärtsfaktor multiplizierten Optionszahlung im Zustan eins un er Optionszahlung im Zustan zwei. Solange as Eigenkapital höher ist als EK min finet ein Optionsgeschäft statt, weil ein Einigungspunkt existiert. Sollte as Eigenkapital aber nieriger sein, ann erfolgt statt einer Gelanlage eine Kreitaufnahme. In iesem Falle heben sich in Gleichung (31) er erste un letzte Term nicht mehr vollstänig auf, enn im Basisprogramm gilt zwar er Habenzinssatz, im Bewertungsprogramm nun jeoch er Sollzinssatz. Die Grenzpreisfunktion lautet ann: S,opt 1 S KO u S KO S u S P = C H u C EK + S u u S u H Weil er Haben- kleiner als er Sollzinssatz ist, ist er letzte zu subtrahierene (Eigenkapitalkorrektur-)Term stets positiv. Somit reuziert as Eigenkapital en Grenzpreis im Vergleich zu Gleichung (4) ohne Berücksichtigung von Eigenkapital. Der Korrekturterm gibt ie Aufwertung es in gleicher Höhe vorhanenen Eigenkapitals zwischen Basis- un Bewertungsprogramm an, enn as Eigenkapital verstärkt ie Möglichkeit, ein Leerverkaufsgeschäft zu finanzieren, as zu höheren erwarteten Einzahlungen als er zur Replikation er Optionszahlungen notwenige kreitfinanzierte Aktienkauf führt. Je höher as Eigenkapital ausfällt, um so nieriger wir somit er vom Stillhalter minestens zu forerne Preis für ie Option. Allerings gilt iese Gleichung nur bis zu höchstens einem Eigenkapital von EK S,min. Bei einem höheren Eigenkapital gibt es keinen Wechsel zur Kreitaufnahme, un Gleichung (47) bleibt ie gültige Grenzpreisfunktion. Wir er zuvor ermittelte Zusammenhang (51) für EK S,min in ie Gleichung (52) eingesetzt, ann resultiert nach wenigen Umstellungen ie Gleichung (47), was ie Gültigkeit er herausgefunenen Grenze für as Minesteigenkapital bestätigt. Wir ein geringeres Eigenkapital als EK S,min angenommen, ann reicht er Eigenkapitalkorrekturterm in Gleichung (52) offensichtlich nicht aus, ie in Anhang A bewiesene Lücke zwischen er Preisobergrenze es Optionskäufers un er Preisuntergrenze es Stillhalters zu schließen. Somit läßt sich festhalten: Solange as Eigenkapital ausreicht, en Wechsel von er Gelanlage zur Kreitaufnahme beim Stillhalter zu unterbinen (also minestens EK S,min beträgt), entsprechen sich ie Grenzpreise von Optionskäufer un Stillhalter, wenn beie eine Aktienkursveränerung kleiner H erwarten, un es gibt einen Einigungspunkt. Liegt aber as Eigenkapital unter EK S,min, ann finet wegen er Einigungslücke kein Optionshanel statt. Die Einigungslücke wir urch steigenes Eigenkapital jeoch kleiner, weil letzteres ie Preisuntergrenze es Stillhalters absenkt. (52) 13

23 3.2.2 Grenzpreisfunktion un Minesteigenkapital für en Käufer einer Verkaufsoption Im Falle einer Verkaufsoption hat er Käufer, wenn er über kein Eigenkapital verfügt, zur Replikation er Optionszahlungen ein kreitfinanziertes Leerverkaufsgeschäft getätigt. Mit Eigenkapital gilt nun aber folgenes Bewertungsprogramm für en Optionskäufer: K max. P ; u.. N. K P : = p (53) K en 0 + ga0 ka0 + a k0 a v0 + p EK (54) VO en1 H ga 0 + S ka0 u a k0 + u a v0 Cu (55) VO en 2 H ga 0 + S ka 0 a k0 + a v0 C (56) opt en0 gw1 en1 gw 2 en 2 GEN (57) ga 0,ka 0,k 0,v0 0 (58) Die Zielfunktion es ualen Bewertungsprogramms lautet ann: K K b VO b VO b opt b DP : = EK λ 0 + Cu λ 1 + C λ2 GEN δ (59) Die ualen Restriktionen entsprechen enen es vorangegangenen Abschnitts, woraus sich auch ieselben Diskontierungsfaktoren ableiten lassen. Ebenfalls heben sich im Falle einer optimalen Lösung bei keinem Grenzobjektwechsel er erste un letzte Term er Grenzpreisfunktion auf. Die azu notwenigen Rechenschritte gleichen enen es vorangegangenen Abschnitts. Bei ausreichen hohem Eigenkapital, as ie Kreitaufnahme unterbinet, gilt somit ie Grenzpreisfunktion (6) sowohl für en Optionskäufer als auch en Stillhalter, sofern auch er Stillhalter eine Aktienkursveränerung kleiner H erwartet. Ein Optionsgeschäft ist somit möglich, weil ein Einigungspunkt existiert. Es ist wieerum interessant, ie Minesteigenkapitalhöhe zu berechnen, bei er ie Optionsbewertung mit em Habenzinssatz gerae noch möglich ist. Sie läßt sich analog zum vorangegangenen Abschnitt mit Hilfe er Gelanlagehöhe im Bewertungsprogramm ermitteln, ie ann genau null betragen muß. Diese ergibt sich wie zuvor aus er urch as Eigenkapital ermöglichten un mit em Aktienkurs im Zustan null bewerteten Leerverkaufsmenge zuzüglich es Eigenkapitals selbst un nun jeoch abzüglich (!) er maximalen Zahlungsbereitschaft sowie abzüglich er zur Optionszahlungsreplikation notwenigen Reuktion er Leerverkaufsmenge, ie mit em Aktienkurs im Zustan null bewertet wir: b K,min ga0 = 0 = xek a + EK p xo a (60) 14

24 Die urch as Eigenkapital ermöglichte Leerverkaufsmenge läßt sich wie zuvor mit Gleichung (49) berechnen. Für en Grenzpreis p gilt ie Gleichung (6). Die Reuktion es Aktienleerverkaufs zwischen Basis- un Bewertungsprogramm läßt sich aurch ermitteln, aß ie Summe aus er Verkaufseinzahlung er zur Optionszahlungsreplikation notwenigen Aktienmenge un er Optionseinzahlung (!) im Zustan eins einer entsprechenen Summe im Zustan zwei entspricht: VO VO xo u a+ Cu = xo a+ C x O C a = VO C u Weren iese Zusammenhänge in Gleichung (60) eingesetzt, ann berechnet sich as Minesteigenkapital wie folgt: 1 u EK C C K,min H VO VO = u H u u Das Eigenkapital muß also minestens so hoch sein wie ie in en Zustan null iskontierte, mit er Pseuowahrscheinlichkeit es Zustans zwei gewichtete Differenz zwischen er Optionszahlung im Zustan zwei un er mit em Quotienten aus Abun Aufwärtsfaktor multiplizierten Optionszahlung im Zustan eins. Solange as Eigenkapital höher ist als EK K,min finet ein Optionsgeschäft statt, weil ein Einigungspunkt existiert. Sollte as Eigenkapital aber wieerum nieriger sein, ann erfolgt statt einer Gelanlage eine Kreitaufnahme. In iesem Falle heben sich in Gleichung (59) er erste un letzte Term nicht mehr vollstänig auf: VO u K,opt 1 S VO u S VO K u S P = C H u C EK + S u u + S u H Der Eigenkapitalkorrekturterm entspricht betragsmäßig em entsprechenen Term in Gleichung (52). Es erfolgt mit er gleichen Begrünung wie zuvor eine Aufwertung es Eigenkapitals, ie nun aber aiert wir un aher ie Zahlungsbereitschaft es Optionskäufers steigert. Die im Anhang B nachgewiesene Lücke zwischen nierigerer Zahlungsbereitschaft es Optionskäufers un minimalem Grenzpreis es Stillhalters wir somit urch ie Eigenkapitalkorrektur ebenfalls verminert. Je höher as Eigenkapital ausfällt, um so höher wir folglich ie maximale Zahlungsbereitschaft es Optionskäufers. Allerings gilt auch iese Gleichung nur bis zu höchstens einem Eigenkapital von EK K,min. Bei einem höheren Eigenkapital gibt es keinen Wechsel zur Kreitaufnahme, un Gleichung (6) bleibt ie gültige Grenzpreisfunktion für en Optionskäufer. Wir er zuvor ermittelte Zusammenhang (62) für EK K,min in ie Gleichung (63) eingesetzt, so resultiert nach wenigen Umstellungen ie Gleichung (6). Ein geringeres Eigenkapital als EK K,min kann ie in Anhang B bewiesene Einigungslücke nicht schließen. (61) (62) (63) 15

25 Somit läßt sich festhalten: Solange as Eigenkapital ausreicht, en Wechsel von er Gelanlage zur Kreitaufnahme nun jeoch beim Optionskäufer zu unterbinen, entsprechen sich ie Grenzpreise von Optionskäufer un Stillhalter, wenn beie eine Aktienkursveränerung kleiner H erwarten, un es existiert ein Einigungspunkt. Liegt aber as Eigenkapital unter EK K,min, finet wegen er Einigungslücke kein Optionshanel statt. Die Einigungslücke wir urch steigenes Eigenkapital jeoch kleiner, weil letzteres ie Preisobergrenze es Käufers anhebt. 3.3 Einigungspunkte bei einer erwarteten Aktienkursveränerung größer als er Soll-Aufzinsungsfaktor Grenzpreisfunktion un Minesteigenkapital für en Käufer einer Kaufoption Die Bewertungssituation änert sich, wenn ie erwartete Aktienkursveränerung größer als er Soll-Aufzinsungsfaktor ist. Im Basisprogramm wir ann mit em Eigenkapital wie bereits argelegt er mögliche Verlust eines kreitfinanzierten Aktienkaufgeschäfts un nicht eines Leerverkaufsgeschäfts geeckt. Nunmehr muß im Gegensatz zum Abschnitt 3.2 nicht mehr er Stillhalter, sonern er Käufer er Kaufoption über ausreichen Eigenkapital verfügen, mit em er Wechsel von er Kreitfinanzierung zur Gelanlage verhinert wir. Es sei hier auf ie vollstänige Darlegung es primalen un ualen Bewertungsprogramms verzichtet un nur auf ie notwenigen Änerungen in en Programmen aufmerksam gemacht. Im Vergleich zu Abschnitt wir im Bewertungsprogramm nun er Preis P K maximiert. In en Liuiitätsrestriktionen wechseln ie Vorzeichen KO KO von p, Cu un C im Vergleich zu en Restriktionen (26) bis (28). Die uale Zielfunktion lautet aher: K K b KO b KO b opt b 0 u 1 2 DP : = EK λ + C λ + C λ GEN δ (64) Die ualen Restriktionen sin gleich zu en Restriktionen (32) bis (38). Da urch ausreichen hohes Eigenkapital er Kreit als Grenzobjekt aufrechterhalten weren soll, wir nunmehr ie uale Restriktion (36) als Gleichung erfüllt. Außerem erfolgt bei einem kreitfinanzierten Aktienkauf im Zustan null eine Entnahme im Zustan eins. Auch heben sich, solange kein Grenzobjektwechsel vom Kreit zur Gelanlage erfolgt, er erste un letzte Term in Gleichung (64) auf. Auf ie Darlegung er exakten Rechenwege sei wegen er überaus großen Ähnlichkeit zum vorangegangenen Abschnitt verzichtet. Bei ausreichen hohem Eigenkapital gilt für ie Bewertung einer Kaufoption urch en Optionskäufer letztlich ie Grenzpreisfunktion (4). Somit existiert ann ein Einigungspunkt, wenn auch er Stillhalter eine Aktienkursveränerung größer S erwartet. Wie im vorangegangenen Abschnitt, so läßt sich auch in iesem Fall as Minesteigenkapital ermitteln. Dazu muß ermittelt weren, bei welcher Minesteigenkapitalhöhe er aufzunehmene Kreit gerae null beträgt. Die Kreithöhe im Zustan null 16

26 berechnet sich mit er Auszahlung für en Aktienkauf im Zustan null abzüglich es Eigenkapitals un zuzüglich es potentiell auszuzahlenen Grenzpreises sowie abzüglich er Reuktion es Aktienkaufgeschäfts vom Basis- zum Bewertungsprogramm: b K,min 0 EK O ka = x a EK + p x a (65) Der Aktienkauf im Zustan null wir aurch begrenzt, aß er Verkauf er Aktien in Zustan zwei ie Rückzahlung es Kreits gerae eckt: ( ) K,min K,min S EK EK S = EK = S x a x a EK 0 x a EK Der einzusetzene Grenzpreis ist mit Gleichung (4) bekannt. Die Reuktionsmenge es Aktienkaufs errechnet sich wie im Unterkapitel 3.2 ie Reuktionsmenge es Leerverkaufs aus en Bestimmungsgleichungen es Replikationsportfolios, was zur selben Gleichung (50) führt. Weren iese Zusammenhänge in Gleichung (65) eingesetzt, ann resultiert für as Minesteigenkapital: 1 u EK C C K,min S KO KO = u S u Solange as Minesteigenkapital beim Optionskäufer vorhanen ist, gilt für ihn ie Grenzpreisfunktion (4). Ist as Eigenkapital aber geringer, ann gibt es einen Grenzobjektwechsel vom Basis- zum Bewertungsprogramm verbunen mit em Wechsel von S zu H. Es gilt ann folgene Grenzpreisfunktion: (66) (67) 1 u P C C EK K,opt KO KO K = H H S H u + H u u + H S (68) Da er letzte Term er Gleichung stets positiv ist, steigt mit höherem Eigenkapital er Grenzpreis. Der Eigenkapitalkorrekturterm gibt ie Aufwertung es in gleicher Höhe vorhanenen Eigenkapitals zwischen Basis- un Bewertungsprogramm an. Das Eigenkapital verstärkt ie Möglichkeit, ein kreitfinanziertes Aktienkaufgeschäft urch Ausgleich er Verluste im Zustan eins zu stützen. Die Reuktion es zur Optionszahlungsreplikation notwenigen Leerverkaufsgeschäfts urch as Eigenkapital ist zusätzlich werterhöhen, weil as kreitfinanzierte Kaufgeschäft zu höheren erwarteten Einzahlungen als as Leerverkaufsgeschäft führt. Allerings kann wieerum ie in Kapitel zwei geschilerte Bewertungslücke, erst ann geschlossen weren, wenn as Eigenkapital wenigstens em Minesteigenkapital entspricht. Auch hier führt as Einsetzen es Minesteigenkapitals azu, aß ie Grenzpreisfunktion (68) er Gleichung (4) entspricht. Somit läßt sich festhalten: Solange as Eigenkapital ausreicht, en Wechsel von er Kreitaufnahme zur Gelanlage beim Optionskäufer zu unterbinen, entsprechen sich ie Grenzpreise von Optionskäufer un Stillhalter, wenn beie eine Aktienkursveränerung größer S erwarten, un es existiert ein Einigungspunkt. Liegt aber as Eigen- 17

27 kapital unter EK K,min, finet wegen er Einigungslücke kein Optionshanel statt. Die Einigungslücke wir urch steigenes Eigenkapital jeoch kleiner, weil letzteres ie Preisobergrenze es Käufers anhebt Grenzpreisfunktion un Minesteigenkapital für en Stillhalter einer Verkaufsoption Im Falle keines Eigenkapitals repliziert er Stillhalter einer Verkaufsoption ie Optionszahlungsströme urch ein Leerverkaufsgeschäft verbunen mit einer Gelanlage. Bei einer erwarteten Aktienkursveränerung größer als er Soll-Aufzinsungsfaktor S muß somit beim Stillhalter er Wechsel von er Kreitfinanzierung zur Gelanlage vom Basis- zum Bewertungsprogramm urch ausreichen hohes Eigenkapital unterbunen weren. Auch an ieser Stelle sei wegen er großen Ähnlichkeit auf ie vollstänige Darlegung es primalen un ualen Bewertungsprogramms verzichtet. Im Vergleich zu Abschnitt treten im Bewertungsprogramm folgene Änerungen auf: Der Preis P S wir nun minimiert un in en Liuiitätsrestriktionen wechseln ie Vorzeichen von p, VO VO Cu un C im Vergleich zu en Restriktionen (54) bis (56). Die uale Zielfunktion lautet aher: S b S b KO b KO b opt 0 1 u 2 DP : =λ EK λ C λ C δ GEN (69) Die ualen Restriktionen sin gleich zu en Restriktionen (32) bis (38). Durch ausreichen hohes Eigenkapital wir er Kreit als Grenzobjekt aufrechterhalten un eshalb ie uale Restriktion (36) als Gleichung erfüllt. Bei einem kreitfinanzierten Kauf im Zustan null erfolgt eine Entnahme im Zustan eins. Solange kein Grenzobjektwechsel vom Kreit zur Gelanlage stattfinet, heben sich er erste un letzte Term er Aition in Gleichung (69) auf. Bei ausreichen hohem Eigenkapital gilt für ie Bewertung einer Verkaufsoption urch en Stillhalter ie Grenzpreisfunktion (5). Es existiert aher ann ein Einigungspunkt, wenn auch er Optionskäufer eine Aktienkursveränerung größer S erwartet. Das Minesteigenkapital läßt sich nach em gleichen Vorgehen wie in ermitteln, nur aß er Grenzpreis p als Einzahlung nun ie Kreithöhe verminert un aher ein negatives Vorzeichen aufweist. Es ergibt sich eshalb folgenes Minesteigenkapital für en Stillhalter: 1 u EK C C S,min S VO VO = u S u Solange as Minestkapital beim Stillhalter nicht unterschritten wir, gilt für ihn ie Grenzpreisfunktion (5). Ist as Eigenkapital aber geringer, ann gibt es einen Grenzobjektwechsel vom Basis- zum Bewertungsprogramm verbunen mit em Wechsel von S zu H. Es gilt ann folgene Grenzpreisfunktion: (70) 18

28 1 u P C C EK S,opt VO VO K = H H S H u + H u u H S (71) Der letzte Term er Gleichung ist stets positiv, so aß wegen es negativen Vorzeichens er Grenzpreis mit höherem Eigenkapital sinkt. Für ie Aufwertung es Eigenkapitals vom Basis- zum Bewertungsprogramm gilt ieselbe Begrünung wie in Die in Kapitel zwei geschilerte Bewertungslücke kann wieerum erst ann geschlossen weren, wenn as Eigenkapital wenigstens em Minesteigenkapital entspricht. Das Einsetzen es Minesteigenkapitals bewirkt, aß ie Grenzpreisfunktion er Gleichung (5) entspricht. Somit läßt sich festhalten: Solange as Eigenkapital ausreicht, en Wechsel von er Kreitaufnahme zur Gelanlage beim Stillhalter zu unterbinen, entsprechen sich ie Grenzpreise von Optionskäufer un Stillhalter, wenn beie eine Aktienkursveränerung größer S erwarten, un es existiert ein Einigungspunkt. Liegt aber as Eigenkapital unter EK S,min, finet wegen er Einigungslücke kein Optionshanel statt. Die Einigungslücke wir urch steigenes Eigenkapital jeoch kleiner, weil letzteres ie Preisuntergrenze es Stillhalters senkt. 3.4 Grafische Darstellung er Grenzpreisverläufe Obgleich in 3.2 un 3.3 vier verschieene Situationen untersucht woren sin, ist er grafische Verlauf er Grenzpreise von Abschnitt un Abschnitt überaus ähnlich. In beien Fällen nähern sich ie Grenzpreise es Käufers un es Stillhalters, weil ie Preisuntergrenze es Stillhalters mit zunehmenem Eigenkapital sinkt. Der grafische Verlauf er Grenzpreise von Abschnitt un ist ebenfalls ähnlich. Hier nähern sich ie Grenzpreise, weil ie Preisobergrenze es Käufers mit zunehmenem Eigenkapital steigt. Ist as Minesteigenkapital erreicht, hat weiterhin steigenes Eigenkapital keinen Einfluß mehr auf en Grenzpreis. Im Falle er Kaufoption ist P( S ), im Falle er Verkaufsoption aber P( H ) er höhere von beien Grenzpreisen, wenn as Minesteigenkapital noch nicht erreicht woren ist. Die Abbilung 1 gibt ie Grenzpreisverläufe wieer. 19

29 Kaufoption (3.2.1) Verkaufsoption (3.2.2) P P( S ) P S,opt P P( H ) P S,opt, wenn EK S,min < EK S Einigungslücke Einigungspunkt P( H ) Einigungslücke P K,opt, wenn EK K,min < EK K Einigungspunkt P( S ) P K,opt EK S,min EK S EK K,min EK K P P( H ) Verkaufsoption (3.3.1) Kaufoption (3.3.2) P S,opt P P( S ) P S,opt, wenn EK S,min < EK S Einigungslücke Einigungspunkt P( S ) Einigungslücke P K,opt, wenn EK K,min < EK K Einigungspunkt P( H ) P K,opt EK S,min EK S EK K,min EK K Abbilung 1 Grenzpreisverläufe un Einigungspunkte in Abhängigkeit es Eigenkapitals 3.5 Einigungsbereiche bei Eigenkapitalausstattung un unterschielichen Erwartungen er Aktienkursveränerung urch Optionskäufer un Stillhalter Mit en in en Unterkapiteln 3.2 un 3.3 gewonnenen Erkenntnissen un Gleichungen ist as Instrumentarium vorhanen, auch iejenigen Fälle ohne größere Berechnungen zu untersuchen, in enen sich ie subjektiv erwartete Aktienkursveränerung es Käufers von er es Stillhalters unterscheiet. Es können zunächst ie beien Fälle abgegrenzt weren, aß ie erwartete Aktienkursveränerung beim Optionskäufer kleiner als H un beim Stillhalter größer als S sowie umgekehrt ist. Da ie Ausstattung mit Eigenkapital erheblichen Einfluß auf ie Bewertung hat, ist noch weiter zu unterscheien, ob in jeem er beien Fälle beim Käufer un beim Stillhalter as Minesteigenkapital jeweils gegeben ist oer nicht. Somit resultieren insgesamt acht zu untersuchene Fallkonstellationen, ie in er folgenen Tabelle angegeben sin: 20

30 Fall Tabelle 1 erwarteter Aktienkurs Käufer erwarteter Aktienkurs Stillhalter Minesteigenkapital gegeben Minesteigenkapital gegeben I < H ja > S ja II < H nein > S ja III < H ja > S nein IV < H nein > S nein V > S ja < H ja VI > S nein < H ja VII > S ja < H nein VIII > S nein < H nein Abgrenzung er Fallkonstellationen Kaufoption Fälle I bis IV Die Fälle I bis IV weisen bei einer Kaufoption alle eine Einigungslücke auf. Zusätzliches Eigenkapital nimmt sowohl beim Käufer als auch beim Stillhalter keinen Einfluß auf en jeweiligen Grenzpreis, enn es verstärkt leiglich as jeweilige Replikationsportfolio, as auch ohne Eigenkapital anzutreffen ist. Die in Kapitel zwei beschriebene Einigungslücke kann aher urch Eigenkapital nicht verminert weren, sonern bleibt konstant. Fall V In iesem Fall gilt für en Käufer er Sollzinssatz (GPF (4)), 25 für en Stillhalter aber er Habenzinssatz als Diskontierungszinssatz (GPF (3)), also genau ie umgekehrte Situation wie bei er Bewertung ohne jegliches Eigenkapital. Es ergibt sich aher ein Einigungsbereich. Fall VI Für en Käufer gilt er Habenzinssatz als Diskontierungszinssatz, allerings führt vorhanenes Eigenkapital zu einem höheren Grenzpreis (GPF (68)). Der Stillhalter iskontiert ebenfalls mit em Habenzinssatz (GPF (3)), so aß mit steigenem Eigenkapital beim Käufer auch er Einigungsbereich solange größer wir, bis Fall VI bei einem Eigenkapital es Käufers gleich em Minesteigenkapital in en Fall V übergeht. 25 GPF = Grenzpreisfunktion. 21

31 Fall VII Hier gilt wie im Fall V für en Käufer er Sollzinssatz als Diskontierungszinssatz (GPF (4)). Für en Stillhalter gilt ebenfalls er Sollzinssatz, ergänzt um en Eigenkapitalkorrekturterm, er zu einer Herabsetzung er Preisuntergrenze führt (GPF (52)). Mit steigenem Eigenkapital beim Stillhalter ergibt sich solange ein immer größer werener Einigungsbereich, bis as Eigenkapital gleich em Minesteigenkapital wir un Fall VII in Fall V übergeht. P Fall VIII Fall V P( S ) P S,opt Einigungslücke Einigungsbereich P( H ) P K,opt EK S,min EK K,min EK K,S P P( S ) P K,opt Fall VI P P( S ) Fall VII P K,opt, wenn EK K,min < EK K Einigungsbereich Einigungsbereich P( H ) P S,opt, wenn EK S,min < EK S P( H ) P S,opt EK K,min EK K EK S,min EK S Abbilung 2 Grenzpreisverläufe un Einigungsbereiche für eine Kaufoption in Abhängigkeit es Eigenkapitals bei unterschielichen Erwartungen zur Kursveränerung es Basisguts Fall VIII Auch in iesem Fall ergibt sich ein Einigungsbereich. Dazu bearf es leiglich er Überlegung, aß für en Stillhalter zunächst er Sollzinssatz als Diskontierungszinssatz gilt, er Grenzpreis aber mit steigenem Eigenkapital abnimmt (GPF (52)), bis er bei Erreichen es Minesteigenkapitals em mit em Habenzinssatz ermittelten Grenzpreis (GPF (3)) entspricht. Der Käufer iskontiert hingegen zunächst mit em Habenzinssatz, ergänzt um en Eigenkapitalkorrekturterm (GPF (68)). Mit steigenem Eigenkapital nähert sich er Grenzpreis immer mehr em mit em Sollzinssatz ermittelten Grenzpreis an (GPF (4)). Somit ergibt sich nicht wie in en Fällen V bis VII be- 22

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